新高考数学一轮复习核心考点练习第8章§8.6双曲线（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习核心考点练习第8章§8.6双曲线（2份，原卷版+解析版），共51页。试卷主要包含了6　双曲线，双曲线的定义，双曲线的标准方程和简单几何性质，焦点三角形的面积，设双曲线C等内容，欢迎下载使用。
【知识梳理】
1.双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
注意：(1)若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；若将其改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点轨迹不存在.
(2)若将绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹是双曲线的一支.
(3)若将“等于非零常数”改为“等于零”，则此时动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
2.双曲线的标准方程和简单几何性质
【名师点拨】
1.离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\f(b2,a2))，e越大，双曲线的“张口”越大.
2.双曲线的焦点到渐近线的距离为b，顶点到渐近线的距离为eq \f(ab,c).
3.同支的焦点弦中最短的为通径，其长为eq \f(2b2,a)；异支的焦点弦中最短的为实轴，其长为2a.
4.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝c＋a，|PF2|min＝c－a.
5.焦点三角形的面积：P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为eq \f(b2,tan \f(θ,2)).
6.若渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，则双曲线方程可设为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0).
7.等轴双曲线⇔e＝eq \r(2)⇔渐近线为y＝±x⇔方程x2－y2＝λ(λ≠0).
【随堂训练】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( )
(2)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.( )
(3)方程eq \f(x2,m)－eq \f(y2,n)＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.( )
(4)双曲线eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是eq \f(x,m)±eq \f(y,n)＝0.( )
【答案】(1)× (2)× (3)× (4)√
【解析】(1)||MF1|－|MF2||＝8＝|F1F2|，表示的轨迹为两条射线.
(2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部.
(3)当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线，而m＜0，n＜0时则表示焦点在y轴上的双曲线.
2.(选修一P127T1)双曲线4x2－y2＋64＝0上一点P与它的一个焦点的距离等于1，那么点P与另一个焦点的距离等于________.
【答案】17
【解析】4x2－y2＋64＝0可化为eq \f(y2,64)－eq \f(x2,16)＝1，
所以a＝8，b＝4，c＝eq \r(64＋16)＝4eq \r(5).
不妨设|PF1|＝1，则|PF2|－|PF1|＝2a＝16，得|PF2|＝17.
3.(选修一P121T1改编)经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为____________.
【答案】eq \f(x2,8)－eq \f(y2,8)＝1
【解析】设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，
把点A(3，－1)代入，得9－1＝λ，λ＝8，
故所求双曲线方程为eq \f(x2,8)－eq \f(y2,8)＝1.
4.(2020·北京卷)已知双曲线C：eq \f(x2,6)－eq \f(y2,3)＝1，则C的右焦点的坐标为__________；C的焦点到其渐近线的距离是__________.
【答案】(3，0) eq \r(3)
【解析】由eq \f(x2,6)－eq \f(y2,3)＝1，
得c2＝a2＋b2＝9，
解得c＝3，又焦点在x轴上，
所以双曲线C的右焦点坐标为(3，0).
双曲线的一条渐近线方程为y＝eq \f(\r(3),\r(6))x，
即x－eq \r(2)y＝0，
所以焦点(3，0)到渐近线的距离为
d＝eq \f(3,\r(12＋（－\r(2)）2))＝eq \r(3).
【名师点拨】
1.双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
2.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
3.同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为2b2a.
【必练核心题型】
题型一 双曲线的定义及应用
【典例】1.已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是( )
A.椭圆B.双曲线
C.抛物线D.圆
【答案】B
【解析】如图，连接ON，
由题意可得|ON|＝1，且N为MF1的中点，
又O为F1F2的中点，
所以|MF2|＝2.
因为点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，
由垂直平分线的性质可得|PM|＝|PF1|，
所以||PF2|－|PF1||＝||PF2|－|PM||
＝|MF2|＝2＜|F1F2|，
所以由双曲线的定义可得，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线.
