新高考数学一轮复习讲与练7.5 外接球（精练）（提升版）（2份，原卷版+解析版）

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1．（2022·全国·高三专题练习）在四棱锥中，已知底面ABCD为矩形，底面ABCD，，，，则四棱锥的外接球O的表面积是（ ）
A．80πB．160πC．60πD．40π
【答案】D
【解析】由题意底面矩形的外接圆半径，则原四棱锥外接球半径，故选：D
2．（2022·全国·高三专题练习）在直三棱柱中，若，则该直三棱柱外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意可得三棱柱的上下底面为直角三角形，取直角三角形斜边的中点，
直三棱柱的外接球的球心O为上下底面的外接圆圆心的连线的中点，连接AO，,设外接球的半径为R，下底面外接圆的半径为r，r=，则，该直三棱柱外接球的表面积为,故选：C
3．（2022·全国·高三专题练习）已知正三棱柱所有棱长都为6，则此三棱柱外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图，为棱的中点，为正△的中心，为外接球的球心
根据直棱柱外接球的性质可知∥，，外接球半径，
∵正△的边长为6，则
∴
外接球的表面积
故选：C．
4．（2022·全国·高三专题练习）据《九章算术》记载，“鳖臑”为四个面都是直角三角形的三棱锥．如图所示，现有一个“鳖臑”，底面，，且，三棱锥外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图，将三棱锥补形为正方体，
则外接球半径.
所以三棱锥外接球表面积.
故选：B.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知三棱锥中，底面BCD是边长为的正三角形，底面BCD，且，则该几何体的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
由题意知：底面BCD是正三角形，底面BCD，将三棱锥补成如图所示正三棱柱，取上下底面的外心，
易得球心即为中点，连接，易得，，
设外接球半径为，则，则.
故选：C．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知S，A，B，C是球O表面上的点，平面ABC，AB⊥BC，，，则球O的表面积等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为、、、是球表面上的点，
所以
又平面，平面，
所以，，，
因为，平面，，
所以平面，而平面，
所以，
所以可得为的中点，，，
所以，
所以球的半径径为，
所以球表面积为．
故选：A．
7．（2022·河北衡水·高三阶段练习）在三棱锥中，，，，，则三棱锥外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以.又，，所以平面SAC.在中，，，所以.又，则外接圆的半径为，取BC，AC的中点D，E，的外心为F，过D作平面ABC的垂线l，过F作平面SAC的垂线交l于点O，即为球心，连接DE，EF，FA，OA，则四边形DEFO为矩形，则，，所以，即三棱锥外接球的半径为，所以三棱锥外接球的体积为.
故选：D
题组二 墙角模型
1．（2022·广西·贵港市高级中学三模（理））《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，在如图所示的堑堵中，，，，则在堑堵中截掉阳马后的几何体的外接球的体积与阳马的体积比为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题知：剩余的几何体为三棱锥，平面，．
将三棱锥放入长方体，长方体的外接球为三棱锥的外接球，如图所示：
外接球半径，所以外接球体积，
阳马—的体积为．．
故选：B．
2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱的中点．若四棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积为______．
【答案】
【解析】由题意知：四边形的面积，
设点到平面的距离为，则，解得：，
又为中点，平面，；
，两两互相垂直，
三棱锥的外接球半径，
三棱锥的外接球表面积.
故答案为：.
3（2022·四川雅安·三模（文））在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的表面积是___________.
【答案】
【解析】因为，，则，，
同理可证，，所以，、、两两垂直，
将三棱锥补成正方体，如下图所示：
正方体的体对角线即为三棱锥的外接球直径，
设三棱锥的外接球半径为，则，所以，，
因此，三棱锥的外接球的表面积为.
故答案为：.
4．（2022·河北保定·二模）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的三棱锥称为鳖臑.已知在鳖臑P-ABC中，AB⊥BC，PA⊥平面ABC，且，则鳖臑P-ABC外接球的体积是___________.
【答案】
【解析】由题意可得三角形ABC外接圆的半径，
因为PA⊥平面ABC，
所以鳖臑P-ABC外接球的半径，
故鳖臑P-ABC外接球的体积是.
