新高考数学一轮复习考点基础+提升练习第10章10.1计数原理与排列组合（含答案解析）

这是一份新高考数学一轮复习考点基础+提升练习第10章10.1计数原理与排列组合（含答案解析），共6页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题
1．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数的个数是( )
A．30 B．42 C．36 D．35
2．(2024·鞍山模拟)为了支援山区教育，现在安排5名大学生到3个学校进行支教活动，每个学校至少安排1人，其中甲校至少要安排2名大学生，则不同的安排方法共有( )
A．50种 B．60种 C．80种 D．100种
3．(2023·广州模拟)如图，在两行三列的网格中放入标有数字1,2,3,4,5,6的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有中间一列两个数字之和为5”的不同的排法有( )
A.96种 B．64种 C．32种 D．16种
4．在数学中，有一个被称为自然常数(又叫欧拉数)的常数e≈2.718 28.小明在设置银行卡的数字密码时，打算将自然常数e的前6位数字2,7,1,8,2,8进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个2不相邻，两个8相邻，那么小明可以设置的不同的密码个数为( )
A．36 B．48 C．72 D．120
5．一辆七座(含司机)旅游客车载着6名游客前往某地游览，6名游客返程时恰有2名游客坐的是出发时的座位的方法数为( )
A．135 B．150 C．165 D．180
6.在如图所示的5个区域内种植花卉，每个区域种植1种花卉，且相邻区域种植的花卉不同，若有6种不同的花卉可供选择，则不同的种植方法种数是( )
A．1 440 B．720
C．1 920 D．960
7．在一次学校组织的研究性学习成果报告会上，有A，B，C，D，E，F共6项成果要汇报，如果B成果不能最先汇报，而A，C，D成果按先后顺序汇报(不一定相邻)，那么不同的汇报安排种数为( )
A．100 B．120 C．300 D．600
8．(2023·潍坊模拟)过去的一年，我国载人航天事业突飞猛进，其中航天员选拔是载人航天事业发展中的重要一环．已知航天员选拔时要接受特殊环境的耐受性测试，主要包括前庭功能、超重耐力、失重飞行、飞行跳伞、着陆冲击五项．若这五项测试每天进行一项，连续5天完成，且前庭功能和失重飞行须安排在相邻两天测试，超重耐力和失重飞行不能安排在相邻两天测试，则不同的选拔测试安排方案有( )
A．24种 B．36种 C．48种 D．60种
二、多项选择题
9．现将8把椅子排成一排，4位同学随机就座，则下列说法中正确的是( )
A．4个空位全都相邻的坐法有120种
B．4个空位中只有3个相邻的坐法有240种
C．4个空位均不相邻的坐法有120种
D．4个空位中至多有2个相邻的坐法有840种
10．安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2023年成都大运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法正确的是( )
A．若每人都安排一项工作，则不同的方法种数为45
B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法种数为Aeq \\al(4,5)Ceq \\al(1,4)
C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则不同的方法种数为(Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(1,2)＋Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(2,3))Aeq \\al(3,3)
D．若每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同的安排方法种数为Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(2,4)Aeq \\al(3,3)＋Ceq \\al(2,3)Aeq \\al(3,3)
三、填空题
11．甲、乙、丙、丁四个人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是自己所写的贺卡，共有________种不同的取法．
12.算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如，在十位档拨一颗上珠和一颗下珠，个位档拨一颗上珠，则表示数字65.若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗下珠，再随机选择两个档位各拨一颗上珠，则可能出现的数字个数为________，其中所拨数字小于600的有________个．
13．(2023·郑州质检)某数学兴趣小组的5名学生负责讲述“宋元数学四大家”——秦九韶、李冶、杨辉和朱世杰的故事，每名学生只讲一个数学家的故事，每个数学家的故事都有学生讲述，则不同的分配方案有________种．
14．现有15个省三好学生名额分给1,2,3,4四个班级，其中1班至少有2个名额，2班、4班每班至少有3个名额，3班最多有2个名额，则共有________种不同分配方案．
15．如图，一只青蛙开始时位于数轴上原点的位置，每次向数轴的左侧或右侧随机跳跃一个单位长度，记an为第n次跳跃后对应数轴上的数字(n＝1,2，…，14)，则满足aeq \\al(2,8)＝16，a14＝2的跳跃方法有( )
A．336种 B．448种 C．315种 D．420种
16．因演出需要，身高互不相等的8名演员要排成一个“波浪形”，即演员们的身高从最左边数起：第一个到第三个依次递增，第三个到第六个依次递减，第六、七、八个依次递增，则不同的排列方式有( )
A．181种 B．109种 C．84种 D．96种
§10.1 计数原理与排列组合
1．C 2.C 3.B 4.A 5.A
6．C [如图，设5个区域分别是A，B，C，D，E.
