新高考数学一轮复习题型分类讲练6.5 外接球与内切球（精练）（题组版）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习题型分类讲练6.5 外接球与内切球（精练）（题组版）（2份，原卷版+解析版），共3页。试卷主要包含了汉堡模型，斗笠模型，切瓜模型，怀表模型，矩形模型，折叠模型，台体的外接球，向量法求外接球等内容，欢迎下载使用。
1．（2025·重庆·模拟预测）若高为1的正三棱柱的顶点都在半径为1的球面上，则该正三棱柱的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意可知球的半径，
因为正三棱柱的高为，则球心到三棱柱底面的距离，
根据球的截面圆的性质，可得，即，解得，
棱柱底面与球的截面圆的半径，
三棱柱的底面三角形为截面圆内接正三角形，可得三角形的边长为，
所以三角形的面积为，
该棱柱的体积为.
故选：B.
2．（25-26高三上·河北·开学考试）在三棱锥中，平面，，，，则该三棱锥外接球的表面积为
【答案】
【解析】在底面中，，，
由余弦定理，可得，
设的外接圆圆心为，半径为，三棱锥外接球的球心为，半径为，
在中，由正弦定理可得，解得，
因为平面，平面，且球心到点的距离相等，
所以球心到底面的距离为，
在中，，
故该三棱锥外接球的表面积为，
故答案为：
3．（2025·安徽合肥·三模）在棱长为的正方体中，是的中点，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
如图为的中点，
，
平面，平面，
，，平面，
平面，
正方体的棱长为，
，，，
，
，
的外接圆半径为，
所求问题等价于求以为半径的底面圆，高为的圆柱的外接球表面积，
设圆柱的外接球半径为，则，
三棱锥的外接球的表面积为，
故选：C．
4．（2025·甘肃白银·三模）如图，在三棱锥中，平面ABC，，D，E，F分别是棱PB，PC，BC的中点，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
设棱的中点分别为，连接，
构造长方体，则长方体外接球的表面积
即为三棱锥外接球的表面积．依题意，，
设长方体外接球的半径为R，则，
所以其外接球的表面积．
故选：B
5．（2025·河南·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，则四棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】方法一、连接，设的中点为，
因为平面，平面，所以，，
因为，所以平面，所以平面，故，同理，，又，
所以均以为斜边的直角三角形，
，
故为的外接球的球心，为外接球的直径，
由，得，
又为四边形外接圆的直径：，
设四棱锥的外接球的半径为，
则，解得.
故四棱锥外接球的表面积为.
方法二、连接，设的中点为，过作直线平面，
，是的公共斜边，
即是四边形的外接圆圆心，
所以直线上的点到点的距离相等，
故球心一定在直线上，即平面，
现只要保证到点的距离也相等即可，
即球心也在的垂直平分线上，设中点为，即，
,,
（为底面外接圆半径），
平面，平面，，
又，所以四边形为矩形，，
所以四棱锥外接球半径
即四棱锥外接球的表面积为.
故选：D.
6．（2025·江西·模拟预测）已知正六棱柱的体积为，，则该正六棱柱外接球的表面积为 .
【答案】
【解析】设正六边形，的中心分别为，，连接，
则正六棱柱外接球的球心为的中点，
该正六棱柱的外接球的半径为，
因为正六棱柱的体积为，，
所以，解得，又，
所以，从而.
故答案为：.
7．（23-24 天津·期末）所有棱长均为2的正三棱柱，它的顶点均在球的表面上，则球的表面积为 .
【答案】/
【解析】设正三棱柱上、下底面的外接圆的圆心分别为，
如图，连接，则为的中点，连接，
则为球的半径，设圆的半径为，
在中，由正弦定理得，解得，
又，所以，
所以球的表面积为.
故答案为：
题组二 墙角模型
1．（2025北京）球面上有四个点，若两两垂直，且，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意可知，该球是一个棱长为4的正方体的外接球，
设球的半径为，由题意可得：,据此可得：，外接球的表面积为：.本题选择D选项.
