新高考数学一轮复习考点学案第7章§7.3空间点、直线、平面之间的位置关系（含答案解析）

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1.基本事实1：过 的三个点，有且只有一个平面.
基本事实2：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有 过该点的公共直线.
基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行.
2.“三个”推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.
推论2：经过两条 直线，有且只有一个平面.
推论3：经过两条 直线，有且只有一个平面.
3.空间中直线与直线的位置关系
共面直线 直线:在同一平面内,有且只有一 个公共点; 直线:在同一平面内,没有公共点;异面直线:不同在 一个平面内,没有公共点.
4.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
5.等角定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角 .
6.异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，我们把直线a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)范围： .
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)没有公共点的两条直线是异面直线.( )
(2)若直线与平面不平行，则直线与平面有公共点.( )
(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.( )
(4)两两相交的三条直线共面.( )
2.用符号表示“点A不在直线m上，直线m在平面α内”，正确的是( )
A.A∉m，m⊂αB.A∉m，m∈α
C.A⊄m，m⊂αD.A⊄m，m∈α
3.(多选)下列命题正确的是( )
A.空间任意三个点确定一个平面
B.一个点和一条直线确定一个平面
C.两条相交直线确定一个平面
D.空间两两平行的三条直线确定一个或三个平面
4.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为 .
1.异面直线的判定：经过平面内一点和平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.
2.异面直线所成角的范围：两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角.
题型一 基本事实的应用
例1 已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：
(1)D，B，F，E四点共面；
(2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线；
(3)DE，BF，CC1三线交于一点.
思维升华 共面、共线、共点问题的证明
(1)共面：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内.
(2)共线：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上.
(3)共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.
跟踪训练1 (多选)(2024·湖南省教学教研联盟联考)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别为BB1，CC1，A1B1，A1C1的中点，则下列说法正确的是( )
A.E，F，G，H四点共面
B.EF∥GH
C.∠EGB1＝∠FHC1
D.EG，FH，AA1三线共点
题型二 空间位置关系的判断
例2 (1)(多选)下列推断中，正确的是( )
A.若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l
B.若α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∩b＝A，则A∈l
C.l⊄α，A∈l⇒A∉α
D.A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合
(2)(多选)(2025·红河模拟)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则以下四个结论中，正确的有( )
A.直线AM与CC1是相交直线
B.直线BN与MB1是异面直线
C.AM与BN平行
D.直线A1M与BN共面
思维升华 判断空间直线的位置关系一般有两种方法：一是构造几何体(如长方体、空间四边形等)模型来判断.二是排除法.特别地，对于异面直线的判定常用到结论：“平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.”
跟踪训练2 (1)空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是( )
A.平行B.异面
C.相交或平行D.平行或异面或相交均有可能
(2)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列结论正确的是( )
A.l与l1，l2都不相交
B.l与l1，l2都相交
C.l至多与l1，l2中的一条相交
D.l至少与l1，l2中的一条相交
题型三 异面直线所成的角
例3 (1)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BD的中点，则直线B1E与A1D所成的角为( )
A.30°B.60°C.120°D.150°
(2)(2025·随州模拟)如图，在三棱锥M－ABC中，MA⊥平面ABC，△ABC是边长为2的正三角形，MA＝23，F是MC的中点，则异面直线MB与AF所成角的余弦值是( )
A.33B.34C.138D.58
思维升华 异面直线所成角的求法
跟踪训练3 (2025·福州统考)已知轴截面为正方形ABCD的圆柱，AB为下底面直径，E是弧AB的中点，则直线AE与BD所成的角为( )
A.π6B.π4C.π3D.π2
答案精析
落实主干知识
1.不在一条直线上 两个点 一条
2.相交 平行
3.相交 平行 任何
4.a∩α＝A 1 a∥α 0 a⊂α 无数
α∥β 0 α∩β＝l 无数
5.相等或互补
6.(2)0，π2
自主诊断
1.(1)× (2)√ (3)× (4)×
2.A [由题意用符号表示“点A不在直线m上，直线m在平面α内”，即A∉m，m⊂α.]
3.CD [A中，空间不共线的三点确定一个平面，A错；
B中，只有点在直线外时才能确定一个平面，B错；
C中，两条相交直线确定一个平面，C正确；
D中，空间两两平行的三条直线确定一个平面或三个平面，D正确.]
4.60°
解析 因为M，N分别为棱BC和棱CC1的中点，
所以MN∥BC1，
又在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC∥A1C1，
所以∠A1C1B或其补角为异面直线AC和MN所成的角，
又在正方体ABCD－A1B1C1D1中，△A1C1B为正三角形，
所以∠A1C1B＝60°，即异面直线AC和MN所成的角为60°.
探究核心题型
例1 证明 (1)如图所示，
连接B1D1.
因为EF是△C1D1B1的中位线，
所以EF∥B1D1.
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1D1∥BD，
所以EF∥BD，
所以EF，BD确定一个平面，
即D，B，F，E四点共面.
(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，连接A1C，
设A1，C，C1确定的平面为α，
又设平面BDEF为β.
因为Q∈A1C1，所以Q∈α.
又Q∈EF，所以Q∈β，
所以Q是α与β的公共点，
同理，P是α与β的公共点.
所以α∩β＝PQ.
又A1C∩β＝R，
所以R∈A1C，R∈α，且R∈β.
则R∈PQ，故P，Q，R三点共线.
(3)因为EF∥BD且EF