新高考数学一轮复习考点分层练习第5章§5.4平面向量中的综合问题（含答案解析）

这是一份新高考数学一轮复习考点分层练习第5章§5.4平面向量中的综合问题（含答案解析），共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.(2025·昆明模拟)设x>0，向量AB=(x2，-2x)在向量AC=(1，2)上的投影向量为λAC(λ∈R)，则实数λ的最小值为( )
A.-45B.-455
C.-15D.-55
2.已知点P是边长为2的正方形ABCD所在平面内一点，若|AP-AB-AD|=1，则|AP|的最大值是( )
A.22-1B.22
C.22+1D.22+2
3.已知非零向量AB与AC满足AB|AB|+AC|AC|·BC=0且AB|AB|·CA|AC|=12，则△ABC的形状是( )
A.三边均不相等的三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形
4.在△ABC中，AC=9，∠A=60°，点D满足CD=2DB，AD=37，则BC的长为( )
A.37B.36
C.33D.6
5.在平行四边形ABCD中，点P在对角线AC上(包含端点)，且AC=2，则(PB+PD)·PA有( )
A.最大值为12，没有最小值
B.最小值为-12，没有最大值
C.最小值为-12，最大值为4
D.最小值为-4，最大值为12
6.(2024·呼和浩特模拟)在△ABC中，D为线段AC的一个三等分点，AD=2DC.连接BD，在线段BD上任取一点E，连接AE，若AE=aAC+bAB(a，b∈R)，则a2+b2的最小值为( )
A.134B.52
C.413D.25
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.设点D是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的有( )
A.若AD=12(AB+AC)，则点D是边BC的中点
B.若AD=13AB|AB|csB+AC|AC|csC，则直线AD过△ABC的垂心
C.若AD=2AB-AC，则点D在边BC的延长线上
D.若AD=xAB+yAC，且x+y=12，则△BCD是△ABC面积的一半
8.已知△ABC的面积为3，在△ABC所在的平面内有两点P，Q，满足PA+2PC=0，QA=2QB，记△APQ的面积为S，则下列说法正确的是( )
A.PB∥CQ
B.BP=13BA+23BC
C.PA·PC0，
则|AD|2=23AB+13AC2，
得37=49x2+49×x×9cs 60°+19×92，
即2x2+9x-126=0，
解得x=6(舍负)，即AB=6，
所以|BC|=|AC-AB|= |AB|2+|AC|2−2|AB||AC|cs60°
=62+92−2×6×9×12=37.]
5.C [设AC与BD的交点为O，则PB+PD=2PO，所以(PB+PD)·PA=2PO·PA，
如图(1)，当点P在AO上，设|PO|=a∈[0，1]，(PB+PD)·PA=2PO·PA=-2a(1-a)，当a=12时，有最小值为-12.
如图(2)，当点P在CO上，设|PO|=a∈[0，1]，(PB+PD)·PA=2PO·PA=2a(1+a)，当a=1时，有最大值为4.
综上，(PB+PD)·PA有最小值为-12，最大值为4.]
6.C [设BE=λBD，λ∈[0，1]，
因为AD=2DC，所以AE=AB+BE=AB+λBD=AB+λ(BA+AD)
=2λ3AC+(1-λ)AB，
所以a=2λ3，b=1-λ，
所以a2+b2=49λ2+(1-λ)2
=139λ2-2λ+1，
当λ=-−22×139=913时，a2+b2取得最小值为413.]
7.ABD [对于A，
∵AD=12(AB+AC)，
即12AD-12AB=12AC-12AD，即BD=DC，
即点D是边BC的中点，故A正确；
对于B，AD·BC
=13AB·BC|AB|csB+AC·BC|AC|csC
=13(-|BC|+|BC|)=0，
即AD⊥BC，
故直线AD过△ABC的垂心，故B正确；
对于C，∵AD=2AB-AC，即AD-AB=AB-AC，即BD=CB，
即点D在边CB的延长线上，故C错误；
对于D，∵AD=xAB+yAC，且x+y=12，设AM=2AD，
则AM=2AD=2xAB+2yAC，且2x+2y=1，故M，B，C三点共线，且|AM|=2|AD|，
即△BCD是△ABC面积的一半，故D正确.]
8.BCD [由PA+2PC=0，
QA=2QB，
可知点P为AC的靠近点C的三等分点，点Q为AB延长线上的点，且B为AQ的中点，如图所示，对于A，点P为AC的靠近点C的三等分点，点B为AQ的中点，所以PB与CQ不平行，故A错误；
对于B，BP=BA+AP=BA+23AC=BA+23(BC-BA)=13BA+23BC，故B正确；
对于C，PA·PC=|PA||PC|cs π=-|PA||PC|