广东六校2025-2026学年高二第二学期期末考试数学试卷（含答案）

这是一份广东六校2025-2026学年高二第二学期期末考试数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A=xx2−2x−30，则实数a的取值范围是( )
A. −∞,1eB. −∞,eC. 2e,+∞D. 2e,+∞
8.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现.如图，在“杨辉三角”中，下列叙述正确的是( )
A. 第12行中第6个数最大
B. 第2026行中从左往右第1013个数与第1014个数相等
C. C31+C42+C53+⋯+Cnn−2=Cn+13
D. 第19行中第8个数与第9个数之比为2:3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若1−6x2026=a0+a1x+a2x2+⋯+a2026x2026，则( )
A. a0+a1+a2+⋯+a2026=72026
B. a0=0
C. a16+a262+a363+⋯+a202662026=−1
D. a1+2a2+3a3+⋯+2026a2026=−12156×52025
10.3名女生和4名男生随机站成一排，下列计算正确的是( )
A. 3名女生站在一起，4名男生也站在一起的站法有144种
B. 3名女生互不相邻，4名男生也互不相邻的站法有144种
C. 男生甲不站排头，女生乙不站排尾的站法有3720种
D. 每名女生旁边都有男生的概率为2235
11.设函数gx=ln1+ex−x2，x∈R，则下列说法正确的是( )
A. gx是偶函数B. gx在x=0处取得极小值
C. 方程ln1+ex=2x有且仅有一个实根D. 对任意x∈R，都有gx≥ln2+x28
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，满足AD=2OA+2−3mOB+mOC.若A，B，C，D四点共面，则m=
13.已知圆M:x+22+y2=36，点A2,0，若点P是圆M上一动点，线段AP的中垂线l与直线MP相交于点Q，则点Q的轨迹方程为 ．
14.已知函数fx=ex2x−1x−1，若函数gx=fx2+a+1fx+a有三个不同的零点，则实数a的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，BC//AD．

(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；
(2)设PA=AB=BC=2，求平面PAC与平面PAB夹角的余弦值．
16.(本小题15分)
已知等差数列an的前n项和为Sn，且a4=2a2+1，S4=4S2，等比数列bn的前n项和为Tn，且bn+1=2Tn+2(n∈N∗).
(1)求数列an，bn的通项公式．
(2)若cn=an⋅bn，求数列cn的前n项和Rn．
17.(本小题15分)
已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的实轴长为4，离心率e= 52．
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点M4,1的直线l与双曲线C相交于A，B两点，是否存在直线l使得点M是弦AB的中点？若存在，求▵OAB的面积.若不存在，请说明理由．
18.(本小题17分)
2026年美加墨世界杯激战正酣.球队甲在备战世界杯期间，球队数据分析师搜集了其他队伍球员的惯用脚以及射门方向偏好的相关数据，抽取惯用脚为左脚和右脚的球员各100人进行数据分析，得到如下2×2列联表：
其中射门方向偏好球门左侧的人数占样本总数的45%，惯用脚为右脚的球员中射门方向偏好球门左侧的有70人．
(1)请根据已知条件将上述2×2列联表补充完整，根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析球员射门方向偏好是否与球员的惯用脚有关联．
(2)学校为了提升学生对足球的兴趣，计划举行足球“班超”联赛，高二1班为了备战“班超”，利用课余时间在A，B两个点位进行射门练习.第一次随机选择一个位置射门，如果在该位置进球，则换到下一个位置继续练习，如果没有进球，则继续在该位置练习，如此循环往复.已知小明在A位置练习进球的概率为0.6，在B位置练习进球的概率为0.3，每次练习是相互独立的．
(ⅰ)求小明第i次在点位A进行射门练习的概率pi．
(ⅱ)由于时间限制，队长规定每个同学在每个点位射门进球1个，则练习结束，每个同学至多进行5次射门练习.设X表示小明结束训练时射门的次数.求X的分布列．
参考公式与相关数据：χ2=nad−bc2a+ba+cb+dc+d．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=ex+ax2−1．
(1)若H(x)=f′(x)，讨论函数H(x)的单调性；
(2)若a=0，证明不等式f(x)≤−2+42−x在[0,1]上恒成立；
(3)若g(x)=f(x)⋅f′(x)，且g(x)在(0,2e)上只有一个零点，求a的取值范围．
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】AC
10.【答案】BCD
11.【答案】ABC
12.【答案】2
13.【答案】x29+y25=1
14.【答案】−∞,−4e32∪−1,0
15.【答案】解：(1)在四棱锥P−ABCD中，由PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
得AB⊥PA，而AB⊥AD，PA∩AD=A,PA,AD⊂平面PAD，则AB⊥平面PAD，
又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．
(2)由PA⊥平面ABCD，AB,AC⊂平面ABCD，得AB⊥PA,AC⊥PA，
则∠BAC是二面角B−PA−C的平面角，由AB⊥AD，BC//AD，得AB⊥BC，
cs∠BAC=ABAC=AB AB2+BC2=22 2= 22，
所以平面PAC与平面PAB夹角的余弦值为 22．

