新高考数学一轮复习高频考点讲与练第3章第14讲： 一元函数的导数及其应用 章节总结 (精讲）（2份，原卷版+解析版）

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题型一：求切线问题
1．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知函数，过点作曲线的切线，则此切线的方程为 ．
【答案】或
【分析】分点P为切点和点P不为切点两种情况讨论，结合导数的几何意义即可求解.
【详解】因为，
当点P为切点时，则切线的斜率为，
所以所求切线方程为，即；
当P点不为切点时，设切点坐标为，
切线的斜率为，
则切线方程为，
因为切线过点，且，
所以，
整理，得，解得或1（舍去），
则，
所以切点坐标为，切线的斜率为，
所以切线方程为，即，
所以所求切线的方程为或或．
故答案为：或．
2．（2025·山东泰安·模拟预测）函数在处的切线方程为 .
【答案】
【分析】根据导数的几何意义，求出在一点的切线方程.
【详解】，当时，切线的斜率，，
所以切线方程为，即.
故答案为：.
3．（2025·海南三亚·一模）曲线在点处的切线方程为 .
【答案】
【分析】根据题意，求得，得到，结合导数的几何意义，即可求解.
【详解】由函数，可得，
所以，即切线的斜率为，切点坐标为，
所以切线的方程为，即.
故答案为：.
4．（2025·山东泰安·模拟预测）曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 .
【答案】/0.25
【分析】先求出导函数得出切线斜率，再点斜式得出切线方程，进而得出截距求出面积即可.
【详解】对函数求导得，故所求切线斜率为，切点坐标为，
所以，曲线在处的切线方程为，
该切线交轴于点，交轴于点，
因此，曲线在处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为.
故答案为：.
5．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知函数在及处取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)求函数在处的切线方程；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据极值点以及根与系数求得.
（2）利用切点和斜率即可求得切线方程.
【详解】（1）依题意，在及处取得极值，
而的两根为，，
所以，，
，，
此时，
所以在区间上，单调递增，
在区间上，单调递减，
所以及是极值点，符合题意.
所以.
（2）由（1）得，，
，，则切线方程为，
化简得，函数在处的切线方程为.
题型二：公切线问题
1．（24-25高二下·云南·期中）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 .
【答案】
【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点求出，利用公切线斜率相等求出表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解
【详解】由，得，，
故曲线在处的切线方程为；
由，得，
设切线与曲线相切的切点为，，
由两曲线有公切线得，解得，则切点为，
故切线方程为，即
因两切线重合，则，解得．
故答案为：．
2．（2025·河北·模拟预测）若函数与的图象有两条公切线，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】由题设公切线分别切，于点，由题可得，据此可将问题化简为有两解，据此可得答案.
【详解】设公切线分别切，于点.
则有以下关系式：①，②
由①得：代入②式变形得：，又.
令，原命题化为：有两解.
，令，
则，为上的减函数.
又注意到，则在区间上，，在区间上递增，
结合，，则此时值域为；
在区间上，，在区间上递减，
结合，则此时值域为.
则当时，存在，使.
故的取值范围是.
故答案为：.
3．（24-25高二下·广东·期中）若曲线与曲线有三条公切线，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】设公切线为，、分别是与、的切点，应用导数的几何意义求切线方程，根据公切线列方程求得，问题化为直线与曲线有三个不同的交点，再应用导数研究交点求参数范围.
【详解】设公切线为，
是与的切点，由，得，
是与的切点，由，得，
所以的方程为，因为，整理得，
同理，因为，整理得.
依题意两条直线重合，可得，
两式相除得，所以，代入①得，
由题意此方程有三个不等实根，设，，
即直线与曲线有三个不同的交点，
因为，令，则或，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以有极小值为，有极大值为，
当趋近于0时，趋近于0；当趋近于时，趋近于，
所以当，即时，直线与曲线有三个交点，
故答案为：
4．（2025·福建福州·三模）曲线与的一条公切线的方程为 .（只需写出其中一条公切线的方程）
【答案】或（写出其中一条即可）
【分析】方法一：分别设切点，，根据导数的几何意义写出对应切线方程，再利用公切线斜率和截距相等形成方程组，解出方程组即可求出公切线方程；
方法二：利用特殊法，发现指对函数中的一条常用斜率为1的切线，再验证是他们的公切线即可.
【详解】（方法一）设，.公切线与相切于点，与相切于点，因为，，则公切线斜率，所以公切线方程为或，
整理得或，
所以，即.
所以，解得或，
所以公切线方程为或.
（方法二）由曲线与直线相切知，曲线与直线相切.由曲线与直线相切知，曲线与直线相切.所以直线为曲线与的公切线.
故答案为：或.（写出其中一条即可）
5．（2025·福建泉州·模拟预测）已知函数，则与曲线，都相切的直线的方程是 ．
【答案】
【分析】由题可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，直线与，的切点分别为，，由导数的几何意义分别求得两点处的切线方程，由两切线斜率及截距相等列出方程组求解即可．
【详解】由题可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，直线与，的切点分别为，，
，，，，
对于，切线方程为，
对于，切线方程为，
所以，解得，
所以直线的方程为，
故答案为：．
题型三：切线条数问题
1．（24-25高二下·湖北·阶段练习）从点可向曲线引三条不同切线，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先设出切点坐标，根据两点坐标写出直线的斜率再根据切点的导数值等于切线的斜率列方程，因为有三条不同切线所以对应方程有三个不同的解，即对应函数有三个零点，通过函数的导数研究函数的单调性与极值并确定极值的取值范围从而求出的取值范围.
【详解】设曲线在点处的线线过点，
由，求导得，所以，
所以曲线在处的切线方程为，
因为从点可向曲线引三条不同切线，
所以有三个不同的解，即有三个不同的解，
设，该函数有三个不同零点，求导得，
令，则或，
当或，，当，，
所以：函数在区间单调递减，在和区间上单调递增，
所以函数在和处分别取得极大值和极小值，要想函数有三个不同零点，
则，即，解得.
故选：B.
2．（24-25高二下·山东青岛·期中）过点作曲线的切线，不同的切线条数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】设切点坐标，由斜率构造等式求解即可.
【详解】由题意设切点坐标，
，
切线斜率：，，
化简可得：，
解得：或，
所以满足条件的切点有两个，对应切线有2条，
故选：C
3．（2025·全国·一模）函数过原点的切线条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】利用二倍角的正弦公式变形后设切点为，利用导数的意义得到切线方程，再对解的情况进行讨论可得.
