新高考数学一轮复习核心考点练习第4章§4.3两角和与差的正弦、余弦和正切公式（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习核心考点练习第4章§4.3两角和与差的正弦、余弦和正切公式（2份，原卷版+解析版），共51页。试卷主要包含了辅助角公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
【知识梳理】
1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α－β)：
cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β；
(2)公式C(α＋β)：
cs(α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β；
(3)公式S(α－β)：
sin(α－β)＝sin αcs β－cs αsin β；
(4)公式S(α＋β)：
sin(α＋β)＝sin αcs β＋cs αsin β；
(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)；
(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β).
2.辅助角公式
asin α＋bcs α＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)，其中sin φ＝eq \f(b,\r(a2＋b2))，cs φ＝eq \f(a,\r(a2＋b2)).
3.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin 2α＝2sin__αcs__α.
(2)公式C2α：cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α.
(3)公式T2α：tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α).
【名师点拨】
1.两角和与差的公式的常用变形：
(1)sin αsin β＋cs(α＋β)＝cs αcs β；
(2)cs αsin β＋sin(α－β)＝sin αcs β；
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)，
tan αtan β＝1－eq \f(tan α＋tan β,tan（α＋β）)＝eq \f(tan α－tan β,tan（α－β）)－1.
2.降幂公式：cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)，
tan2α＝eq \f(1－cs 2α,1＋cs 2α).
3.升幂公式：1＋cs 2α＝2cs2α，
1－cs 2α＝2sin2α，
1±sin 2α＝(sin α±cs α)2.
【随堂训练】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.( )
(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.( )
(3)公式tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β, 1－tan αtan β)可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立.( )
(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( )
(5)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的.( )
【答案】(1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)√
【解析】(3)变形可以，但不是对任意的α，β都成立，α，β，α＋β≠eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z).
2.sinπ12－3csπ12的值为( )
A.0B.－2C.2D.2
【答案】B
【解析】sinπ12－3csπ12＝212sin π12−32cs π12
＝2sinπ12−π3＝2sin−π4＝－2.
3.若2cs α－sin α＝0，则tanα−π4等于( )
A.－13B.13C.－3D.3
【答案】B
【解析】因为2cs α－sin α＝0，
则sin α＝2cs α，故tan α＝2，
因此，tanα−π4＝tanα−tan π41＋tanαtan π4＝2−11＋2＝13.
4.若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝ .
【答案】17
【解析】tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan(α＋β)−tanα1＋tan(α＋β)tanα＝12−131＋12×13＝17.
【名师点拨】
1.熟记两角和与差的公式的常用变形
(1)sin αsin β＋cs(α＋β)＝cs αcs β.
(2)cs αsin β＋sin(α－β)＝sin αcs β.
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).
(4)tan αtan β＝1－tanα＋tanβtan(α＋β)＝tanα−tanβtan(α−β)－1.
2.谨防两个易误点
(1)运用公式时要注意公式成立的条件；
(2)在求角的三角函数值时，往往要估计角的范围后再求值.特别是在(0，π)内，正弦值对应的角不唯一.
【必练核心题型】
题型一 两角和与差的三角函数公式
【典例】1.若csπ4＋αcsπ4−α＝3，则tanα＋π4等于( )
A.－3B.－13C.13D.3
【答案】C
【解析】由题意，得22(csα−sinα)22(csα＋sinα)＝1−tanα1＋tanα＝3，所以tan α＝－12，
则tanα＋π4＝tanα＋11−tanα＝−12＋11−−12＝13.
【典例】2.若cs(140°－α)＋sin(110°＋α)＝sin(130°－α)，则tan α等于( )
A.33B.－33C.3D.－3
【答案】D
【解析】因为cs(140°－α)＋sin(110°＋α)＝sin(130°－α)，
所以－sin(50°－α)＋cs(20°＋α)＝sin(50°＋α)，
即－sin 50°cs α＋cs 50°sin α＋cs(20°＋α)＝sin 50°cs α＋cs 50°sin α，
所以cs 20°cs α－sin 20°sin α＝2sin 50°cs α，
即(cs 20°－2sin 50°)cs α＝sin 20°sin α，
所以tan α＝cs20°−2sin50°sin20°＝cs20°−2sin(30°＋20°)sin20°
＝cs20°−2×12cs20°−2×32sin20°sin20°＝－3.