【典例】2.已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq \r(2)，F1，F2分别为C的左、右焦点，过F1的直线与C的左支交于A，B两点，若|AB|的最小值为4，则△ABF2周长的最小值为( )
A.8B.12C.16D.24
【答案】C
【解析】因为双曲线的离心率为eq \r(2)，
所以e2＝1＋eq \f(b2,a2)＝2，得a＝b.
当弦AB与实轴垂直时，|AB|的值最小，
所以eq \f(2b2,a)＝4，所以a＝b＝2.
由双曲线的定义得|AF2|－|AF1|＝2a，
|BF2|－|BF1|＝2a，
所以|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋4a
＝|AB|＋4a，
所以△ABF2的周长为2|AB|＋4a，
因为a＝2，|AB|的最小值为4，
所以△ABF2周长的最小值为2×4＋4×2＝16.
【解题技巧】
1.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系.
2.与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解.
3.如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解.
【变式训练】
变式1.已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A.x2－eq \f(y2,8)＝1B.eq \f(x2,8)－y2＝1
C.x2－eq \f(y2,8)＝1(x≤－1)D.x2－eq \f(y2,8)＝1(x≥1)
【答案】C
【解析】设动圆M的半径为r，
由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，
得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r，
|MC2|－|MC1|＝20).
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(9m－28n＝1，,72m－49n＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝－\f(1,75)，,n＝－\f(1,25).))
∴双曲线的标准方程为eq \f(y2,25)－eq \f(x2,75)＝1.
【典例】3.若双曲线经过点(1，eq \r(3))，其渐近线方程为y＝±2x，则双曲线的方程是________________.
【答案】4x2－y2＝1
【解析】法一 由题意可知，①若双曲线的焦点在x轴上，
则可设eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
则eq \f(1,a2)－eq \f(3,b2)＝1且eq \f(b,a)＝2，
联立解得a＝eq \f(1,2)，b＝1，
则双曲线的方程为4x2－y2＝1；
②若双曲线的焦点在y轴上，
则可设eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，
则eq \f(3,a2)－eq \f(1,b2)＝1，且eq \f(a,b)＝2，此时无解，
综上，双曲线的方程为4x2－y2＝1.
法二 由题可设双曲线方程为4x2－y2＝λ(λ≠0)，
∵双曲线经过点(1，eq \r(3))，
∴λ＝4×12－(eq \r(3))2＝1，
∴双曲线方程为4x2－y2＝1.
【解题技巧】
1.用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn>0)，再根据条件求解.
2.与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)有相同渐近线时可设所求双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0).
【变式训练】
变式1.(2023·天津卷)双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.过F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P.已知|PF2|＝2，直线PF1的斜率为eq \f(\r(2),4)，则双曲线的方程为( )
A.eq \f(x2,8)－eq \f(y2,4)＝1B.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,8)＝1
C.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1D.eq \f(x2,2)－eq \f(y2,4)＝1
【答案】D
【解析】不妨取渐近线y＝eq \f(b,a)x，此时直线PF2的方程为y＝－eq \f(a,b)(x－c)，与y＝eq \f(b,a)x联立并解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(a2,c)，,y＝\f(ab,c)，))即Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,c)，\f(ab,c))).
因为直线PF2与渐近线y＝eq \f(b,a)x垂直，
所以PF2的长度即为点F2(c，0)到直线y＝eq \f(b,a)x(即bx－ay＝0)的距离，
由点到直线的距离公式得|PF2|＝eq \f(bc,\r(a2＋b2))＝eq \f(bc,c)＝b，所以b＝2.
因为F1(－c，0)，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,c)，\f(ab,c)))，且直线PF1的斜率为eq \f(\r(2),4)，
所以eq \f(\f(ab,c),\f(a2,c)＋c)＝eq \f(\r(2),4)，化简得eq \f(ab,a2＋c2)＝eq \f(\r(2),4)，
又b＝2，c2＝a2＋b2，
所以eq \f(2a,2a2＋4)＝eq \f(\r(2),4)，整理得a2－2eq \r(2)a＋2＝0，
即(a－eq \r(2))2＝0，解得a＝eq \r(2).