【详解】，
，
设切点为，切线方程为，
将原点代入切线方程可得，
所以，
化简可得，解得或，
当时，，，切线方程为；
当时，解得，当为偶数时，对应的切线方程为；当为奇数时，对应的切线方程为；
所以共有3条不同的切线.
故选：C
4．（24-25高二下·山西·期中）已知函数，过点可向曲线引3条切线，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设切点后由导数的意义得到切线方程，代入转化为三次方程有三个不同实数根问题，构造函数求导得到极值点和极值，再根据三次方程有三个不同根的条件计算.
【详解】设切点为，
由可得，所以切线的斜率为，
所以切线方程为，
由点在切线上代入可得，
即三次方程有三个不同的实数根，
令，则，
所以极值点为和，
又极值点处函数值为，
三次方程有三个不同实数根的充要条件是极值点处函数值异号，
所以，解得.
故选：B
5．（24-25高三下·上海青浦·阶段练习）若直线上点P可以作曲线的两条切线，则点P横坐标的取值范围是 .
【答案】
【分析】先求出过点的切线方程，分离参数变量，转化为函数直线与曲线有两个交点,借助导数研究单调性和最值，结合图像可解.
【详解】曲线即曲线，
在曲线上任取一点，对函数求导得，
所以曲线在点处的切线方程为，即，
设点，则，即.
令，则，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以．
由题意知，直线与曲线有两个交点，则，
当时，且当t无穷靠近0,无穷接近0，
当时，恒成立，
大致图象如下：

故.
故答案为：.
题型四：利用导数研究函数的单调性（小题）
1．（24-25高二下·云南昭通·期中）若函数在区间上是减函数，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题可得在上恒成立，即在恒成立，据此可得答案.
【详解】因为，
而时，函数单调递减，所以在恒成立，
即恒成立，因为，所以，
即在恒成立，
因为在上单调递增，
则，所以.
故选：A．
2．（24-25高二下·河南南阳·阶段练习）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意可得对于恒成立，可得对于恒成立，进而求解即可.
【详解】由，则，
因为函数在上单调递减，
所以对于恒成立，
即对于恒成立，
而，则，即，
则实数a的取值范围为.
故选：D.
3．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意可得在上恒成立，即，令，求出即可得出答案.
【详解】因为函数在上单调递增，
所以在上恒成立，
所以，因为在上单调递增，
所以，所以.
故选：B.
4．（24-25高二下·山东淄博·期中）已知函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求导后讨论单调性，再根据题意可得，进而解不等式即可.
【详解】由题知函数的定义域为， ，
所以，当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
因为函数在区间上不单调，
所以，，解得，
所以，实数的取值范围是.
故选：D．
5．（2025·四川眉山·模拟预测）函数在区间上单调递减的必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用导数求出函数在区间上单调递减的等价条件为，再根据包含关系判断即可.
【详解】函数，
求导得，
函数在区间上单调递减，
等价于在区间上恒成立，
则，等价于，
与，与，与不具有包含关系，
所以，，不是函数在区间上单调递减的必要不充分条件，
因为是的真子集，所以是函数在区间上单调递减的必要不充分条件，
故选：A.
6．（24-25高二下·四川广安·阶段练习）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意可得在上恒成立，即，令，求出即可得出答案.
【详解】因为函数在上单调递增，
所以在上恒成立，
所以，因为在上单调递增，
所以，所以.
故选：B.
7．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数，都有成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】由题意可得在上单调递增，令，则对恒成立，求解即可.
【详解】因为，都有成立，
不妨设，则有，所以，
所以可得在上单调递增，
又，所以，
所以对恒成立，所以对恒成立，
又对，当且仅当时，等号成立，
所以，所以实数的取值范围是.
故答案为：.
8．（24-25高二下·上海黄浦·阶段练习）若函数存在单调递减区间 ， 则实数的取值范围是 ．
【答案】或
【分析】由题意转化为导数小于0有解，利用判别式求解即可.
【详解】求导可得，
由题意，有解，
所以只需，解得或，
故实数的取值范围是或.
故答案为：或.
9．（24-25高二下·天津·期中）已知函数 在上不单调，则t的取值范围是 .
【答案】
【分析】求导，利用导数判断的单调性，利用函数在上不单调，建立不等式，即可求得的范围.
【详解】由题意可知：的定义域为，且，
令，解得或；令，解得；
可知在，上单调递增，上单调递减，
若在上不单调，
则或，解得或，
即实数的取值范围是.
故答案为：．
10．（24-25高二下·天津滨海新·期中）若函数在上不单调，则实数的取值范围是
【答案】
【分析】先对函数求导，根据函数单调性与导数的关系，结合函数在上不单调这一条件，确定的取值范围.
【详解】已知，其定义域为.
对求导可得：.
令，即，因为，所以，则，解得.
当时，，，，所以，函数在上单调递减；
当时，，，，所以，函数在上单调递增.
因为函数在上不单调，所以.
故实数的取值范围是.
故答案为：.
题型五：借助单调性构造函数解不等式
1．（24-25高二下·山东日照·阶段练习）设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，构造函数并利用导数确定单调性比较大小.
【详解】令函数，求导得，函数在上单调递增，
因此，即，则，
令函数，求导得，函数在上单调递减，
因此，即，则，
所以.
故选：B
2．（24-25高二下·安徽·阶段练习）已知，，，则、、的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用余弦函数的单调性可得，构造函数，由函数单调性可得，即可得出大小关系.
【详解】因为余弦函数在上单调递减，且，
所以；
因为，，
设，则，
所以在上单调递增，所以，
所以，所以.
故选：D．
3．（2025·重庆·三模）设则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】令，求导分析单调性，再结合和对数的性质比较可得.
【详解】令，则，
所以在上单调递增，
所以，即，
又，即，可得，
，所以，
综上.
故选：B.
4．（24-25高二下·云南玉溪·阶段练习）已知函数的定义域为R，其导函数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】构造，求导确定单调性，即可求解.
【详解】构造函数，R，
则，所以函数为R上的减函数，
则，即，所以，A错误，B正确；
因为，所以，即，
所以，C错误，
因为，可得：，
所以，D错误．
故选：B.
5．（24-25高二下·河北邢台·阶段练习）函数及其导函数的定义域均为．若，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】构造函数，求导确定在R上单调递减，不等式等价于，即，运算得解.
【详解】令，则，
，，即在R上单调递减，
又，则不等式等价于，
，即，
，解得.
所以不等式的解集为.
故选：C.