第一步：选择1种花卉种植在A区域，有6种方法可以选择；
第二步：从剩下的5种不同的花卉中选择1种种植在B区域，有5种方法可以选择；
第三步：从剩下的4种花卉中选择1种种植在C区域，有4种方法可以选择；
第四步：若区域D与区域A种植同1种花卉，则区域E可选择的花卉有4种；
若区域D与区域A种植不同种花卉，则区域D有3种花卉可以选择，区域E可选择的花卉有4种，
故不同的种植方法种数是6×5×4×(1×4＋3×4)＝1 920.]
7．A [不考虑限制条件共有Aeq \\al(6,6)种，B最先汇报共有Aeq \\al(5,5)种，如果B不能最先汇报，而A，C，D按先后顺序汇报(不一定相邻)，则不同的汇报安排种数为eq \f(A\\al(6,6)－A\\al(5,5),A\\al(3,3))＝100.]
8．B [①若失重飞行安排在第一天，且前庭功能安排在第二天，则后面三天安排其他三项测试有Aeq \\al(3,3)＝6(种)安排方法，此情况跟失重飞行安排在第五天，且前庭功能安排在第四天的安排方案种数相同；
②若失重飞行安排在第二天，则前庭功能有Ceq \\al(1,2)种选择，超重耐力安排在第四、第五天有Ceq \\al(1,2)种选择，剩下两种测试全排列为Aeq \\al(2,2)，则有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,2)Aeq \\al(2,2)＝8(种)安排方法，此情况与失重飞行安排在第四天的安排方案种数相同；
③若失重飞行安排在第三天，则前庭功能有Ceq \\al(1,2)种选择，超重耐力在第一、第五天有Ceq \\al(1,2)种选择，剩下两种测试全排列为Aeq \\al(2,2)，则有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,2)Aeq \\al(2,2)＝8(种)安排方法，
故选拔测试的安排方案有6×2＋8×2＋8＝36(种)．]
9．AC [将四个空位当成一个整体，全部的坐法有Aeq \\al(5,5)＝120(种)，故A对；
先排4个学生Aeq \\al(4,4)，然后将三个相邻的空位当成一个整体，和另一个空位插入到由4个学生形成的5个空当中，有Aeq \\al(2,5)种方法，所以一共有Aeq \\al(4,4)Aeq \\al(2,5)＝480(种)坐法，故B错；
先排4个学生Aeq \\al(4,4)，4个空位是一样的，然后将4个空位插入到由4个学生形成的5个空当中，有Ceq \\al(4,5)种方法，所以一共有Aeq \\al(4,4)Ceq \\al(4,5)＝120(种)坐法，故C对；
至多有2个相邻即都不相邻或者有两个相邻，由C可知都不相邻的坐法有120种，
空位两个两个相邻的有Aeq \\al(4,4)Ceq \\al(2,5)＝240(种)，空位只有两个相邻的有Aeq \\al(4,4)Ceq \\al(1,5)Ceq \\al(2,4)＝720(种)，
所以一共有120＋240＋720＝1 080(种)坐法，故D错．]
10．AD [若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则有45种安排方法，故A正确；
先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，有Ceq \\al(2,5)Aeq \\al(4,4)种安排方法，故B错误；
先将5人分为3组，有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(C\\al(3,5)C\\al(1,2),A\\al(2,2))＋\f(C\\al(2,5)C\\al(2,3),A\\al(2,2))))种分组方法，将分好的三组安排翻译、导游、礼仪三项工作，有Aeq \\al(3,3)种情况，则有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(C\\al(3,5)C\\al(1,2),A\\al(2,2))＋\f(C\\al(2,5)C\\al(2,3),A\\al(2,2))))Aeq \\al(3,3)种安排方法，故C错误；
