新高考数学一轮复习考点基础+提升练习第8章8.14圆锥曲线中的探索性与综合性问题（含答案解析）

这是一份新高考数学一轮复习考点基础+提升练习第8章8.14圆锥曲线中的探索性与综合性问题（含答案解析），共5页。试卷主要包含了已知双曲线C，已知椭圆C，已知抛物线E等内容，欢迎下载使用。
1．(2023·郑州模拟)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(2,0)，且点Q(eq \r(2)，eq \r(3))在双曲线C上．
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点F的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，在x轴上是否存在异于F的点P，使得点F到直线PA，PB的距离始终相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．(2023·德州模拟)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(3),3)，点E，F分别为其下顶点和右焦点，坐标原点为O，且△EOF的面积为eq \r(2).
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在直线l，使得l与椭圆C相交于A，B两点，且点F恰为△EAB的垂心？若存在，求直线l的方程，若不存在，请说明理由．
3．(2024·唐山模拟)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F且倾斜角为eq \f(π,4)的直线交抛物线于M，N两点，|MN|＝8.
(1)求抛物线E的方程；
(2)在抛物线E上任取与原点不重合的点A，过A作抛物线E的切线交x轴于点B，点A在直线x＝－1上的射影为点C，试判断四边形ACBF的形状，并说明理由．
4．(2023·绵阳模拟)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的焦距为4，左、右顶点分别为A1，A2，椭圆上异于A1，A2的任意一点P，都满足直线PA1，PA2的斜率之积为－eq \f(1,2).
(1)若椭圆上存在两点B1，B2关于直线y＝x＋m对称，求实数m的取值范围；
(2)过右焦点F2的直线交椭圆于M，N两点，过原点O作直线MN的垂线并延长交椭圆于点Q.那么，是否存在实数k，使得eq \f(k,|MN|)＋eq \f(1,|OQ|2)为定值？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
§8.14 圆锥曲线中的探索性与综合性问题
1．解 (1)由题意得，c＝2，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2,a2)－\f(3,b2)＝1，,a2＋b2＝4，))所以a2＝1，b2＝3，
所以双曲线C的标准方程为
x2－eq \f(y2,3)＝1.
(2)假设存在P(n,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由题意知，直线AB的斜率不为0，当直线AB的斜率存在时，设直线AB：x＝my＋2(m≠0)，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝my＋2，,x2－\f(y2,3)＝1，))消去x，得
(3m2－1)y2＋12my＋9＝0，
则3m2－1≠0，Δ＝(12m)2－
4×9(3m2－1)＝36(m2＋1)>0，
且y1＋y2＝－eq \f(12m,3m2－1)，y1y2＝eq \f(9,3m2－1)，
因为点F到直线PA，PB的距离相等，
所以PF是∠APB的平分线，
则kPA＋kPB＝0，即eq \f(y1,x1－n)＋eq \f(y2,x2－n)＝0，
则y1(my2＋2－n)＋y2(my1＋2－n)＝0，
整理得2my1y2＋(2－n)(y1＋y2)＝0，
故eq \f(2m×9,3m2－1)－eq \f(2－n×12m,3m2－1)＝0，
即3m－2m(2－n)＝0，因为m≠0，
所以n＝eq \f(1,2)，此时Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))；
当直线AB的斜率不存在时，根据抛物线的对称性，易得点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))也能让点F到直线PA，PB的距离相等．
综上所述，故存在Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))满足题意．
2．解 (1)由题意可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(c,a)＝\f(\r(3),3)，,\f(1,2)bc＝\r(2)，,a2＝b2＋c2，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\r(6)，,b＝2，,c＝\r(2)，))
所以椭圆C的方程为eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,4)＝1.
(2)假设满足条件的直线l存在，
由E(0，－2)，F(eq \r(2)，0)，得kEF＝eq \r(2)，
因为点F为△EAB的垂心，
所以AB⊥EF，所以kAB＝－eq \f(\r(2),2)，
设直线l的方程为y＝－eq \f(\r(2),2)x＋t，
代入eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,4)＝1，
得7x2－6eq \r(2)tx＋6(t2－4)＝0，
Δ＝(－6eq \r(2)t)2－4×7×6(t2－4)
＝－96t2＋672>0，
即－eq \r(7)0)，得x2－3px＋eq \f(p2,4)＝0，
若M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝3p，
所以|MN|＝x1＋x2＋p＝4p＝8，
则p＝2，
即抛物线E的方程为y2＝4x.
(2)设A(x0，y0)，则过A作抛物线E的切线为y－y0＝k(x－x0)，
即x＝eq \f(y－y0,k)＋x0，
代入y2＝4x，整理得ky2－4y＋4y0－kyeq \\al(2,0)＝0，
因为此直线与抛物线相切，
所以Δ＝4(4－4ky0＋k2yeq \\al(2,0))＝0，
即(ky0－2)2＝0，解得k＝eq \f(2,y0)，
所以过A的切线为
y－y0＝eq \f(2,y0)(x－x0)，
令y＝0得x＝－x0，即B(－x0,0)，
所以|BF|＝|AF|＝|AC|，
又AC∥BF，所以四边形ACBF有一组对边平行且相等，且邻边也相等，所以四边形ACBF为菱形．
4．解 (1)由题意得，c＝2，A1(－a,0)，A2(a,0)，P(x，y)，
＝eq \f(y,x＋a)·eq \f(y,x－a)＝－eq \f(1,2)⇒2y2＝a2－x2，①
∵点P在C上，∴y2＝b2－eq \f(b2,a2)x2，
代入①式，得2b2－eq \f(2b2,a2)x2＝a2－x2，
∴a2＝2b2，
∵a2＝b2＋4，∴a2＝8，b2＝4，
∴椭圆C的方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1，
设B1(x1，y1)，B2(x2，y2)，⊥l，设：y＝－x＋t，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝－x＋t，,x2＋2y2＝8，))得3x2－4tx＋2t2－8＝0，
Δ＝(－4t)2－12(2t2－8)>0⇒t2