新高考数学一轮复习(举一反三)重难点题型精练专题2.3 函数的单调性与最值（2份打包，原卷版+解析版）

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1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f (x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f (x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f (x)的单调区间．
2．函数的最值
(1)函数的最大（小）值：

(2)利用函数单调性求最值的常用结论：
①如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增，在区间[b,c]上单调递减，那么函数y=f(x),x[a,c]在x=b处有最大值f(b)，如图(1)所示；
②如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增，那么函数y=f(x), x[a,c]在x=b处有最小值f(b)，如图(2)所示.
【题型1 求函数的单调区间】
确定函数单调性的四种方法：
(1)定义法：利用函数单调性的定义判断．
(2)导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．
(3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
(4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性．
【例1】（2021秋•东海县期中）函数f（x）的单调减区间是（ ）
A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）
C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（﹣∞，0）和（0，+∞）
【变式1-1】（2022春•喀什市校级期末）函数y的单调减区间是（ ）
A．（0，1）B．（0，1）∪（﹣∞，﹣1）
C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，+∞）
【变式1-2】（2021春•资阳期末）函数f（x）x的递增区间为（ ）
A．B．（0，1）C．D．（1，+∞）
【变式1-3】（2021秋•三明期中）函数f（x）＝|x﹣2|•（x﹣4）的单调递减区间是（ ）
A．[2，4]B．[2，3]C．[2，+∞）D．[3，+∞）
【题型2 判断或证明函数的单调性】
【方法点拨】
1.定义法：利用函数单调性的定义讨论函数的单调性.
2.导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．
3.图象法：根据函数解析式画出函数图象，通过函数图象研究单调性.
注：①复合函数单调性的判断方法：根据复合函数的单调性满足“同增异减”，可判断复合函数的单调性；
②抽象函数单调性的判断方法：一种是“凑”，凑定义或凑已知，从而使用定义或已知条件得出结论；另一种是“赋值”，给变量赋值要根据条件与结论的关系，有时可能要进行多次尝试.
【例2】（2022春•昌平区期末）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递减的是（ ）
A．B．C．y＝2xD．y＝lg2x
【变式2-1】（2021春•绵阳期末）下列函数中是减函数且值域为R的是（ ）
A．f（x）B．f（x）＝xC．f（x）＝ln|x|D．f（x）＝﹣x3
【变式2-2】（2022春•开福区校级月考）下列函数在定义域内是增函数的为（ ）
A．B．f（x）＝e﹣x﹣ex
C．f（x）＝lg3|x+1|D．
【变式2-3】（2021秋•青羊区校级月考）给定函数：①，②，③y＝x2﹣4x+1，④y＝2x﹣1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（ ）
A．①③B．③C．②③D．①④
【题型3 利用函数的单调性比较大小】
利用函数的单调性比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数的性质，将
自变量的值转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题通常选用数形结合的方法进行求解.
【例3】（2022春•哈尔滨校级期末）已知函数f（x）＝x3，则a＝f（0.62），b＝f（ln0.6），c＝f（20.6）之间的大小关系是（ ）
A．a＜c＜bB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．b＜a＜c
【变式3-1】（2022春•船山区校级期中）已知函数f（x）满足，对任意x1，x2∈（0，1）有，若△ABC为锐角三角形，则一定成立的是（ ）
A．f（sinA）＞f（csB）B．f（csA）＜f（csB）
C．f（sinA）＜f（csB）D．f（sinA）＞f（sinB）
【变式3-2】（2021秋•营口期末）定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝f（2﹣x），且∀x1，x2∈（1，+∞），当x1≠x2时都有（x1﹣x2）（f（x1）﹣f（x2））＞0，若，b＝f（lg4324），c＝f（22.5），则a、b、c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞cB．c＞a＞bC．c＞b＞aD．b＞c＞a
【变式3-3】（2022•广西模拟）已知f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，对任意两个不相等的正数x1，x2，都有．记，则（ ）
A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．c＜a＜bD．c＜b＜a
【题型4 利用函数的单调性解不等式】
根据题目条件，确定函数的单调性，利用函数的单调性将“f”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．
【例4】（2022春•玉溪月考）已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的减函数，且f（2a﹣3）＜f（a﹣2），则实数a的取值范围是（ ）
A．（1，2]B．（1，3]C．（1，4]D．（1，+∞）
【变式4-1】（2022•陕西模拟）已知函数y＝f（x）在R上单调递减，令g（x）＝f（x）﹣x，若g（t）＜g（4﹣t），则实数t的取值范围为（ ）
A．（1，+∞）B．（﹣∞，1）C．（2，+∞）D．（﹣∞，2）
【变式4-2】（2021秋•潍坊月考）已知函数f（x）的定义域为R，其图像关于y轴对称，且f（x）在（﹣∞，0]上单调递增，若f（3a﹣2）＞f（2a），则实数a的取值范围是（ ）
A．或B．或a＞2C．D．
【变式4-3】（2021秋•西固区校级期末）定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈[0，+∞），（x1≠x2），有，且f（2）＝0，则不等式xf（x）＜0的解集是（ ）
A．（﹣2，2）B．（﹣2，0）∪（2，+∞）
C．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
【题型5 利用函数的单调性求参数】
①已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数.
②借助常见函数(如一次函数、反比例函数、二次函数等)的单调性求解.
③需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．
④分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．
【例5】（2021秋•怀仁市校级月考）若函数y＝x2+2mx+1在[2，+∞）上单调递增，则实数m的取值范围是（ ）
A．[﹣2，+∞）B．[2，+∞）C．（﹣∞，2）D．（﹣∞，2]
【变式5-1】（2021秋•河西区期末）若函数f（x）在区间（﹣2，+∞）上单调递增，则实数k的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1）B．{﹣2}C．（﹣∞，﹣2]D．（﹣∞，﹣2）
【变式5-2】（2022•凌源市开学）若函数在R上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．（1，2）C．D．
【变式5-3】（2022•泸州模拟）已知函数在定义域上是增函数，则k的取值范围是（ ）
A．（3，+∞）B．[3，+∞）C．（1，+∞）D．[1，+∞）
【题型6 求函数的最值】
【方法点拨】
1.配方法，主要适用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围；
2.换元法，用换元法时一定要注意新元的取值范围；
3.数形结合法，对于图象较容易画出的函数的最值问题，可借助图象直观求出；
4.利用函数的单调性，要注意函数的单调性对函数最值的影响，特别是闭区间上函数的最值.
【例6】（2022春•成都期末）下列函数中，最小值为2的函数是（ ）
A．B．y＝x2﹣2x+2
C．D．y
【变式6-1】（2022春•铜鼓县校级期末）若函数，则函数g（x）＝f（x）﹣4x的最小值为（ ）
A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣4
【变式6-2】（2022春•阎良区期末）设函数在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M，m，则M+m＝（ ）
A．4B．6C．10D．24
【变式6-3】（2022春•贾汪区校级月考）函数f（x）＝（x2+2x）（x2+ax+b）满足：对∀x∈R，都有f（1+x）＝f（1﹣x），则函数f（x）的最小值为（ ）
A．﹣20B．﹣16C．﹣15D．0增函数
减函数
定义
一般地，设函数f (x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1当x1f (x2)，那么就说函数f (x)在区间D上是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的