新高考数学一轮复习考点举一反三重难点17 平面向量中的四心问题与奔驰定理（专项训练）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习考点举一反三重难点17 平面向量中的四心问题与奔驰定理（专项训练）（2份，原卷版+解析版），共6页。

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\l "_Tc23333" 【题型1 重心问题】 PAGEREF _Tc23333 \h 3
\l "_Tc10805" 【题型2 垂心问题】 PAGEREF _Tc10805 \h 3
\l "_Tc29329" 【题型3 内心问题】 PAGEREF _Tc29329 \h 4
\l "_Tc3782" 【题型4 外心问题】 PAGEREF _Tc3782 \h 5
\l "_Tc22650" 【题型5 奔驰定理】 PAGEREF _Tc22650 \h 5
1、平面向量中的四心问题与奔驰定理
三角形中的四心问题是平面向量中的重要问题，包括：重心问题、垂心问题、内心问题和外心问题四大类型，是高考的重点、热点内容，在高考复习中，对于四心问题要学会灵活求解.
奔驰定理是平面向量中的重要定理，这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题有着重要作用，在高考复习中，要掌握奔驰定理并能灵活运用和求解.
知识点1 四心问题
1．三角形的重心及向量表示
(1)重心的概念：三角形各边中线的交点叫做重心，重心将中线长度分成2:1.
(2)重心的向量表示：如图，在△ABC中，点P为△ABC重心.
(3)重心坐标公式：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，则△ABC的重心坐标为P.
2．三角形的垂心及向量表示
(1)垂心的概念：三角形各边上高线的交点叫做垂心.
(2)垂心的向量表示：如图，在△ABC中，点P为△ABC垂心.
3．三角形的内心及向量表示
(1)内心的概念：三角形各角平分线的交点叫做内心，内心也为三角形内切圆的圆心.
(2)内心的向量表示：如图，在△ABC中，三角形的内心在向量所在的直线上，点P为△ABC内心.
4．三角形的外心及向量表示
(1)外心的概念：三角形各边中垂线的交点叫做外心，外心也为外接圆的圆心，外心到三角形各顶点的距离相等.
(2)外心的向量表示：如图，在△ABC中，点P为△ABC外心.
知识点2 奔驰定理
1．奔驰定理
如图，已知P为△ABC内一点，且满足，则有△APB、△APC、△BPC的面积之比为.
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，所以我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.
2．三角形的四心与奔驰定理的关系
(1)O是△ABC的重心：.
(2)O是△ABC的垂心：.
(3)O是△ABC的内心：.
(4)O是△ABC的外心：.
【题型1 重心问题】
【例1】（2025·吉林·二模）在△ABC中，点D为AB的中点，点O为△ABC的重心，则OA+OB=（ ）
A．COB．ODC．2COD．2DO
【变式1-1】（2025·全国·二模）点O,P是△ABC所在平面内两个不同的点，满足OP=OA+OB+OC，则直线OP经过△ABC的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
【变式1-2】（2025·重庆·模拟预测）已知点G是△ABC的重心，点M是线段AC的中点，若GM=λAB+μAC，则λ+μ=（ ）
A．112B．16C．−16D．−112
【变式1-3】（2025高一·全国·专题练习）已知△ABC，O为平面内任意一点，动点P满足5OP=2+λOA+2+λOB+1−2λOC，则点P的轨迹一定经过（ ）
A．△ABC的内心B．△ABC的垂心
C．△ABC的重心D．△ABC的外心
【题型2 垂心问题】
【例2】（25-26高一·全国·假期作业）如图，已知O是△ABC的垂心，且OA+2OB+4OC=0，则csB=（ ）
A．23B．13C．23D．33
【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）已知平面上四个点A,B,C,D，其中任意三个不共线．若AB⋅AD=AC⋅AD，则直线AD一定经过三角形ABC的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【变式2-2】（2025高一·全国·专题练习）已知O为△ABC所在平面内一点，动点H满足：OH=OA+λABAB2sin2B+ACAC2sin2C，其中λ∈0,+∞，则动点H的轨迹一定通过△ABC的（ ）．
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【变式2-3】（2025高三下·全国·专题练习）如图，已知O是△ABC的垂心，且OA+2OB+3OC=0，则tan∠BAC:tan∠ABC:tan∠ACB等于（ ）