所以双曲线的方程为eq \f(x2,2)－eq \f(y2,4)＝1.
变式2.过双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的标准方程为________________.
【答案】eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1
【解析】因为渐近线y＝eq \f(b,a)x与直线x＝a交于点A(a，b)，c＝4且
eq \r(（4－a）2＋b2)＝4，
解得a2＝4，b2＝12，
因此双曲线的标准方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1.
题型三 双曲线的几何性质
角度1 渐近线
【典例】1.设双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点.若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为( )
A.±eq \f(1,2) B.±eq \f(\r(2),2)
C.±1 D.±eq \r(2)
【答案】C
【解析】由题设易知A1(－a，0)，A2(a，0)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(b2,a)))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，－\f(b2,a))).
∵A1B⊥A2C，∴eq \f(\f(b2,a),c＋a)·eq \f(－\f(b2,a),c－a)＝－1，
整理得a＝b.∵渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，
即y＝±x，∴渐近线的斜率为±1.
角度2 离心率
【典例】1.已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，A，B分别为双曲线的左、右顶点，以AB为直径的圆与双曲线C的两条渐近线在第一、二象限分别交于P，Q两点，若OQ∥PF，则该双曲线的离心率为________.
【答案】eq \r(2)
【解析】如图所示，
∵OQ∥PF，
∴∠AOQ＝∠OFP.
又∵双曲线的渐近线关于y轴对称，
∴∠FOP＝∠AOQ，则∠OFP＝∠FOP，
∴△OPF为等腰三角形，
作PM⊥OF，垂足为M，
过点B作BD⊥x轴，交渐近线第一象限部分于点D，
则Rt△OMP∽Rt△OBD，|OB|＝a，|BD|＝b，
|OM|＝eq \f(1,2)|OF|＝eq \f(1,2)c，|OP|＝a，
|PM|＝eq \r(|OP|2－|OM|2)＝eq \r(a2－\f(c2,4))，
由相似三角形的性质可得eq \f(|BD|,|OB|)＝eq \f(|MP|,|OM|)，
∴eq \f(b,a)＝eq \r(\f(c2－a2,a2))＝eq \f(\r(a2－\f(c2,4)),\f(c,2))，
整理可得c4＝4a4，
∴离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(2).
【解题技巧】
1.渐近线的求法：求双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝0，即得两渐近线方程eq \f(x,a)±eq \f(y,b)＝0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＝±\f(b,a)x)).
2.求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝eq \f(c,a)转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围).
【变式训练】
变式1.已知双曲线的方程为eq \f(y2,64)－eq \f(x2,16)＝1，则( )
A.渐近线方程为y＝±eq \f(1,2)x
B.焦距为8eq \r(5)
C.离心率为eq \f(\r(5),2)
D.焦点到渐近线的距离为8
【答案】BC
【解析】由题意，易知双曲线的实半轴长a＝8，虚半轴长b＝4，半焦距c＝eq \r(64＋16)＝4eq \r(5)，且焦点在y轴上，
则渐近线方程为y＝±eq \f(a,b)x＝±2x，A错误；
焦距为2c＝8eq \r(5)，B正确；
离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5),2)，C正确；
焦点到渐近线的距离为4，D错误.
变式2.若双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)与直线y＝eq \r(3)x有交点，则其离心率的取值范围是( )
A.(2，＋∞) B.(1，2]
C.(1，2) D.[2，＋∞)
【答案】A
【解析】由题意可知，双曲线的焦点在x轴，一条渐近线方程为y＝eq \f(b,a)x，
这条渐近线的斜率应大于直线y＝eq \r(3)x的斜率，
即eq \f(b,a)＞eq \r(3)，则e＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))\s\up12(2))＞2.
变式3.(2022·北京卷)已知双曲线y2＋eq \f(x2,m)＝1的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(3),3)x，则m＝________.