2．（2025海南）棱长为的正四面体的外接球体积为___________.
【答案】
【解析】如图，棱长为的正四面体可以嵌入到棱长为的立方体中，所以正四面体的外接球与所嵌入的立方体的外接球相同.
设立方体的外接球半径为，则，
所以立方体外接球的体积.
故正四面体的外接球体积为.
故答案为：
3．（2025广东）在三棱锥中，已知，，两两垂直，且，，，则三棱锥的外接球的表面积为
【答案】
【解析】以线段PA，PB，PC为相邻三条棱的长方体被平面ABC所截的三棱锥符合要求，如图：
长方体与三棱锥有相同外接球，其外接球直径为长方体体对角线长，
设外接球的半径为，则，
则所求表面积.
4．（2025安徽）已知正四棱柱(底面为正方形且侧棱与底面垂直的棱柱)的底面边长为3，侧棱长为4，则其外接球的表面积为
【答案】
【解析】正四棱柱即长方体，其体对角线长为，
因此其外接球的半径为，则其表面积为，故选:B.
题组三 斗笠模型
1．（2025·河南·三模）已知圆锥的母线长为，侧面展开图的面积为，则该圆锥的外接球的表面积为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】若圆锥底面半径为，则，可得，故圆锥的高，
若圆锥外接球的半径为，则球心到圆锥底面距离，
所以，即，可得，
故外接球的表面积为.
故选：A
2．（2025·重庆·三模）已知某圆锥的外接球的体积为，若球心到该圆锥底面的距离为，则该圆锥体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设圆锥的外接球半径为，则，解得，
所以，圆锥的底面半径为，
所以，当圆锥的高为时，圆锥的体积最大，
且其最大值为.
故选：B.
3．（2025·江苏南通·模拟预测）已知正六棱锥的底面边长为2，且其侧面积是底面积的2倍，则此正六棱锥的外接球的表面积为 .
【答案】
【解析】根据题意可得底面为正六边形的边长为，
所以底面积为,
设侧面积的三角形的高为，则侧面积，故，
设正六棱锥的高为，则，
设正六棱锥的外接球的半径为,
则,解得,
所以正六棱锥的外接球的表面积.

故答案为：.
4．（2025广西）已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O的球面上，圆锥的母线长为3，侧面展开图的面积为，则球O的表面积等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设底面半径为，圆锥母线为，所以，所以，
如图，是圆锥轴截面，外接圆是球的大圆，是圆锥底面的圆心，
设球半径为，则，，所以，
如图1，，即，
解得，不符合题意，
当为如图2时，即，
解得，所以球表面积为．
故选：A．
5．（2025云南）已知一个圆锥的底面圆面积为，侧面展开图是半圆，则其外接球的表面积等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设圆锥的底面圆半径为，高为，母线长为，圆锥的外接球半径为，
则，可得，
由于圆锥的侧面展开图是半圆，则，可得，，
由圆锥的几何特征可知，圆锥的外接球心在圆锥的轴上，
所以，，解得,
因此，该圆锥的外接球的表面积为.
故选：B.
6．（2025·宁夏银川·三模）一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，该圆锥的顶点和底面圆周都在同一个球面上，则该球的表面积为 .
【答案】/
【解析】由题意，圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，如图1所示，
则，圆的周长，则，
所以，
又，，，
所以，即，解得，
即球体的半径为，所以其表面积为.
故答案为：.
题组四 切瓜模型
1．（2025·河北秦皇岛·三模）如图，在四面体中，平面平面，侧面是等边三角形，底面是等腰直角三角形，，则四面体的外接球的体积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
因为是等腰直角三角形，，，
则的外接圆半径，
因为侧面是等边三角形，设其外接圆半径为，
由正弦定理可得，解得，
设外接圆圆心为，外接圆的圆心为，
因为平面平面，
过作平面的垂线，过作平面的垂线，
两垂线的交点即为四面体外接球的球心，
设球心到平面的距离为，则等于的外接圆的圆心到的距离，
在等边三角形中，到的距离为，即，
所以外接球的半径，
所以.