A．1:2:3B．1:2:4
C．2:3:4D．2:3:6
【题型3 内心问题】
【例3】（2025·四川南充·三模）已知点P在△ABC所在平面内，若PA⋅(AC|AC|−AB|AB|)=PB⋅(BC|BC|−BA|BA|)=0，则点P是△ABC的（ ）
A．外心B．垂心C．重心D．内心
【变式3-1】（24-25高一下·山东菏泽·期中）已知O为△ABC的内心，三个角对应的边分别为a,b,ca，b，c，已知a=3，b=23，c=5，则BO⋅AC=（ ）
A．6−7B．−2C．23−8D．32−9
【变式3-2】（2025高三·全国·专题练习）在△ABC中， 若I是△ABC的内心，AI的延长线交BC于D， 则有ABAC=BDDC称之为三角形的内角平分线定理， 现已知AC=2，BC=3，AB=4且AI=xAB+yAC， 则实数x+y=（ ）
A．1B．13C．23D．2
【变式3-3】（24-25高一下·河南南阳·期中）在△ABC中，若OQ=OA+λABAB+ACAC，λ∈0,+∞，则Q点的轨迹必经过△ABC的（ ）
A．内心B．外心C．重心D．垂心
【题型4 外心问题】
【例4】（2025·新疆·一模）已知平面向量 OA，OB满足OA=OB=2，OA⋅OB=−2，点D满足DA=2OD，E为△AOB的外心，则OB⋅ED的值为（ ）
A．−163B．−83C．83D．163
【变式4-1】（2025·广东佛山·一模）在△ABC中，设AC2−AB2=2AM⋅AC−AB，那么动点M的轨迹必通过△ABC的（ ）
A．垂心B．内心C．重心D．外心
【变式4-2】（2025高三·全国·专题练习）设P是△ABC所在平面内的一点，若AB⋅(CB+CA)=2AB⋅CP，且|AP|=|CP|，则点P是△ABC的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【变式4-3】（2025高三·全国·专题练习）设O为△ABC的外心，且满足2OA+3OB+4OC=0，OA=1，则下列结论中正确结论的个数为（ ）
①OB⋅OC=−78；②AB=62；③cs2∠BAC=−72cs2∠ACB．
A．3B．2C．1D．0
【题型5 奔驰定理】
【例5】（24-25高一下·湖北武汉·期末）奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，若△BOC、△AOC、△AOB的面积分别记为S1、S2、S3，则S1⋅OA+S2⋅OB+S3⋅OC=0.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知O是△ABC的垂心，且2OA+3OB+4OC=0，则tanA=（ ）
A．64B．62C．364D．6
【变式5-1】（2025·安徽·三模）平面上有△ABC及其内一点O，构成如图所示图形，若将△OAB，△OBC，△OCA的面积分别记作Sc，Sa，Sb，则有关系式Sa⋅OA+Sb⋅OB+Sc⋅OC=0．因图形和奔驰车的lg很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足a⋅OA+b⋅OB+c⋅OC=0，则O为△ABC的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【变式5-2】（24-25高一下·河南·期末）已知O是△ABC内的一点，若△BOC,△AOC,△AOB的面积分别记为S1,S2,S3，则S1⋅OA+S2⋅OB+S3⋅OC=0.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知O是△ABC的垂心，且OA+2OB+3OC=0，则tan∠BAC:tan∠ABC:tan∠ACB=（ ）
A．1:2:3B．1:2:4C．2:3:4D．2:3:6
【变式5-3】（24-25高三上·河南南阳·期中）奔驰定理：已知O是ΔABC内的一点，ΔBOC，ΔAOC，ΔAOB的面积分别为SA，SB，SC，则SA⋅OA+SB⋅OB+SC⋅OC=0．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz）的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若O是锐角ΔABC内的一点，A，B，C是ΔABC的三个内角，且点O满足OA⋅OB=OB⋅OC=OC⋅OA，则必有（ ）
A．sinA⋅OA+sinB⋅OB+sinC⋅OC=0
B．csA⋅OA+csB⋅OB+csC⋅OC=0
C．tanA⋅OA+tanB⋅OB+tanC⋅OC=0
D．sin2A⋅OA+sin2B⋅OB+sin2C⋅OC=0
一、单选题
1．（2025高三·全国·专题练习）已知点O是非等边△ABC的外心，P是平面ABC内的一点且OA+OB+OC=OP，则P是△ABC的（ ）
A．垂心B．重心C．内心D．外心
2．（2025高一·全国·专题练习）已知O为△ABC所在平面内一点，若tanA×OA+tanB×OB+tanC×OC=0，则点O是△ABC的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
