宝鸡市第二学期高一数学期末考试试题

这是一份宝鸡市第二学期高一数学期末考试试题试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设z的共轭复数是 z ，若 z+z=4 ， z·z−=8 ，则 zz2 等于（ ）
A．iB．﹣iC．±1D．±i
2．球面上有 A，B，C，D 四个点，若 AB，AC，AD 两两垂直，且 AB=AC=AD=4 ，则该球的表面积为（ ）
A．80π3B．32πC．42πD．48π
3．已知平面向量 a 与 a+b 的夹角为 θ ，且满足 |a|=2 ， |b|=1 ， a⋅b=−1 ，则 csθ= （ ）
A．−32B．−12C．12D．32
4．已知数据 x1，x2，⋯，xn 的平均数为 x ，方差为 s2 ，则 2x1+3 ， 2x2+3 ，…， 2xn+3 的平均数和方差分别为（ ）
A．x 和 s2B．2x+3 和 4s2
C．2x+3 和 s2D．2x+3 和 4s2+12s+9
5． 某位同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒3盒、莲花清瘟胶囊2盒、清开灵颗粒5盒．若这三类药物能治愈感冒的概率分别为23,34,45，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用（用药请遵医嘱），则感冒被治愈的概率为（ ）
A．110B．12C．34D．45
6．设 A ， B ， C ， D 是同一个半径为4的球的球面上四点， △ABC 为等边三角形且其面积为 93 ，则三棱锥 D−ABC 体积的最大值为（ ）
A．123B．183C．243D．543
7．某学校在校学生2 000人，为了学生的“德、智、体”全面发展，学校举行了跑步和登山比赛活动，每人都参加而且只参与其中一项比赛，各年级参与比赛的人数情况如下表：
其中a∶b∶c＝2∶5∶3，全校参与登山的人数占总人数的 14 .为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则应从高三年级参与跑步的学生中抽取（ ）
A．15人B．30人C．40人D．45人
8．在[−2，3]上随机取一个数k，则事件“直线y=kx+3与圆x2+(y+2)2=9有公共点”发生的概率为（ ）
A．715B．815C．25D．35
二、多选题
9．已知复数z=2+11i2+i，则（ ）
A．|z|=5
B．z=3−4i
C．z在复平面内对应的点在第二象限
D．z−4i∈R
10．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若A=π6，a=1，b=3，则C可能为（ ）
A．π6B．π3C．π2D．2π3
11．有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi=xi+c（i=11，2，…，n），c为非零常数，则下列说法错误的是（ ）
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据的样本众数不同
C．两组样本数据的样本标准差相同
D．两组样本数据的样本极差相同
三、填空题
12．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb (λ，μ∈R)，则λμ= .
13．事件A，B互斥，它们都不发生的概率为 25 ，且P（A）=2P（B），则P （ A ）= ．
14．已知三棱柱 ABC−A1B1C1， 侧棱 AA1⊥ 底面 ABC，E，F 分别是 AB，AA1 的中点，且 AC=BC=2，AC⊥BC，AA1=4 ，过点 E 作一个截面与平面 BFC1 平行﹐则截面的周长为 ．
四、解答题
15．已知m是实数，n是纯虚数，且2m+n=4+（3﹣m）i，求m，n的值．
16．某研究所对两块试验田水稻的株高进行调研，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道第一块试验田抽取了水稻 80株，其平均数和方差分别为107（单位：cm）和5.22，另一块试验田抽取了水稻120株，其平均数和方差分别为112（单位：cm）和30.97，你能由这些数据计算出总样本的方差，并对这种水稻的方差作出估计吗？
17．某企业准备招聘一批大学生到本单位就业，但在签约前要对他们的某项专业技能进行测试．在待测试的某一个小组中有男、女生共10人（其中女生人数多于男生人数），如果从中随机选2人参加测试，其中恰为一男一女的概率为 815 ；
（Ⅰ）求该小组中女生的人数；
（Ⅱ）假设此项专业技能测试对该小组的学生而言，每个女生通过的概率均为 34 ，每个男生通过的概率均为 23 ；现对该小组中男生甲、男生乙和女生丙3个人进行测试，记这3人中通过测试的人数为随机变量 ξ ，求 ξ 的分布列和数学期望.
18．如图，将正六边形ABCDEF中的一半图形ABCD绕AD翻折到AB1C1D，使得∠B1AF=60°．G是BF与AD的交点．
（Ⅰ）求证：平面ADEF⊥平面B1FG；
（Ⅱ）求直线AB1与平面ADEF所成角的正弦值．
19．在 △ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c .已知 b+c=2a ， 3csinB=4asinC .
（Ⅰ）求 csB 的值；
（Ⅱ）求 sin(2B+π6) 的值.
