新高考数学一轮复习高频考点与题型分类训练5-2 球的切、接问题(精讲精练-培优课）（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-4" \h \u \l "_Tc30116" 5-2 球的切、接问题 PAGEREF _Tc30116 \h 1
\l "_Tc23396" 二、分类题型 PAGEREF _Tc23396 \h 1
\l "_Tc9370" 题型一 定义法 PAGEREF _Tc9370 \h 1
\l "_Tc20741" 题型二 补形法 PAGEREF _Tc20741 \h 2
\l "_Tc3412" 题型三 截面法 PAGEREF _Tc3412 \h 3
\l "_Tc18085" 三、分层训练：课堂知识巩固 PAGEREF _Tc18085 \h 4
二、分类题型
题型一 定义法
已知∠ABC＝90°，PA⊥平面ABC，若PA＝AB＝BC＝1，则四面体PABC的外接球(顶点都在球面上)的体积为( )
A．π B.eq \r(3)π C．2π D.eq \f(\r(3)π,2)
【解答】如图，取PC的中点O，连接OA，OB，由题意得PA⊥BC，
又因为AB⊥BC，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，
在Rt△PBC中，OB＝eq \f(1,2)PC，同理OA＝eq \f(1,2)PC，所以OA＝OB＝OC＝eq \f(1,2)PC，
因此P，A，B，C四点在以O为球心的球面上，在Rt△ABC中，AC＝eq \r(AB2＋BC2)＝eq \r(2).
在Rt△PAC中，PC＝eq \r(PA2＋AC2)＝eq \r(3)，球O的半径R＝eq \f(1,2)PC＝eq \f(\r(3),2)，
所以球的体积为eq \f(4,3)π＝eq \f(\r(3)π,2).
在矩形ABCD中，BC＝4，M为BC的中点，将△ABM和△DCM分别沿AM，DM翻折，使点B与点C重合于点P，若∠APD＝150°，则三棱锥M－PAD的外接球的表面积为( )
A．12π B．34π
C．68π D．126π
【解答】如图，由题意可知，MP⊥PA，MP⊥PD.且PA∩PD＝P，PA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，
所以MP⊥平面PAD.设△ADP的外接圆的半径为r，则由正弦定理可得eq \f(AD,sin∠APD)＝2r，
即eq \f(4,sin 150°)＝2r，所以r＝4.设三棱锥M－PAD的外接球的半径为R，则(2R)2＝PM2＋(2r)2，
即(2R)2＝4＋64＝68，所以4R2＝68，所以外接球的表面积为4πR2＝68π.
到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可．
一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为eq \f(9,8)，底面周长为3，则这个球的体积为________．
【解答】设正六棱柱的底面边长为x，高为h，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(6x＝3，,\f(9,8)＝6×\f(\r(3),4)x2h，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,2)，,h＝\r(3).))
∴正六棱柱的底面外接圆的半径r＝eq \f(1,2)，球心到底面的距离d＝eq \f(\r(3),2).∴外接球的半径R＝eq \r(r2＋d2)＝1.
∴V球＝eq \f(4π,3).
已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是矩形，其中AD＝1，AB＝2，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等边三角形，则四棱锥P－ABCD的外接球表面积为( )
A.eq \f(16π,3) B.eq \f(76π,3) C.eq \f(64π,3) D.eq \f(19π,3)
【解答】如图所示，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PA＝PD，取AD的中点E，
则PE⊥AD，PE⊥平面ABCD，则PE⊥AB，由AD⊥AB，AD∩PE＝E，AD，PE⊂平面PAD，可知AB⊥平面PAD，由△PAD为等边三角形，E为AD的中点知，PE的三等分点F(距离E较近的三等分点)是三角形的中心，过F作平面PAD的垂线，过矩形ABCD的中心O作平面ABCD的垂线，两垂线交于点I，则I即外接球的球心．OI＝EF＝eq \f(1,3)PE＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(3),6)，AO＝eq \f(1,2)AC＝eq \f(\r(5),2)，设外接球半径为R，
则R2＝AI2＝AO2＋OI2＝＋＝eq \f(4,3)，所以四棱锥P－ABCD的外接球表面积为S＝4πR2＝4π×eq \f(4,3)＝eq \f(16π,3).
