新高考数学一轮复习核心考点练习第8章§8.4直线与圆、圆与圆的位置关系（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习核心考点练习第8章§8.4直线与圆、圆与圆的位置关系（2份，原卷版+解析版），共51页。试卷主要包含了4　直线与圆、圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，直线被圆截得的弦长，圆C1，圆C，已知A，B是圆C1，已知直线l等内容，欢迎下载使用。
【知识梳理】
1.直线与圆的位置关系
设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d.由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（x－a）2＋（y－b）2＝r2，,Ax＋By＋C＝0，))消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.
2.圆与圆的位置关系(☉O1，☉O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|)
3.直线被圆截得的弦长
(1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2r2−d2.
(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝1＋k2·(xM＋xN)2−4xMxN.
【名师点拨】
1.圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在的直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2.设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，
圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，
(1)若两圆相交，两式相减，得(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0，该方程表示圆C1与C2的公共弦所在的直线方程.
(2)若两圆相切，两式相减，得(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0，该方程表示圆C1与C2的公共切线所在的直线方程.
【随堂训练】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件.( )
(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.( )
(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.( )
(4)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆，且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.( )
2.直线3x＋4y＝5与圆x2＋y2＝16的位置关系是( )
A.相交且直线经过圆心
B.相切
C.相离
D.相交且直线不经过圆心
3.直线2x－y＋1＝0与圆x2＋y2＝2交于A，B两点，则弦AB的长度为( )
A.425B.655
C.225D.355
4.圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0的位置关系是( )
A.外切B.相交
C.外离D.内切
【名师点拨】
1.牢记三个相关结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
注意：求该类直线的方程亦可以用“留一代一”的方式进行，即将x2用xx0替换，y2用yy0替换，x用x＋x02替换，y用y＋y02替换.
2.灵活应用两圆相交时公共弦的性质
圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交时：
(1)将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程；
(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦；
(3)x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)表示过两圆交点的圆系方程(不包括C2).
【必练核心题型】
题型一 直线与圆的位置关系
命题点1 位置关系的判断
【典例】1.(多选)已知圆C：(x－2)2＋y2＝16，直线l：mx＋y－3m－1＝0，则下列结论中正确的是( )
A.直线l恒过定点(3，1)
B.直线l与圆C相切
C.直线l与圆C相交
D.直线l与圆C相离
命题点2 弦长问题
【典例】2.已知直线l：y＝kx＋3与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝4交于A，B两点，若|AB|＝23，则k等于( )
A.－34B.34
C.12D.－12
命题点3 切线问题
【典例】3.(多选)过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，所得切线方程为( )
A.x＝4B.15x＋8y－36＝0
C.y＝－3D.8x－15y－3＝0
命题点4 直线与圆位置关系中的最值问题
【典例】4.已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点，则四边形PACB面积的最小值为 .
【变式训练】
变式1.(多选)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0.则下列命题正确的有( )
A.直线l恒过定点(3，1)
B.y轴被圆C截得的弦长为26
C.直线l与圆C恒相交
D.直线l被圆C截得弦长最短时，直线l的方程为2x－y－5＝0
变式2.(多选)已知点P在圆O：x2＋y2＝4上，直线l：4x＋3y－12＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，则( )
A.过点B作圆O的切线，则点B到切点的距离为23
B.满足PA·PB＝0的点P仅有1个
C.点P到直线l距离的最大值为225
D.|PA＋PB|的最小值是1
题型二 圆与圆的位置关系
【典例】1.(多选)已知圆C1：(x－1)2＋(y－2a)2＝9，圆C2：x2＋y2－8x＋2ay＋a2＋12＝0，a∈R.则下列选项正确的是( )
A.直线C1C2恒过定点(3，0)
B.当圆C1和圆C2外切时，若P，Q分别是圆C1，C2上的动点，则|PQ|max＝10
C.若圆C1和圆C2共有2条公切线，则a|AB|
【限时训练】（限时：60分钟）
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是( )
A.相交B.内切
C.外切D.内含
2.直线y＝k(x－5)－2(k∈R)与圆(x－3)2＋(y＋1)2＝6的位置关系为( )
A.相离B.相交
C.相切D.无法确定
3.过点E(a，－1)向圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝2作两条切线，切点分别为A，B，若∠AEB＝π3，则( )
A.a＝2或a＝－1B.a＝－2或a＝1
C.a＝－3或a＝1D.a＝3或a＝－1
4.在平面直角坐标系Oxy中，直线l：ax＋by＝1上有且仅有一点P，使|OP|＝2，则直线l被圆C：x2＋y2＝16截得的弦长为( )
A.2B.23
C.4D.43
5.圆C：x2＋y2＋ax－2ay－5＝0恒过的定点为( )
A.(－2，1)，(2，－1)B.(－1，－2)，(2，1)
C.(－1，－2)，(1，2)D.(－2，－1)，(2，1)
6.已知A，B是圆C1：x2＋y2＝3上的动点，且|AB|＝22.P是圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝1上的动点，则|PA＋PB|的取值范围是( )
A.[8，12]B.[6，10]
C.[10，14]D.[6，14]
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.已知直线l：y＝kx－k，k∈R，圆C：x2＋y2＝4，则下列结论正确的有( )
A.直线l过定点(1，0)
B.直线l与圆C恒相交
C.直线l被圆C截得的弦长最短为23
D.若直线l被圆C截得的弦长为14，则k＝±1
8.已知动点M，N分别在圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝1和C2：(x－3)2＋(y－4)2＝3上，动点P在x轴上，则( )
A.圆C2的半径为3
B.圆C1和圆C2外离
C.|PM|＋|PN|的最小值为210
D.过点P作圆C1的切线，则点P到切点的最短距离为3
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.若直线kx－y＋2k＝0(k∈Z)与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4有公共点，则k的一个取值是 .
10.直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，【典例】如x＝ty＋1表示过点(1，0)且斜率不为0的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.若圆C1：x2＋y2＝1是直线族mx＋ny＝1(m，n∈R)的包络曲线，则m，n满足的关系式为 .
四、解答题(共27分)
11.(13分)已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.
(1)m取何值时，两圆外切？(5分)
(2)当m＝45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.(8分)
12.(14分)已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C交于A，B两点.
(1)若|AB|＝32，求实数m的值；(6分)
(2)若点P为直线l所过定点，且|PB|＝2|AP|，求直线l的方程.(8分)
【尖子拔高训练】13题6分，14题5分，共11分
13.(多选)(2024·北京朝阳区模拟)已知函数f(x)＝－2＋4−x2，则( )
A.f(x)只有1个零点
B.直线y＝2x－1与曲线y＝f(x)有唯一公共点
C.f(x)恰有2个零点
D.曲线y＝f(x)与圆x2＋(y－1)2＝1外切
14.已知f(x)＝1−x2,−1≤x≤1,f(x−2),x>1,若直线y＝knx与y＝f(x)的图象有2n(n∈N*)个交点，则k12＋k22＋…＋kn2＝ .
相离
相切
相交
图形
量化
方程观点
Δ0
几何观点
d>r
d＝r
dr1＋r2
外切
d＝r1＋r2
相交
|r1－r2|