新高考数学一轮复习考点基础+提升练习第7章7.4空间直线、平面的平行（含答案解析）

这是一份新高考数学一轮复习考点基础+提升练习第7章7.4空间直线、平面的平行（含答案解析），共5页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题
1．下列关于线、面的四个命题中不正确的是( )
A．平行于同一平面的两个平面一定平行
B．平行于同一直线的两条直线一定平行
C．垂直于同一直线的两条直线一定平行
D．垂直于同一平面的两条直线一定平行
2.如图，已知P为四边形ABCD外一点，E，F分别为BD，PD上的点，若EF∥平面PBC，则( )
A．EF∥PA
B．EF∥PB
C．EF∥PC
D．以上均有可能
3．过四棱锥P－ABCD任意两条棱的中点作直线，其中与平面PBD平行的直线有( )
A．4条 B．5条 C．6条 D．7条
4.(2023·衡水中学调研卷)如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，eq \f(PF,FC)等于( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,2)
5．(2024·广州模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，过MN作一平面分别交底面△ABC的边BC，AC于点E，F，则( )
A．MF∥EB
B．A1B1∥NE
C．四边形MNEF为平行四边形
D．四边形MNEF为梯形
6.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(5),2))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3\r(2),4)，\f(\r(5),2)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2)，\r(2))) D．[eq \r(2)，eq \r(3)]
二、多项选择题
7．(2023·济宁模拟)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，D，E，F为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面DEF平行的是( )
8.如图，向透明塑料制成的长方体容器ABCD－A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个结论，其中正确的是( )
A．没有水的部分始终呈棱柱形
B．水面EFGH所在四边形的面积为定值
C．棱A1D1始终与水面所在的平面平行
D．当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值
三、填空题
9.如图，α∥β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，则AB＝________.
10.如图所示，CD，AB均与平面EFGH平行，E，F，G，H分别在BD，BC，AC，AD上，且CD⊥AB.则四边形EFGH的形状为________．
11.如图，空间图形A1B1C1－ABC是三棱台，在点A1，B1，C1，A，B，C中取3个点确定平面α，α∩平面A1B1C1＝m，且m∥AB，则所取的这3个点可以是________．
12．如图甲，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2AB，E，F分别为AD，CD的中点，以AF为折痕把△ADF折起，使点D不落在平面ABCF内(如图乙)，那么在以下3个结论中，正确结论是________．
①AF∥平面BCD；②BE∥平面CDF；③CD∥平面BEF.
四、解答题
13．(2023·全国乙卷)如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝2，BC＝2eq \r(2)，PB＝PC＝eq \r(6)，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，点F在AC上，BF⊥AO.
(1)求证：EF∥平面ADO；
(2)若∠POF＝120°，求三棱锥P－ABC的体积．
14．(2023·宁波模拟)如图，在三棱柱BCF－ADE中，若G，H分别是线段AC，DF的中点．
(1)求证：GH∥BF；
(2)在线段CD上是否存在一点P，使得平面GHP∥平面BCF？若存在，指出点P的具体位置并证明；若不存在，说明理由．
15．(多选)如图1，在正方形ABCD中，点E为线段BC上的动点(不含端点)，将△ABE沿AE翻折，使得二面角B－AE－D为直二面角，得到图2所示的四棱锥B－AECD，点F为线段BD上的动点(不含端点)，则在四棱锥B－AECD中，下列说法正确的有( )
A．B，E，C，F四点不共面
B．存在点F，使得CF∥平面BAE
C．三棱锥B－ADC的体积为定值
D．存在点E使得直线BE与直线CD垂直
16．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E为CD的中点，且点P在四边形BCC1B1内部及其边界上运动，
(1)若EP∥平面BDD1B1，则动点P的轨迹长度为______________；
(2)若AP与AB的夹角为30°，则动点P的轨迹长度为______________．
§7.4 空间直线、平面的平行
1．C 2.B 3.C 4.D 5.D
6．B [如图，取B1C1的中点M，BB1的中点N，连接A1M，A1N，MN，可以证明平面A1MN∥平面AEF，所以点P位于线段MN上．因为A1M＝A1N＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2)＝eq \f(\r(5),2)，MN＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2)＝eq \f(\r(2),2)，
所以当点P位于M，N点时，A1P最大，当点P位于MN的中点O时，A1P最小，此时A1O＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),4)))2)＝eq \f(3\r(2),4)，所以eq \f(3\r(2),4)≤|A1P|≤eq \f(\r(5),2)，所以线段A1P长度的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3\r(2),4)，\f(\r(5),2))).]