题型二 补形法
在四面体ABCD中，若AB＝CD＝eq \r(3)，AC＝BD＝2，AD＝BC＝eq \r(5)，则四面体ABCD的外接球的表面积为( )
A．2π B．4π C．6π D．8π
【解答】由题意可采用补形法，考虑到四面体ABCD的对棱相等，所以将四面体放入一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2＋y2＝3，x2＋z2＝5，y2＋z2＝4，则有(2R)2＝x2＋y2＋z2＝6(R为外接球的半径)，得2R2＝3，所以外接球的表面积为S＝4πR2＝6π.
如图，在多面体中，四边形ABCD为矩形，CE⊥平面ABCD，AB＝2，BC＝CE＝1，通过添加一个三棱锥可以将该多面体补成一个直三棱柱，那么添加的三棱锥的体积为________，补形后的直三棱柱的外接球的表面积为________．
【解答】如图添加的三棱锥为直三棱锥E－ADF，
可以将该多面体补成一个直三棱柱ADF－BCE，因为CE⊥平面ABCD，AB＝2，BC＝CE＝1，
所以S△CBE＝eq \f(1,2)CE×BC＝eq \f(1,2)×1×1＝eq \f(1,2)，直三棱柱ADF－BCE的体积为V＝S△EBC·DC＝eq \f(1,2)×2＝1，
添加的三棱锥的体积为eq \f(1,3)V＝eq \f(1,3)；如图，分别取AF，BE的中点M，N，连接MN，与AE交于点O，
因为四边形AFEB为矩形，所以O为AE，MN的中点，在直三棱柱ADF－BCE中，CE⊥平面ABCD，
FD⊥平面ABCD，即∠ECB＝∠FDA＝90°，所以上、下底面为等腰直角三角形，直三棱柱的外接球的球心即为点O，连接DO，DO即为球的半径，连接DM，因为DM＝eq \f(1,2)AF＝eq \f(\r(2),2)，MO＝1，
所以DO2＝DM2＋MO2＝eq \f(1,2)＋1＝eq \f(3,2)，所以外接球的表面积为4π·DO2＝6π.
(1)补形法的解题策略
①侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②直三棱锥补成三棱柱求解．
(2)正方体与球的切、接常用结论
正方体的棱长为a，球的半径为R，
①若球为正方体的外接球，则2R＝eq \r(3)a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
③若球与正方体的各棱相切，则2R＝eq \r(2)a.
(3)长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝eq \r(a2＋b2＋c2).
已知三棱锥P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝1，PB＝2，PC＝3，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积为( )
A.eq \f(7\r(14),3)π B．14π C．56π D.eq \r(14)π
【解答】以线段PA，PB，PC为相邻三条棱的长方体PAB′B－CA′P′C′被平面ABC所截的三棱锥P－ABC符合要求，如图，长方体PAB′B－CA′P′C′与三棱锥P－ABC有相同的外接球，其外接球直径为长方体体对角线PP′，设外接球的半径为R，则(2R)2＝PP′2＝PA2＋PB2＋PC2＝12＋22＋32＝14，则所求表面积S＝4πR2＝π·(2R)2＝14π.
题型三 截面法
(2021·全国甲卷)已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O－ABC的体积为( )
A.eq \f(\r(2),12) B.eq \f(\r(3),12) C.eq \f(\r(2),4) D.eq \f(\r(3),4)
【解答】如图所示，因为AC⊥BC，所以AB为截面圆O1的直径，且AB＝eq \r(2).连接OO1，则OO1⊥平面ABC，
OO1＝＝＝eq \f(\r(2),2)，所以三棱锥O－ABC的体积V＝eq \f(1,3)S△ABC×OO1＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×1×1×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(2),12).