①从丙，丁，戊中选出1人开车，②从丙，丁，戊中选出2人开车，则有(Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(2,4)Aeq \\al(3,3)＋Ceq \\al(2,3)Aeq \\al(3,3))种安排方法，故D正确．]
11．9
12．24 7
解析 在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗下珠，再随机选择两个档位各拨一颗上珠，
所有的数有Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(2,4)＝24(个)，其中小于600的有Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(2,3)－Ceq \\al(1,2)＝7(个)．
13．240
解析 先把5名学生分成人数为2,1，1,1的四组，共有eq \f(C\\al(2,5)C\\al(1,3)C\\al(1,2),A\\al(3,3))＝Ceq \\al(2,5)＝10(种)分法，再将四组学生安排宋元数学四大家讲述，有Aeq \\al(4,4)＝24(种)分法，
所以分配方案有10×24＝240(种)．
14．85
解析 由3班最多有2个名额，得3班有2个、1个或0个名额三种情况．
(1)当3班有2个名额时，先给1班1个名额，2班、4班各2个名额，然后将剩下的8个名额分给1班、2班和4班，每个班至少一个名额．
相当于将8个元素排成一排，在中间加入2个隔板将他们分成3组，1班、2班和4班分别得到一组，有Ceq \\al(2,7)＝21(种)分法；
(2)当3班有1个名额时，先给1班1个名额，2班、4班各2个名额，然后将剩下的9个名额分给1班、2班和4班，每个班至少一个名额．
相当于将9个元素排成一排，在中间加入2个隔板将他们分成3组，1班、2班和4班分别得到一组，有Ceq \\al(2,8)＝28(种)分法；
(3)当3班没有分得名额时，先给1班1个名额，2班、4班各2个名额，然后将剩下的10个名额分给1班、2班和4班，每个班至少一个名额．
相当于将10个元素排成一排，在中间加入2个隔板将他们分成3组，1班、2班和4班分别得到一组，有Ceq \\al(2,9)＝36(种)分法，
所以一共有21＋28＋36＝85(种)不同的分配方案．
15．B [因为aeq \\al(2,8)＝16，所以a8＝－4或a8＝4.
当a8＝－4，a14＝2时，前8次向左跳跃6次，向右跳跃2次，后6次向右跳跃6次，
所以有Ceq \\al(6,8)Ceq \\al(0,6)＝28(种)跳跃方法；
当a8＝4，a14＝2时，前8次向右跳跃6次，向左跳跃2次，后6次向左跳跃4次，向右跳跃2次，
所以有Ceq \\al(2,8)Ceq \\al(4,6)＝28×15＝420(种)跳跃方法．
综上所述，满足aeq \\al(2,8)＝16，a14＝2的跳跃方法有28＋420＝448(种)．]
16．A [依题意作图如图所示：
上面的数字表示排列的位置，必须按照如图的方式排列，其中第3个位置必须比1,2,4,5,6要高，第8个位置必须比6,7高，1,6两处要比排列里其他位置低，设8个演员按照从矮到高的顺序依次编号为①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，则第3个位置可选演员编号最小是⑥，最大是⑧，下面分类讨论：
(1)第3个位置选⑥号：先从①，②，③，④，⑤号中选两个放入前两个位置，
余下的3个号放入位置4,5,6，顺序是确定的，只有一种情况，然后⑦，⑧号放入最后两个位置也是确定的，此时共Ceq \\al(2,5)＝10(种)情况；
(2)第3个位置选⑦号：先从①，②，③，④，⑤，⑥号中选两个放入前两个位置，
余下的4个号中编号最小的放入第6个位置，剩下3个选2个放入4,5两个位置，
余下的号和⑧号放入最后两个位置，此时共Ceq \\al(2,6)Ceq \\al(2,3)＝45(种)情况；
(3)第3个位置选⑧号：先从①，②，③，④，⑤，⑥，⑦号中选两个放入前两个位置，
余下的5个号中编号最小的放入第6个位置，剩下4个选2个放入4,5两个位置，余下的2个号放入最后两个位置，此时共Ceq \\al(2,7)Ceq \\al(2,4)＝126(种)情况，
由分类加法计数原理可得共有10＋45＋126＝181(种)排列方式．]