6．（24-25高二下·浙江宁波·开学考试）已知定义域为的函数，其导函数为，且,则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】构造函数，对求导，结合条件，得到在上单调递减，再对各个选项逐一分析判断，即可求解.
【详解】令，则，
又，，所以，即在上单调递减，
对于选项A，因为，所以，故选项A错误，
对于选项B，因为，所以，故选项B正确，
对于选项C，因为，所以，故选项C错误，
对于选项D，，所以，故选项D错误，
故选：B.
7．（多选）（2025·安徽黄山·二模）已知是定义在上的奇函数，且图象连续不间断，函数的导函数为．当时，，其中为自然对数的底数，则（ ）
A．在上有且只有1个零点B．在区间上单调递增
C．D．
【答案】ACD
【分析】构造，根据已知及奇偶性定义、导数研究函数的性质得到在R上单调递减，且时，时，，进而判断各项的正误.
【详解】令，而是定义在上的奇函数，则，
，即在R上也是奇函数，
而，当时，，
所以在上单调递减，结合奇函数性质知：在R上单调递减，
综上，时，时，，故，
显然时，故时，时，
所以在上有且只有1个零点，，，A、C、D对；
由，显然在上单调递增，且，
在上单调递减，在上单调递增，且周期为，，
所以在上不一定单调，B错.
故选：ACD
8．（24-25高二下·江苏南京·开学考试）已知定义在的函数满足，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】令函数，求导函数并根据函数符号与单调性的关系判断得出的单调性，再利用单调性解不等式可得结论.
【详解】构造函数，则，
又，，可得，
因此在上单调递增，
原不等式可化为，即，
可得，因此，
解得.
故答案为：.
题型六：利用导数研究函数单调性（含参讨论）
1．（24-25高二下·云南·期中）已知函数；
(1)当时，求证恒成立．
(2)讨论的单调性．
【答案】(1)证明见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）求导，判断函数单调性，根据函数单调性判断最值，即可得证；
（2）求导，分情况讨论导函数的正负情况，进而可得函数单调性.
【详解】（1）由已知当时，，
则，
令，解得，令，解得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以；
（2）由，
则，
当时，恒成立，令，解得，
且当时，，当时，，
即函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，令，解得，，
①当时，，且当时，，当时，，
即函数在和上单调递增，在上单调递减；
②当时，，即恒成立，函数在上单调递增；
③当时，，且当时，，当时，，
即函数在和上单调递增，在上单调递减；
综上所述，当时，函数在上单调递减，在上单调递增；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递增；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减.
【点睛】(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．关键是分离参数k，把所求问题转化为求函数的最小值问题．
(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．
2．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)当时，讨论函数的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，再根据点斜式求出切线方程；
（2）求导，令，求得两根，对两根的大小分类讨论可得函数的单调性.
【详解】（1），所以切点为
又，所以切线方程为
（2）定义域为
令，解得或，
①当，即时，在单调递减，在上单调递增，
②当，即时，在单调递减，
③当，即时，
在上单调递减，在上单调递增.
3．（2025高二·全国·专题练习）已知函数.
(1)若，求在处的切线方程；
(2)设函数，讨论在区间上的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义求解；
（2）求导，分，两种情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间.
【详解】（1）当时，，
则，所以，，
所以切线方程为；，即.
（2）由，，
当时，，在上单调递增；
当时，令.
当时，在上单调递增；
当时，，在上单调递减.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
4．（24-25高二下·河北保定·阶段练习）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）求出，，代入直线的点斜式方程可得答案；
（2）分、、讨论，利用导数判断可得答案.
【详解】（1）当时，则，，
所以，则切点为，切线的斜率，所以切线方程为；
（2）函数的定义域为，又，
当时，则当时，当或时，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，；
当时（当且仅当时取等号），
所以的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，则当时，当或时，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，；
综上可得：
当时的单调递减区间为，单调递增区间为，；
当时的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时的单调递减区间为，单调递增区间为，.
5．（2025·江西南昌·模拟预测）已知函数.
(1)已知在取得极值，求a的值，
(2)当时，讨论的单调性；
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）求出导函数，利用可得答案；
（2）求出导函数，分，，三种情况讨论，分别判断导函数符号，即可得到函数的单调性.
【详解】（1）因为，
所以，
因为在取得极值，
所以 ，
经检验符合题意；
（2）由题意可知的定义域为， .
由可得或，
当时，,故在上单调递减.
当时，，故令，解集为，
令，解集为，
因此的递增区间为，递减区间为，.
当时，，令，解集为，
令，解集为，
因此的递增区间为，递减区间为，.
综上所述，当时，在上单调递减；
当时，的递增区间为，递减区间为，；
当时，的递增区间为，递减区间为，.
6．（24-25高二下·广东·期中）已知函数．
(1)若，求在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解；
（2）求导得，分两种情况讨论导函数的符号，可得出原函数的单调性．
【详解】（1）若，则，则，，，
所以在点处的切线方程为．
（2），
①当，令，解得，令，解得，
在单调递增，在单调递减；
②当，令，解得，，
当时，令，解得或，令，解得，
在，单调递增，在单调递减；
当时，，在上单调递增，
当时，令，解得或，令，解得，
在，单调递增，在单调递减，
综上，当时，在单调递增，在单调递减；
当时，在，单调递增，在单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在，单调递增.在单调递减．
7．（24-25高二下·河北·期中）已知函数，其导函数为．
(1)设．
①求的值；
②求在上的最大值．
(2)讨论的单调性．
【答案】(1)①；②-7
(2)答案见解析
【分析】（1）①由题意先求导，由即可求解；②利用导数研究函数单调性，即可求最大值；
（2）先求导得，对于的取值情况分类讨论即可求解.
【详解】（1）①由题意得，
则，解得．
②由①得，，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，也就是最大值，最大值为．
（2）由题意有的定义域为，．
当时，，由，得，由，得，
在上单调递减，在上单调递增；
当时，由，得，由，得或，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当时，，在上单调递增；
当时，由，得，由，得或，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减．
题型七：利用导数研究函数的极值
1．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）函数的极小值点是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】对函数求导，确定导函数零点，分析函数单调性确定极值点即可.
【详解】由，
则
令，解得或或，
所以时，，函数单调递增，
时，，函数单调递增，
时，，函数单调递减，
时，，函数单调递增，
故函数的极小值点是.
故选：D.
2．（24-25高二下·河南新乡·阶段练习）若是函数的极小值点，则实数（ ）
A．6B．3C．2D．4
【答案】B
【分析】求出函数的导数，由题意得出，求出实数的值，并验证为函数的极小值点，得解.