7．AC [对于A，AB∥DE，AB⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，∴直线AB与平面DEF平行，故A正确；
对于B，如图1，作平面DEF交正方体的棱于点G，连接FG并延长，交AB的延长线于点H，则AB与平面DEF相交于点H，故B错误；
图1
对于C，AB∥DF，AB⊄平面DEF，DF⊂平面DEF，∴直线AB与平面DEF平行，故C正确；
对于D，如图2，连接AC，取AC的中点O，连接OD，
图2
又D为BC的中点，∴AB∥OD，
∵OD与平面DEF相交，∴直线AB与平面DEF相交，故D错误．]
8．ACD [由题图，显然A正确，B错误；
对于C，因为A1D1∥BC，BC∥FG，所以A1D1∥FG且FG⊂平面EFGH，A1D1⊄平面EFGH，所以A1D1∥平面EFGH(水面)，故C正确；
因为水是定量的(定体积V)，
所以S△BEF·BC＝V，
即eq \f(1,2)BE·BF·BC＝V，
所以BE·BF＝eq \f(2V,BC)(定值)，故D正确．]
9.eq \f(5,2)
10．矩形
解析 因为CD∥平面EFGH，CD⊂平面BCD，平面EFGH∩平面BCD＝EF，所以CD∥EF.
同理HG∥CD，所以EF∥HG.
同理HE∥GF，
所以四边形EFGH为平行四边形．
又因为CD⊥AB，所以HE⊥EF，
所以平行四边形EFGH为矩形．
11．A，B，C1(答案不唯一)
解析 由空间图形A1B1C1－ABC是三棱台，
可得平面ABC∥平面A1B1C1，
当平面ABC1为平面α，平面α∩平面A1B1C1＝m时，
又平面α∩平面ABC＝AB，
所以由面面平行的性质定理可知m∥AB，所取的这3个点可以是A，B，C1.
12．①③
解析 对于①，由题意得AB∥CF，AB＝CF，
∴四边形ABCF是平行四边形，
∴AF∥BC，
∵AF⊄平面BCD，BC⊂平面BCD，
∴AF∥平面BCD，故①正确；
对于②，取DF的中点G，连接EG，CG，
∵E是AD的中点，AF∥BC，AF＝BC，∴EG＝eq \f(1,2)BC，EG∥BC，
∴四边形BCGE为梯形，
∴直线BE与直线CG相交，
∴BE与平面CDF相交，故②错误；
对于③，连接AC，交BF于点O，连接OE，
∵四边形ABCF是平行四边形，
∴O是AC的中点，
∴OE∥CD，
∵OE⊂平面BEF，CD⊄平面BEF，
∴CD∥平面BEF，故③正确．
13．(1)证明 设AF＝tAC，
则eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→))＝(1－t)eq \(BA,\s\up6(→))＋teq \(BC,\s\up6(→))，eq \(AO,\s\up6(→))＝－eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))，
因为BF⊥AO，所以eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(AO,\s\up6(→))＝[(1－t)eq \(BA,\s\up6(→))＋teq \(BC,\s\up6(→))]·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\(BA,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(BC,\s\up6(→))))
＝(t－1)eq \(BA,\s\up6(→))2＋eq \f(1,2)teq \(BC,\s\up6(→))2
＝4(t－1)＋4t＝0，
解得t＝eq \f(1,2)，则F为AC的中点，
又D，E，O分别为PB，PA，BC的中点，于是EF∥PC，DO∥PC，
所以EF∥DO，
又EF⊄平面ADO，DO⊂平面ADO，
所以EF∥平面ADO.