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】D
3．【答案】D
4．【答案】B
5．【答案】C
6．【答案】B
7．【答案】D
8．【答案】A
9．【答案】A,B,D
10．【答案】A,C
11．【答案】A,B
12．【答案】4
13．【答案】35
14．【答案】3+22+25
15．【答案】解：∵m是实数，n是纯虚数，且2m+n=4+（3﹣m）i，
设n=bi，
则2m=4b=3−m，解得m=2，b=1．
∴m=2，n=i．
16．【答案】把第一块试验田样本记为 x1 、 x2 、 x3 、 ⋅⋅⋅ 、 x80 ，其平均数为 x ，方差为 sx2 ，
把第二块试验田样本记为 y1 、 y2 、 y3 、 ⋅⋅⋅ 、 y120 ，其平均数为 y ，方差为 sy2 ，
把总样本数据的平均数记为 z ，方差为 s2 ．
根据方差的定义，总样本方差为
s2=1200[i=180(xi−z)2+j=1120(yj−z)2]
=1200[i=180(xi−x+x−z)2+j=1120(yj−y+y−z)2] ．
由 i=180(xi−x)=i=180xi−80x=0 ，可得 i=1802(xi−x)(x−z)=2(x−z)i=180(xi−x)=0 ．
同理可得 j=11202(yi−y)(y−z)=0 ．
因此， s2=1200[i=180(xi−x)2+i=180(x−z)2+j=1120(yi−y)2+j=1120(y−z)2]
=1200{80[sx2+(x−z)2]+120[sy2+(y−z)2]} ．①
由 x=107 ， y=112 ，根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，可得总样本平均数为 z=8080+120x+12080+120y=110 ．
把已知两块试验田样本平均数和方差的取值代入①，可得
s2=1200{80[5.22+(107−110)2]+120[30.97+(112−110)2]}=26.67
所以总样本的方差为26.67，并据此估计这种水稻的总体方差为26.67．
17．【答案】解：（Ⅰ）设该小组中有 个女生，根据题意，得 Cn1C10−N1C102=815 ；
解得n=6或n=4（舍去），∴该小组中有6个女生；
（Ⅱ）由题意， ζ 的取值为0，1，2，3；
p(ζ=0)=13×13×14=136 ， p(ζ=1)=C21×23×13×14+(13)2×34=736 ， p(ζ=2)=C21×23×13×34+(23)2×14=1636 ， p(ζ=3)=(23)2×34=1236 ；
∴ζ 的分布列为：
Eζ=0×136+1×736+2×1636+3×1236=2512
18．【答案】证明：（Ⅰ）由正六边形对称性可知BF⊥AD，
因此B1G⊥AD，FG⊥AD．
又B1G∩FG=G，B1G⊂平面B1GF，FG⊂平面B1GF，
所以AD⊥平面B1GF．
又因为AD⊂平面ADEF，
所以平面ADEF⊥平面B1FG．
（Ⅱ）（方法一）
由（Ⅰ）已得平面B1GF⊥平面ADEF．
作B1H⊥FG于H，
又由于平面B1GF∩平面ADEF=FG，
所以B1H⊥平面ADEF．
连接AH，则∠B1AH就是直线B1A与平面ADEF所成的角．
不妨设正六边形边长为2．
则AF=AB1=2且∠B1AF=60°，∠B1AG=∠FAG=60°
得B1F=2， B1G=FG=3 ．
在△B1GF中， cs∠B1GF=B1G2+GF2−B1F22B1G⋅GF = 32+32−222×3×3=13 ．
sin∠B1GH=223 ． B1H=B1G⋅sin∠B1GH=263 ，
sin∠B1AH=B1HB1A=63 ，
所以直线AB1与平面ADEF所成角的正弦值为 63 ．
（方法二）如图，以A为坐标原点，以AD为x轴，
过A在平面ADEF内作垂直于AD的直线为y轴，
过A作垂直于平面ADEF的直线为z轴建立空间直角坐标系．
不妨设正六边形边长为2．则 AD=(4，0，0) ， AF=(1，3，0) ，
设 AB1=(x，y，z) ．
由 AB1⋅AD|AB1|⋅|AD|=x×42×4=cs60∘=12
得x①．
由 AB1⋅AF|AB1|⋅|AF|=x+3y2×2=cs60∘=12 得 x+3y=2②．
又 (AB1)2=x2+y2+z2=4③．
由①②③得 x=4，y=13，z=223 ．所以 AB1=(1，13，223) ．
取平面ADEF的法向量 n=(0，0，1) ． cs〈AB1，n〉=AB1⋅n|AB1|⋅|n|=63 ．
所以直线AB1与平面ADEF所成角的正弦值为 63
19．【答案】解：在 △ABC 中，由正弦定理 bsinB=csinC ，得 bsinC=csinB ，又由 3csinB=4asinC ，得 3bsinC=4asinC ，即 3b=4a .又因为 b+c=2a ，得到 b=43a ， c=23a .由余弦定理可得 csB=a2+c2−b22=a2+49a2−169a22⋅a⋅23a=−14 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 sinB=1−cs2B=154 ，从而 sin2B=2sinBcsB=−158 ， cs2B=cs2B−sin2B=−78 ，故
sin(2B+π6)=sin2Bcsπ6+cs2Bsinπ6=−158×32−78×12=−35+716
高一年级
高二年级
高三年级
跑步人数
a
b
c
登山人数
x
y
z
ζ
0
1
2
3
p
136
736
1636
1236