2025届新高考数学一轮复习精讲精练第16讲：第三章一元函数的导数及其应用章节总结（精讲）（Word版附解析）

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TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc16150" 第一部分：典型例题讲解 PAGEREF _Tc16150 \h 1
\l "_Tc1500" 题型一：求切线问题 PAGEREF _Tc1500 \h 1
\l "_Tc19291" 题型二：公切线问题 PAGEREF _Tc19291 \h 4
\l "_Tc31386" 题型三：已知切线条数求参数 PAGEREF _Tc31386 \h 8
\l "_Tc17946" 题型四：利用导数研究函数的单调性（小题） PAGEREF _Tc17946 \h 11
\l "_Tc3730" 题型五：借助单调性构造函数解不等式 PAGEREF _Tc3730 \h 15
\l "_Tc20535" 题型六：利用导数研究函数单调性（含参讨论） PAGEREF _Tc20535 \h 18
\l "_Tc9807" 题型七：利用导数研究函数的极值 PAGEREF _Tc9807 \h 24
\l "_Tc20064" 题型八：利用导数研究函数的最值 PAGEREF _Tc20064 \h 30
\l "_Tc9429" 题型九：利用导数解决恒成立问题 PAGEREF _Tc9429 \h 35
\l "_Tc3178" 题型十：利用导数解决有解问题 PAGEREF _Tc3178 \h 39
\l "_Tc20475" 题型十一：利用导数解决函数零点（方程根）问题 PAGEREF _Tc20475 \h 42
\l "_Tc9414" 第二部分：新定义题 PAGEREF _Tc9414 \h 49
第一部分：典型例题讲解
题型一：求切线问题
1．（2024·陕西西安·二模）已知直线与曲线相切于点，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．（23-24高二下·陕西西安·阶段练习）曲线在点处的切线的方程为 ．
3．（2024高二·全国·专题练习）已知直线为曲线过点的切线. 则直线的方程为 .
4．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）已知函数.
(1)曲线在点P处的切线与直线互相垂直，求点P的坐标.
(2)过点作曲线的切线，求此切线的方程.
5．（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）已知函数，点在曲线上.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求曲线过点的切线方程.
题型二：公切线问题
1．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）若直线既和曲线相切，又和曲线相切，则称为曲线和的公切线.曲线和曲线：的公切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（多选）（23-24高二上·山西运城·期末）若直线是曲线与曲线的公切线，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24高二下·重庆·开学考试）已知函数，（，），若存在直线l，使得l是曲线与曲线的公切线，则实数a的取值范围是 ．
4．（23-24高二上·重庆·期末）若函数与函数的图象存在公切线，则实数t的取值范围为 .
5．（2024高二下·全国·专题练习）已知曲线 ，曲线 ，求证：与相切，并求其公切线的方程.
题型三：已知切线条数求参数
1．（23-24高二下·浙江·阶段练习）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二上·广东深圳·期末）过点可以做三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二下·辽宁·期末）已知过点作的曲线的切线有且仅有两条，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·陕西宝鸡·二模）若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型四：利用导数研究函数的单调性（小题）
1．（23-24高二下·河北张家口·阶段练习）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（ ）
A．eB．1C．D．
3．（23-24高二上·福建福州·期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高三上·福建泉州·阶段练习）若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023高三·全国·专题练习）若函数恰有三个单调区间，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．（22-23高二下·湖北·阶段练习）若函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（21-22高三上·河南·阶段练习）已知函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型五：借助单调性构造函数解不等式
1．（23-24高二下·河北保定·阶段练习）若函数的定义域为，且，则不等式的解集为
A．B．C．D．
2．（23-24高二下·河南·阶段练习）设，则（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二下·河北张家口·阶段练习）若，则以下不等式正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2024·陕西·模拟预测）设，则（ ）
A．B．C．D．
6．（23-24高三上·浙江杭州·期末）已知定义在上的函数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
题型六：利用导数研究函数单调性（含参讨论）
1．（2024高二·上海·专题练习）已知函数.
(1)当时，求的最大值.
(2)讨论函数的单调性.
2．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）已知函数.
(1)当 时， 求 的单调区间；
(2)若在上是增函数，求的取值范围；
(3)讨论 的单调性．
3．（23-24高二下·四川广元·阶段练习）已知函数.
(1)当时，求函数的最小值；
(2)当时，，证明不等式；
(3)当时，求函数的单调区间.
4．（23-24高二下·河北石家庄·阶段练习）已知函数，．
(1)当时，求函数在上的值域（）；
(2)讨论函数的单调性．
（2024高三·全国·专题练习）已知，讨论的单调性.
题型七：利用导数研究函数的极值
1．（2024·辽宁·一模）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线的方程；
(2)讨论的极值.
2．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）已知函数有两个不同的极值点，且.
(1)求的取值范围；
(2)求的极大值与极小值之和的取值范围.
3．（2024·山东济南·一模）已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)讨论极值点的个数.
4．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数，其中．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)求证：的极大值恒为正数．
5．（23-24高二下·上海·阶段练习）设函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)令，求的单调区间；
(3)已知在处取得极大值，求实数的取值范围．
题型八：利用导数研究函数的最值
1．（23-24高二下·河北保定·阶段练习）已知函数在处取得极小值，且极小值为.
