新高考数学一轮复习考点学案第七章§7.7向量法求空间角(一)（含答案解析）

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1.异面直线所成的角
若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cs θ＝|cs〈u，v〉|＝ .
2.直线与平面所成的角
如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cs〈u，n〉|＝u·n|u||n|＝ .
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.( )
(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.( )
(3)两异面直线所成角的范围是0，π2，直线与平面所成角的范围是0，π2.( )
(4)直线的方向向量为u，平面的法向量为n，则线面角θ满足sin θ＝cs〈u，n〉.( )
2.若直线l的一个方向向量u＝(1，0，1)，平面α的一个法向量n＝(0，－1，1)，则l与α所成角的大小为( )
A.π6B.π3
C.π3或2π3D.π6或5π6
3.已知直线l1的方向向量s1＝(1，0，1)与直线l2的方向向量s2＝(－1，2，－2)，则直线l1和l2所成的角为( )
A.π6B.π4C.π3D.3π4
4.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为 .
1.斜线与平面所成的角是斜线与平面内直线所成角中的最小角.
2.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sin θ＝|cs〈a，n〉|.
题型一 异面直线所成的角
例1 (1)如图，圆锥的轴截面ABC为等边三角形，D为弧AB的中点，E，F分别为母线BC，AC的中点，则异面直线BF和DE所成角的大小为( )
A.π4B.π3C.π2D.2π3
(2)(2024·吉安模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，G为线段B1D1上的动点，则异面直线AG与EF所成角的最大值为( )
A.π6B.π4C.π3D.5π12
思维升华 用向量法求异面直线所成的角的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系.
(2)用坐标表示异面直线的方向向量.
(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值.
(4)注意异面直线所成角的范围是0，π2，即异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值.
跟踪训练1 (1)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，且各棱长均相等，E是PB的中点，则异面直线AE与PC所成角的余弦值为( )
A.36B.63C.13D.12
(2)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝2.E，F分别是BC，A1C1的中点.设D是线段B1C1上的(包括两个端点)动点，当直线BD与EF所成角的余弦值为104时，线段BD的长为 .
题型二 直线与平面所成的角
例2 (2024·沈阳模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，底面三角形ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面AA1C1C是边长为2的菱形，且∠A1AC＝60°.
(1)求点A1到平面ABC的距离；
(2)求直线A1B与平面AB1C所成角的余弦值.
思维升华 利用空间向量求线面角的解题步骤
跟踪训练2 (2024·北京海淀区模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，直线AB∥CD，∠ABC＝90°，∠DAB＝∠PCB＝60°，CD＝1，AB＝3，PC＝23，平面PCB⊥平面ABCD，F为线段BC的中点，E为线段PF上一点.
(1)证明：PF⊥AD；
(2)求当EF为何值时，直线BE与平面PAD所成角的正弦值为74.
答案精析
落实主干知识
1.|u·v||u||v|
2.|u·n||u||n|
自主诊断
1.(1)× (2)× (3)√ (4)×
2.A [设l与α所成角为θ0≤θ≤π2，
因为直线l的一个方向向量u＝(1，0，1)，平面α的一个法向量n＝(0，－1，1)，
所以sin θ＝|cs〈u，n〉|
＝12×2＝12，
因为0≤θ≤π2，所以θ＝π6.]
3.B [设直线l1与l2所成的角为θ，
因为s1＝(1，0，1)，
s2＝(－1，2，－2)，
所以cs θ＝|cs〈s1，s2〉|
＝s1·s2|s1||s2|＝|−1−2|2×3＝22.
又θ∈0，π2，所以θ＝π4.]
4.3010
解析 建立如图所示的空间直角坐标系.
设BC＝CA＝CC1＝2，
则A(2，0，0)，B(0，2，0)，
M(1，1，2)，
N(1，0，2)，所以BM＝(1，－1，2)，AN＝(－1，0，2).
设BM与AN所成的角为θ，
则cs θ＝|cs〈BM，AN〉|
＝|BM·AN||BM||AN|
＝36×5＝3010.
所以BM与AN所成角的余弦值为3010.
探究核心题型
例1 (1)C [取AB的中点O，连接OC，OD，如图，以OD，OB，OC所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
设AB＝2，则B(0，1，0)，
D(1，0，0)，C(0，0，3)，
A(0，－1，0)，
又E，F分别为母线BC，AC的中点，
所以E0，12，32，
F0，−12，32，
则BF＝0，−32，32，
DE＝−1，12，32，
设异面直线BF和DE所成的角为θ，
则cs θ＝|cs〈BF，DE〉|
＝|BF·DE||BF||DE|＝−34+34|BF||DE|＝0，
又θ∈0，π2，所以θ＝π2.]