故答案为：
题组三 斗笠模型
1．（2022·黑龙江）某圆锥的侧面展开后，是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积与它的外接球的体积之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设圆锥的母线长为，则展开后扇形的弧长为，
再设圆锥的底面圆半径为，可得，即，
圆锥的高为，
设圆锥外接球的半径为，则，解得．
圆锥的体积为，
圆锥外接球的体积，
∴该圆锥的体积与它的外接球的体积之比为．故选：C．
2．（2022广西）已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O的球面上，圆锥的母线长为3，侧面展开图的面积为，则球O的表面积等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设底面半径为，圆锥母线为，所以，所以，
如图，是圆锥轴截面，外接圆是球的大圆，是圆锥底面的圆心，
设球半径为，则，，所以，
如图1，，即，
解得，不符合题意，
当为如图2时，即，
解得，所以球表面积为．
故选：A．
3．（2022·宁夏银川市）已知一个圆锥的底面圆面积为，侧面展开图是半圆，则其外接球的表面积等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设圆锥的底面圆半径为，高为，母线长为，圆锥的外接球半径为，
则，可得，
由于圆锥的侧面展开图是半圆，则，可得，，
由圆锥的几何特征可知，圆锥的外接球心在圆锥的轴上，
所以，，解得,
因此，该圆锥的外接球的表面积为.
故选：B.
4．（2022·河南）一圆台的两底面半径分别为，高为，则该圆台外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设该圆台的外接球的球心为，半径为，
则或，解得，
所以该圆台的外接球的表面积为.
故选：C.
5．（2022·浙江）已知圆锥的顶点和底面圆周都在球面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为，面积为，则球的表面积等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设圆锥母线为，底面半径为，
则，解得，
如图，是圆锥轴截面，外接圆是球的大圆，设球半径为，
，，
，，
所以球表面积为．
故选：A．
6．（2022·天津南开区）已知一个圆锥的底面半径为，高为，其体积大小等于某球的表面积大小，则此球的体积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【】解析设球的半径为，圆锥的体积为，
由于球的体积大小等于某球的表面积大小，则，，
因此，该球的体积为.故选：D.
题组四 L模型
1．（2022·安徽·巢湖市第一中学）已知三棱锥中，平面平面，且，，若，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．64πB．128πC．40πD．80π
【答案】D
【解析】由题意得，平面，将三棱锥补成三棱柱，如图，
则三棱柱的外接球即为所求.
设外接球的球心为，则的外心为，则，
又，则外接球的半径，
表面积，故选：D
2．（2022·吉林·洮南市第一中学高三阶段练习（理））已知三棱锥中，，，平面平面ABC，则三棱锥的外接球的表面积为______．
【答案】
【解析】取的中点，连接，，如图所示：
因为，所以为的外接圆圆心，
又因为，为的中点，所以.
因为平面平面，所以平面，
所以三棱锥的外接球球心在直线上.
在上取一点，使得，即为三棱锥的外接球球心，
设，，所以，
.
在中，，
所以，解得，
所以三棱锥的外接球的表面积为.
故答案为：
3．（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥中，平面平面，，，则该三棱锥外接球的表面积是___________.
【答案】
【解析】
如图所示：设点D为AB的中点，O为外接圆的圆心，∵，∴O在CD上，且，
，∴，∵平面平面ABC，平面平面，平面ABC，∴平面PAB，
又AB，平面PAB，∴，，在中，，D为AB的中点，∴，
∴，∴O即为三棱锥外接球的球心，且外接球半径，
∴该三棱锥外接球的表面积.
故答案为：.
4．（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测（文））在三棱锥中，，平面平面，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意得，如图，取BC的中点E，连接AE，DE，
则外接圆圆心在DE上，且，
解得，设三棱锥外接球球心为O，
连接，，过作，垂足为，
由平面平面，得，故四边形为矩形，
因为，
所以，
且，
所以，设三棱锥外接球半径为R，
有，
又，
所以，解得，
所以三棱锥外接球的表面积为.
故选：D.
5．（2022·重庆八中高三阶段练习）在三棱锥中、平面平面，，且，则三棱维的外接球表面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意，为直角三角形，故在三棱维的外接球的一个切面圆上，为该圆直径；
又平面平面，故外接球的球心在所在的平面内，又，故为等腰三角形，球心O在BD边中线所在直线上 ，点到线段的距离为，设外接球的半径为，则，
解得，则外接球的表面积为.
故选：C.