(1)求的值；
(2)求在上的值域.
2．（2024·海南·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，若函数有最小值2，求的值.
3．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知函数.
(1)若是的极值点，求实数的值；
(2)若，求在区间上的最大值.
4．（23-24高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数，
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数在上的最小值为3，求实数的值.
5．（23-24高二下·北京·阶段练习）设函数，.
(1)当时， 试求的单调增区间；
(2)试求在上的最大值.
题型九：利用导数解决恒成立问题
1．（23-24高二下·北京丰台·阶段练习）已知函数.
(1)当时，求函数的零点个数；
(2)当时，若对任意都有，求实数的取值范围.
2．（23-24高二下·河北张家口·阶段练习）已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
3．（2024·贵州黔东南·二模）已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若恒成立，求的取值范围.
4．（2024·北京·模拟预测）已知函数.
(1)求的图象在点处的切线方程；
(2)讨论的单调区间；
(3)若对任意，都有，求的最大值.（参考数据：）
题型十：利用导数解决有解问题
1．（23-24高三上·青海西宁·期末）已知函数.
(1)证明：.
(2)若关于的不等式有解，求的取值范围.
2．（23-24高三上·福建莆田·期中）已知函数．
(1)当时，求函数的最小值；
(2)若，且对，都，使得成立，求实数的取值范围．
3．（2023高三·全国·专题练习）已知函数，其中参数．
(1)求函数的单调区间；
(2)设函数，存在实数，使得不等式成立，求a的取值范围．
4．（2023高三·全国·专题练习）已知函数.
(1)求函数的极值；
(2)若存在，使得成立，求实数m的最小值.
题型十一：利用导数解决函数零点（方程根）问题
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是 .
2．（23-24高二下·山东枣庄·阶段练习）已知函数，在处取得极值为.
(1)求：值;
(2)若有三个零点，求的取值范围.
3．（23-24高二下·贵州黔西·开学考试）已知在处取得极小值．
(1)求的解析式；
(2)求在处的切线方程；
(3)若方程有且只有一个实数根，求的取值范围.
4．（2024·江苏南通·二模）设函数.已知的图象的两条相邻对称轴间的距离为，且.
(1)若在区间上有最大值无最小值，求实数m的取值范围；
(2)设l为曲线在处的切线，证明：l与曲线有唯一的公共点.
5．（2024·陕西西安·二模）设函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若时，函数的图像与的图像仅只有一个公共点，求的取值范围.
6．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知函数，.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若方程有三个不同的实根，求的取值范围．
题型十二：利用导数解决双变量问题
1．（23-24高三上·广东广州·阶段练习）设函数的两个极值点分别为，．
(1)求实数的取值范围；
(2)若不等式恒成立，求正数的取值范围（其中为自然对数的底数）．
2．（2023高三·全国·专题练习）已知函数，其中参数．
(1)求函数的单调区间；
(2)设函数，存在实数，使得不等式成立，求a的取值范围．
3．（23-24高二下·广东揭阳·阶段练习）设函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若函数有两个极值点，且，求的最小值.
4．（23-24高三上·福建龙岩·阶段练习）设函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若有两个零点，
①求a的取值范围；
②证明：.
第二部分：新定义题
1．（23-24高三上·上海·阶段练习）已知函数，，其中为自然对数的底数，设函数，
(1)若，求函数的单调区间，并写出函数有三个零点时实数的取值范围；
(2)当时，分别为函数的极大值点和极小值点，且不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
(3)对于函数，若实数满足，其中F、D为非零实数，则称为函数的“笃志点”.
①已知函数，且函数有且只有3个“笃志点”，求实数a的取值范围；
②定义在R上的函数满足：存在唯一实数m，对任意的实数x，使得恒成立或恒成立.对于有序实数对，讨论函数“笃志点”个数的奇偶性，并说明理由
2．（2023·上海嘉定·一模）对于函数，把称为函数的一阶导，令，则将称为函数的二阶导，以此类推得到n阶导.为了方便书写，我们将n阶导用表示.
(1)已知函数，写出其二阶导函数并讨论其二阶导函数单调性.
(2)现定义一个新的数列：在取作为数列的首项，并将作为数列的第项.我们称该数列为的“n阶导数列”
①若函数（），数列是的“n阶导数列”，取Tn为的前n项积，求数列的通项公式.
②在我们高中阶段学过的初等函数中，是否有函数使得该函数的“n阶导数列”为严格减数列且为无穷数列，请写出它并证明此结论.（写出一个即可）
3．（2023·上海金山·一模）设函数的定义域为，给定区间，若存在，使得，则称函数为区间上的“均值函数”，为函数的“均值点”．
(1)试判断函数是否为区间上的“均值函数”，如果是，请求出其“均值点”；如果不是，请说明理由；
(2)已知函数是区间上的“均值函数”，求实数的取值范围；
(3)若函数（常数）是区间上的“均值函数”，且为其“均值点”．将区间任意划分成（）份，设分点的横坐标从小到大依次为，记，，．再将区间等分成（）份，设等分点的横坐标从小到大依次为，记．求使得的最小整数的值．