【答案】－3
【解析】法一 依题意得m0)上任意一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，则|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0；
(2)若P(x0，y0)为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，①当点P在双曲线的左支上时，|PF1|＝－ex0－a，|PF2|＝－ex0＋a；②当点P在双曲线的右支上时，|PF1|＝ex0＋a，|PF2|＝ex0－a(左加右减).
2.焦半径的数量关系式
直线l过焦点F与椭圆相交于A，B两点，则eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2a,b2)，同理，双曲线中，eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2a,b2).
3.几个最值问题
(1)椭圆的焦半径最大为a＋c，最小为a－c(长轴两端点取到).
(2)双曲线的焦半径同侧最小为c－a，异侧最小为c＋a(实轴两端点取到).
(3)椭圆、双曲线中最短焦点弦为通径长为eq \f(2b2,a).
(4)在椭圆中，P为短轴端点时，∠F1PF2最大；P为短轴端点时，∠A1PA2最大.
4.(1)椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝acs θ，,y＝bsin θ；))
(2)双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a，b>0)的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(a,cs θ)＝asec θ；,y＝btan θ.))
【典例】1.椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F，直线x＝eq \f(a2,c)与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
C.[eq \r(2)，－1，1)D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
【答案】D
【解析】由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等，
而|FA|＝eq \f(a2,c)－c＝eq \f(b2,c)＝|PF|∈[a－c，a＋c]，
于是eq \f(b2,c)∈[a－c，a＋c]，
即ac－c2≤b2≤ac＋c2，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ac－c2≤a2－c2，,a2－c2≤ac＋c2，))eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)≤1，,\f(c,a)≤－1或\f(c,a)≥\f(1,2)，))
又e∈(0，1)，故e∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)).
[优解](焦半径公式)设P点(x0，y0)，
则有|PF|＝|FA|，即a－ex0＝eq \f(a2,c)－c，
解得x0＝eq \f(a2,c)＋a－eq \f(a3,c2)，
又因为x0∈[－a，a]，
所以有－a≤eq \f(a2,c)＋a－eq \f(a3,c2)≤a，
两边同时除以a，可以解得eq \f(1,2)≤e0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为π6，其焦点到渐近线的距离为2，则C的方程为( )
A.x24－y26＝1B.x212－y24＝1
C.x26－y24＝1D.x26－y23＝1
【答案】B
【解析】由题意可得ba＝tan π6＝33，
所以a＝3b，
双曲线的渐近线方程为y＝±33x，
即x±3y＝0，
焦点(c，0)到渐近线x＋3y＝0的距离
d＝c1＋3＝c2＝2，所以c＝4，
又a2＋b2＝c2＝16，a＝3b，
所以b2＝4，a2＝12，
所以C的方程为x212－y24＝1.
4.已知双曲线的方程为5mx2－my2＝5(m∈R，m≠0)，则不因m的变化而变化的是( )
A.顶点坐标B.渐近线方程
C.焦距D.离心率
【答案】B
【解析】将双曲线方程化为标准方程可得x21m－y25m＝1，
当m>0时，双曲线x21m－y25m＝1表示焦点在x轴上的双曲线，且a2＝1m，b2＝5m，c2＝6m，
此时顶点坐标为±1m，0，渐近线方程为y＝±5x，焦距2c＝26m，
离心率e＝1＋b2a2＝1＋5＝6；
当m0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，过F1作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，且|MF2|＝3|OM|，则双曲线C的离心率为( )
A.2B.6
C.22D.3
【答案】B
【解析】由题意得F1(－c，0)，由双曲线的对称性，设一条渐近线的方程为bx－ay＝0，
所以|MF1|＝|−bc|b2＋(−a)2＝bcc＝b，
由勾股定理得|OM|＝OF1|2−MF1|2＝a，
因为MF1垂直于渐近线，
所以cs∠MOF1＝ac，
因为|MF2|＝3|OM|，所以|MF2|＝3a，
而|OF2|＝c，
在△MOF2中，由余弦定理得
cs∠MOF2＝a2＋c2−9a22ac，
因为∠MOF1＋∠MOF2＝π，
所以a2＋c2−9a22ac＋ac＝0，
化简得c2＝6a2，所以c＝6a，
故e＝ca＝6.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.已知双曲线C：x24－y2b2＝1(b>0)的右焦点为F，直线l：x＋by＝0是C的一条渐近线，P是l上一点，则( )
A.C的虚轴长为22
B.C的离心率为6
C.|PF|的最小值为2
D.直线PF的斜率不等于－22
【答案】AD
【解析】双曲线C：x24－y2b2＝1的渐近线方程为bx±2y＝0，依题意得－1b＝－b2，解得b＝2，
对于A，C的虚轴长为2b＝22，A正确；
对于B，C的离心率e＝a2＋b2a＝62，B错误；
对于C，点F(6，0)到直线l：x＋2y＝0的距离为612＋(2)2＝2，即|PF|的最小值为2，C错误；
对于D，直线l：x＋2y＝0的斜率为－22，而点F不在l上，点P在l上，则直线PF的斜率不等于－22，D正确.