16.【答案】解：(1)设等差数列an的公差为d．
则有a1+3d=2a1+d+14a1+4×32d=42a1+2×12d，解得a1=1d=2,
所以an=1+2n−1，即an=2n−1(n∈N∗)，
在等比数列bn中，bn+1=2Tn+2 ①
当n≥2时，bn=2Tn−1+2 ②
由①−②得：bn+1−bn=2Tn−Tn−1=2bn，
所以bn+1=3bn，即等比数列bn的公比q=3，
在①中令n=1得：b2=2b1+2，即3b1=2b1+2，
所以b1=2，
所以bn=2×3n−1(n∈N∗).
(2)cn=an⋅bn=2n−1×2×3n−1=4n−2⋅3n−1，
则Rn=c1+c2+c3+⋯+cn，
所以Rn=2×30+6×31+10×32+⋯+4n−2⋅3n−1③
3Rn=2×31+6×32+⋯+4n−6⋅3n−1+4n−2⋅3n④
④−③得：2Rn=−2−4⋅3+32+⋯+3n−1+4n−2⋅3n
=−2−4⋅3−3n−1⋅31−3+4n−2⋅3n
=−2−2⋅3n+6+4n−2⋅3n
=4n−4⋅3n+4，
所以Rn=2n−2⋅3n+2．

17.【答案】解：(1)依题意：2a=4，则a=2．
又因为e=ca= 52，所以c= 5．
所以b2=c2−a2=1．
所以双曲线C的方程为x24−y2=1．
(2)存在.如图，设A(x1,y1),B(x2,y2)．
因为A,B为直线l与双曲线C的交点，
所以x124−y12=1①x224−y22=1②,
由①−②得：x12−x224−(y12−y22)=0．
即(x1+x2)(x1−x2)−4(y1+y2)(y1−y2)=0．
因为点M(4,1)是弦AB的中点，所以x1+x2=8,y1+y2=2．
所以kAB=y1−y2x1−x2=1．
此时直线l的方程为y−1=x−4，即x−y−3=0．
联立方程得x−y−3=0x24−y2=1，消去y得：3x2−24x+40=0．
则Δ=−242−4×3×40=96>0，
所以存在直线l:x−y−3=0，使得点M(4,1)是弦AB的中点．
则由韦达定理：x1+x2=8,x1x2=403．
所以AB= 1+k2x1−x2= 1+k2 x1+x22−4x1x2= 1+12⋅ 963=83 3．
点O(0,0)到直线l的距离d=|−3| 12+(−1)2=32 2，
所以S▵OAB=12|AB|d=12×83 3×32 2=2 6．

18.【答案】解：(1)由于射门方向偏好球门左侧的人数占样本总数的45%，故人数为200×45%=90，
由此可得列联表：
零假设：球员射门方向偏好与球员的惯用脚无关联，
则χ2=200×20×30−80×702100×100×90×110≈50.505>10.828，
故依据α=0.001的独立性检验，拒绝原假设，认为球员射门方向偏好与惯用脚有关联．
(2)(ⅰ)第一次随机选位置，故p1=12，
第i次在A射门分两种情况：①第i−1 次在A且未进球，留在A；②第i−1次在B且进球，换去A；
因此递推关系：pi=1−0.6pi−1+0.31−pi−1，即pi=0.1pi−1+0.3，
则pi−13=0.1pi−1−13，故pi−13是以p1−13=16为首项，110为公比的等比数列，
故pi−13=16110i−1，即pi=16110i−1+13；
(ii)X的可能取值为2，3，4，5，分别计算概率：
X=2(两次进球结束)：两次分别在两个位置都进球，
得到PX=2=12×0.6×0.3+12×0.3×0.6=0.18;
X=3(三次结束，第三次进第二个球)：
若A不进→A再进→换到B→B进→结束(共3次)，
概率为12×0.4×0.6×0.3=0.036；
若A进→换到B→B不进→B再进→结束(共3次)，
概率为12×0.6×0.7×0.3=0.063；
若B不进→B再进→换到A→A进→结束，
概率为12×0.7×0.3×0.6=0.063；
若B进→换到A→A不进→A再进→结束(共3次)，
概率为12×0.3×0.4×0.6=0.036；
故P(X=3)=2×(0.036+0.063)=0.198；
X=4：(四次结束，第四次进第二个球)，
起始于A时，A不进→A不进→A进→B进→结束
概率为0.5×0.4×0.4×0.6×0.3=0.0144，
A不进→A进→B不进→B进→结束，
概率为0.5×0.4×0.6×0.7×0.3=0.0252，
A进→B不进→B不进→B进→结束，
概率为0.5×0.6×0.7×0.7×0.3=0.0441，
起始于B，B不进→B不进→B进→A进→结束，
概率为0.5×0.7×0.7×0.3×0.6=0.0441，
B不进→B进→A不进→A进→结束，
概率为0.5×0.7×0.3×0.4×0.6=0.0252，
B进→A不进→A不进→A进→结束，
概率为0.5×0.3×0.4×0.4×0.6=0.0144，
故P(X=4)=0.0144+0.0252+0.0441+0.0441+0.0252+0.0144=0.1674；
X=5(前四次未完成两个进球)：
P(X=5)=1−0.18−0.198−0.1674=0.4546，
因此X的分布列为：

19.【答案】解：(1)函数f(x)=ex+ax2−1的定义域为R，求导得H(x)=f′(x)=ex+2ax，
求导得H′(x)=ex+2a，当a≥0时，H′(x)>0，函数H(x)在R上单调递增；
当a0，且f′(x)=ex+2ax>0，
则g(x)=f(x)⋅f′(x)>0，g(x)在(0,2e)上无零点；
当a0，则f(x)=ex−cx2−1,f′(x)=ex−2cx=2x(ex2x−c)，
由g(x)=0，得f′(x)=0或f(x)=0，
当f′(x)=0时，c=ex2x，令函数φ(x)=ex2x,0