新高考数学一轮复习考点学案第7章§7.4空间直线、平面的平行（含答案解析）

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1.线面平行的判定定理和性质定理
2.面面平行的判定定理和性质定理
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面.( )
(2)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.( )
(3)若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，a∥b，则α∥β.( )
(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线也互相平行.( )
2.如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的( )
A.一条直线不相交
B.两条直线不相交
C.无数条直线不相交
D.任意一条直线都不相交
3.设有两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，则下列命题正确的是( )
A.若m∥α，n∥α，则m∥n
B.若m∥α，m∥β，则α∥β
C.若m∥n，m∥α，则n∥α
D.若α∥β，m⊂α，则m∥β
4.如图是长方体被一平面截后得到的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为 .
1.掌握三种平行关系的转化
2.灵活应用以下结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
(2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即a⊥α，b⊥α，则a∥b.
(4)若α∥β，a⊂α，则a∥β.
题型一 直线与平面平行的判定与性质
命题点1 直线与平面平行的判定
例1 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AB＝2，CD＝4，E为PC的中点.
求证：BE∥平面PAD.
命题点2 直线与平面平行的性质
例2 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H.
求证：PA∥GH.
思维升华 (1)判断或证明线面平行的常用方法
①利用线面平行的定义(无公共点).
②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α).
③利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β).
④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β).
(2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线.
跟踪训练1 (1)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点P是正方形AA1D1D的中心，点Q是正方形A1B1C1D1的对角线B1D1上一点，且PQ∥平面AA1B1B，则线段PQ的长为( )
A.12B.22C.2D.32
(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱BC，C1D1的中点.求证：EF∥平面BB1D1D.
题型二 平面与平面平行的判定与性质
例3 (1)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E，F分别是棱B1C1，AC，BC的中点.证明：AD∥平面C1EF.
(2)如图所示，AA1，BB1为圆台的两条不同的母线，O1，O分别为圆台的上、下底面圆的圆心.
求证：A1B1∥AB.
思维升华 (1)证明面面平行的常用方法
①利用面面平行的判定定理.
②利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β⇒α∥β).
③利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，β∥γ⇒α∥γ).
(2)当已知两平面平行时，可以得出线面平行，如果要得出线线平行，必须是与第三个平面的交线.
跟踪训练2 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，过BC的平面与上底面A1B1C1交于GH(GH与B1C1不重合).
(1)求证：BC∥GH；
(2)若E，F，G分别是AB，AC，A1B1的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG.
题型三 平行关系的综合应用
例4 如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，E为棱AA1的中点.在DD1上是否存在一点P，使得平面PA1C∥平面EBD？如果存在，请说明P点位置并证明；如果不存在，请说明理由.
思维升华 解决面面平行问题的关键点
(1)在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，绝不可过于“模式化”.
(2)解答探索性问题的基本策略是先假设，再严格证明，先猜想再证明是学习和研究的重要思想方法.
跟踪训练3 如图，在四棱锥A－BCDE中，N是BC的中点，四边形BCDE为平行四边形.试探究在线段AE上是否存在点M，使得MN∥平面ACD？若存在，请确定M点的位置，并给予证明；若不存在，请说明理由.
答案精析
落实主干知识
1.此平面内 a⊄α b⊂α a∥b
相交 a∥α a⊂β α∩β＝b
2.相交直线 a⊂β b⊂β a∩b＝P
a∥α b∥α 相交 交线 α∥β
α∩γ＝a β∩γ＝b
自主诊断
1.(1)× (2)× (3)× (4)×
2.D [因为直线a∥平面α，直线a与平面α无公共点，因此直线a与平面α内的任意一条直线都不相交.]
3.D [若m∥α，n∥α，则m，n可以平行、相交或异面，故A错误；
若m∥α，m∥β，则α∥β或α，β相交，故B错误；
若m∥n，m∥α，则n∥α或n⊂α，
故C错误；
若α∥β，m⊂α，则m∥β，故D正确.]
4.平行四边形
解析 ∵平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，
平面EFGH∩平面DCGH＝HG，
∴EF∥HG.同理EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形.
探究核心题型
例1 证明 方法一 如图，取PD的中点F，连接EF，FA.
由题意知EF为△PDC的中位线，
∴EF∥CD，且EF＝12CD＝2.
又∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，
∴AB綉EF，
∴四边形ABEF为平行四边形，
∴BE∥AF.
又AF⊂平面PAD，BE⊄平面PAD，
∴BE∥平面PAD.
方法二 如图，延长DA，CB相交于H，连接PH，
∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，
∴HBHC＝ABCD＝12，
即B为HC的中点，
又E为PC的中点，∴BE∥PH，
又BE⊄平面PAD，
PH⊂平面PAD，
∴BE∥平面PAD.