故选：C
2．（2025甘肃）如图所示，在三棱锥中，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设中点为，连接，
因为是以为斜边的等腰直角三角形，
所以，，
过点作，
因为平面平面，平面平面
所以平面，平面，
所以三棱锥的外接球的球心在上，设外接球的半径为，
则由得，由得，
又因为，
所以为等腰直角三角形，
设球心为，中点为，连接，
则，
所以，
即，解得，
所以三棱锥的外接球的表面积为.
故选：B
3.（2025上海）已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，平面平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图所示：
取的中点，连接，则.
因为为直角三角形，所以其外接圆圆心为的中点，
设四面体的外接球球心为，则平面，易知点，点位于平面同侧，
又因为平面，所以，连接，，
故四边形为直角梯形，过作于点，则四边形为矩形，连接，
设四面体的外接球的半径为，.
在中，，，
所以，.
在中，，
所以，①
在中，，
在直角梯形中，，，.
在中，，即.②
解①②组成的方程组，得，
所以，解得(负值舍去).
所以四面体的外接球的表面积.
故选：C
题组五 怀表模型
1．（2025江苏）四边形ABDC是菱形，，，沿对角线BC翻折后，二面角A-BD-C的余弦值为，则三棱锥D-ABC的外接球的体积为_____.
【答案】
【解析】如图，取的中点为，连接AM,DM,则 ,
则二面角的平面角为，，
由四边形ABDC是菱形，可知为正三角形，
设球心在平面内的射影为，在平面内的射影为，
则为的中心，
所以，，，
由于二面角A-BD-C的余弦值为，
故设，则， ，
故，则，
，球的半径，
所求外接球的体积为，
故答案为：．
2．（2025河北）如图，在三棱锥中，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图1，过作垂足为，取的中点，连接
过作∥,且=，连接，则
∵△为等边三角形，则
∴，，根据题意可得
∵，则
由题意可得，则，则
如图2，∵，则顶点在平面的投影为△的外接圆圆心，则三棱锥的外接球的球心在直线上，连接
，则
∴△的外接圆半径，则
设棱锥的外接球的半径为，则
即，解得
三棱锥的外接球的表面积为
故选：D．
3.（2025湖北）在边长为6的菱形ABCD中，，现将沿BD折起到的位置，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．60πB．45πC．30πD．20π
【答案】A
【解析】当三棱锥的体积最大值时，平面平面，如图，
取的中点为，连接，则.
设分别为，外接圆的圆心，
为三棱锥的外接球的球心，
则在上，在上，且,
且平面，平面.
平面平面，平面平面，
平面，
平面，，同理
四边形为平行四边形
平面，平面
，即四边形为矩形.


外接球半径
外接球的表面积为
故选：A.
题组六 矩形模型
1．（24-25陕西宝鸡）将边长为的正方形沿对角线折成一个直二面角，则四面体的外接球的表面积为（ ）
A．4πB．6πC．8πD．12π
【答案】A
【解析】令正方形对角线交点为，在四面体中，，
因此四面体的外接球的球心点为，半径为1，
所以四面体的外接球的表面积为.
故选：A
2．（2025.江西）在矩形中，，沿对角线进行翻折，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为在翻折过程中，始终不变，
所以的中点到，，，四点的距离始终相等，三棱锥外接球的直径为，
所以外接球的表面积为，故选：D
3．（2025·天津河）将长、宽分别为和的长方形沿对角线折成直二面角，得到四面体，则四面体的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】取的中点，连接、，如下图所示：
由题意，
因为，为的中点，所以，，
所以，为四面体的外接球的球心，且球的半径为，
因此，四面体的外接球的表面积为.故选：A.
4．（2025·四川）中国古代数学家刘徽所注释的《九章算术》中，称四个面均为直角三角形的四面体为“鳖臑”.如图所示的鳖臑中，面，，若，，且顶点均在球上，则球的表面积为______.
