新高考数学一轮复习题型分类讲练5.4 求和常用方法（精练）（题组版）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习题型分类讲练5.4 求和常用方法（精练）（题组版）（2份，原卷版+解析版），共3页。试卷主要包含了公式法求和，裂项相消求和，错位相加法求和，分组转化求和，奇偶并项求和，其他方法求和等内容，欢迎下载使用。
1．（2025·江西景德镇·模拟预测）在数列中，已知．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）由已知条件得，因为，所以，
所以，故，即数列为以2为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）得，故，
设数列的前项和为，则.
2．（2025·海南海口·模拟预测）已知数列，其前项和为，，．
(1)求数列的通项公式及前项和；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)，
(2)
【解析】（1）因为数列的前项和为，，，
所以，，即，
所以，数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，，.
（2）因为，则且，
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，
故.
3．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知数列为等比数列，且，．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)；
(2).
【解析】（1）在等比数列中，由，，得公比，
，解得，，
所以的通项公式是.
（2）由（1）知，，
所以.
4．（2025·河南·模拟预测）已知数列和满足是等比数列，是等差数列.
(1)求和的通项公式；
(2)求和的通项公式；
(3)求的前项和.
【答案】(1)，；
(2)；
(3).
【解析】（1）由，
因为是等比数列，
则公比为，所以，
因为是等差数列，
则公差为，所以.
（2）由（1）得，
则.
（3）由（2）有.
5．（24-25北京）已知等比数列为递增数列，其前项和为，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列是首项为1，公差为3的等差数列，求数列的通项公式及前项和.
【答案】(1)；
(2)
【解析】（1）设等比数列的公比为，由，且等比数列为递增数列，所以，
，解得（负值舍去），
所以，即；
（2）由数列是首项为1，公差为3的等差数列，所以，
所以，
.
6．（2025·河南·一模）已知数列的各项均不为0，其前项和为，且.
(1)若，求；
(2)若，求.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）令，可得，
∵，∴，
∵，
∴.
（2）由题意得，.
当时，，
∴，即，
∴，
∵，∴，
∴数列的奇数项、偶数项均成公差为2的等差数列，
∴，
∴.
当时，，故数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴.
7．（2025·河南新乡·模拟预测）已知数列各项均为正数，且满足，，，
(1)求数列的通项公式；
(2)记，数列的前项和为，试证明：，
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）正项数列中，，，由，得，
则，即，，于是，
令，则有，因此，即，
，则是以2为公比，以为首项的等比数列，
于是，即，解得，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）知，，显然是等比数列，
即，
令函数，求导得，
当时，，则，
，函数在区间上单调递减，，所以
题组二 裂项相消求和
1．（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）记为数列的前n项和，且满足，．
(1)求；
(2)求；
(3)令，记数列的前n项和为，证明：．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【解析】（1）由可知数列是首项为1，公差为1的等差数列，
故，即．
（2）当时，，
又因为满足上式，故；
（3），
故，故．
2．（2025·海南·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，，
(1)求数列的通项公式；
(2)设，记数列的前项和为，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）因为①，所以，解得，
对任意的，②，
②-①得，即，
所以，即，
因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即．
（2）因为，
所以，
因为，数列为单调递增数列，所以，
即．
3．（2025·甘肃·模拟预测）已知数列的前项和为，且.
(1)求；
(2)求的通项公式；
(3)若，求数列的前项和.
【答案】(1)8，15，24
(2)
(3)
【解析】（1）因为，所以.
又，所以.
（2）由（1）可知，
则时，，
则.
当时，，适合上式，所以数殉的通项公式为；
（3）由（2）可得
则
.
4．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知首项为1的正项数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)令（），求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）令，，又由有，
则有
，
所以．
又因为数列的各项均为正数，所以．
（2）由
，
知
．
5．（2025·山东·模拟预测）记正项 的前项和为，已知.
(1)求，；
(2)证明：是等差数列；
(3)求数列的前项和.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)
【解析】（1）在正项数列中，，
令，得，解得，负值舍去；
令，得，即，则，
所以，负值舍去’
（2）当时，，而，则，
即，又，
所以是首项为2，公差为2的等差数列.
（3）由（2）知，可得，
则，
所以.