(1)与球截面有关的解题策略
①定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；
②作截面：选准最佳角度作出截面，达到空间问题平面化的目的．
(2)正四面体的外接球的半径R＝eq \f(\r(6),4)a，内切球的半径r＝eq \f(\r(6),12)a，其半径R∶r＝3∶1(a为该正四面体的棱长)．
已知圆柱的两个底面的圆周在体积为eq \f(32π,3)的球O的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为( )
A．4π B．8π C．12π D．16π
【解答】如图所示，设球O的半径为R，由球的体积公式得eq \f(4,3)πR3＝eq \f(32π,3)，解得R＝2.
设圆柱的上底面半径为r，球的半径与上底面夹角为α，则r＝2cs α，圆柱的高为4sin α，
∴圆柱的侧面积为4πcs α×4sin α＝8πsin 2α，当且仅当α＝eq \f(π,4)，sin 2α＝1时，圆柱的侧面积最大，∴圆柱的侧面积的最大值为8π.
在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是________．
【解答】解析 易知AC＝10.设△ABC的内切圆的半径为r，则eq \f(1,2)×6×8＝eq \f(1,2)×(6＋8＋10)·r，
所以r＝2.因为2r＝4>3，所以最大球的直径2R＝3，即R＝eq \f(3,2)，此时球的体积V＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(9π,2).
三、分层训练：课堂知识巩固
1．（2022•天心区校级模拟）数学上定义的距离都意味着最短，如平面上两点的距离定义为连接两点的线段的长度，球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度（大圆指的是经过球心的平面截得的圆），我们把这个弧长叫做两点间的球面距离．在三棱锥中，平面，，且，．已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，则，两点的球面距离是
A．B．C．D．
【分析】取的中点，求出三棱锥外接球的半径，从而求得球面距离．
【解答】解：如图所示，取的中点，
平面，，且，．
则为三棱锥外接球的球心，
，
故选：．
【点评】本题考查了球面距离的计算，属于基础题．
2．（2023•邢台一模）已知圆台的上、下底面圆的半径之比为，侧面积为，在圆台的内部有一球，该球与圆台的上、下底面及母线均相切，则球的表面积为
A．B．C．D．
【分析】由圆台的侧面积公式及球的表面积公式计算即可．
【解答】解：设圆台的上底面圆半径为，则底面圆半径为，母线长为，
如图所示，作出圆台与球的轴截面．由于球与圆台的上下底面及母线均相切，
故．
根据圆台的侧面积公式，可得，
所以球的直径为，故半径为，表面积为：
故选：．
【点评】本题考查圆台的内切球问题，球的表面积公式的应用，方程思想，属基础题．
3．（2023•南平模拟）已知三棱锥，为中点，，侧面底面，则过点的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为
A．B．C．D．，
【分析】连接，，，设三棱锥外接球的球心为，设过点的平面为，则当时，此时所得截面的面积最小，当点在以为圆心的大圆上时，此时截面的面积最大，再结合球的截面的性质即可得解．
【解答】解：连接，，由，
可知：和是等边三角形，
设三棱锥外接球的球心为，
所以球心到平面和平面的射影是和的中心，，是等边三角形，为中点，
所以，又因为侧面底面，侧面底面，
所以底面，而底面，
因此，
所以是矩形，和是边长为2的等边三角形，
所以两个三角形的高，
在矩形中，，，连接，
所以，
设过点的平面为，当时，
此时所得截面的面积最小，该截面为圆形，，
因此圆的半径为：，所以此时面积为，
当点在以为圆心的大圆上时，此时截面的面积最大，面积为：，
所以截面的面积范围为．