【详解】易得，则，解得．
当时，，
所以当和时，，
当时，，故是的极小值点，符合题意．
所以.
故选：B.
3．（24-25高二下·福建漳州·期中）函数在处有极小值5，则（ ）
A．B．C．或D．或3
【答案】A
【分析】根据极值点的导数为0和极值点处的函数值条件求出的值，再进行验证即可求解.
【详解】，由题意得，
即，解得或，
当时，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以时，取得极小值，符合题意；
当时，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，，
所以时，取得极大值，不符合题意；
所以，.
故选：.
4．（24-25高二下·天津西青·阶段练习）函数在时有极值10，则的值为（ ）
A．
B．
C．或
D．或
【答案】B
【分析】由取得极值的必要条件得或，再由取极值的充分条件检验即可.
【详解】由题意，
因为函数在时有极值10，
所以，消去可得，解得或，
当时，，，此时在上单调递增，不存在极值，不符合题意；
当时，，，
或，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在处取得极小值，
故满足题意.
故选：B.
5．（2025·辽宁盘锦·三模）已知函数在处的切线与直线垂直，则的极小值为 ．
【答案】
【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出，再求出极小值.
【详解】函数，求导得，依题意，，解得，
令，解得，则当时，；当时，，
所以的极小值为.
故答案为：
6．（24-25高二下·江苏·阶段练习）若函数在上有极值，则实数的取值范围是
【答案】
【分析】根据题意函数在区间上有极值等价于在该区间上有解，通过分析方程解的存在条件，即可确定参数的取值范围.
【详解】因为，，
函数在上有极值，则在有解，即.
时，，则，则.
时，，，不能说明函数在上有极值，所以；
时，，，不能说明函数在上有极值，所以.
故答案为：.
7．（24-25高二下·广东揭阳·阶段练习）已知函数，若2是的极小值点，则 .
【答案】3
【分析】根据函数极值点的导函数值为0，列出方程求参数值，再验证在此处为极小值点即可.
【详解】由2是的极小值点可知，
由，得，
因为，则，解得，
当时，，，
可知在上单调递减，在上单调递增，所以2是的极小值点，
故答案为：3.
8．（24-25高二下·河北衡水·期末）已知函数．
(1)若，求在处的切线方程；
(2)若，求的单调区间；
(3)求的极大值．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）由函数求导，利用导数的几何意义，求得斜率与切点坐标，根据点斜式方程，可得答案；
（2）由函数求导，利用导数与函数单调性的关系，根据分类讨论，结合二次函数性质，可得答案；
（3）由函数求导，利用极大值的判定条件，根据分类讨论，结合二次函数性质，可得答案
【详解】（1）由，则，求导可得，
所以函数在处的切线斜率，，
故切线方程为，化简可得.
（2）由，求导可得，
化简可得，
当时，，令得，
由得，由得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，令得，由得，由得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
综上可得
当时，函数的单调增区间为，单调递减区间为.
（3）由（2）可知当时，无极大值；
当时，由导数，则令得或，
当时，即，
由得或，由得，
所以函数的极大值为；
当时，即，则，函数在上单调递减，无极大值；
当时，即，
由得或，由得，
所以函数的极大值为；
综上所述，当或时，函数无极大值；
当时，函数的极大值为；
当时，函数的极大值为.
9．（2025·广东佛山·三模）已知函数．
(1)若曲线在点处的切线经过坐标原点，求的值；
(2)若存在两个极值点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求解即可；
（2）解法1：根据题意分离常数得与的图象有2个交点，利用导数作出的图象，数形结合求解即可；解法2：半分离可得与的图象有两个交点，根据，结合图象求解即可.
【详解】（1）由题意可得
，则
因为切线经过坐标原点，所以，所以；
（2）解法1：令，因为存在2个极值点，所以方程有2个变号零点，
即与的图象有2个交点
令
令，求得
当，，单调递减，当，，单调递增，
又因为当时，，且，当时，，作出图象如下：
结合图象，方程有2个变号零点的条件是
即存在2个极值点的条件是
解法2（半分离）：令，因为存在2个极值点，
所以方程有2个变号零点，即与的图象有两个交点，
先分析两个函数图象相切的情况，设是函数的切点，有
，所以
作出图象如下：
由图象可知，要使得有两个交点，，即.
10．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若有极小值，且极小值大于，求的取值范围．
【答案】(1)分类讨论，答案见解析；
(2)
【分析】（1）求出函数的定义域，对函数进行求导，分和来讨论单调性；
（2）由（1）求出函数的极小值，列出不等式，将不等式转化为，令，研究函数的单调性来求解即可．
【详解】（1）的定义域为．
①时，，此时在上单调递减；
②时，令得，令得，
此时在上单调递减，在上单调递增．
（2）由（1）知时，，整理得．
令，则，当且仅当即时取等号，
故在上单调递增，又，所以的取值范围为．
题型八：利用导数研究函数的最值
1．（24-25高二下·河南·期末）设函数，若恒成立，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】首先对函数求导，然后讨论三种不同情况下满足要求的的最小值，根据判断函数的单调性确定最大值即可确定之间的关系，进而构造新函数判断单调性即可求得最小值.
【详解】因为，所以.
对函数求导得：.
①当时，，此时，那么函数在上单调递减.
要使得，则并不恒成立，所以.
②当时，令，则，即.
所以此时函数在上单调递增；
令，则，即.
所以此时函数在上单调递减；
此时函数在上取得最大值为.
要使得恒成立，则，即，
此时.
令，求导得，
因为，所以当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减，
此时，所以的最小值为.
③当时，因为，则，
所以，所以此时函数在上单调递减.此时函数无最大值，
那么并不恒成立.
综上所述，只有当时，恒成立，此时的最小值为.
故答案为：.
2．（24-25高三上·福建漳州·期中）已知曲线C：
(1)若曲线C过点，求曲线C在点P处的切线方程；
(2)当时，求在上的值域；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由导数得切线斜率，然后由点斜式得切线方程并化简；
（2）由导数的正负确定单调性进而即得；
【详解】（1）依题意得，，此时，
，
则切线斜率为，
故切线方程：，即；
（2）当时，，则，
∴，
∴在上单调递减，
又，，
故值域为．
3．（24-25高二下·江苏南通·阶段练习）已知是函数的极值点.
(1)求满足的等量关系式；
(2)若，求在上最值.