6．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心模拟预测（理））已知四棱锥中，平面平面ABCD，其中为正方形，是边长为2的等边三角形，则四棱锥外接球的表面积为（ ）
A．4B．C．D．
【答案】B
【解析】连接交于，球心在底面的射影必为点，取的中点，在截面中，连接，如图，
在等边中，的中点为，
所以，又平面平面，是交线，
所以平面，且，
设，外接球半径为，
则在正方形中，，，
在中，，
而在截面中，，
由可得：
解得，
所以，
所以．
故选：B．
题组五 怀表模型
1．（2022·全国·高三专题练习）四边形ABDC是菱形，，，沿对角线BC翻折后，二面角A-BD-C的余弦值为，则三棱锥D-ABC的外接球的体积为_____.
【答案】
【解析】如图，取的中点为，连接AM,DM,则 ,
则二面角的平面角为，，
由四边形ABDC是菱形，可知为正三角形，
设球心在平面内的射影为，在平面内的射影为，
则为的中心，
所以，，，
由于二面角A-BD-C的余弦值为，
故设，则， ，
故，则，
，球的半径，
所求外接球的体积为，
故答案为：．
2．（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图1，过作垂足为，取的中点，连接
过作∥,且=，连接，则
∵△为等边三角形，则
∴，，根据题意可得
∵，则
由题意可得，则，则
如图2，∵，则顶点在平面的投影为△的外接圆圆心，则三棱锥的外接球的球心在直线上，连接
，则
∴△的外接圆半径，则
设棱锥的外接球的半径为，则
即，解得
三棱锥的外接球的表面积为
故选：D．
3．（2023·全国·高三专题练习）两个边长为2的正三角形与，沿公共边折叠成的二面角，若点在同一球的球面上，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题，设正三角形与的中心分别为，根据外接球的性质有平面，平面，又二面角的大小为，故，又正三角形与的边长均为2，故，故.易得，故，故，又，故球的半径，故球的表面积为
故选：B
4．（2022·全国·模拟预测）已知四边形为菱形，且，现将沿折起至，并使得与平面所成角的余弦值为，此时三棱锥外接球的体积为，则该三棱锥的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】在菱形中，，设，则和均为边长为的正三角形．
将折起后，，取的中点，连接、，如图．
因为，则，，
又因为，平面，
过点在平面内作，垂足为点，连接，
平面，则，
又因为，，平面，平面，，
所以，直线与平面所成角为，
在中，，所以，．
在中，，，所以，则，
因此点为正的中心，所以三棱锥是棱长为的正四面体．
将正四面体补成正方体，则正方体的棱长为，
所以，三棱锥外接球半径为，
三棱锥外接球的体积为，解得，
因此，正四面体的表面积为.
故选：B.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知菱形中，，将其沿对角线折成四面体，使得二面角的大小为，若该四面体的所有顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】在菱形中，，则为等边三角形，
设线段的中点为，连接、，则，
因为，则，同理可知，
所以，二面角的平面角为，即，
因为，则为等边三角形，所以，，
延长至点，使得为的中点，连接、，
易知，，则为等边三角形，可得，同理，
所以，为的外心，
延长至点，使得为的中点，同理可知点为的外心，
过点在平面内作，过点在平面内作，设，
因为，，，平面，
平面，，
，，平面，同理可证平面，
所以，为三棱锥的外接球球心，如下图所示：
因为，，，所以，，
所以，，则，
因为，由勾股定理可得，
因此，三棱锥的外接球半径为，
因此，三棱锥的表面积为.
故选：A.
6（2021·安徽高三月考（文））已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，平面平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图所示：
取的中点，连接，则.
因为为直角三角形，所以其外接圆圆心为的中点，
设四面体的外接球球心为，则平面，易知点，点位于平面同侧，
又因为平面，所以，连接，，
故四边形为直角梯形，过作于点，则四边形为矩形，连接，
设四面体的外接球的半径为，.
在中，，，
所以，.
在中，，
所以，①
在中，，
在直角梯形中，，，.
在中，，即.②
解①②组成的方程组，得，
所以，解得(负值舍去).
所以四面体的外接球的表面积.
故选：C
题组六 矩形模型
1．（2022·安徽合肥市）在三棱锥中，，，.若三棱锥的体积为1，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以和为以为斜边的直角三角形，则的中点到各个顶点的距离都相等，则为外接球的球心.即为直径.
