第八章 第十节 圆锥曲线的定点问题-备战2022年（新高考）数学一轮复习考点讲解+习题练习学案

第十节 圆锥曲线的定点问题

课中讲解

考点一. 掌握并解决存在性定点问题

例1.已知椭圆的离心率为，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于，两点，当直线与轴垂直时，.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）当直线与轴不垂直时，在轴上是否存在一点（异于点），使轴上任意点到直线，的距离均相等？若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由.

变式1.如图,在平面直角坐标系中，椭圆直线与轴交于点，与椭圆交于,两点．是否存在点，使得为定值？若存在，请指出点的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由．

例2.已知椭圆的右准线，离心率，，是椭圆上的两动点，动点满足，（其中为常数）．

（1）求椭圆标准方程；

（2）当且直线与斜率均存在时，求的最小值；

（3）若是线段的中点，且，问是否存在常数和平面内两定点，，使得动点满足，若存在,求出的值和定点，;若不存在，请说明理由．

变式2.已知椭圆的离心率为，椭圆与轴交于两点，且．

（1）求椭圆的方程；

（2）设点是椭圆上的一个动点，且直线与直线分别交于两点．是否存在点使得以为直径的圆经过点？若存在，求出点的横坐标；若不存在，说明理由．

例3.如图，已知点F为抛物线C：()的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于M，N两点，且当直线l的倾斜角为45°时，.

(1)求抛物线C的方程.

(2)试确定在x轴上是否存在点P，使得直线PM，PN关于x轴对称？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

考点二.掌握并解决直线过定点问题

例1．（2020•安徽六安）已知抛物线，不与坐标轴垂直的直线与抛物线交于两点，当且时，.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）若过定点，点关于轴的对称点为，证明：直线过定点，并求出定点坐标.

变式1．（2020•甘肃天水理）已知椭圆的右焦点为，且经过点.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设O为原点，直线与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.

例2.在平面直角坐标系中，已知椭圆的左右顶点为，右顶点为，设过点的直线与椭圆分别交于点，，其中,.

设动点满足,求点的轨迹.

①     设，求点的坐标；

②     设,求证：直线必过轴上的一定点（其坐标与无关）.

变式2.已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切，过点且不垂直轴的直线与椭圆相交于两点.

（1）求椭圆的方程；

（2）若点关于轴的对称点是，求证：直线与轴相交于定点.

例3．（2020 全国I卷理）已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．

（1）求E的方程；

（2）证明：直线CD过定点.

变式3. 在平面直角坐标系中，已知椭圆与直线．四点，，，中有三个点在椭圆上，剩余一个点在直线上．

（1）求椭圆的方程；

（2）若动点在直线上，过作直线交椭圆于两点，使得，再过作直线．证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标．

例4.已知抛物线的焦点为，直线交于两点(异于坐标原点O).

(1)若点的坐标为，点P为抛物线C上一动点，线段MF与抛物线C无交点，且的最小值为5，求抛物线的标准方程；

(2)当时，判断直线是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由.

变式4.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F(，0)，长半轴长与短半轴长的比值为2.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设不经过点B(0,1)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，若点B在以线段MN为直径的圆上，证明直线l过定点，并求出该定点的坐标．

例5.如图，已知直线l：y＝kx＋1(k＞0)关于直线y＝x＋1对称的直线为l1，直线l，l1与椭圆E：＋y2＝1分别交于点A，M和A，N，记直线l1的斜率为k1.

(1)求k·k1的值；

(2)当k变化时，试问直线MN是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由．

变式5.(2019·北京)已知椭圆C：＋＝1的右焦点为(1,0)，且经过点A(0,1)．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设O为原点，直线l：y＝kx＋t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N.若OM·ON＝2，求证：直线l经过定点．

考点三.圆过定点

例1.如图，在平面直角坐标系xOy中，离心率为的椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．若直线PQ斜率为时，PQ=2．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．

变式1. 已知椭圆：的左焦点为，左准线与x轴的交点是圆的圆心，圆恰好经过坐标原点，设是圆上任意一点.

（1）求圆的方程；

（2）在平面上是否存在定点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.

课后习题

1. 如图，已知椭圆方程为，圆方程为，过椭圆的左顶点作斜率为直线与椭圆和圆分别相交于．

（1）若时，恰好为线段的中点，试求椭圆的离心率；

（2）若椭圆的离心率，为椭圆的右焦点，当时，求的值；

（3）设为圆上不同于的一点，直线的斜率为，当时，试问直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

2. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，直过椭圆的右焦点，且交椭圆于两点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点作垂直于轴的直线，设直线与定直线交于点，试探索当变化时，直线是否过定点？

3. （2020陕西西安） 从抛物线：外一点作该抛物线的两条切线（切点分别为），分别与轴相交于，若与轴相交于点，点在抛物线上，且（为抛物线的焦点）.

（1）求抛物线的方程；

（2）①求证：四边形是平行四边形.

     ②四边形能否为矩形？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由.

4.（2020全国卷文）已知动点到定点的距离比到定直线的距离小.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）过点任意作互相垂直的两条直线，，分别交曲线于点，和，.设线段，的中点分别为，，求证：直线恒过一个定点；

（3）在（2）条件下，求面积的最小值.

5.（2020全国卷）已知椭圆过点，且离心率为.直线与轴正半轴和轴分别交于点、，与椭圆分别交于点、，各点均不重合且满足 ，.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若，试证明:直线过定点并求此定点

6.（2020回民中学二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于两点，延长交椭圆于点，的周长为8.

（1）求的离心率及方程；

（2）试问：是否存在定点，使得为定值？若存在，求；若不存在，请说明理由.