6．（2025·江西·模拟预测）已知数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由，变形可得
因为，所以数列是以1为首项、2为公比的等比数列，
故，即.
（2）因为，由（1）知，
所以，
故
7（2025·广东）已知数列的前项和为，且，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和，求证：．
【答案】(1)(2)证明见解析
【解析】（1）因为，所以，
因为，所以，即，所以．
即，又，所以数列是首项为，公比为的等比数列．所以.
（2），
故数列的前项和，
因为，所以，所以．
8．（2025·江苏）设为数列的前项和，已知，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设为数列的前项和，当时，．若对于任意，有，求的取值范围．
【答案】(1)(2)
【解析】（1），
∴，，
∴,
∴当时，；
当时，也符合上式，
∴．
（2），
∵
，
∴，
当时，满足，
当时，存在，（其中，表示不超过的最大整数），
使得，则，
∴，不满足条件，∴．
题组三 错位相加法求和
1．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知为等比数列，是，的等差中项．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）设的公比为，因为为，的等差中项，
所以，即，则，解得，所以.
（2）设的前项和为，又，
，①
，②
①②得，
所以.
2．（2025·四川·三模）已知在各项为正的等比数列中，，是与的等差中项．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设各项为正的等比数列的公比为，由，所以，
因为是与的等差中项，所以，化简得，
解得（舍去），所以数列的通项公式为；
（2）由（1）可得，，
所以，
，
两式相减得，
所以．
3．（2025·福建福州·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
【答案】(1)．(2)．
【解析】（1）因为，取可得，又，所以，解得，
当时，用替换可得，所以，即，
所以，又，即，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，即．
（2）因为，
所以，①
，②
①－②得
所以，所以．
4．（2025·山东·模拟预测）已知为数列的前项和，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）解：因为，所以.
又因为，所以，所以，所以是公差为1的等差数列.
则，所以.
当时，，
当时，满足上式，所以.
（2）证明：由题意及（1），得，
所以，①
，②
①-②得，
整理得.
又，
所以，得证.
5．（2025·全国一卷·高考真题）设数列满足，
(1)证明：为等差数列；
(2)设，求．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【解析】（1）由题意证明如下，，
在数列中，，，
∴，即，
∴是以为首项，1为公差的等差数列.
（2）由题意及（1）得，，
在数列中，首项为3，公差为1，
∴，即，
在中，
，
∴，
当且时，
∴，
∴
∴
.
6．（2025·辽宁·二模）记数列的前项和为，已知．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【解析】（1）因为，
所以当时，；
当时，，
所以，
即，
又，
所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列．
（2）由（1）得
所以．
（3）由（2）得，
记，①
则，②
由①－②得
所以，
所以．
7．（2025·辽宁·三模）已知数列满足
(1)求数列的通项公式；
(2)求和：.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）当时，，
当时，，
所以，即，
经检验，当时不满足上式，
所以数列的通项公式为；
（2）令，由（1）可得
，
，
两式相减得，
即，
化简得.
8．（2025·福建泉州·模拟预测）已知数列的前项和为，，且．
(1)证明：数列为等差数列；
(2)设，求数列的前项和；
(3)在（2）的条件下，中是否存在三项构成等差数列？若存在，求满足条件的三项；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)不存在，理由见解析
【解析】（1）由已知，
，
所以数列为首项，公差的等差数列．
（2）由（1），且时，，
，也符合，所以
所以，
所以，
因为，
所以，
，所以，
记数列的前项和为，
则，
，
所以，
所以.
（3）不存在，显然数列为递增数列，
若存在正整数，使得成等差数列，不妨设，
则，
即，
因为，所以，显然不成立，
所以数列中不存在不同的三项构成等差数列．
题组四 分组转化求和
1．（24-25高二上·上海·期中）在数列中，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为，
所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，
所以，所以；
（2）因为，
所以.
2．（2024·山东·二模）已知是公差不为0的等差数列，其前4项和为16，且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设的公差为，由题意知，即，
即有，因为，可得，，
所以；
（2）设数列的前项中的奇数项之和为，偶数项之和为，
则
，
，
所以．
3．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知数列满足，，是数列的前项和，记．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)10170.
【解析】（1）由，，得，
则，而，
所以数列是等比数列.
（2）由（1）得，，所以数列的通项公式.