(2)解 如图，连接DE，OF，过P作PM垂直于OF，交FO的延长线于点M，
因为PB＝PC，O是BC中点，
所以PO⊥BC，
在Rt△PBO中，PB＝eq \r(6)，
BO＝eq \f(1,2)BC＝eq \r(2)，
所以PO＝eq \r(PB2－OB2)＝eq \r(6－2)＝2，
因为AB⊥BC，OF∥AB，
所以OF⊥BC，
又PO∩OF＝O，PO，OF⊂平面POF，所以BC⊥平面POF，
又PM⊂平面POF，所以BC⊥PM，
又BC∩FM＝O，BC，FM⊂平面ABC，所以PM⊥平面ABC，
即三棱锥P－ABC的高为PM，
因为∠POF＝120°，所以∠POM＝60°，
所以PM＝POsin 60°＝2×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3)，
又S△ABC＝eq \f(1,2)AB·BC
＝eq \f(1,2)×2×2eq \r(2)＝2eq \r(2)，
所以V三棱锥P－ABC＝eq \f(1,3)S△ABC·PM＝eq \f(1,3)×2eq \r(2)×eq \r(3)＝eq \f(2\r(6),3).
14．(1)证明 连接BD，
∵四边形ABCD为平行四边形，由题意可得，G是线段BD的中点，
则G，H分别是线段BD，DF的中点，故GH∥BF.
(2)解 存在，P是线段CD的中点，理由如下：
由(1)可知，GH∥BF，
GH⊂平面GHP，BF⊄平面GHP，
∴BF∥平面GHP，连接PG，PH，
∵P，H分别是线段CD，DF的中点，则HP∥CF，
HP⊂平面GHP，CF⊄平面GHP，
∴CF∥平面GHP，
BF∩CF＝F，BF，CF⊂平面BCF，
故平面GHP∥平面BCF.
15．AB [对于A，因为点B在平面AECD外，点D在平面AECD内，直线EC在平面AECD内，直线EC不过点D，所以直线BD与EC是异面直线，即直线BF与EC是异面直线，所以B，E，C，F四点不共面，故A正确；
对于B，如图，当点F为线段BD的中点，EC＝eq \f(1,2)AD时，直线CF∥平面BAE，证明如下：
取AB的中点G，连接GE，GF，
则EC∥FG且EC＝FG，
所以四边形ECFG为平行四边形，
所以FC∥EG，又因为EG⊂平面BAE，则直线CF与平面BAE平行，故B正确；
对于C，在三棱锥B－ADC中，因为点E的移动会导致点B到平面ACD的距离发生变化，所以三棱锥B－ADC的体积不是定值，故C不正确；
对于D，过D作DH⊥AE于H，因为平面BAE⊥平面AECD，平面BAE∩平面AECD＝AE，所以DH⊥平面BAE，所以DH⊥BE，
若存在点E使得直线BE与直线CD垂直，DH⊂平面AECD，
且DC⊂平面AECD，DH∩DC＝D，所以BE⊥平面AECD，所以BE⊥AE，
与△ABE是以B为直角的三角形矛盾，所以不存在点E使得直线BE与直线CD垂直，故D不正确．]
16．(1)2 (2)eq \f(\r(3)π,3)
解析 如图，分别取BC，B1C1的中点F，G，连接EF，FG，EG，
则四边形BFGB1为平行四边形，所以BB1∥FG，
因为E为CD的中点，所以EF∥BD，
因为EF，FG⊄平面BDD1B1，BD，BB1⊂平面BDD1B1，所以EF∥平面BDD1B1，FG∥平面BDD1B1，
因为EF∩FG＝F，
所以平面EFG∥平面BDD1B1，
(1)因为平面EFG∩平面BCC1B1＝FG，且点P在四边形BCC1B1内部及其边界上运动，EP∥平面BDD1B1，
所以点P的轨迹是FG，
因为FG＝BB1＝2，
所以动点P的轨迹长度为2.
(2)因为AB⊥平面BCC1B1，BP⊂平面BCC1B1，所以AB⊥BP，
在Rt△ABP中，AB＝2，∠BAP＝30°，
则tan∠BAP＝eq \f(BP,AB)＝eq \f(\r(3),3)，
所以BP＝eq \f(\r(3),3)AB＝eq \f(2\r(3),3)，
所以点P的轨迹是以B为圆心，eq \f(2\r(3),3)为半径的一段弧，且圆心角为eq \f(π,2)，
所以动点P的轨迹长度为eq \f(π,2)×eq \f(2\r(3),3)＝eq \f(\r(3)π,3).