8.已知A为双曲线C：x216－y29＝1上位于第一象限内的点，过点A作x轴的垂线，垂足为M，点B与点A关于原点对称，F为双曲线C的左焦点，则下列结论正确的有( )
A.若|AB|＝10，则AF⊥BF
B.若AF⊥BF，则△ABF的面积为9
C.|AF||AM|>2
D.|AF|－|AM|的最小值为8
【答案】ABD
【解析】设双曲线的右焦点为F1，依题意，四边形AFBF1为平行四边形，如图，
由双曲线C：x216－y29＝1知a＝4，b＝3，c＝5.
对于A，|AB|＝10＝|FF1|，
则四边形AFBF1为矩形，AF⊥BF，A正确；
对于B，由双曲线定义得|AF|－|AF1|＝8，
而|FF1|＝10，AF⊥BF，
则|AF|2＋|AF1|2＝|FF1|2，
即(|AF|−AF1|)2＋2|AF||AF1|＝|FF1|2，
于是|AF||AF1|＝18，因此△ABF的面积
S＝12|AF||AF1|＝9，B正确；
对于C，在Rt△AFM中，
|AF||AM|＝|AM|2＋|FM|2|AM|2＝1＋|FM|2|AM|2，
双曲线C：x216－y29＝1的渐近线方程为y＝±34x，直线AF的斜率为|AM||FM|43，|AF||AM|>1＋432＝53，C错误；
对于D，|AF|－|AM|＝8＋|AF1|－|AM|≥8，当且仅当|AF1|＝|AM|时取等号，D正确.
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2024·新课标全国Ⅰ)设双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|＝13，|AB|＝10，则C的离心率为 .
【答案】32
【解析】|F1A|＝13，|AF2|＝12|AB|＝5，
且AF2⊥F1F2，
|F1F2|＝|F1A|2−AF2|2＝12.
由双曲线定义可得2a＝|F1A|－|AF2|＝8，
2c＝|F1F2|＝12，
化简得a＝4，c＝6，
则C的离心率e＝ca＝32.
10.已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，A，B分别是它的两条渐近线上的点(不与坐标原点O重合)，点P在双曲线C上且OA＋OB＝2OP，△AOB的面积为6，则该双曲线的实轴长为 .
【答案】26
【解析】如图，由e＝2＝ca＝1＋ba2可得a＝b，
故双曲线C：x2a2－y2b2＝1的渐近线方程为y＝±x，
由双曲线的对称性，不妨设A(x1，x1)，B(x2，－x2)，
因为OA＋OB＝2OP，
则点P为AB的中点，
则Px1＋x22，x1−x22，
将其代入x2－y2＝a2中，整理得x1x2＝a2，
又|OA|＝2|x1|，|OB|＝2|x2|，且OA⊥OB，
则△AOB的面积为12×2|x1|×2|x2|＝6，
即a2＝6，解得a＝6，
故双曲线的实轴长为26.
