新高考数学一轮复习考点举一反三重难点21 数列中的新定义、新情景问题（专项训练）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习考点举一反三重难点21 数列中的新定义、新情景问题（专项训练）（2份，原卷版+解析版），共6页。

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\l "_Tc11831" 【题型1 数列中的新概念】 PAGEREF _Tc11831 \h 2
\l "_Tc22942" 【题型2 数列中的新运算】 PAGEREF _Tc22942 \h 3
\l "_Tc12547" 【题型3 数列中的新情景问题】 PAGEREF _Tc12547 \h 4
\l "_Tc22963" 【题型4 斐波那契数列】 PAGEREF _Tc22963 \h 5
\l "_Tc24568" 【题型5 牛顿数列问题】 PAGEREF _Tc24568 \h 6
\l "_Tc25949" 【题型6 以数列和项与通项关系定义新数列】 PAGEREF _Tc25949 \h 7
\l "_Tc262" 【题型7 数列定义新性质问题】 PAGEREF _Tc262 \h 8
\l "_Tc3377" 【题型8 数列中的其他新定义问题】 PAGEREF _Tc3377 \h 9
1、数列中的新定义、新情景问题
数列是高考的重点和热点内容，属于高考的必考内容之一.从近几年的高考情况来看，高考压轴题中出现数列的新定义、新情景问题是高考的一个重要趋势，我们总能在试卷的压轴题位置发现新定义数列题的身影，它们对数列综合问题的考查常常以新定义、新构造和新情景形式呈现，这类问题综合性强，有时还伴随着集合、导数以及平面解析几何等内容，难度较大，需要灵活求解.
知识点1 数列中的新概念
1．数列中的新概念问题的解题策略：
通过创新概念，以集合、函数、数列等的常规知识为问题背景，直接利用创新概念的内涵来构造相应的关系式(或不等式等)，结合相关知识中的性质、公式来综合与应用.
知识点2 数列中的新定义、新情景问题
1．数列中的新定义问题的求解策略
(1)新定义问题：通过给定的与数列有关的新定义，或约定的一种新运算，或给出的由几个新模型来创设的新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题设所提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.
(2)求解策略：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的
要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决.
(3)求解新定义的数列，可以类比“熟悉数列”的研究方式，用特殊化的方法研究新数列，向“熟悉数列”的性质靠拢.
2．数列中的新情景问题的求解策略
新情景问题：通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.
知识点3 斐波那契数列
1．斐波那契数列的概念
把这个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，...称为斐波那契数列，一般记为{Fn}.
2．斐波那契数列的递推公式
递推公式：.
3．斐波那契数列的通项公式
通项公式：.
【题型1 数列中的新概念】
【例1】（2025·四川南充·三模）对于数列an，规定Δan为数列an的一阶差分，其中Δan=an+1−ann∈N*，规定Δkan为数列an的k阶差分，其中Δkan=Δk−1an+1−Δk−1ann∈N*．若an=n(n−1)(2n−1)6，则Δ2a6=（ ）
A．7B．9C．11D．13
【变式1-1】（2025·全国·模拟预测）将正整数n分解为两个正整数k1，k2的积，即n=k1k2，当k1，k2两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如12=1×12=2×6=3×4，其中3×4即为12的最优分解，当k1，k2是n的最优分解时，定义fn=k1−k2，则数列f2n的前2024项的和为（ ）
A．21011−1B．21011C．21012−1D．21012
【变式1-2】（2025·湖北武汉·三模）将1,2,⋅⋅⋅,n按照某种顺序排成一列得到数列an，对任意1≤iaj，那么称数对ai,aj构成数列an的一个逆序对.若n=4，则恰有2个逆序对的数列an的个数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【变式1-3】（2025·河南·模拟预测）我们把由0和1组成的数列称为0−1数列，0−1数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛应用，把斐波那契数列Fn（F1=F2=1，Fn+2=Fn+Fn+1）中的奇数换成0，偶数换成1可得到0−1数列an，若数列an的前n项和为Sn，且Sk=100，则k的值可能是（ ）
A．100B．201C．302D．399
【题型2 数列中的新运算】
【例2】（2025·天津和平·三模）定义新运算：abcd=ad−bc，已知数列ann∈N*满足a1=−14，an+112an2=10n，则a10=（ ）
A．239B．225C．211D．261
【变式2-1】（2025·天津·模拟预测）数列an各项均为实数，对任意n∈N∗满足an+3=an，定义：行列式abcd=ad−bc且行列式anan+1an+2an+3=c为定值，则下列选项中不可能的是（ ）
A．a1=1，c=1B．a1=2，c=2
C．a1=1，c=0D．a1=2，c=0
【变式2-2】（2025·广东揭阳·二模）已知数列an中每一项ai∈0,1（其中i=1,2,⋯,m，m∈N*）构成m数组A= a1,a2,⋯,am.定义运算S如下：SA=b1,b2,b3,b4,⋯,b2m−1,b2m，其中当ai=0时，b2i−1=1，b2i=0；当ai=1时，b2i−1=0，b2i=1i=1,2,⋯,m；用SnA表示n层嵌套运算SS⋯SA⋯，n∈N*.现取A=0,1，记SnA中相邻两项组成的数对ai,ai+1满足ai=ai+1=1的数对个数为Bn.
(1)写出SA，S2A，以及B1，B2；
(2)证明：数列Bn+2−Bn是等比数列；
(3)若Cn=3Bn+12，证明：对任意的n∈N*都有1C1+1C2+1C3+1C4+⋯+1Cn66且该数列的第N项为2的整数幂减1，那么该款软件的激活码是（ ）
A．87B．94C．101D．108
【题型4 斐波那契数列】
【例4】（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）斐波那契数列，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多・斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称“兔子数列”，其数值为：1、1、2、3、5、8、13、21、34……，在数学上，这一数列以如下递推的方法定义：F1=1，Fn=Fn−1+Fn−2n≥3,n∈N∗，记此数列为an，则a2019+a2020+a2022+a2024等于（ ）
A．a2023B．a2024C．a2025D．a2026
【变式4-1】（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列an：1，1，2，3，5，8…，其中从第3项起，每一项都等于它前面两项之和，即a1=a2=1，an+2=an+1+an，这样的数列称为“斐波那契数列”.若am=2a3+a6+a9+⋯+a174+1，则m=（ ）
A．175B．176C．177D．178
【变式4-2】（2025·广东·一模）斐波那契数列因数学家斐波那契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”.这一数列如下定义：设an为斐波那契数列，a1=1，a2=1，an=an−1+an−2n≥3,n∈N∗，其通项公式为an=151+52n−1−52n，设n是lg21+5x−1−5x