新高考数学一轮复习考点学案第7章§7.5空间直线、平面的垂直（含答案解析）

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1.直线与平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义
一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直.
(2)判定定理与性质定理
2.直线和平面所成的角
(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的 所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是 ；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是 .
(2)范围： .
3.二面角
(1)定义：从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角.
(2)二面角的平面角：如图，在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作 的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.
(3)二面角的范围： .
4.平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
(2)判定定理与性质定理
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若直线l与平面α内的两条直线都垂直，则l⊥α.( )
(2)若直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.( )
(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.( )
(4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.( )
2.(2024·惠州模拟)已知l，n是两条不同的直线，α，β是不重合的两个平面，则下列命题中正确的是( )
A.若α∥β，l⊂α，n⊂β，则l∥n
B.若α⊥β，l⊂α，则l⊥β
C.若l∥α，α⊥β，则l⊥β
D.若l⊥α，l∥β，则α⊥β
3.(多选)如图，PA是圆柱的母线，AB是圆柱的底面直径，C是圆柱底面圆周上的任意一点(不与A，B重合)，则下列说法正确的是( )
A.PA⊥平面ABC
B.BC⊥平面PAC
C.AC⊥平面PBC
D.三棱锥P－ABC的四个面都是直角三角形
4.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上，若直线D1E与平面ABCD所成的角为π6，则AE＝ .
1.灵活应用两个重要结论
(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.
(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).
2.掌握三种垂直关系的转化
线线垂直线面垂直面面垂直
题型一 直线与平面垂直的判定与性质
例1 (2024·昆明模拟)如图，已知四边形ABCD为矩形，AB＝4，AD＝2，E为DC的中点，将△ADE沿AE进行翻折，使点D与点P重合，且PB＝23.
(1)证明：PA⊥BE；
(2)求四棱锥P－ABCE的体积.
思维升华 证明线面垂直的常用方法及关键
(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质.
(2)证明线面垂直的关键是证明线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.
跟踪训练1 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点，证明：
(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE.
题型二 平面与平面垂直的判定与性质
例2 (2023·全国甲卷改编)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°.
(1)证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；
(2)设AC＝1，AA1＝2，求四棱锥A1－BB1C1C的高.
思维升华 (1)判定面面垂直的方法
①面面垂直的定义.②面面垂直的判定定理.
(2)面面垂直性质的应用
①面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”.②若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面.
跟踪训练2 (2024·郑州模拟)如图，在三棱台ABC－A1B1C1中，AC⊥AB，平面ABB1A1⊥平面ABC，AA1＝A1B1＝BB1＝12AB＝1.证明：平面BA1C⊥平面ACC1A1.
题型三 垂直关系的应用
例3 (多选)把边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折起，使二面角B－AC－D为直二面角，则下列结论正确的是( )
A.AC⊥BD
B.AB⊥CD
C.直线BD与平面ABC所成角的大小为π4
D.二面角A－BD－C的余弦值为－13
cs θ＝cs θ1·cs θ2的应用
已知AO是平面α的斜线，如图，A是斜足，OB⊥α，B是垂足，则直线AB是斜线AO在平面α内的射影，设AC是α内的任一过点A的直线，且BC⊥AC，C为垂足，又设AO与直线AB所成的角为θ1，AB与AC所成的角是θ2，AO与AC所成的角为θ，则cs θ＝cs θ1·cs θ2.
典例 已知PA是平面α的斜线，∠BAC在平面α内，且∠BAC＝90°，又∠PAB＝∠PAC＝60°，则PA与平面α所成的角为 .
思维升华 (1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.
(2)求线面角的关键是找到平面的垂线，有了垂线即可有射影，斜线与它在平面内的射影所成的角即为线面角.
(3)求二面角的关键是找其平面角，要注意二面角的范围是[0，π].
跟踪训练3 (多选)(2024·漳州模拟)如图，三棱锥O－ABC中，OA＝OC＝OB＝1，OA⊥平面OBC，∠BOC＝60°，则下列结论正确的是( )
A.直线AB与平面OBC所成的角为45°
B.直线AB与平面OAC所成的角的正弦值为64
C.OC⊥AB
D.二面角O－BC－A的正切值为233
答案精析
落实主干知识
1.(2)两条相交直线 m⊂α n⊂α m∩n＝P l⊥m l⊥n a⊥α
b⊥α
2.(1)射影 90° 0° (2)0，π2
3.(1)两个半平面 (2)垂直于棱l (3)[0，π]
4.(2)垂线 a⊂α a⊥β
交线 α⊥β α∩β＝a l⊥a l⊂β
自主诊断
1.(1)× (2)√ (3)× (4)×
2.D [由l，n是两条不同的直线，α，β是不重合的两个平面知，
在A中，若α∥β，l⊂α，n⊂β，
则l与n平行或异面，故A错误；
在B中，若α⊥β，l⊂α，则l与β相交、平行或l⊂β，故B错误；
在C中，若l∥α，α⊥β，则l与β相交、平行或l⊂β，故C错误；
在D中，若l⊥α，l∥β，则α⊥β，故D正确.]
3.ABD [因为PA是圆柱的母线，AB是圆柱的底面直径，C是圆柱底面圆周上的任意一点(不与A，B重合)，则PA⊥平面ABC，故A正确；
而BC⊂平面ABC，则PA⊥BC，
又AC⊥BC，PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，则BC⊥平面PAC，
故B正确；
由A知，△PAB，△PAC都是直角三角形，
由B知，△ABC，△PBC都是直角三角形，故D正确；
假设AC⊥平面PBC，因为PC⊂平面PBC，
则AC⊥PC，即∠PCA＝90°，
而在△PAC中∠PAC＝90°，矛盾，故C错误.]
4.2
解析 根据长方体性质知DD1⊥平面ABCD，故∠DED1为直线D1E与平面ABCD所成的角，
所以∠DED1＝π6，
则tan∠DED1＝DD1DE＝33，
可得DE＝3，
所以在Rt△AED中，
AE＝DE2−AD2
＝2