3．（24-25高一下·河北·期中）平面向量中有一个非常优美的结论：已知O为△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，则SA⋅OA+SB⋅OB+SC⋅OC=0．因其几何表示酷似奔驰的标志，所以称为“奔驰定理”．已知O为△ABC的内心，三个角对应的边分别为a，b，c，已知a=3，b=23，c=5，则BO⋅AC=（ ）
A．23−8B．−2C．6−7D．32−9
4．（24-25高一下·河南南阳·期末）已知在△ABC中，AB=BC=3,AC边上的高为5,O是△ABC的内心，若AO=mAB+nAC (m,n∈R)，则nm=（ ）
A．34B．53C．43D．35
5．（24-25高一下·广东东莞·期中）点O,N,P,Q在△ABC所在平面内，满足OA=OB=OC，NA+NB+NC=0，PA⋅PB=PB⋅PC=PC⋅PA，QA⋅ACAC−ABAB=QB⋅BCBC−BABA=0.则点O,N,P,Q依次为△ABC的（ ）
A．重心、外心、内心、垂心B．外心、重心、内心、垂心
C．重心、垂心、外心、内心D．外心、重心、垂心、内心
6．（24-25高一下·甘肃·期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知M是△ABC内一点，△BMC，△AMC，△AMB的面积分别为SA，SB，SC，且SA⋅MA+SB⋅MB+SC⋅MC=0→.若M为△ABC的垂心，3MA+4MB+5MC=0→，则cs∠AMB=（ ）

A．−63B．−66C．66D．63
7．（24-25高一下·安徽马鞍山·阶段练习）在△ABC中，AB=AC=5,BC=8,P为△ABC内的一点，AP=xAB+yAC，则下列说法正确的是（ ）
A．若P为△ABC的重心，则2x+y=23B．若P为△ABC的外心，则PB⋅BC=32
C．若P为△ABC的垂心，则x+y=−79D．若P为△ABC的内心，则x+y=58
8．（24-25高一下·上海青浦·期末）已知D为△ABC所在平面内的一点，则下列命题中正确的个数为（ ）
①若DA+DB+DC=0，则D为△ABC内心
②若ABAB+ACAC⋅BC=0，则△ABC为等腰三角形
③若DA⋅DB=DB⋅DC=DC⋅DA，则D为△ABC的外心
④若AD=λABABsinB+ACACsinCλ∈R，则点D的轨迹一定经过△ABC的重心
A．1B．2C．3D．4
二、多选题
9．（24-25高一下·湖北·阶段练习）已知O，H在△ABC所在平面内OA=OB=OC=3，HA⋅HB=HB⋅HC=HC⋅HA，OH=1，记BC=a，CA=b，AB=c，则下列说法正确的是（ ）
A．O为△ABC的外心B．H为△ABC的内心
C．OH=OA+OB+OCD．a2+b2+c2=81
10．（24-25高一下·江苏常州·期中）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”：已知M是△ABC内一点，△BMC,△AMC,△AMB的面积分别为SA,SB,SC，且SA⋅MA+SB⋅MB+SC⋅MC=0.则下列说法正确的是（ ）
A．若SA:SB:SC=1:1:1，则M为△ABC的重心
B．若SA:SB:SC=1:2:3，则AM=13AB+12AC
C．若AM=14AB+13AC，则SAS△ABC=13
D．若M为△ABC的内心，且3MA+4MB+5MC=0，则csC=56
11．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）已知△ABC的外心为O，垂心为H，则下列说法正确的是（ ）
A．若OA=OB=OC=1，且4OA+3OB+2OC=0，则OA⋅OC=−1116
B．若∠B=2π3, OB=mOA+nOC，则m+n的取值范围为1, 2
C．AH与ABABcsB+ACACcsC不共线
D．若2HA+3HB+4HC=0，则cs∠AHB=−77
三、填空题
12．（24-25高三上·天津河北·期中）已知△ABC中，点G,O分别是△ABC的重心和外心，且AG⋅AO=4,AG=2，则边BC的长为 .
13．（24-25高一下·广东茂名·期末）如图，P为△ABC的内心，cs∠BAC=15，△BPC、△APC、△APB的面积分别为SA、SB、SC，且SA⋅PA+SB⋅PB+SC⋅PC=0.若AP=xAB+yAC，则x+y的最大值为
.
14．（24-25高二上·四川广安·开学考试）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedes-Benz）的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理）．“奔驰定理”的内容如下：如图，已知O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，则SA⋅OA+SB⋅OB+SC⋅OC=0．若O是锐角△ABC内的一点，A，B，C是△ABC的三个内角，且O点满足OA⋅OB=OB⋅OC=OC⋅OA，则下列说法正确的是 （填序号）.

①O是△ABC的垂心；②∠BOC+A