故选：．
【点评】本题考查几何体的外接球问题和截面问题，考查空间想象能力，难度较大．
4．（2023•柯桥区模拟）如图，平面四边形中，，为正三角形，以为折痕将折起，使点达到点位置，且二面角的余弦值为，当三棱锥的体积取得最大值，且最大值为时，三棱锥外接球的体积为
A．B．C．D．
【分析】过点作平面，垂足为，作，垂足为，连接，则为二面角的补角，为的中点，设，根据二面角的余弦值可求得，，再根据三棱锥的体积取得最大值结合基本不等式求出，再利用勾股定理求出三棱锥外接球的半径，根据球的体积公式即可得解．
【解答】解：过点作平面，垂足为，作，垂足为，连接，
因为平面，平面，所以，
又，，，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
则为二面角的补角，故，
因为，所以为的中点，
设，则，
在中，，则，
由，
得当取得最大值时，三棱锥的体积取得最大值，
，
当且仅当时，取等号，
所以，解得，
则，
设三棱锥外接球的球心为，则平面，
设，
由得，解得，
则三棱锥外接球的半径，
所以三棱锥外接球的体积为．
故选：．
【点评】本题考查了三棱锥外接球的体积计算，属于中档题．
5．（2023•广东模拟）已知某圆锥的内切球（球与圆锥侧面、底面均相切）的体积为，则该圆锥的表面积的最小值为
A．B．C．D．
【分析】先求得内切球半径，再画图设底面半径为，利用三角函数值代换表达出表面积的公式，再设，根据基本不等式求最小值即可．
【解答】解：设圆锥的内切球半径为，则，解得，
设圆锥顶点为，底面圆周上一点为，底面圆心为，内切球球心为，
内切球切母线于，底面半径，，则，
又，故，
又，故，
故该圆锥的表面积为，令，
则，当且仅当，即时取等号．
故选：．
【点评】本题考查球的体积，考查学生的运算能力，属于中档题．
6．（2023•红山区模拟）已知四面体的所有顶点在球的表面上，平面，，，，则球的体积为
A．B．C．D．
【分析】作图，先找到外接球的球心，算出底面三角形外接圆的半径，再构造三角形运用勾股定理求出外接球的半径．
【解答】解：如图，设底面的外接圆的圆心为，外接圆的半径为，
由正弦定理得，，
过作底面的垂线，与过的中点作侧面的垂线交于，
则就是外接球的球心，并且，
外接球的半径，
球的体积为；
故选：．
【点评】本题考查四面体的外接球问题，正弦定理的应用，属中档题．
7．（2023•巴林左旗校级模拟）两个边长为4的正三角形与，沿公共边折叠成的二面角，若点，，，在同一球的球面上，则球的表面积为
A．B．C．D．
【分析】作出辅助线，找到球心的位置及点在平面上的投影，利用勾股定理列出方程，求出外接球的半径，进而得到球的表面积．
【解答】解：取的中点，连接，，
因为正三角形与的边长为4，所以，，
且，
故为二面角的平面角，，
所以是等边三角形，
取的中点，连接，则，，，
因为，，，，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，，平面，
所以平面，
取的中心，则点在上，且，故，
则球心在点正上方，连接，，，过点作于点，
则，
设，，则，
由勾股定理得，，
故，解得，
故外接球半径，
故球的表面积为．
故选：．
【点评】本题考查与球有关的内切或外接的问题，化归转化思想，属中档题．
8．（2023•惠州模拟）已知四棱锥，平面，，，，二面角的大小为．若点，，，，均在球的表面上，则该球的表面积为
A．B．C．D．
【分析】先利用点，，，，均在球的表面上可得、、、四点共圆，先证明平面，得出二面角的平面角为，可计算出，再利用勾股定理可得出四边形外接圆的直径，，计算出外接球的半径，最后利用球体表面积公式可得出的答案．计算出外接球的半径，最后利用球体表面积公式可得出的答案．
【解答】解：如下图所示，
由于，所以，
点，，，，均在球的表面上，
四边形内接于圆，所以，，
平面，平面，．
又，且，平面，
平面，，则二面角的平面角为，即．
在中，．可得，
所以，直角的外接圆直径为，即四边形的外接圆直径为．
平面，所以，四棱锥的外接球半径为，
因此，该球的表面积为．