【答案】(1)，且
(2)，
【分析】（1）求导数，由是的极值点，可知，即，令，解得两根，再根据与3的大小关系，讨论两根的关系，进而验证是的极值点是否成立，进一步明确对的限制；
（2）当时，得到的解析式，求导数，令，解得两根，再列表，判断在各区间的单调性，计算出极值和端点值，即可求出在上最值.
【详解】（1）.
因为是的极值点，
所以，即，即，
所以，
令，解得或，
①当时，，
所以在和上单调递减，在单调递增，
所以当时，取得极小值，符合题意；
②当时，恒成立，所以在上单调递减，
此时无极值，不符合题意；
③当时，，
所以在和上单调递减，在单调递增，
所以当时，取得极大值，符合题意.
综上，所以，且；
（2）因为，所以当时，，，
.
令，解得或，
所以，.
4．（24-25高二下·陕西咸阳·期中）已知函数
(1)若函数在区间上单调递增，求的取值范围.
(2)若函数在时取得极值
①求函数的单调区间；
②求函数在区间上的最小值.
【答案】(1).
(2)①函数的递增区间是，递减区间是;
②函数在区间上的最小值是
【分析】（1）由题意可得在恒成立，分离参数则，令，求出在的最小值即可得出答案.
（2）①先求导，由可求出的值，进而确定导数，由导数正负即可得解.
②由①可知函数单调性，根据单调性求出端点值和极小值，进行比较即可得解.
【详解】（1）函数在区间上单调递增，
所以在恒成立，则在恒成立，
所以在恒成立，
令
当时，，所以.
故的取值范围为：.
（2）①由题得，且定义域为.
由函数在时取得极值，得，解得，
此时，显然是的变号零点，即是极值点，
因此，
所以当或时，，当时，，
所以函数的递增区间是，递减区间是.
②由①知，函数，
且在上单调递增，在上单调递减，
又
所以函数在区间上的最小值是.
5．（24-25高二下·广东中山·阶段练习）已知函数（），曲线在处与直线相切
(1)求a，b的值
(2)求在上的最大值和最小值（其中为自然对数的底数）
【答案】(1)
(2)最小值，最大值
【分析】(1)根据曲线在某点处的切线性质求出的值；
(2)通过求导判断函数单调性，进而求出函数在给定区间上的最值.
【详解】（1）已知曲线在处与直线相切，则且.
，解得
，代入得
因，故.
（2）由(1)得，求导.
令，得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
最小值：.
端点值：，
比较得，故最大值为
6．（2025·福建·模拟预测）已知函数.
(1)求函数的极值点；
(2)若函数在区间上的最小值为0，求实数的值.
【答案】(1)极小值点为，无极大值点
(2)
【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的极值点；
（2）分、、三种情况讨论，得到函数的单调性，求出函数的最小值，即可得解.
【详解】（1）函数的定义域为，
又，
所以当时，当时，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，
所以为的极小值点，无极大值点.
（2）当，即时，在上单调递增，
所以在处取得最小值，，不符合题意；
当，即，此时在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得；
当，即，此时在上单调递减，
所以，不符合题意；
综上可得.
7．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知函数．
(1)当时，求的值；
(2)讨论的单调性；
(3)若存在最小值，且最小值不小于，求的值．
【答案】(1)1
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）根据极限的计算方法求值，并理解导数的几何意义；
（2）求出函数的定义域与导函数，再分、两种情况讨论，分别求出函数的单调区间；
（3）结合（2）中的结论，先得到，进一步构造函数根据函数最值，即可解题
【详解】（1）因为当时，，
所以 .
（2）因为定义域为，，
因为当时，恒成立，所以在上单调递增
当时，由得，由得，
即在上单调递增，在上单调递减，
综上可得当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（3）由（2）知，当时，恒成立，所以在上单调递增，无最小值；
当时，当时，单调递减；
当时，单调递增.
又，
因为最小值不小于，所以，所以，
令，
所以，，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
所以所以满足的，即得.
8．（2025·内蒙古包头·二模）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数在有最小值4，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求导，再利用导数的几何意义，求出切线的斜率，最后写出直线的点斜式方程，化简即可；
（2）分，和，讨论的单调性，即可求出在上的最小值，解方程即可得出答案.
【详解】（1）当时，，
，
故曲线在点处的切线方程为．
（2），
①当时，，因为，所以，此时在无最小值；
②当时，
（i）若，则在上，，
所以在上单调递增，无最小值．
（ii）若，则时，有在上单调递减，
时，有在上单调递增，
故在上的最小值为，
即，整理得，解得或（舍去）．
综上，得．
题型九：利用导数解决恒成立问题
1．（2025·湖北·模拟预测）已知函数
(1)求在处的切线方程；
(2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式即可得解；
（2）设，利用二次求导，可求出函数的最大值，即可得解.
【详解】（1）函数的定义域为，
由，
所以切线斜率，
故切线方程为.
（2）设，的定义域为，
，
设，
则，
故在单调递减，即在单调递减，
又，
故当时，，在单调递增，
当时，，在单调递减，
因此，
所以的取值范围是.
2．（24-25高二下·河北邢台·阶段练习）已知函数．
(1)当时，求函数的最小值；
(2)若时，都有成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)1；
(2).
【分析】（1）利用导数分析单调性可得最小值；
（2）当时，代入可得；当时，分离参数，构造，求导分析单调性和最值可得解.
【详解】（1）当时，函数的解析式为，则，
时恒成立，函数在上单调递增；时，则函数在区间上单调递减，
∴函数的最小值为：．
（2）当时，成立，此时；
当时，由，得．
令，则．
当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增．
所以．因此，即．
综上，实数的取值范围是.
3．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知函数在处取得极值，其图象在点处的切线与直线平行．
(1)求的值；
(2)若对任意，都有恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意得，求出，并检验；
（2）原不等式等价于，对恒立，令，利用导数可求该函数的最大值后可得的取值范围.
【详解】（1）因为，
由题意可得，即，解得，
所以，
故当或时，，单调递增，
当时，，单调递减，符合题意，
所以，.
（2）由，即，则，对任意，
令，则，
当或时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
又，，故，
所以，解得或.
所以的取值范围为.
