新高考数学一轮复习核心考点练习第4章§4.4简单的三角恒等变换（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习核心考点练习第4章§4.4简单的三角恒等变换（2份，原卷版+解析版），共51页。试卷主要包含了4　简单的三角恒等变换，二倍角的正弦、余弦、正切公式，半角公式，积化和差公式等内容，欢迎下载使用。
【知识梳理】
1.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin 2α＝2sin αcs α.
(2)公式C2α：cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α.
(3)公式T2α：tan 2α＝2tanα1−tan2α.
2.半角公式(不要求记忆)
sinα2＝±1−csα2；csα2＝±1＋csα2；tanα2＝±1−csα1＋csα.符号由α2所在象限决定.
3.积化和差公式
(1)cs αcs β＝12[cs(α＋β)＋cs(α－β)]；
(2)sin αsin β＝－12[cs(α＋β)－cs(α－β)]；
(3)sin αcs β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]；
(4)cs αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)].
4.和差化积公式
(1)sin θ＋sin φ＝2sinθ＋φ2csθ−φ2；
(2)sin θ－sin φ＝2csθ＋φ2sinθ−φ2；
(3)cs θ＋cs φ＝2csθ＋φ2csθ−φ2；
(4)cs θ－cs φ＝－2sinθ＋φ2sinθ−φ2.
【随堂训练】
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角.( )
(2)半角的正切公式成立的条件是α≠(2k＋1)π(k∈Z).( )
(3)任意角α，sin 2α＝2sin α都不成立. ( )
(4)cs2α2＝12(1＋cs α)，cs 3α＝1－2sin23α2. ( )
【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)√
2.cs2π12－cs25π12等于( )
A.12B.33C.22D.32
【答案】D
【解析】因为cs 5π12＝sinπ2−5π12＝sinπ12，
所以cs2π12－cs25π12＝cs2π12－sin2π12
＝cs π6＝32.
3.若α为第二象限角，sin α＝513，则sin 2α＝ .
【答案】－120169
【解析】因为α为第二象限角，sin α＝513，
所以cs α＝－1−sin2α＝－1−5132＝－1213，
所以sin 2α＝2sin αcs α＝2×513×−1213＝－120169.
4.已知tan 2α＝－43，α∈π，3π2，则tan α＝ .
【答案】2
【解析】由tan 2α＝2tanα1−tan2α＝－43，
得2tan2α－3tan α－2＝0，
解得tan α＝2或tan α＝－12(舍去).
【名师点拨】
1.熟记常用的部分三角公式
(1)1－cs α＝2sin2 α2，1＋cs α＝2cs2 α2.(升幂公式)
(2)1±sin α＝sinα2±csα22.(升幂公式)
(3)sin2α＝1−cs2α2，cs2α＝1＋cs2α2，
tan2α＝1−cs2α1＋cs2α.(降幂公式)
(4)半角正切公式的有理化
tanα2＝sinα1＋csα＝1−csαsinα.
(5)万能公式
sin α＝2tan α21＋tan2α2，cs α＝1−tan2α21＋tan2α2，
tan α＝2tan α21−tan2α2.
(6)三角平方差公式
sin2α－sin2β＝sin(α＋β)sin(α－β)；
cs2α－sin2β＝cs(α＋β)cs(α－β).
2.运用倍角公式时谨记四个注意点
(1)要注意公式成立的条件；
(2)要注意和、差、倍角的相对性；
(3)要注意升幂、降幂的灵活运用；
(4)要注意“1”的各种变形.
【必练核心题型】
题型一 三角函数式的化简
【典例】1 (1)sin2α−π6＋sin2α＋π6－sin2α等于( )
A.－12B.－32C.12D.32
【答案】C
【解析】原式＝1−cs2α−π32＋1−cs2α＋π32－sin2α
＝1－12cs2α−π3＋cs2α＋π3－sin2α
＝1－cs 2αcs π3－sin2α
＝1－cs2α2－1−cs2α2＝12.
【典例】2.化简：(1＋cs2α)(2sin2α−1)tan α2tan2α2−1＝ .
【答案】14sin 4α
【解析】(1＋cs2α)(2sin2α−1)tan α2tan2α2−1
＝2cs2α(－cs 2α)tan α2tan2α2−1
＝cs2αcs 2αtan α＝sin αcs αcs 2α
＝12sin 2αcs 2α＝14sin 4α.
【解题技巧】
(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征.
(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点.
【变式训练】
变式1.化简1＋sin4α−cs4α1＋sin4α＋cs4α的结果是( )
A.1tan2αB.tan 2αC.1tanαD.tan α
【答案】B
【解析】原式＝2sin2αcs2α＋2sin22α2sin2αcs2α＋2cs22α＝2sin2α(cs2α＋sin2α)2cs2α(sin2α＋cs2α)＝tan 2α.
变式2.若3π222>cs θ>12，
所以c＝sin θtan θ>b＝sin2θ>a＝sin θcs θ.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.(2025·中山模拟)下列选项中，与sin−11π6的值相等的是( )
A.2sin 15°cs 15°
B.cs 18°cs 42°－sin 18°sin 42°
C.2cs215°－1
D.tan22.5°1−tan222.5°
【答案】ABD
【解析】根据题意，可得
sin−11π6＝sin−11π6＋2π＝sin π6＝12.
因为2sin 15°cs 15°＝sin 30°＝12，故A项正确；
因为cs 18°cs 42°－sin 18°sin 42°＝cs(18°＋42°)＝cs 60°＝12，故B项正确；
因为2cs215°－1＝cs 30°＝32，故C项不正确；
因为2tan22.5°1−tan222.5°＝tan 45°＝1，所以tan22.5°1−tan222.5°＝12，故D项正确.
8.已知函数f(x)＝sin2x＋π4，若a＝f(lg 5)，b＝flg 15，则( )
A.a＋b＝0B.a－b＝0
C.a＋b＝1D.a－b＝sin(2lg 5)
【答案】CD
【解析】由题意可得f(x)＝sin2x＋π4
＝1−cs2x＋π22＝1＋sin2x2.
因为a＝f(lg 5)，b＝flg 15＝f(－lg 5)，
所以a＋b＝1＋sin(2lg5)2＋1−sin(2lg5)2＝1，
a－b＝1＋sin(2lg5)2－1−sin(2lg5)2＝sin(2lg 5).
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.已知sinα−π4＝23，则sin 2α＝ .
【答案】59
【解析】sinα−π4＝－sinπ4−α＝23，
所以sinπ4−α＝－23，
所以sin 2α＝csπ2−2α
＝cs 2π4−α＝1－2sin2π4−α
＝1－2×−232＝59.
10.已知α，β均为锐角，cs α＝277，sin β＝3314，则cs 2α＝ ，2α－β＝ .
【答案】17 π3
【解析】因为cs α＝277，
所以cs 2α＝2cs2α－1＝17.
又因为α，β均为锐角，sin β＝3314，
所以sin α＝217，cs β＝1314，
因此sin 2α＝2sin αcs α＝437，
所以sin(2α－β)＝sin 2αcs β－cs 2αsin β
＝437×1314－17×3314＝32.
因为α为锐角，所以0