故选：．
【点评】本题考查球体表面积的计算，考查二面角的定义，同时也考查了直线与平面垂直的判定，考查推理能力与计算能力，属于中等题．
9．（2023•武清区校级模拟）某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为，则该球的表面积为
A．B．C．D．
【分析】求出球心到截面圆所在平面的距离以及截面圆的半径，利用勾股定理可求得球的半径，再利用球的体积公式即可求得结果．
【解答】解：由题意可得，球心到截面圆所在平面的距离，
设截面圆的半径为，球的半径为，则，解得，所以，
所以该球的表面积为．
故选：．
【点评】本题考查了球的表面积计算，属于中档题．
10．（2023•泉州模拟）已知正四棱台的高为1，下底面边长为，侧棱与底面所成的角为，其顶点都在同一球面上，则该球的体积为
A．B．C．D．
【分析】连接，过作的垂线垂足为，过作的垂线垂足为，求得上、下底面所在圆的半径，，设球心到上下底面的距离分别为，，球的半径为，利用球的截面圆的性质，列出方程求得，结合球的体积公式，即可求解．
【解答】解：设正四棱台上下底面所在圆面的半径分别为，，连接，
过作的垂线垂足为，过作的垂线垂足为，
因为正四棱台的高为1，下底面边长为，侧棱与底面所成的角为，
可得，，即，，
设球心到上下底面的距离分别为，，球的半径为，
可得，，故或，
即或，解得，符合题意，
所以球的体积为．
故选：．
【点评】本题主要考查多面体外接球的体积的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
11．（2023•辽宁模拟）如图，在直三棱柱中，为等腰直角三角形，，，平面截三棱柱的外接球所得截面的面积为
A．B．C．D．
【分析】易知三棱柱的外接球的球心为侧面的中心，进而计算可求平面截三棱柱的外接球所得截面的面积．
【解答】解：易知三棱柱的外接球的球心为侧面的中心，
外接球半径等于正方形对角线的一半，，
到平面的距离，
故球心到平面的距离，
因此平面截三棱柱的外接球所得截面的半径为，
截面的面积为．
故选：．
【点评】本题考查空间几何体的外接球的截面面积的求法，属中档题．
12．（2023•广州三模）已知克列尔公式：对任意四面体，其体积和外接球半径满足，其中，，，，，，分别为四面体的三组对棱的长．在四面体中，若，，则该四面体的外接球的表面积为
A．B．C．D．
【分析】求得空间四边形的体积，代入公式可求，进而可求四面体的外接球的表面积．
【解答】解：取中点，中点，连接，，，
由题意易得，，
，
，
，
，
，，
，．
该四面体的外接球的表面积为．
故选：．
【点评】本题考查空间四边形外接球的表面积，考查空间几何体的体积的计算，属中档题．
13．（2023•长沙模拟）蹴鞠（如图所示），又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似于今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录．已知某鞠（球的表面上有四个点，，，，，，，平面，则该鞠（球的表面积为
A．B．C．D．
【分析】首先求出球心的位置，进一步求出球的半径，最后求出球的表面积．
【解答】解：已知某鞠（球的表面上有四个点，，，，，，，平面，
如图所示：
故，
作的垂直平分线和斜边的垂线交于点，
即点为球的球心，
所以，
故．
故选：．
【点评】本题考查的知识要点：球的半径的求法，球的表面积公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
14．（2023•盐城一模）三星堆古遗址作为“长江文明之源“，被誉为人类最伟大的考古发现之一号坑发现的神树纹玉琮，为今人研究古蜀社会中神树的意义提供了重要依据．玉琮是古人用于祭祀的礼器，有学者认为其外方内圆的构造，契合了古代“天圆地方”观念，是天地合一的体现，如图，假定某玉琮形状对称，由一个空心圆柱及正方体构成，且圆柱的外侧面内切于正方体的侧面，圆柱的高为，圆柱底面外圆周和正方体的各个顶点均在球上，则球的表面积为