（3）由（2）得，，
.
4．（2025·天津河西·模拟预测）已知等比数列的前n项和为，满足，，数列满足，，且.
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，为的前n项和，求.
【答案】(1)，
(2)
【解析】（1），，
，，
又，，
，，
由两边同除以，
得，
从而数列为首项，公差的等差数列，
，
从而数列的通项公式为
（2）由（1）知，
，
，
设，
则，
两式相减得，
整理得，
.
5．（2025·辽宁大连·模拟预测）若数列和满足：，，且
(1)设，证明：是等比数列；
(2)设，试求的前n项和．
【答案】(1)证明见详见
(2)
【解析】（1），
，
又
构成以为首项，2为公比的等比数列.
（2）由（1）可知，
，
又
构成以为首项，为公比的等比数列
，
，
∴当为偶数时，
当为奇数时，
所以
6．（2025·河北沧州·模拟预测）已知数列的前项和为，满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)；
(2).
【解析】（1）因为，所以时，，
两式相减可得，所以，即，
所以数列为常数列，则，可得.
（2）因为，所以，
可得，
所以
.
所以.
7．（2025·山西临汾·三模）已知正项数列中，，满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列满足求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由，得，
因为，所以，则，
所以是以2为首项，2为公比的等比数列，所以．
（2）方法一：
由（1）知
方法二：
由（1）知
设，则可得，
所以是以4为首项，4为公比的等比数列，
所以的前n项和，
设
所以的前n项和
所以．
8．（2025·河南·三模）已知等差数列的前n项和为，且，．
(1)求；
(2)若数列满足，求数列的前20项和．
【答案】(1)
(2)4212
【解析】（1）设等差数列的公差为d，
由，，得，解得，
所以．
（2）因为，所以，
故
9．（2025·辽宁辽阳·一模）已知等比数列是递减数列，的前项和为，且、、成等差数列，，数列满足，，
(1)求和的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)，
(2)
【解析】（1）设等比数列的公比为，由题意可得，则，
因为数列是等比数列，解得，所以，，
因为，所以，，
因为，则，所以， ，故.
（2）当为奇数时，，令，
则，
所以，，
两个等式作差可得
，
化简得；
当为偶数时，，
令，则
，
故.
10．（2025·四川自贡·二模）已知数列的前项和，数列是正项等比数列，满足，.
(1)求，的通项公式；
(2)设，记数列的前项和为，求.
【答案】(1)，
(2)
【解析】（1）因为，
所以时.
当时，，
所以，
，满足，所以，
数列是正项等比数列，.
所以公比，.
（2）由（1）知，
，
.
题组五 奇偶并项求和
1．（2025·天津武清·模拟预测）已知数列的通项公式为，其前n项和为，则数列的前2025项和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】数列的通项公式为，其前n项和为，
所以，
则数列的前2025项和为

.
故选：D.
【例4-2】（2023春·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）在数列中，，当时，
(1)求证：数列是等差数列；
(2)设，数列的前n项和为，求
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）因为，
所以，两边同除以，得，
所以是以为首项，1为公差的等差数列.
（2）由（1）知，，整理得：，
则，
当n为偶数时，，
当n为奇数时，，
所以.
题组六 其他方法求和
1（2025·江苏）已知数列是公差不为0的等差数列，，且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前2023项和.
【答案】(1)
(2)1012
【解析】（1）设等差数列的公差为，由题意可知，
即
解得，所以；
（2）由（1）可知，，
对于任意，有，
所以，
故数列的前2023项和为
.
2．（2024·河南）记为数列的前项和，已知，且满足.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）方法1：
，
时，，
累加得：，
时也成立，.
，是等差数列
方法2：
，
，
为常数数列，，
，，是等差数列.
方法3：
当时，①，
②，
②-①可得：
，
是等差数列，因为.
（2）由（1）知，所以，
方法1：并项求和
当为偶数时，
，
方法2：错位相减求和
①
②
①-②：
3．（2024·陕西咸阳·三模）数列满足，.
(1)求数列通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)；
(2).
【解析】（1）数列中，，，显然，则，
数列是首项为1，公差为1的等差数列，，
所以数列通项公式是.
（2）由（1）知，，
当时，，，
当时，，
所以.