4．（2025·海南·模拟预测）已知函数．
(1)若曲线与在处相交，且曲线在处的切线与直线平行，求的值；
(2)若，对于任意，都有，求实数的取值范围；
(3)若，不等式恒成立，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由曲线与在处相交，求出．再由曲线在处的切线与直线平行求出；
（2）令，利用分、讨论，利用导数可得答案；
（3）设，求出，分、讨论，利用导数可得答案．
【详解】（1）函数的定义域为，由曲线与在处相交，
所以，所以．
所以，则，
因为曲线在处的切线与直线平行，
所以，即，所以；
（2）当时，对任意，
不等式，
当时，令，求导得，
函数在上递增，，因此，
当时，，即恒成立，则；
当时，，由，得，
当时，，函数在上单调递减，
，不符合题意，所以实数的取值范围是；
（3）依题知，，不等式恒成立，
即恒成立，
设，
则
当时，恒成立，故在上单调递增，
因为，所以不符合题意；
当时，由，得，由，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则恒成立，
整理得．
设，则恒成立，
所以在上单调递增,
又，且，
故的最大值为．
5．（24-25高一下·浙江衢州·期末）已知函数．
(1)当时，求的单调递增区间；
(2)若在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合对数的运算法则求出函数的定义域，利用复合函数的单调性即可求解；
（2）结合复合函数的单调性求出的单调性，利用单调性求出最值，结合恒成立问题即可求解.
【详解】（1）由，得，所以的定义域为，
，
令，则在上单调递增，在上单调递减，
又，为减函数，
所以的单调递增区间为．
（2）由题意得当，，
当时，由（1）得在上单调递减，在上单调递增，
所以，不符合题意，
当时，为增函数，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因为，
所以，
即，解得，综上所述，．
题型十：利用导数解决有解问题
1．（24-25高二下·上海·期末）已知函数.
(1)求的导函数；
(2)求在上的单调区间；
(3)存在，使得成立，求实数的取值范围；
【答案】(1)；
(2)减区间，增区间；
(3).
【分析】（1）利用商的导数法则求导即可；
（2）利用导数的正负判断单调性即可；
（3）利用分类讨论思想，通过构造函数求导，来研究最大值成立，即存在性问题成立即可.
【详解】（1）求导得：
（2）当时，，当时，，
所以的减区间是，增区间是；
（3）由，可得，
题意等价于在上有解.
设，求导得，
当时，递增，，
所以存在，即，使得成立；
当时，时，在在递增，时，在递减，
所以，
由得，
所以存在，即，使得成立，
综上，.
2．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数为偶函数，其中e是自然对数的底数.
(1)求m的值及最小值；
(2)关于x的不等式在上恒成立，求实数b取值范围；
(3)存在，使得成立，其中，求实数a的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）由偶函数的性质，建立方程，利用基本不等式，可得答案；
（2）根据指数函数的值域以及换元法，化简不等式，结合二次函数的性质，可得答案；
（3）利用函数单调性的定义，可得函数的最值，由题意建立不等式，可得答案.
【详解】（1）由函数为偶函数，则，即，解得，
由，当且仅当时，等号成立，则函数的最小值为.
（2）由，则不等式为，
由，则不等式整理为，
由，则，令，则不等式为，
令，问题等价于不等式在恒成立，
当时，由，则函数在上单调递增，不符合题意；
当时，，则函数在上单调递增，不符合题意；
当时，由，即，函数在上单调递减，
令，解得，故，
由，即，函数在上单调递增，在上单调递减，
令，化简可得，解得或，故，
综上所述可得.
（3）令，取，设，
由，当且仅当时等号成立，则，
易知，则函数在上单调递减，所以最大值为，
易知函数在上单调递增，则最小值为，
由题意可得当时，，解得.
3．（2026高三·全国·专题练习）设函数，．
(1)求证：当时，；
(2)若存在，使得成立，求的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）求导，根据导数判断函数单调性，进而可得函数最值，即可证明不等式；
（2）由已知可得，求导判断函数单调性，即可得函数正弦值，进而可得参数范围.
【详解】（1）因为当时，，
所以在上单调递减，
又，
所以当时，．
（2）因为，
所以，
由（1）知，当时，，
所以，
所以在上单调递减，
所以当时，，
因为在上有解，
所以，即，
所以的取值范围是．
4．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数
(1)求出函数在上的最值
(2)若关于的不等式存在唯一的整数解，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）求导，利用导数研究函数的单调性，结合区间端点函数值比较大小即可求解最值；
（2）把不等式化为，由的单调性结合端点函数值分析求解即可；
【详解】（1）因为，，所以，
令，令，
因为函数，在上单调递减，
所以在上单调递减，又，
所以方程得解为，
，的变化情况如下表所示．
所以，在区间上单调递增，在区间上单调递减.
当时，有极大值，也是的最大值.
又因为，，
所以，所以为的最小值.
（2）因为，所以不等式可化为，
由（1）可知在区间上单调递增，在区间上单调递减.
因为的最大值，，
所以，时，最大，所以不等式，
即存在唯一的整数解只能为1，
所以，所以
所以a的取值范围为.
5．（2025·河北保定·一模）已知函数.
(1)当时，求的极值；
(2)若关于的不等式有实数解，求的取值范围.
【答案】(1)的极大值为，无极小值
(2)
【分析】（1）通过求导来分析函数的单调性，进而求出函数的极值；
（2）分类讨论，得到单调性，求出函数最值，根据最值满足的条件来确定参数的取值范围.
【详解】（1）当时，，
则，
令，得；令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为，无极小值.
（2）由题得2a），
当时，，不符合题意；
当时，令，得；
令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以
由
得，解得；
当时，令，得；令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
由，
得，解得.
综上，的取值范围为.
题型十一：利用导数解决函数零点（方程根）问题
1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数.
(1)时，求在点处的切线方程；
(2)有3个零点，求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可.
（2）首先利用导数求出函数的单调性及极值，再结合函数图象求解即可.
【详解】（1）当时，，，
则，则，且，
则切点，且切线的斜率为，
故函数在点处的切线方程为；
（2）令，，
得，
设，
则，
由解得或，其中，；
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
且当时，； 当时，；
如图作出函数的图象，
要使函数有3个零点，
则方程在内有个根，即直线与函数的图象有个交点.
结合图象可知，.
故的取值范围为.
2．（24-25高二下·北京·阶段练习）已知函数.
(1)当时，求曲线的在点处的切线方程；
(2)若函数在定义域上恰有一个零点，求a的取值范围.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）利用导函数求得切线斜率为1，再利用点斜式即可求得切线方程.
（2）利用零点的定义，构造函数，将问题转化为求直线与函数的图象只有一个交点求解.
【详解】（1）当时，，求导得，则，而，
所以曲线在点处的切线方程为：，即.