A．B．C．D．
【分析】根据题意可知正方体的体对角线即是外接球的直径，又因圆柱的外侧面内切于正方体的侧面，可利用勾股定理得出正方体棱长，继而求出球的表面积．
【解答】解：不妨设正方体的棱长为，球的半径为，则圆柱的底面半径为，
因为正方体的体对角线即为球直径，故，
利用勾股定理得：，解得，球的表面积为．
故选：．
【点评】本题主要考查球的表面积的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
15．（2023•柳南区二模）“阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”．若该多面体的棱长为2，则其外接球的表面积为
A．B．C．D．
【分析】根据其外接球为正四棱柱的外接球，再结合球的表面积公式，即可得到结果．
【解答】解：由题意可得，根据该几何体的对称性可知，
该几何体的外接球即为底面棱长为2，侧棱长为的正四棱柱的外接球，即，
所以，则该正多面体外接球的表面积．
故选：．
【点评】本题考查了正四棱柱外接球的表面积计算，属于中档题．
16．（2023•河南模拟）已知平面四边形中，，，将沿对角线折起，使得二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为
A．B．C．D．
【分析】如图所示，取的中点，的中点，连接，，过点作平面，设点为三棱锥的外接球的球心，连接，，设，球的半径为，由已知可得：，，，由，可得，根据，解得，可得，即可得出三棱锥的外接球的表面积．
【解答】解：如图所示，取的中点，的中点，连接，，过点作平面，
设点为三棱锥的外接球的球心，连接，，设，球的半径为，
由已知可得：，，，
，，，
，，
，
，
解得，
，
三棱锥的外接球的表面积为．
故选：．
【点评】本题考查了数量积运算性质、等边三角形与直角三角形的性质、球的表面积计算公式、方程思想方法，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．
17．（2023•遵义模拟）已知的顶点都在球的球面上，且，，球心到平面的距离为2．则球的表面积为
A．B．C．D．
【分析】由正弦定理，结合球的表面积的求法求解即可．
【解答】解：已知的顶点都在球的球面上，且，，
则的外接圆的半径，
又球心到平面的距离为2，
设球的半径为，
则，
则球的表面积为．
故选：．
【点评】本题考查了正弦定理，重点考查了球的表面积的求法，属基础题．
18．（2023•宛城区校级三模）已知正四面体的棱长为1，点为底面的中心，球与该正四面体的其余三个面都有且只有一个公共点，且公共点非该正四面体的顶点，则球的半径为
A．B．C．D．
【分析】由题可知球与该正四面体的其余三个面都相切，然后利用，即可求解．
【解答】解：正四面体的棱长为1，
正四面体的高为，
由题可知球与该正四面体的其余三个面都相切，设球的半径为，
则，
，
．
故选：．
【点评】本题考查正四面体的内切球问题，等体积法思想的应用，方程思想，属中档题．
19．（2023•全国模拟）已知某圆台上、下底面的圆周在同一球的球面上，且圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，轴截面的面积为3，则该圆台的外接球的体积为
A．B．C．D．
【分析】设圆台的高为，由题意可得，可求，进而可得，求解即可．
【解答】解：设圆台的高为，由题意可得，
设圆台下底面圆心到外接球的球心的距离为，外接球的半径为，
知圆台的上，下底面圆在球心的同侧，
则，解得，，
该圆台的外接球的体积为．
故选：．
【点评】本题考查空间几何体的外接球的体积的求法，属中档题．
20．（2023•玉树市校级模拟）棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为
A．B．C．D．
【分析】先求出该球面的半径，由此能求出该球面的表面积．
【解答】解：棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，