【答案】
【解析】由题意可知：球为鳖臑的外接球，
面，面，，，
又，面，，面，
又面，；
取中点，连接，
，，同理可知：，
点与球的球心重合，球的半径，
球的表面积.故答案为：.
5．（24-25高二下·广东广州·期末）将边长为4的正方形沿对角线进行翻折，使得二面角的大小为120°，连接，得到三棱锥，则此三棱锥的体积与它的外接球体积之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设正方形的对角线交点为，
则，，
翻折后所得图形如下图所示，

则的中点为球心，
故该四面体的外接球体积，
由于二面角的大小为120°，，则，且，
所以四面体的体积，
故此三棱锥的体积与它的外接球体积之比为．
故选：D．
题组七 折叠模型
1．（2025高三·全国·专题练习）在边长为4的等边三角形中，是的中点，将沿中线折起，得到三棱锥，若二面角的大小为120°，则三棱锥外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图，设的中点分别为，连接，
则，，因为等边三角形中，是的中点，将沿中线折起，
所以，进而，所以为二面角的平面角，故．
因为，都是直角三角形，记三棱锥外接球的球心为，连接，
因为为的中点，则，
又，，所以平面，所以，
又，，所以平面，所以，
同理得，
由，可知，且，所以平分，
因为，，所以，在中，，，
所以，即三棱锥外接球半径为．
所以所求体积为．
故选：C.
2．（25-26高三上·湖南永州·开学考试）已知是边长为8的正三角形，是的中点，沿将折起使得二面角为，则三棱锥外接球的表面积为 ．
【答案】
【解析】在三棱锥中，平面，
所以即为二面角的平面角，
由二面角为，可知；
又，所以是边长为4的正三角形，
令其外接圆圆心为，则，
令三棱锥外接球的球心为，球半径为，如下图所示：

则平面，即有，显然球心在线段的中垂面上，
令线段的中垂面交于，
则，显然，于是，四边形是平行四边形，且是矩形，
而，因此，
所以三棱锥外接球的表面积.
故答案为：
3．（24-25 河南信阳·期末）在四棱锥中，平面平面，，，，，，若二面角为，则四棱锥外接球的表面积为 ．
【答案】/
【解析】分别取，的中点，，连接，，，
，，因为平面平面，
平面平面，平面，所以平面，
因为平面，．在中，，，，
，所以，，．
因为点，分别为，的中点，所以，．
平面，，
平面，又平面，
，所以为二面角的平面角，
，．因为为直角三角形的外接圆的圆心，
所以，三棱锥的外接球的球心在直线上，
由于，所以在线段的延长线上，
设外接球的半径为，则，．
所以三棱锥的外接球的表面积．
在四边形中，由于，四点共圆，
所以三棱锥的外接球即为四棱锥的外接球，
故四棱锥的外接球的表面积为．
故答案为：.

4．（24-25 湖南郴州·期末）在三棱锥中，和均为边长为的等边三角形，二面角的大小为60°，则三棱锥的外接球的表面积为 .
【答案】
【解析】设的外心为，过分别作平面和平面的垂线，
则垂线交点即为三棱锥的外接球的球心，设中点为，
，则就是二面角的平面角，，
又和均为边长为的等边三角形，所以，
又，所以为等边三角形，则四边形外接圆直径，
所以三棱锥的外接球半径，
则外接球的表面积.
故答案为：.
5．（2025山东）已知菱形的边长为4，对角线，将沿着折叠，使得二面角为，则三棱锥的外接球的表面积为___________.
【答案】
【解析】如图所示：
将沿折起后，取中点为，连接，，则，，
所以即为二面角的平面角，所以；
与是边长为4的等边三角形.
分别记三角形与的重心为、，
则，；即；
因为与都是边长为4的等边三角形，
所以点是的外心，点是的外心；
记该几何体的外接球球心为，连接，，
根据球的性质，可得平面，平面，
所以与都是直角三角形，且为公共边，
所以与全等，因此，
所以；
因为，，，且平面，平面，
所以平面；
又平面，所以，
连接，则外接球半径，
所以外接球表面积为.故答案为：.
