新高考数学一轮复习考点学案第7章§7.6空间向量的概念与运算（含答案解析）

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1.空间向量的有关概念
2.空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使 .
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在 的有序实数对(x，y)，使p＝ .
(3)空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝ .{a，b，c}叫做空间的一个基底.
3.空间向量的数量积及运算律
(1)数量积
非零向量a，b的数量积
a·b＝ .
(2)空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
4.空间位置关系的向量表示
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，那么称此向量a为直线l的方向向量.
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则称向量a为平面α的法向量.
(3)空间位置关系的向量表示
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)空间中任意两个非零向量a，b共面.( )
(2)空间中模相等的两个向量方向相同或相反.( )
(3)若A，B，C，D是空间中任意四点，则有AB+BC+CD+DA＝0.( )
(4)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则a∥α.( )
2.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则下列向量中与C1M相等的向量是( )
A.－12a+12b+cB.12a+12b+c
C.－12a－12b－cD.－12a－12b+c
3.若平面α外的直线l的方向向量为a＝(1，0，－2)，平面α的法向量为m＝(8，－1，4)，则( )
A.l⊥αB.l∥α
C.a∥mD.l与α斜交
4.已知空间向量a＝(λ，1，2)，b＝(2，λ+1，λ)，若a∥b，则实数λ＝ .
1.牢记空间中三点共线、四点共面的充要条件
(1)在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：OA＝xOB+yOC(其中x+y＝1)，O为平面内任意一点.
(2)在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：OP＝xOA+yOB+zOC(其中x+y+z＝1)，O为空间任意一点.
2.解题时防范以下几个易误点
(1)向量的数量积满足交换律、分配律，即a·b＝b·a，a·(b+c)＝a·b+a·c成立，但不满足结合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立.
(2)由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故0不能作为基向量.
(3)直线的方向向量和平面的法向量均不为零向量且不唯一.
题型一 空间向量的线性运算
例1 (1)设x，y是实数，已知三点A(1，5，－2)，B(2，4，1)，C(x，3，y+2)在同一条直线上，那么x+y等于( )
A.2B.3C.4D.5
(2)在三棱柱ABC－A1B1C1中，E是BC的中点，AG＝2GE，则GC1等于( )
A.13AB－23AC+AA1
B.13AB+23AC+AA1
C.－13AB+23AC+AA1
D.－13AB+23AC－AA1
思维升华 用已知向量表示某一向量的三个关键点
(1)要结合图形，以图形为指导是解题的关键.
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.
(3)在立体几何中，三角形法则、平行四边形法则仍然成立.
跟踪训练1 (2024·六安统考)如图，底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD，EC＝2PE，若DE＝xAB+yAC+zAP，则x+y+z等于( )
A.1B.2C.13D.53
题型二 空间向量基本定理及其应用
例2 下列说法正确的是( )
A.若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
B.若{a，b，c}为空间的一个基底，则a+2b，a+b，a－b能构成基底
C.若OG＝25OA－35OB+45OC，则A，B，C，G四点共面
D.若向量p＝mx+ny+kz(其中x，y，z是三个不共面的向量，m，n，k∈R)，则称p在基底{x，y，z}下的坐标为(m，n，k).若p在单位正交基底{a，b，c}下的坐标为(1，2，3)，则p在基底{a－b，a+b，c}下的坐标为−12，32，3
思维升华 应用共线(面)向量定理证明点共线(面)的方法比较
跟踪训练2 (1)O为空间任意一点，若AP＝－14OA+18OB+tOC，若A，B，C，P四点共面，则实数t等于( )
A.1B.98C.18D.14
(2)已知空间向量a＝(1，2，0)，b＝(0，－1，1)，c＝(2，3，m)，若a，b，c共面，则实数m等于( )
A.1B.2C.3D.4
题型三 空间向量数量积及其应用
例3 (1)(多选)已知空间中A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(－1，3，1)三点，则( )
A.△ABC为直角三角形
B.与向量AB方向相同的单位向量是255，−55，0
C.AB与BC夹角的余弦值是－5511
D.平面ABC的一个法向量是(1，－2，5)
(2)如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1的各条棱长均为1，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，∠BAD＝90°，则线段AC1的长度为 .
思维升华 空间向量的数量积运算有两条途径，一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算.
跟踪训练3 (2024·沧州模拟)《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，在第五卷《商功》中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱.已知在堑堵ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝2，AC＝AA1＝3，BE＝EA1，CF＝2FA1，则AE·BF＝ ，EF＝ .
题型四 向量法证明平行、垂直
例4 如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝25，AA1＝7，BB1＝27，点E和F分别为BC和A1C的中点.求证：
(1)EF∥平面A1B1BA；
(2)平面AEA1⊥平面BCB1.