该球面的半径，
该球面的表面积为．
故选：．
【点评】本题考查球面的表面积的求法，考查正方体的外接球、球的表面积等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．
21．（2023•三模拟）已知三棱锥的各顶点都在同一球面上，若，，，，则该球的体积为
A．B．C．D．
【分析】根据给定条件，把三棱锥补形成底面为圆内接四边形的直四棱柱，再利用该四棱柱的结构特征求出球半径作答．
【解答】解：每个底面四个顶点共圆的直四棱柱，两底面四边形外接圆圆心的中点到各顶点距离相等，则该四棱柱的所有顶点在同一球面上，
如图，把三棱锥补成一个直四棱柱，且底面四边形存在外接圆，如图，
因为，，则，同理，
而，即有，，且，
于是，为四边形的外接圆直径，
设四棱柱的侧棱长为，有，，
因此，解得，
则，即有，，
是等边三角形，，符合题意，
直四棱柱的外接球球心到底面距离，
四边形外接圆半径，则球半径，
所以该球的体积为．
故选：．
【点评】本题考查了球的体积计算，属于中档题．
22．（2023•泗阳县校级模拟）在三棱锥中，和为等边三角形，二面角的余弦值为，三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球的体积为
A．B．C．D．
【分析】设外接球的球心在平面内的射影为，在平面内的射影为，由三棱锥的体积为求得等边三角形的边长，结合图形求得，，进而求得外接球的半径，即可求得球的体积．
【解答】解：如图所示，
设外接球的球心在平面内的射影为，在平面内的射影为，是中点，
则二面角的平面角为，
设，三棱锥的高为，
因为和是等边三角形，
则，，
而，则，
即，解得，则，
根据正弦定理可得，则，，
设，因为，则，
则，所以，
所以外接球的半径，
故所求外接球的体积为．
故选：．
【点评】本题考查球的体积计算，涉及了二面角的定义，锥体的体积以及正弦定理等知识点，考查运算求解能力，属于中档题．
23．（2023•南江县校级模拟）在三棱锥中，平面，，，且，当三棱锥的体积取最大值时，该三棱锥外接球的体积是
A．B．C．D．
【分析】设，根据已知条件用把三棱锥的体积表示出来，然后利用导数确定体积取最大值时的值，进而确定出三棱锥外接球的半径，从而求出体积．
【解答】解：设，则，
故三棱锥的体积．
设，则．
由，得；由，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
即三棱锥体积的最大值是，此时，即，．
因为平面，，
所以三棱锥外接球的半径，
则三棱锥外接球的体积为．
故选：．
【点评】本题考查多面体的外接球相关知识，属于中档题．
24．（2023•河西区校级模拟）在四面体中，平面，，，，，则该四面体外接球面积为
A．B．C．D．
【分析】由题意可知该四面体的外接球的球心必经过外接圆的圆心且垂直于平面的直线上，且到，的距离相等，在中，利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出外接圆半径，然后利用勾股定理求出外接球半径，从而可求得结果．
【解答】解：如图所示，
该四面体的外接球的球心必经过外接圆的圆心且垂直于平面的直线上，且到，的距离相等．
在中，由余弦定理得，
又因为，
所以，
所以外接球的表面积为，
故选：．
【点评】本题考查了三棱锥的外接球问题，属于中档题．
25．（2023•聊城二模）某正四棱台形状的模型，其上下底面的面积分别为，，若该模型的体积为，则该模型的外接球的表面积为
A．B．C．D．
【分析】由棱台体积得到棱台的高，并作出辅助线，找到球心位置，利用半径相等列出方程，求出外接球半径和表面积．
【解答】解：设正四棱台形状的高为，
故，解得，
取正方形的中心为，正方形的中心为，则，
故该模型的外接球的球心在上，设为点，连接，，，，
设上底面正方形的边长为，，则，，解得，
故，，设，则，
由勾股定理得，，
故，解得，
故外接球半径为，该模型的外接球的表面积为．
故选：．
【点评】本题考查了外接球的表面积计算，属于中档题．