【解题技巧】
(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.
(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.
【变式训练】
变式1.已知sin(α－β)＝13，cs αsin β＝16，则sin(α＋β)等于( )
A.23B.223C.－23D.－223
【答案】A
【解析】因为sin(α－β)＝sin αcs β－cs αsin β＝13，
而cs αsin β＝16，
因此sin αcs β＝12，
则sin(α＋β)＝sin αcs β＋cs αsin β＝23.
变式2.(2024·新课标全国Ⅰ)已知cs(α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cs(α－β)等于( )
A.－3mB.－m3C.m3D.3m
【答案】A
【解析】由cs(α＋β)＝m得cs αcs β－sin αsin β＝m.①
由tan αtan β＝2得sinαsinβcsαcsβ＝2，②
由①②得csαcsβ＝−m，sinαsinβ＝−2m，
所以cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β＝－3m.
题型二 两角和与差的三角函数公式的逆用与辅助角公式
【典例】1.已知函数f(x)＝3sin x＋4cs x.若x＝θ时，f(x)取得最大值，则csθ＋π4等于( )
A.7210B.－7210C.210D.－210
【答案】C
【解析】f(x)＝3sin x＋4cs x＝5sin(x＋φ)，其中tan φ＝43，sin φ＝45，cs φ＝35，
∵当x＝θ时，f(x)取得最大值，∴θ＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z，即θ＝π2＋2kπ－φ，k∈Z，
∴csθ＋π4＝csπ2＋2kπ−φ＋π4
＝cs3π4−φ＝cs 3π4cs φ＋sin 3π4sin φ
＝－22×35＋22×45＝210.
【典例】2.tan 10°＋tan 20°＋tan 30°＋tan 10°·tan 20°tan 30°＝ .
【答案】233
【解析】因为tan 30°＝tan(10°＋20°)＝tan10°＋tan20°1−tan10°tan20°，
故tan 10°＋tan 20°＝tan 30°－tan 30°tan 10°tan 20°，
所以tan 10°＋tan 20°＋tan 30°＋tan 10°tan 20°tan 30°
＝tan 30°－tan 30°tan 10°tan 20°＋tan 30°＋tan 10°tan 20°tan 30°
＝2tan 30°＝233.
【解题技巧】
(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式.
(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用.
(3)对asin x＋bcs x化简时，要清楚如何求辅助角φ的值.
【变式训练】
变式1.若sin α＋3cs α＝1，且α∈(0，π)，则α＝ .
【答案】π2
【解析】因为sin α＋3cs α＝2sinα＋π3＝1，
所以sinα＋π3＝12，
又α∈(0，π)，所以α＋π3∈π3，4π3，
所以α＋π3＝5π6，所以α＝π2.
变式2.若α＋β＝－3π4，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝ .
【答案】2
【解析】tan−3π4＝tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1−tanαtanβ＝1，所以1－tan αtan β＝tan α＋tan β，
则1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2，
即(1＋tan α)(1＋tan β)＝2.
题型三 角的变换问题
【典例】1.已知sinα＋π4＝45，α∈π4，π2，则cs α等于( )
A.210B.3210C.22D.7210
【答案】A
【解析】由α∈π4，π2，得α＋π4∈π2，3π4，
则csα＋π4＝－1−sin2α＋π4＝－35，
cs α＝csα＋π4−π4＝csα＋π4cs π4＋sinα＋π4sin π4＝－35×22＋45×22＝210.