思维升华 (1)利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及直线、平面的要素).
(2)向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理.
跟踪训练4 (2025·长沙统考)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.
(1)求证：PA∥平面EDB；
(2)求证：平面PBC⊥平面EFD.
答案精析
落实主干知识
1.大小 方向 相同 相等 相等 相反 平行 重合 同一个平面 2.(1)a＝λb (2)唯一 xa+yb
(3)xa+yb+zc
3.(1)|a||b|cs〈a，b〉
(2)a1b1+a2b2+a3b3 a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 a1b1+a2b2+a3b3＝0
a12+a22+a32 a1b1+a2b2+a3b3a12+a22+a32b12+b22+b32
自主诊断
1.(1)√ (2)× (3)√ (4)×
2.C [C1M＝C1C+CM＝C1C+12(CB+CD)＝A1A+12DA+12BA＝－12a－12b－c.]
3.B [根据题意，直线l的方向向量为a＝(1，0，－2)，
平面α的法向量为m＝(8，－1，4)，易得a·m＝1×8－2×4＝0，
又直线l在平面α外，则有l∥α.]
4.－2
解析 由a∥b，可设b＝μa(μ∈R)，
则(2，λ+1，λ)＝(μλ，μ，2μ)，
所以2＝μλ,λ+1＝μ,λ＝2μ⇒μ＝−1,λ＝−2.
探究核心题型
例1 (1)D [由已知可得AB＝(1，－1，3)，AC＝(x－1，－2，y+4).
因为A，B，C三点共线，所以AB与AC共线，所以1x−1＝−1−2＝3y+4，
解得x＝3，y＝2，所以x+y＝5.]
(2)C [因为AG＝2GE，所以GE＝13AE，
所以GC1＝GE+EC+CC1
＝13AE+12BC+AA1
＝13×12(AB+AC)
+12(AC－AB)+AA1
＝23AC－13AB+AA1.]
跟踪训练1 A [由题意得
DE＝DC+CA+AE
＝AB－AC+AP+PE
＝AB－AC+AP+13PC
＝AB－AC+AP+13(AC－AP)
＝AB－23AC+23AP，
又因为DE＝xAB+yAC+zAP，
所以x＝1，y＝－23，z＝23，
所以x+y+z＝1.]
例2 D [对于A，若b＝0，则满足a与b共线，b与c共线，但是a与c不一定共线，故A错误；
对于B，a+2b＝32(a+b)－12(a－b)，则a+2b，a+b，a－b共面，不能构成基底，故B错误；
对于C，对于OG＝25OA－35OB+45OC，由于25－35+45≠1，故A，B，C，G四点不共面，故C错误；
对于D，p在单位正交基底{a，b，c}下的坐标为(1，2，3)，即p＝a+2b+3c，设p在基底{a－b，a+b，c}下的坐标为(x，y，z)，则满足p＝x(a－b)+y(a+b)+zc＝(x+y)a+(y－x)b+zc＝a+2b+3c，
故x+y＝1,y−x＝2,z＝3,解得x＝−12,y＝32,z＝3,
则p在基底{a－b，a+b，c}下的坐标为−12，32，3，故D正确.]
跟踪训练2 (1)C [因为AP＝OP－OA，
所以AP＝－14OA+18OB+tOC可化为
OP－OA＝－14OA+18OB+tOC，
即OP＝34OA+18OB+tOC，
由于A，B，C，P四点共面，
则34+18+t＝1，
解得t＝18.]
(2)A [因为a＝(1，2，0)，
b＝(0，－1，1)不共线，a，b，c共面，
所以存在唯一有序实数对(x，y)，
使c＝xa+yb，
所以(2，3，m)＝x(1，2，0)+y(0，－1，1)＝(x，2x－y，y)，
所以x＝2,2x−y＝3,y＝m,解得x＝2,y＝1,m＝1.]
例3 (1)ACD [因为A(0，1，0)，
B(2，2，0)，C(－1，3，1)，
所以AB＝(2，1，0)，
AC＝(－1，2，1)，
AB·AC＝－2+2+0＝0，
所以AB⊥AC，故A正确；
因为|AB|＝22+12＝5，
所以与向量AB方向相同的单位向量是AB|AB|＝255，55，0，
故B错误；
又BC＝(－3，1，1)，所以AB与BC夹角的余弦值是AB·BC|AB||BC|＝−55×11＝－5511，故C正确；
不妨令n＝(1，－2，5)，则n·AB＝1×2+(－2)×1+5×0＝0，
n·AC＝1×(－1)+(－2)×2+5×1＝0，
即AB⊥n且AC⊥n，
所以n＝(1，－2，5)是平面ABC的一个法向量，故D正确.]