（2）函数的定义域为，由，得，
令，依题意直线与函数的图象只有一个交点，
，由，得；由，得，
函数在上递增，函数值集合为，在上递减，函数值集合为，
在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，

观察图象，当且仅当或时，直线与函数的图象只有一个交点，
所以a的取值范围是.
3．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数．
(1)若，证明：函数在上单调递增；
(2)若函数有三个零点，求的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）把问题转化为证明在上恒成立，令，研究其单调性，再转化为求最小值，判断大于零即可；
（2）利用分类讨论的思想来求解，方法一：分和，设，容易判断时，不成立；当时，利用导函数研究单调性结合零点存在定理来进行讨论，求出的最小值为，进行分类讨论即可求解；方法二：利用导函数研究函数的单调性，同时利用极限的思想来求解．
【详解】（1）当时，，则，
要证函数在上单调递增，只要证明在上恒成立，
令，
因为，令，
解得，
由，得，此时函数单调递增，
由，得，此时函数单调递减，
所以当时，取得最小值，
因为，所以恒成立，
即在上单调递增；
（2）方法一：令，等价于，
设，
当时，没有零点；
当时，，
当时，，函数单调递增，
因为，
所以函数在上有一个零点；
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以当时，的最小值为，
若．即在上没有零点；
若，即在上有一个零点；
若，即，
因为，当时，，
所以在上有两个零点；
综上，当时，有3个零点.
方法二：当时，恒成立，没有零点，故，
当时，单调递增，单调递减，
故在上单调递增，
且当时，，
故在上有唯一零点，
所以在上有三个零点等价于在上有两个零点，
当时，由，
即，得，
令，则，
当时，单调递减；
当时，单调递增，
故当时，，
且当时，，当时，，
故要使在上有两个零点，
则只要即可，解得；
综上，当时，有3个零点.
4．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求在点处的切线方程；
(2)若在区间上有零点，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，根据直线的点斜式方程求解切线即可.
（2）求出导函数，按照、和分类讨论研究函数的单调性，根据在区间上有零点列不等式求解即可.
【详解】（1）因为，所以，
即，
所以切线的斜率为．又，
所以切线方程为，即．
（2），则，
①当时，，
所以在区间上恒成立，在区间上单调递增．
所以在区间上恒成立，即在区间上无零点．
②当时，令，
则在区间上恒成立，
所以在区间上单调递增，即．
（ⅰ）时，，在区间上单调递增，
即在区间上恒成立，所以在区间上无零点．
（ⅱ）当时，，又，
所以存在，使得，
所以当时，单调递减，
当时，单调递增，
即当时，取得最小值，因为，所以．
因为，所以当时，，
此时，在区间上恒成立，在区间上无零点．
当时，，故存在，使得，
所以实数的取值范围是．
5．（24-25高二下·天津滨海新·期中）已知函数，满足.
(1)求实数的值；
(2)求的单调区间和极值.
(3)方程无实数根， 求实数的范围.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）求导后根据求解即可；
（2）求导后根据导函数的正负区间，进而求得原函数的单调区间，从而得到极值即可.
（3）由（2）可得的最小值及取值情况，依题意与无交点，即可求出参数的取值范围.
【详解】（1）因为，
所以，又，解得；
（2）由（1）定义域为，且为增函数.
令可得，
故当时，，即在单调递减；
当时，，即在单调递增.
故在处有极小值，无极大值.
综上可得单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值.
（3）由（2）可得在单调递减，在单调递增，
在处有极小值，即，
且当时，
因为方程无实数根，
所以与无交点，
所以，即，所以实数的取值范围为.
6．（24-25高二下·四川绵阳·期中）已知函数.
(1)过点作曲线的切线，求此切线的方程；
(2)若关于的方程有三个不同的实根，求的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）设过点与曲线相切的切线的切点为，根据导数的几何意义可得出关于的等式，解出的值，可得出切点坐标，进而可得出所求切线的方程；
（2）求得，利用导数分析该函数的单调性与极值，根据函数的零点个数可得出关于实数的不等式组，解之即可.
【详解】（1）由题，设过点与曲线相切的切线的切点为，
则切线斜率或，
所以切点为或，
当切点为时，切线斜率为，则切线方程为；
当切点为时，切线斜率为，则切线方程为，即.
综上，所求切线方程为或；
（2）令，，
由得或；由得，
则在和上单调递增，在上单调递减，
则和分别为的极大值点和极小值点.
在处取得极大值，在处取得极小值.
又有三个不同的实根，所以，
解得，所以实数的取值范围是.
7．（2025·江西萍乡·二模）已知函数．
(1)证明：函数有且只有一个极值点；
(2)若关于的方程在区间上恰有两个实数根，求实数的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）求导得，利用函数单调性和零点存在性定理即可证明；
（2）求导得，设，再对分和讨论即可.
【详解】（1）因为，所以，
显然在上单调递增．且．
故根据零点存在性定理知在上有且仅有一个零点，且在上，，在上，，
则在上单调递减，在上单调递增，即在上有且只有一个极值点.
（2）设，则，记，
当时，恒成立，则函数在上单调递增，
此时在上至多存在一个零点，不合题意，
当时，函数的对称轴为，则函数在上单调递减，
（i）当时，恒成立，即恒成立，
则函数在上单调递增，此时函数在上至多存在一个零点，不合题意；
（ii）当时，恒成立，即恒成立，则函数在上单调递减，
此时函数在上至多存在一个零点，不合题意；
（iii）当时，，，故存在，使得，即，
则函数在上单调递增，在上单调递减，又由于，
则，若要满足题设，只需，解得,
又因为，所以取值范围是.
综上所述，实数的取值范围为.
第二部分：新定义题
1．（上海市进才中学和曹杨二中2024-2025学年高二下学期5月联考数学试卷）函数满足：对任意，恒成立（或恒成立），则称直线是函数在上的支撑线．
(1)指出下列哪些函数在定义域上存在支撑线：①；②；
(2)已知直线是函数在其定义域上的支撑线，求实数a的值；
(3)直线是函数在上的支撑线，求实数a的取值范围．
【答案】(1)②
(2)1
(3)
【分析】（1）由函数新定义判断可得；
（2）结合函数新定义，分参数的范围讨论，当时，构造函数，求导分析单调性得到最值可得；
（3）由函数新定义，分和两类情况，当时，构造函数利用导数分析单调性可得.