(2)C [以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，G(a，a，2)，a∈[0，2]，
∵E，F分别为AB，BC的中点，则A(2，0，0)，E(2，1，0)，F(1，2，0)，
故AG＝(a－2，a，2)，EF＝(－1，1，0)，
设两异面直线所成的角为α，
其中α∈0，π2，
故cs α＝|AG·EF||AG||EF|
＝2(a−2)2+a2+4×2
＝1(a−1)2+3，
∵a∈[0，2]，则当a＝0或a＝2时，cs α取得最小值，最小值为12，
又∵y＝cs α在0，π2上单调递减，则α的最大值为π3.]
跟踪训练1 (1)A [连接AC与BD交于点O，连接PO，
由题意得AC⊥BD，且PO⊥平面ABCD，
以O点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设四棱锥P－ABCD各棱长均为2，则AO＝BO＝CO＝2，PO＝2，
可得A(2，0，0)，E0，22，22，
C(－2，0，0)，P(0，0，2)，
则AE＝−2，22，22，
PC＝(－2，0，－2)，
设异面直线AE与PC所成的角为θ，
则cs θ＝|cs〈AE，PC〉|
＝|AE·PC||AE||PC|
＝(−2)×(−2)+22×(−2)2+12+12×2+0+2＝36.]
(2)22
解析 如图，以E为坐标原点建立空间直角坐标系，
则E(0，0，0)，
F32，12，2，
B(0，－1，0)，
设D(0，t，2)(－1≤t≤1)，
则EF＝32，12，2，
BD＝(0，t+1，2)，
设直线BD与EF所成的角为θ，
所以cs θ＝|EF·BD||EF||BD|＝
t+12+45·(t+1)2+4＝104，
即23t2+14t－37＝0，
解得t＝1或t＝－3723(舍去)，
所以|BD|＝02+22+22＝22.
例2 解 (1)取AC的中点D，连接A1C，A1D，
因为侧面AA1C1C为菱形，且∠A1AC＝60°，
所以△AA1C为等边三角形，
所以A1D⊥AC.
又平面ABC⊥平面AA1C1C，A1D⊂平面AA1C1C，平面AA1C1C∩平面ABC＝AC，
所以A1D⊥平面ABC，
所以A1D的长即为点A1到平面ABC的距离，
又A1D＝AA1sin∠A1AC
＝AA1sin 60°＝3，
故点A1到平面ABC的距离为3.
(2)连接DB，因为AB＝BC，所以DB⊥AC，则DB，DC，DA1两两垂直.
以D为坐标原点，DB，DC，DA1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
由题可知D(0，0，0)，B(1，0，0)，
C(0，1，0)，A(0，－1，0)，
A1(0，0，3)，
则A1B＝(1，0，－3)，
AB＝(1，1，0).
由A1B1＝AB，得B1(1，1，3).
设平面AB1C的法向量为
n＝(x，y，z)，
CB1＝(1，0，3)，DC＝(0，1，0)，
则n·CB1＝x+3z＝0,n·DC＝y＝0,
取z＝3，得n＝(－3，0，3).
设直线A1B与平面AB1C所成的角为θ，
则sin θ＝|cs〈A1B，n〉|＝
|A1B·n||A1B||n|＝|−3−3|2×12＝32，
所以cs θ＝1−sin 2θ＝12，
即直线A1B与平面AB1C所成角的余弦值为12.
跟踪训练2 (1)证明 过点D作DM⊥AB，垂足为M，
由题意知，四边形BCDM为矩形，因为∠DAB＝60°，AB＝3，CD＝1，
可得AM＝2，
BC＝DM＝AMtan 60°＝23，
由PC＝BC＝23，∠PCB＝60°，
则△PBC为等边三角形，因为F为线段BC的中点，则PF⊥BC，
又因为平面PCB⊥平面ABCD，
平面PCB∩平面ABCD＝BC，
PF⊂平面PCB，
可得PF⊥平面ABCD，
又AD⊂平面ABCD，
所以PF⊥AD.
(2)解 取线段AD的中点N，连接NF，则NF∥AB，NF＝2，
又因为AB⊥BC，可知NF⊥BC，
以F为坐标原点，FN，FB，FP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则A(3，3，0)，D(1，－3，0)，P(0，0，3)，B(0，3，0)，
因为E为线段PF上一点，
设E(0，0，a)，a∈[0，3]，
可得DA＝(2，23，0)，
DP＝(－1，3，3)，
BE＝(0，－3，a)，
设平面PAD的法向量为n＝(x，y，z)，
则n·DA＝2x+23y＝0,n·DP＝−x+3y+3z＝0,
令x＝－3，则y＝3，z＝－2，
可得n＝(－3，3，－2)，
由题意可得，|cs〈n，BE〉|
＝|n·BE||n||BE|＝|−2a−3|4×3+a2＝74，
整理得a2－4a+4＝0，解得a＝2，
所以当EF＝2时，直线BE与平面PAD所成角的正弦值为74.