(2)5
解析 取{AB，AD，AA1}为一个基底，AB·AD＝0，AB·AA1＝12，AD·AA1＝12，
∴|AC1|＝(AB+AD+AA1)2 ＝AB2+AD2+AA12+2(AB·AD+AD·AA1+AA1·AB)
＝5.
跟踪训练3 1 32
解析 以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
如图，
∵AB＝2，AC＝AA1＝3，
BE＝EA1，CF＝2FA1，
∴A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，3，0)，
A1(0，0，3)，E1，0，32，F(0，1，2)，
∴AE＝1，0，32，
BF＝(－2，1，2)，
∴AE·BF＝1×(－2)+0×1+32×2＝1.EF＝−1，1，12，
∴|EF|＝1+1+14＝32.
例4 证明 因为AB＝AC，
E为BC的中点，
所以AE⊥BC.
因为AA1⊥平面ABC，AA1∥BB1，
所以过E作平行于BB1的垂线为z轴，EC，EA所在直线分别为x轴、y轴，
建立如图所示的空间直角坐标系.
因为AB＝3，BE＝5，
所以AE＝2，
所以E(0，0，0)，
C(5，0，0)，
A(0，2，0)，B(－5，0，0)，A1(0，2，7)，则F52，1，72.
(1)EF＝52，1，72，
AB＝(－5，－2，0)，
AA1＝(0，0，7).设平面AA1B1B的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则n·AB＝0,n·AA1＝0,
所以−5x−2y＝0,7z＝0,
取x＝−2,y＝5,z＝0,所以n＝(－2，5，0).
因为EF·n＝52×(－2)+1×5+72×0＝0，
所以EF⊥n.
又EF⊄平面A1B1BA，
所以EF∥平面A1B1BA.
(2)易证EC⊥平面AEA1，
所以EC＝(5，0，0)为平面AEA1的一个法向量.
同理易证EA⊥平面BCB1，
所以EA＝(0，2，0)为平面BCB1的一个法向量.
因为EC·EA＝0，所以EC⊥EA，
故平面AEA1⊥平面BCB1.
跟踪训练4 证明 (1)在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD，DC⊂平面ABCD，
则PD⊥AD，PD⊥DC，由底面ABCD是正方形，得AD⊥DC，
以D为原点，直线DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示.
设DC＝2，
则D(0，0，0)，
A(2，0，0)，
B(2，2，0)，P(0，0，2)，E(0，1，1)，
PA＝(2，0，－2)，DB＝(2，2，0)，DE＝(0，1，1)，设平面EDB的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
则DB·m＝2x1+2y1＝0,DE·m＝y1+z1＝0,
令y1＝－1，得m＝(1，－1，1)，
则PA·m＝2－2＝0，
而PA⊄平面EDB，
所以PA∥平面EDB.
(2)由(1)知，PB＝(2，2，－2)，
由PB·DE＝0+2－2＝0，
得PB⊥DE，
又EF⊥PB，且EF∩DE＝E，EF，DE⊂平面EFD，
所以PB⊥平面EFD.
又PB⊂平面PBC，
所以平面PBC⊥平面EFD.
名称
定义
空间向量
在空间中，具有 和 的量
相等向量
方向 且模 的向量
相反向量
长度 而方向 的向量
共线向量
(或平行向量)
表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相 或 的向量
共面向量
平行于 的向量
向量表示
坐标表示
数
量
积
a·b
共
线
a＝λb
(b≠0，λ∈R)
垂
直
a·b＝0
(a≠0，b≠0)
模
|a|
夹角
余弦
值
cs〈a，b〉＝a·b|a||b|
(a≠0，b≠0)
cs〈a，b〉＝

位置关系
向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2
l1∥l2
n1∥n2⇔n1＝λn2(λ∈R)
l1⊥l2
n1⊥n2⇔n1·n2＝0
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m，l⊄α
l∥α
n⊥m⇔n·m＝0
l⊥α
n∥m⇔n＝λm(λ∈R)
平面α，β的法向量分别为n，m
α∥β
n∥m⇔n＝λm(λ∈R)
α⊥β
n⊥m⇔n·m＝0
三点P，A，B共线
空间四点M，P，A，B共面
PA＝λPB
MP＝xMA+yMB
对空间任一点O，OP＝OA+tAB
对空间任一点O，OP＝OM+xMA+yMB
对空间任一点O，OP＝xOA+(1－x)OB
对空间任一点O，OP＝xOM+yOA+(1－x－y)OB