【详解】（1）因为或在不能恒成立，
所以无支撑线；
函数恒成立，即是的一条支撑线．
（2）直线是在定义域上的支撑线，
若，则时，；时，，不合题意，
所以，因为直线是在定义域上的支撑线，所以恒成立．
令，所以，
由；由，
所以在上递增，在上递减，
所以的最大值为，
设，则，
所以当时，，函数在上递减，
当时，，在上递增，且，
所以．
（3）由（2），所以，故，当且仅当等号成立，
直线是函数在上的支撑线．
①若在上恒成立，
所以，
记，，则，
当时，，所以在上单调递减，符合题意；
当时，，符合题意．
当时，，在上单调递减，，符合题意；
当时，在上单调递增，上单调递减，不符；
②若在上恒成立，
在上，不符合题意，
综上，a的范围为．
2．（24-25高二下·江苏南通·阶段练习）已知是函数的导函数，是的零点，若在上，恒成立，则称是上的“优函数”.
(1)试判断函数是否是上的“优函数”，请说明理由；
(2)已知函数，.
①证明：只有一个零点；
②已知是的零点，证明：是上的“优函数”.
【答案】(1)是，理由见解析
(2)①证明见解析；②证明见解析
【分析】（1）求导，可得的单调性，进而可得，从而可得结论；
（2）①求导，分，，三种情况讨论可证得结论；②由①知有唯一零点，分，，三种情况证明即可.
【详解】（1），令，解得，
在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以有唯一零点，
当时，，
所以是上的“优函数”；
（2）①，
令，解得或，
（i）当时，
因为，，
所以在无零点，
当时，，
令，解得，
所以，所以在上有一个零点，
所以在上有一个零点，
（ii）当时，，所以在单调递减，
又，，所以在上有一个零点，
（iii）当时，
因为，，
令，，，，
在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，所以在无零点，
当时，，
令，解得，
所以，所以在上有一个零点，
所以在上有一个零点，
综上：在上只有一个零点；
②由①知有唯一零点，
（i）当时，，，
，，令
，
所以在上单调递减，所以，
所以.
（ii）当时，，，
，，，
所以在上单调递减，
所以，所以，
（iii）当时，，，
，，，
所以在上单调递减，
所以，所以，
综上，，所以是上的“优函数”.
3．（24-25高二下·上海·阶段练习）若函数在处取得极值，且，（常数），则称是函数的“相关点”．
(1)若函数存在“相关点”，求的值；
(2)若函数（常数）存在“1相关点”，求k的值；
(3)设函数的表达式为（常数a、b、且），若函数有两个不相等且均不为零的“2相关点”，过点存在3条直线与曲线相切，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据定义求得函数极值点，根据列出方程求解即可；
（2）由题意可得，即得，设，结合导数可得函数在上单调递增，且，进而求解；
（3）由，可得，设，为函数的“2相关点”，则，，进而可得，，，故，再结合导数的几何意义求解即可．
【详解】（1）函数的对称轴为，
且函数在上单调递减，在上单调递增，
所以为函数的极值点，
因为函数存在“相关点”，
由题意可得，，解得．
（2）由，则 ，
由题意可得，，即，即，
设，则，
所以函数在上单调递增，且，
所以方程存在唯一实数根1，即，即，
此时，则，
令，即；令，即，
即函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的极值点为1，所以1是函数的“1相关点”，
所以．
（3）由，得，即，
设，为函数的“2相关点”，则，
另一方面，，所以，
所以且，解得，，，
故，则，
因为过点存在3条直线与曲线相切，
设其中一个切点为，则，
整理得，
设，且函数有三个不同的零点，
则，
令，则；令，则或，
所以函数在和上单调递减，在上单调递增，
所以，即，即实数的取值范围为．
4．（24-25高二下·江苏·期末）已知函数，若其定义域为，且满足对一切恒成立，则称为一个“反比函数”．
(1)设，判断是否为“反比函数”，并说明理由；
(2)若，求证：函数是“反比函数”；
(3)已知“反比函数”满足对任意的，都有，且，求证：对任意的，关于的方程无解．
【答案】(1)是，理由见解析；
(2)证明见析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）求出函数的导数，再利用定义直接判断.
（2）构造函数，并证明，再结合不等式性质证明即可.
（3）分情况讨论，并证明对任意的都有，即可推出相应的结论.
【详解】（1）函数，求导得，
对，，
所以是 “反比函数”.
（2）设，则，当时，；当时，，
函数在上递减，在上递增，因此，
依题意，，由，得，
于是
即对，，
所以函数是“反比函数”.
（3）设，则，
函数在上单调递增，
当时，有，即对任意，；
假设存在，使，由及零点存在定理，存在使得，
由，知，矛盾，
因此对任意，；
假设存在，使得，由及零点存在定理，存在使得，
从而对任意，有，
当时，，矛盾，
即对任意，有，
因此对任意的，都有成立，
所以对任意，关于的方程一定无解.
5．（2025·四川泸州·模拟预测）如果函数满足条件：①；②，则称是次可加函数.次可加函数在数学的多个领域中都有重要应用，如概率论､数论､组合数学､经济学､计算机科学､统计力学､优化理论､控制理论等.
(1)判断是否是次可加函数，并说明理由；若，试判断与的大小关系；
(2)设函数，若在上单调递减，证明：是次可加函数；
(3)判断是否是次可加函数，并证明：当时，.
【答案】(1)是，理由见解析；
(2)证明见解析
(3)是，证明见解析
【分析】（1）利用三角函数的和角公式及绝对值性质，结合三角不等式及次可加函数定义即可判断；
（2）根据函数在上单调递减及不等式性质可推得，即可证明；
（3）先根据题给条件及次可加函数定义得到是次可加函数，利用对数的换底公式化简所求不等式，构造新函数，利用导数判断新函数的单调性，并求其最小值，则，即可得证.
【详解】（1）当时，，满足条件①；
对，满足条件②.
所以是上的次可加函数.
由题意，得.
由上面的论证过程，可得.
（2）证明：对，
（i）若中至少有一个为0，不妨设，则.
由，知，所以；
（ii）若均不为0，则.
.
又在上单调递减，所以，
由不等式的性质，得.
综上，是次可加函数.
（3）当时，因为，所以是增函数，.满足条件①；
，所以满足条件②.
综上，是次可加函数.
当时，
.
令，则，
显然在上单调递增，所以当时，，
因为在上是增函数，所以，所以，
所以当时，.
所以在上单调递增.
所以当时，，所以.
0
1
2
0
0
0
-2
x
e
+
+
0
单调递增
单调递减
m
1
0
0
1
m
0
0