过做平面，垂足为，连结，，
则，解得：.
，，，，则
分别为在平面内的射影，所以有，
又，为公共边，所以，则，所以在的角平分线上，，
，，，所以有平面，平面，则有，
因为，，所以，则，
则
故外接球的表面积为.
故选：D.
2．（2022·甘肃酒泉市）已知三棱锥，当三棱锥的体积最大时，则外接球的表面积为___________.
【答案】
【解析】
如图，在中，
由，可得：，
所以为直角三角形，
由，若要三棱锥的体积最大，
则平面时三棱锥的体积最大，
由为直角三角形，所以外接圆直径为，
所以外接球直径，，
所以外接球的表面积，
故答案为：
3．（2021·江西南昌市）四面体中，，，，则该四面体的外接球表面积为__________．
【答案】
【解析】由题意，，，则，
所以，，同理，
取中点，则到四点的距离相等，即为外接球的球心，
所以球半径为，球表面积为．故答案为：．
4．（2023·全国·高三专题练习）在矩形中，，点，分别是，的中点，沿将四边形折起，使，若折起后点，，，，，都在球的表面上，则球的表面积为
【答案】
【解析】因为矩形中，，点，分别是，的中点，
所以四边形和四边形是正方形，
又沿将四边形折起，使，
所以几何体是正三棱柱，，
设球的球心在底面的射影为，因此，
显然是等边三角形的中心，
，
在直角三角形中，，
所以球的表面积为，
题组七 内切球
1．（2023·全国·高三专题练习）已知正四棱锥的侧棱长为，底面边长为2，则该四棱锥的内切球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图，设O为正四棱锥的底面中心，E为BC的中点，连接,PO,OE,PE,
则PO为四棱锥的高，PE为侧面三角形PBC的高，
因为,故 ,则 ，
设该四棱锥的内切球的半径为r，
则 ，
即 ，解得 ，
故内切球的体积为 ,
故选：B
2．（2022·湖北·模拟预测）已知中，，，，以为轴旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】旋转体的轴截面如图所示，其中为内切球的球心，
过作的垂线，垂足分别为，则（为内切球的半径），
故，，
故，故，故，
故旋转体的内切球的表面积为，故选：B
3．（2022·河南）六氟化硫是一种无机化合物，化学式为，常温常压下为无色无臭无毒不燃的稳定气体，密度约为空气密度的5倍，是强电负性气体，广泛用于超高压和特高压电力系统．六氟化硫分子结构呈正八面体排布（8个面都是正三角形）．若此正八面体的表面积为，则该正八面体的内切球的体积为______．
【答案】
【解析】设该正八面体的棱长为a，则，解得a＝4．
故内切球圆心O到各顶点的距离为．
故在正三棱锥O－ABC中，，
故．
由正八面体的结构特征可得的长为内切球半径.
所以该正八面体的内切球体积为．
故答案为：.
4．（2022·安徽）连接正方体的每个面的中心构成一个正八面体（如图所示），该正八面体内切球与原正方体内切球的表面积之比为__________.
【答案】
【解析】不妨设正方体边长为2，则正方体内切球半径，
正八面体边长为，它的内切球球心为正方体中心，记正八面体内切球半径为，
将正八面体分为8个以为顶点的三棱锥，
故，
解得，
所以该正八面体内切球与原正方体内切球的表面积之比为.
故答案为：
5．（2022·河南）正四棱锥的各条棱长均为2，则该四棱锥的内切球的表面积为______．
【答案】
【解析】设底面的中心为，连接，则，
设四棱锥的内切球的半径为，连接，得到四个三棱锥和一个四棱锥，它们的高均为，
∴，
即，
解得，
∴该四棱锥的内切球的表面积为.
故答案为：.
6．（2021·山东高三）已知正三棱锥的底面边长为侧棱长为，其内切球与两侧面分别切于点，则的长度为___________.
【答案】
【解析】如图，
设正三棱锥内切球的半径为，为内切球与侧面的切点，为侧面上切点所在小圆的圆心，半径为，
为等边三角形，
, ,,
,
,
, 即
,
，解得，
,
由正三棱锥的定义知，内切圆与三个侧面相切，切点构成的三角形为等边三角形，故,
由余弦定理可得，
所以
故答案为：