【典例】2.已知α∈π2，π，β∈0，π2，若sin(α＋β)＝13，cs β＝33，则sin α等于( )
A.13B.33C.539D.39
【答案】C
【解析】因为α∈π2，π，β∈0，π2，sin(α＋β)＝13>0，cs β＝33，所以α＋β∈π2，π，
则sin β＝1−cs2β＝63，
cs(α＋β)＝－1−sin2(α＋β)＝－223，
所以sin α＝sin[(α＋β)－β]
＝sin(α＋β)cs β－cs(α＋β)sin β
＝13×33－−223×63＝539.
【解题技巧】
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.
(2)当“已知角”有一个时，“所求角”一般表示为“已知角”与特殊角的和或差的形式，或者应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
(3)常见的角的变换：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝α＋β2＋α−β2，π3＋α＝π2－π6−α，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，π4＋α＋π4−α＝π2等.
【变式训练】
变式1.已知α，β∈π3，5π6，若sinα＋π6＝45，csβ−5π6＝513，则sin(α－β)的值为( )
A.1665B.3365C.5665D.6365
【答案】A
【解析】由题意可得α＋π6∈π2，π，β－5π6∈−π2，0，
所以csα＋π6＝－35，sinβ−5π6＝－1213，
所以sin(α－β)＝－sinα＋π6−β−5π6＝－45×513＋−35×−1213＝1665.
变式2.已知θ∈π4，π2，且sinθ＋π4＝45，则tan θ等于( )
A.7B.43C.17D.125
【答案】A
【解析】因为θ∈π4，π2，所以θ＋π4∈π2，3π4，
又sinθ＋π4＝45，
所以csθ＋π4＝－35，则tanθ＋π4＝－43，
所以tan θ＝tanθ＋π4−π4
＝tanθ＋π4−tan π41＋tanθ＋π4tan π4＝−43−11−43＝7.
【限时训练】（限时：60分钟）
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.cs 50°cs 160°－cs 40°sin 160°等于( )
A.32B.12C.－12D.－32
【答案】D
【解析】原式＝cs 50°cs 160°－sin 50°sin 160°＝cs(50°＋160°)＝cs 210°＝－cs 30°＝－32.
2.已知α为锐角，且sinα＋π3＝sinα−π6，则tan α等于( )
A.3B.2＋3
C.6D.6＋3
【答案】B
【解析】因为sinα＋π3＝sinα−π6，所以12sin α＋32cs α＝32sin α－12cs α，所以(3＋1)cs α＝(3－1)sin α，所以tan α＝3＋13−1＝2＋3.
3.若sin 18°＝m，则sin 63°等于( )
A.22(1−m2－m)B.12m＋321−m2
C.22(m＋1−m2)D.32m＋121−m2
【答案】C
【解析】因为sin 18°＝m，所以cs 18°＝1−m2，
所以sin 63°＝sin(18°＋45°)＝22(sin 18°＋cs 18°)＝22(m＋1−m2).
4.已知sin α＋sin β＝12，cs α＋cs β＝13，则cs(α－β)的值等于( )
A.－712B.－1718C.－5972D.5972
【答案】C
【解析】sin α＋sin β＝12⇒sin2α＋sin2β＋2sin αsin β＝14，①
cs α＋cs β＝13⇒cs2α＋cs2β＋2cs αcs β＝19，②
①＋②得，2＋2(sin αsin β＋cs αcs β)＝1336⇒cs(α－β)＝12×1336−2＝－5972.
5.已知tan(α＋β)，tan(α－β)是方程x2＋5x＋6＝0的两个根，则tan 2α等于( )
A.－1B.1C.－2D.2
【答案】B
【解析】由题意可得tan(α＋β)＋tan(α－β)＝－5，
且tan(α＋β)tan(α－β)＝6，
则tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]
＝tan(α＋β)＋tan(α−β)1−tan(α＋β)tan(α−β)＝−51−6＝1.
6.定义运算a bc d＝ad－bc，若cs α＝17，sinα sinβcsα csβ＝3314，0