题组八 台体的外接球
1．（2025·河北·二模）已知圆台的母线长为4，下底面的半径是上底面半径的3倍，母线与底面所成的角为60°，那么圆台的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为母线与底面所成的角为60°，则圆台的高，上底面半径，下底面半径，
设外接球的半径为，球心到上底面的距离为，则，解得，
所以，所以.
故选：D．

2．（2025·福建莆田·三模）已知某圆台下底面半径为2，高与上底面半径均为1，则该圆台外接球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意分析可得球心应该在线段的延长线上，如图，设为圆台外接球的球心，，分别为上、下底面圆的圆心，为外接球半径，
则，解得，所以外接球的表面积为．
故选：C．
3．（2025·福建龙岩·二模）已知正四棱台的上，下底面边长分别为和．若该棱台的体积为，则该棱台的外接球表面积为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】在正四棱台中，，，体积为，高为，
故，
则，，
连接、相交于点，、相交于点，
设外接球的球心为，若在台体外，
设到底面的距离为，
则半径为，
即，解得，所以球心与点重合，
若在台体内，到底面的距离为，
则半径为，
即，解得， 所以球心与点重合，
综上所述，，故，所以.
故选：C.
4．（2025·江西新余·模拟预测）已知圆台的上、下底面半径分别为3和4，母线与高的夹角为，则此圆台的高为 ，圆台的外接球的体积为 .
【答案】 1 /
【解析】设此圆台上底面圆心为，下底面圆心为，其外接球的球心为，半径为，作圆台轴截面如图所示：
则，设圆台的高为，
根据轴截面及母线与高的夹角为，可知，
所以，所以.
设（若球心在圆台内，则求得），
则，解得，
所以圆台的外接球的体积为.
故答案为：1；
5．（2025·甘肃白银·三模）已知正三棱台的侧棱长为，上、下底面的边长分别为，，则三棱台的外接球的表面积为 ．
【答案】
【解析】如图，设正三棱台上、下底面所在圆面的半径分别为，则，
所以，．
设球心到正三棱台上、下底面的距离分别为，球的半径为，
则．
设正三棱台的高为，由棱台的侧棱长为，得，
所以或，
即或，
解得，所以三棱台的外接球的表面积为．

故答案为：
6．（2025·陕西西安·模拟预测）已知圆台的高为3，上、下底面圆的半径分别为1和2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为 ．
【答案】
【解析】作出圆台及外接球的轴截面图，如图．
易得球心在圆台内部，设球心到上底面圆的距离为，
则球心到下底面圆的距离为，
由勾股定理得，解得，
则外接球的半径，表面积为．
故答案为：
7．（2025·江西新余·模拟预测）已知圆台的上、下底面积分别为，，侧面积为，则圆台的外接球的表面积为 .
【答案】
【解析】依题意，，，则，，
则，解得，则圆锥的高，
设圆台的外接球球心为，根据圆台和球的对称性可知球心在上，
因为，所以球心不在圆台的上下底面之间，
由题意，即，解得，
故，故所求外接球表面积.
故答案为：
题组九 向量法求外接球
1．（2025高三·全国·专题练习）已知四面体的顶点坐标为 、、、，则该四面体外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设球心为 ，则满足：，
即，
解得：，所以半径，
因此该四面体外接球的表面积为.
故选：C.