方法三 如图，取CD的中点H，连接BH，HE，
∵E为PC的中点，∴EH∥PD，
又EH⊄平面PAD，
PD⊂平面PAD，
∴EH∥平面PAD，
又由题意知AB綉DH，
∴四边形ABHD为平行四边形，
∴BH∥AD，
又AD⊂平面PAD，BH⊄平面PAD，∴BH∥平面PAD，
又BH∩EH＝H，BH，EH⊂平面BHE，
∴平面BHE∥平面PAD，
又BE⊂平面BHE，
∴BE∥平面PAD.
例2 证明 如图所示，连接AC交BD于点O，
连接OM，
∵四边形
ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴PA∥OM，
又OM⊂平面BMD，
PA⊄平面BMD，∴PA∥平面BMD，
又PA⊂平面PAHG，
平面PAHG∩平面BMD＝GH，
∴PA∥GH.
跟踪训练1 (1)B [连接AD1，AB1，则AD1过点P.如图所示，
∵PQ∥平面AA1B1B，平面AB1D1∩平面AA1B1B＝AB1，
PQ⊂平面AB1D1，
∴PQ∥AB1，∵D1P＝PA，
∴PQ＝12AB1＝12×12+12＝22.]
(2)证明 连接AC交BD于点O，连接OE，D1O，如图所示，
∵O，E分别为BD，BC的中点，
∴OE∥DC，OE＝12DC.
∵DC∥D1C1，DC＝D1C1，
F为D1C1的中点，
∴OE∥D1F，OE＝D1F，
∴四边形D1FEO为平行四边形，
∴EF∥D1O.
又EF⊄平面BB1D1D，D1O⊂平面BB1D1D，
∴EF∥平面BB1D1D.
例3 (1)证明 连接BD.
因为E，F分别是棱AC，BC的中点，所以EF∥AB.
因为EF⊂平面C1EF，AB⊄平面C1EF，
所以AB∥平面C1EF.
因为D，F分别是棱B1C1，BC的中点，所以BF∥C1D，
BF＝C1D，
所以四边形BDC1F是平行四边形，则BD∥C1F.
因为C1F⊂平面C1EF，BD⊄平面C1EF，所以BD∥平面C1EF.
因为AB∩BD＝B，AB，
BD⊂平面ABD，
所以平面ABD∥平面C1EF，
因为AD⊂平面ABD，
所以AD∥平面C1EF.
(2)证明 ∵圆台可以看做是由平行于圆锥底面的平面去截圆锥而得到，
∴圆台的母线也就是生成这个圆台的圆锥相应母线的一部分.
∴母线AA1与母线BB1的延长线必交于一点，
∴A，A1，B，B1四点共面.
∵圆O1∥圆O，且平面ABB1A1∩圆O1＝A1B1，平面ABB1A1∩圆O＝AB.
∴A1B1∥AB.
跟踪训练2 证明 (1)∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，
∴平面ABC∥平面A1B1C1，
又∵平面BCHG∩平面ABC＝BC，
且平面BCHG∩平面A1B1C1＝GH，
∴由面面平行的性质定理得
BC∥GH.
(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，
∴EF∥BC，
∵EF⊄平面BCHG，
BC⊂平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綉AB，
∴A1G綉EB，
∴四边形A1EBG是平行四边形，
∴A1E∥GB.
∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG.
又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1，
∴平面EFA1∥平面BCHG.
例4 解 当P为棱DD1的中点时，满足平面PA1C∥平面EBD，证明如下：
连接AC，设AC∩BD＝O，连接OE，CP，A1P，如图，
因为四边形ABCD为正方形，所以O为AC的中点，
又E为棱AA1的中点，
所以OE∥A1C，又OE⊄平面PA1C，A1C⊂平面PA1C，所以OE∥平面PA1C，
又P为棱DD1的中点，
所以DP∥A1E且DP＝A1E，
所以四边形DPA1E为平行四边形，所以DE∥A1P，
又DE⊄平面PA1C，
A1P⊂平面PA1C，
所以DE∥平面PA1C，
又DE∩OE＝E，DE，
OE⊂平面EBD，
所以平面PA1C∥平面EBD.
跟踪训练3 解 在线段AE上存在点M，且M为AE的中点，
使得MN∥平面ACD.
证明如下：
取AD的中点G，连接CG，GM，如图.
因为M为AE的中点，
所以GM∥DE，且GM＝12DE.
因为N为BC的中点，
且四边形BCDE为平行四边形，
所以CN∥DE，且CN＝12DE，
所以GM∥CN，且GM＝CN，
所以四边形CNMG为平行四边形.
所以GC∥MN.
因为GC⊂平面ACD，
MN⊄平面ACD，
所以MN∥平面ACD.
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
如果平面外一条直线与 的一条直线平行，那么该直线与此平面平行
⇒a∥α
性质定理
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面 ，那么该直线与交线平行
⇒a∥b
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
如果一个平面内的两条 与另一个平面平行，那么这两个平面平行
⇒β∥α
性质定理
两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面 ，那么两条 平行
⇒a∥b