新高考数学一轮复习考点举一反三重难点19 数列的单调性、周期性、最值性质及其应用（专项训练）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习考点举一反三重难点19 数列的单调性、周期性、最值性质及其应用（专项训练）（2份，原卷版+解析版），共6页。

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\l "_Tc11313" 【题型1 数列的单调性及其应用】 PAGEREF _Tc11313 \h 4
\l "_Tc10385" 【题型2 数列的周期性及其应用】 PAGEREF _Tc10385 \h 6
\l "_Tc31061" 【题型3 数列的最大（小）项】 PAGEREF _Tc31061 \h 8
\l "_Tc29132" 【题型4 求数列前n项和Sn的最值】 PAGEREF _Tc29132 \h 10
\l "_Tc21199" 【题型5 定义法求数列的最值】 PAGEREF _Tc21199 \h 12
\l "_Tc28799" 【题型6 函数法求数列的最值】 PAGEREF _Tc28799 \h 15
1、数列的单调性、周期性、最值性质及其应用
数列的性质及其应用是高考的热点问题，也是重点问题，主要包括数列的单调性问题、数列的周期性问题以及数列的最值问题这几类问题.
从近几年的高考情况来看，对数列的性质的考查也是高考的一个重要趋势，所以在高考复习时要注意加强对数列的性质的理解，对数列的几类性质问题学会求解.
知识点1 数列的概念与基本知识
1．数列的定义
一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示⋯⋯第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示.其中第1项也叫做首项.
2．数列的分类
3．数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
4．数列的递推公式
(1)递推公式的概念
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.
(2)对数列递推公式的理解
①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式.
②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式.如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项.
③用递推公式求出一个数列，必须给出：
基础——数列{an}的第1项(或前几项)；
递推关系——数列{an}的任意一项an与它的前一项an-1 ()(或前几项)间的关系，并且这个关系可以用等式来表示.
5．数列表示方法及其比较
6．数列的前n项和
数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作，即.
如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.
=.
知识点2 数列的性质
1．数列的性质
(1)单调性
如果对所有的，都有，那么称数列{an}为递增数列；如果对所有的，都有，那么称数列{an}为递减数列.
(2)周期性
如果对所有的，都有 (k为正整数)，那么称{an}是以k为周期的周期数列.
(3)有界性
如果对所有的，都有，那么称{an}为有界数列，否则称{an}为无界数列.
知识点3 数列的性质有关问题的解题策略
1．数列的单调性的判断方法
(1)作差比较法：
数列{an}是递增数列；数列{an}是递减数列；数列{an}是常数列.
(2)作商比较法：
①当an>0时，数列{an}是递增数列；数列{an}是递减数列；数列{an}是常数列；
②当ana1”是“an为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解题思路】根据递增数列的概念及充分、必要条件的定义判断即可.
【解答过程】递增数列是指一个数列从第二项起，每一项都大于它的前一项，即an+1>ann∈N∗.
若an是摆动数列，可能有a2>a1，但是an不是递增数列，则仅a2>a1不能推出an为递增数列，但an为递增数列可以推出a2>a1.
所以“a2>a1”是“an为递增数列”的必要不充分条件.
故选：B.
【变式1-1】（2025·贵州黔南·三模）数列cn满足cn=an−1,n>2,3−an+2,n≤2n∈N*，若数列cn单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A．2,3B．1,3C．1,2D．2,3
【答案】D
【解题思路】依题意可得a>13−a>0a2>3−a×2+2，解得即可.
【解答过程】因为cn=an−1,n>2,3−an+2,n≤2n∈N*单调递增，所以a>13−a>0a2>3−a×2+2，解得216×4n+(a1−23)⋅(−2)n−1对任意的正整数n都成立．
当n为偶数时，a1>23−13×2n恒成立，由于数列23−13×2n单调递减，
可得23−13×2n≤23−43=−23，则a1>−23；
当n为奇数时，a10,bn2n+1−λ×5n+1，即4×5nλ>2n⇒λ>2n4×5n=14×25n，
令dn=14×25n，即λ>dnmax，
又dn=14×25n是单调递减数列，
所以dnmax=d1=110，
所以λ>110，即λ∈110,+∞.
分类标准
名称
含义
举例
按项的个数
有穷数列
项数有限的数列
1,2,3,…,n
无穷数列
项数无限的数列
1,0,1,0,1,0,…
按项的变化趋势
递增数列
从第2项起，每一项都大于它的前一
项的数列
3,4,5,6,…,n+2
递减数列
从第2项起，每一项都小于它的前一
项的数列
-1,-2,-3,…,-n
常数列
各项相等的数列
0,0,0,0,…
摆动数列
从第2项起，有些项大于它的前一
项，有些项小于它的前一项的数列
1,-2,3,-4,…
优点
缺点
通项公式法
便于求出数列中任意指定的一项，利于对数列性质进行研究
一些数列用通项公式表示比较困难
列表法
内容具体、方法简单，给定项的序号，易得相应项
确切表示一个无穷数列或项数比较多的有穷数列时比较困难
图象法
能直观形象地表示出随着序号的变化，相应项的变化趋势
数列项数较多时用图象表示比较困难
递推公式法
可以揭示数列的一些性质，如前后几项之间的关系
不容易了解数列的全貌，计算也不方便