2．（2025·四川攀枝花·三模）如图，在四面体中，D为棱上一点，，，，且，，二面角的大小为．
(1)证明：平面；
(2)求四面体外接球的体积；
(3)求的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【解析】（1）由，，，可得：，
则由勾股定理得：，又，，平面，
所以平面；
（2）由平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
则四面体满足平面，，
因此这个四面体可以放在一个长方体里，
所以外接球的直径就是该长方体的体对角线，
因为，所以外接球的半径，
即该外接球的体积，
（3）把这个三棱锥换成以作底面，因为，所以以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，
由于平面，，，,
设，则，
即，
，
设平面的法向量为，
则，令，则，，
所以，
设平面的法向量为，
则，令，则，，
所以，
因为二面角的大小为，
所以，解得
故
题组十 内切球
1．（2025·浙江嘉兴·三模）若某正四面体的内切球的表面积为，则该正四面体的外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】正四面体的内切球与其外接球球心重合，
如图，正四面体内切球与外接球球心在其高上，
则是正四面体内切球半径，是正四面体外接球半径，
由正四面体的内切球的表面积为，得，令，
，，，
在中，，解得，，
所以该正四面体的外接球的体积.
故选：C
2．（2025·江西·模拟预测）（多选）已知多面体的底面为正方形，，，，均垂直于底面，，且，，，四点共面．下列说法正确的是（ ）
A．
B．若多面体存在外接球，则该外接球的表面积为
C．
D．若，，则三棱锥的内切球半径为
【答案】ACD
【解析】如图1-4，在正方形中，．
由题意平面，平面，所以，
由，，则四边形为平行四边形，所以，
所以，又都在平面内，所以平面．
又平面，所以，故A正确．
如图1-5，当多面体为正方体时，才有外接球，外接球的半径等于体对角线的一半，为，所以外接球的表面积，故B错误．
如图1-6，，，故C正确．
如图1-7，若，，，解得，故D正确．
故选：
3．（24-25 浙江温州·期末）已知一底面边长为的正三棱柱有内切球，则该正三棱柱外接球的表面积为 .
【答案】
【解析】在正三棱柱中，分别取三条侧棱的中点、、，如图所示：
易知是边长为的等边三角形，则该三棱柱内切球球心为的中心，
连接、、，
设球的半径为，则，
即，解得，
由正棱柱的几何性质可知，
易知该正三棱柱的外接球球心也为，设正三角形的中心为，连接、、，

则平面，，，
故，即该三棱柱外接球半径为，
因此，该三棱柱外接球表面积为.
故答案为：.
4．（2025·山西·三模）一边长为2的正方体，如图所示，则两个三棱锥，的公共部分的内切球的表面积为 ．
【答案】
【解析】连接起交线后如下图所示，即两个三棱锥，的公共部分为一个边长为的正八面体，
作，的中点，，设内切球的半径，
所以，所以，
，，又，所以，
即表面积为．
故答案为：
5．（2025·辽宁鞍山·一模）正四面体内切球与其外接球表面积之比为 ．
【答案】
【解析】如图1，过点A作底面于点F，则F为正三角形的中心，连接并延长，交于点E，则E为中点，且，在上取点O，此点为正四面体的外接球球心，则，设正四面体棱长为a，则，故，由勾股定理得：，设，由得：，解得：，
如图2，作出正四面体的截面，则正四面体的内切球与，相切，设内切球球心为，半径为r，则作于点G，则，，其中，，由得：，即，
解得：，则，

所以内切球的表面积与外接球表面积之比为，
故答案为：．
题组十一 有关球的最值
1．（2025·福建福州·模拟预测）在平面四边形中，是边长为的等边三角形，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，将该四边形沿对角线折成四面体，在折起的过程中，四面体的外接球体积最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
如图，设三棱锥的外接球球心为，取的中点,连接，
因为是以点为直角顶点的直角三角形，所以的外接圆圆心是点，
则由球的性质可知，平面，
设外接球半径为,
是边长为的等边三角形,是以点为直角顶点的等腰直角三角形,
,
在中勾股定理可知,
则在中利用余弦定理可得，
,，则，得，
所以的最小值为1，外接球体积最小值为.
故选：C.
2．（2025·山东·模拟预测）一个轴截面是边长为的正三角形的圆锥形封闭容器，放入一个小球后，还可以放入一个半径为1的小球，则小球的体积与容器体积之比的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意，得圆锥形容器的底面半径，高.
