新高考数学一轮复习题型分类讲练5.4 求和常用的方法（精练）（试卷版）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习题型分类讲练5.4 求和常用的方法（精练）（试卷版）（2份，原卷版+解析版），共3页。
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，则有，
即，则
.
故选：A.
2．（2025·江苏）2022年11月8日，著名华人数学家张益唐教授以视频方式作学术报告，与北大数学师生分享他围绕“朗道—西格尔零点猜想”所做的研究工作，他在“大海捞针”式的研究过程中提出的新想法是基于一个简单的代数恒等式：.已知数列的通项公式为，则其前9项的和等于（ ）
A．13280B．20196C．20232D．29520
【答案】B
【解析】，
.故选：B.
3．（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知数列的前n项和，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，则，则，，
而时，满足，故对，，
故.
故选：B.
4．（2025·河北衡水·模拟预测）已知数列满足，某同学将其前20项中某一项正负号写错，得其前20项和为82，则写错之前这个数为（ ）
A．64B．C．100D．
【答案】A
【解析】，则其前20项和为．
设写错项为，则，解得，
故写错之前这个数为．
故选：A．
5．（2024·陕西西安·三模）如图，用相同的球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1堆只有1层，且只有1个球；第2堆有2层4个球，其中第1层有1个球，第2层有3个球；…；第n堆有n层共个球，第1层有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球，…．已知，则（ ）
A．2290B．2540C．2650D．2870
【答案】D
【解析】在第堆中，从第2层起，第n层的球的个数比第层的球的个数多n，
记第n层球的个数为，则，
得，
其中也适合上式，则，
在第n堆中，
，
当时，，解得.
故选：D.
6．（24-25高二下·河南洛阳·阶段练习）在数列中，，，，是数列的前项和，则说法错误（ ）
A．数列是等比数列B．数列是等差数列
C．D．
【答案】C
【解析】由，得，
则数列是首项为，公比为2的等比数列，A正确.
根据等比数列的通项公式得，即，则，
所以数列是首项为，公差为1的等差数列，B正确.
根据等差数列的通项公式得，即，
所以，C错误.
由，
，D正确.
故选：C
7．（2025·宁夏石嘴山·三模）已知数列满足的前项和为，则说法不正确（ ）
A．
B．
C．构成等差数列
D．数列前100项和为
【答案】C
【解析】数列中，，
对于A，，A正确；
对于B，，则，
解得，当时，，而满足上式，因此，
所以，B正确；
对于C，，，
，C错误；
对于D，，则，D正确.
故选：C
8．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知公差为1的等差数列满足，，成等比数列，则说法不正确（ ）
A．B．的前项和为
C．的前2025项和为D．的前10项和为
【答案】B
【解析】由题意设等差数列的公差为，则，
因为，，成等比数列，所以，
所以，
解得：，所以，
对于A，，故A正确；
对于B，的前项和为，故B错误；
对于C，因为，
所以的前2025项和为，故C正确；
对于D，因为，
所以的前10项和为，故D正确.故选：B
多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，不分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（2025·四川成都·三模）已知公差为1的等差数列满足成等比数列，则（ ）
A．
B．的前项和为
C．的前8项和为
D．的前50项和为
【答案】ABD
【解析】对于A，因为成等比数列，所以，即，解得，故A正确；
对于B，的前项和为，故B正确；
对于C，因为，
所以的前8项和为，故C错误；
对于D，因为，
所以的前50项和为，故D正确.
故选：ABD
10．（2025·广西·三模）已知首项为1的正项数列满足，若数列前项和为，且，则下列结论正确的有（ ）
A．是等差数列B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】对于A，因为，所以，即是等差数列，A正确；
对于B，设的公差为，则，即，
，
所以，
因为，所以，解得，所以，，B不正确；
对于C，由B可知，C正确；
对于D，令，则，
即为增函数，所以，即，
所以，
又，所以，D正确.
故选：ACD
11．（2025·河北·二模）已知数列的前项和为，且满足，，，则以下说法正确的是（ ）
A．是等比数列B．是等比数列
C．D．
【答案】AB
【解析】设，则，
则，解得或，
当时，，
因，所以是以4为首项，4为公比的等比数列，
所以①，故A正确；
当时，，
因，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以②，故B正确；
①②两式作差得，，故C错误；
数列的前项和为，
数列的前项和为，
则，故D错误．
故选：AB．
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（24-25四川绵阳·阶段练习）已知函数，则 ．
【答案】
【解析】因为，所以，且，
所以，
所以
.
故答案为：
13．（2025·山东·一模）若数列满足，，则的前2025项的和为 ．
【答案】1013
【解析】易知当为偶数时，可得，即；
所以可知的前2025项的和.
故答案为：1013
14．（2024·浙江·模拟预测）已知数列的前项和为，且，数列的前项和为，且，则满足的正整数的最小值为 .
【答案】15
【解析】因为，
所以，
因为，所以，
整理得，
所以，
所以，
令，解得.
所以正整数的最小值为15.
故答案为：15
解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（2025·广东佛山·三模）已知数列满足，且是关于的方程的两个根．
(1)求；
(2)设，求数列的前21项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为是关于的方程的两个根，
所以．
所以数列是一个首项为1，公差为2的等差数列．
因此．
（2）由（1）知，对于方程，
由韦达定理得，即．
所以
．
所以
．
16．（2025·山东·模拟预测）已知数列各项均为正数，.
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）因为，又，
所以，即，
由题意得，于是，而，
即是以1为首项，1为公差的等差数列，
从而，即，因此，
而满足上式，故.
（2）由（1）知，则，
因此，
则，
显然数列单调递减，于是，
则，故.
17．（2025·全国·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，，
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和；
(3)设，记数列的前n项和为，证明：．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【解析】（1）因为，
所以，解得，
又，
所以，即，
所以，即，
因为，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以，即．
（2）因为，
所以，①
，②
①－②得，
所以．
（3）因为，
所以，
易知是增函数，所以，
所以．
18．（2025·河南·二模）已知数列的各项均为正数，前项和为，且，是与的等差中项.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）因为是与的等差中项，所以，
所以，
因为数列的各项均为正数，所以，
所以，所以，
所以数列是公差为1，首项为的等差数列；
（2）因为数列是公差为1，首项为的等差数列，
所以，
所以，当时，，
当时，，
所以,
所以，
19．（2025·河南·模拟预测）已知数列的首项为1，其前项和为，等比数列是首项为1的递增数列，若.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的前项和；
(3)求使得成立的最大整数.
【答案】(1)证明见解析
(2)；
(3)6
【解析】（1）①，
当时，②，
式子①-②，化简得，
两边同时除以得，
中，令得，
即，又，故，
，故对，
数列是首项为1，公差为1的等差数列；
（2），则，设数列的前项和为，
当为偶数时，，
，
，
当为奇数时，为偶数.
，
；
（3）设等比数列的公比为，
由，或，
又数列是递增数列，.
由（2）知，即，
令，则，
，
当时，，当时，，当时，，
即有，
又，
故当时，，
又，
，当时，，故使得成立的最大整数为6.