四、解答题(共28分)
11.(13分)求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)焦点在x轴上，a＝25，经过点A(－5，2)；(6分)
(2)过点P(－2，2)，且与椭圆x29＋y24＝1有相同焦点的双曲线方程.(7分)
【解析】
(1)因为a＝25，且双曲线的焦点在x轴上，
可设双曲线的标准方程为x220－y2b2＝1(b>0)，
将点A(－5，2)代入双曲线的方程得
2520－22b2＝1，解得b2＝16，
因此，双曲线的标准方程为x220－y216＝1.
(2)在椭圆x29＋y24＝1中，
c＝9−4＝5，
所以椭圆的焦点坐标为F1(－5，0)，F2(5，0)，
设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，
因为双曲线与椭圆有相同焦点，
所以a2＋b2＝c2＝5，
点P(－2，2)代入双曲线方程，可得2a2－4b2＝1，
联立2a2−4b2＝1,a2＋b2＝5,解得a2＝1,b2＝4,
所以双曲线的标准方程为x2－y24＝1.
12.(15分)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的焦距为10，F为双曲线的右焦点，且点F到渐近线的距离为4.
(1)求双曲线C的方程；(7分)
(2)若点A(12，0)，点P为双曲线C左支上一点，求|PA|＋|PF|的最小值.(8分)
【解析】
(1)x2a2－y2b2＝1的渐近线的方程为
y＝±bax，即bx±ay＝0，
由双曲线的对称性不妨取渐近线为bx－ay＝0，则点F(c，0)到bx－ay＝0的距离
d＝|bc|b2＋a2＝b＝4，
又因为焦距2c＝10，所以c＝5，
所以a2＝c2－b2＝9，
所以双曲线C的方程为x29－y216＝1.
(2)记双曲线C的左焦点为F0，则F0(－5，0)，
|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF0|＋2a＝|PA|＋|PF0|＋6，
当F0，P，A三点共线时，|PA|＋|PF0|最小，且最小值为|AF0|＝17.
故|PA|＋|PF|的最小值为17＋6＝23.
【尖子拔高训练】每小题5分，共10分
13.(2024·天津)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2，△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为( )
A.x28－y22＝1B.x28－y24＝1
C.x22－y28＝1D.x24－y28＝1
【答案】C
【解析】由题意可知，∠F1PF2＝90°，
又直线PF2的斜率为2，
可得tan∠PF2F1＝PF1|PF2|＝2，
根据双曲线定义|PF1|－|PF2|＝2a，
得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，
S△PF1F2＝12|PF1||PF2|＝12×4a×2a＝4a2，
又S△PF1F2＝8，所以a2＝2，
所以|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2
＝(4a)2＋(2a)2＝20a2＝40.
又|F1F2|2＝4c2，所以c2＝10，
又a2＋b2＝c2，所以b2＝8，
所以双曲线的方程为x22－y28＝1.
14.将双曲线x22－y22＝1绕原点逆时针旋转45°后，能得到反比【典例】函数y＝1x的图象(其渐近线分别为x轴和y轴)，所以我们也称反比【典例】函数y＝1x的图象为双曲线.同样“对勾函数”y＝33x＋3x也能由双曲线的图象绕原点旋转得到，则此“对勾函数”所对应的双曲线的实轴长为( )
A.43B.4
C.27D.26
【答案】D
【解析】“对勾函数”y＝33x＋3x的两条渐近线分别为y＝33x和x＝0，夹角为60°，实轴所在直线是两条渐近线夹角的角平分线，所以实轴所在直线的倾斜角为60°，斜率为3，方程为y＝3x，
联立y＝3x,y＝33x＋3x,解得x＝62,y＝322或x＝−62,y＝−322,
所以此“对勾函数”所对应的双曲线的两个顶点为62，322或−62，−322，
所以实轴长为62＋622＋322＋3222＝26.
标准方程
x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)
y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)
图形
性质
焦点
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
范围
x≤－a或x≥a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；实半轴长：a，虚半轴长：b
渐近线
y＝±bax
y＝±abx
离心率
e＝ca∈(1，＋∞)
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)