因为边长为的正三角形的内切圆半径，所以轴截面是边长为的正三角形的圆锥的内切球半径为1，
所以小球与容器的侧面，底面均相切.
要使小球的体积与容器体积之比最大，则小球的半径最大，所以只需小球与小球，
圆锥形容器的侧面都相切，其轴截面如图.此时，
所以小球的体积与容器体积之比的最大值为.
故选：A.
3．（2025·广西·模拟预测）设正四面体ABCD的内切球表面积为，则能装下该正四面体的最小正方体不计厚度的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】】设正四面体ABCD的内切球球心为O，半径为r，
则，
设正四面体边长为a，则，
又由题可得，解得，则.
又如图所示，取三角形BCD中心为， 则 为四面体底面BCD对应的高，连接，
则为三角形BCD外接圆半径，等于，则，
则
将正四面体按照如图所示的方式放入正方体中，即正四面体的每条边均为正方体的面对角线，此时为能装下该正四面体的最小正方体，
设正方体的棱长为t，则，解得，
故此正方体的体积为
故选：
4．（2025·四川成都·模拟预测）已知平面，，，于，于，在上，且满足，则四面体与的外接球的体积比的取值范围为 ．
【答案】
【解析】设，则，，，
因为平面，平面，所以,
且，，平面，
所以平面，平面，所以，
所以四面体的外接球的直径为，所以半径，
对四面体，，
因为，所以，
则是四面体的外接球的直径，
所以四面体的外接球半径为，
所以，只求的范围，设，则，，，则，
令，则，且，
在中，由余弦定理可知，
，则，
所以，则外接球的体积比的取值范围是．
故答案为：
5．（2025·上海浦东新·模拟预测）将一个圆心角为、面积为的扇形卷成一个圆锥，则此圆锥内半径最大的球的表面积为 ．
【答案】
【解析】设圆锥底面半径为，母线长为，则，解得，，
易知半径最大的球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，
其中，，且点为边上的中点，
设内切圆的圆心为，由于，
故，
设内切圆半径为，则，
解得，其表面积为.
故答案为：.
6．（2025·宁夏银川·二模）已知正四棱锥的一个侧面的周长为，则该四棱锥体积的最大值时，其外接球表面积为 .
【答案】
【解析】 如图，设正四棱锥的底面边长为，侧棱长为，高为，
因为正四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为底面的中心，
侧棱长相等，侧面为等腰三角形，所以，所以，得，
又，所以正四棱锥的体积
.
设，
则，
当时，，即在单调递增，
当时，，即在上单调递减，
所以，所以.
此时，，，
设该正四棱锥外接球的半径为，则，
解得，故其外接球表面积.
故答案为：.
7．（2025·山东枣庄·二模）在三棱锥中，是边长为的等边三角形，侧面底面，.若三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该球的表面积为 ，三棱锥体积的最大值为 .
【答案】
【解析】如图①，设的外接圆的圆心分别为，半径为，三棱锥的外接球的球心为O，半径为，取AB的中点为E，连接，.
在中，由正弦定理，得，即，同理可得.
因为侧面底面，侧面底面，面，所以底面，所以.
由外接球的性质可得底面侧面，所以四边形为矩形.
在中，，
因为，所以，所以球的表面积为.
设三棱锥的高为h，过作于点H，
由面面垂直的性质可得，底面，即为三棱锥的高.
及其外接圆如图②所示，由图可知，当位于劣弧的中点时，最大，最大值为，
所以三棱锥体积的最大值为.
故答案为：，.
8．（2025·浙江·三模）圆台内有一个球，与圆台的上下底面及所有母线均相切，则圆台与球的体积比的取值范围为 .
【答案】
【解析】设圆台轴截面如图，等腰梯形底角为，上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，球的半径为，
则圆台体积，球体积，已知，.
由，得，把代入，，所以.
则.
.
则 ，化简得.
令，.当，；靠近时，变得很大，趋近正无穷，所以范围是，即.
故答案为：.