新高考数学一轮复习考点学案第7章§7.1基本立体图形、简单几何体的表面积与体积（含答案解析）

这是一份新高考数学一轮复习考点学案第7章§7.1基本立体图形、简单几何体的表面积与体积（含答案解析），共18页。
课标要求 1.认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.知道球、棱(圆)柱、棱(圆)锥、棱(圆)台的表面积和体积的计算公式，并能解决简单的实际问题.3.能用斜二测画法画出简单空间图形的直观图.
1.空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
(2)旋转体的结构特征
2.直观图
(1)画法：常用 .
(2)规则：
①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x'轴、y'轴的夹角为45°或135°.
②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍 ，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度 ，平行于y轴的线段，长度在直观图中变为原来的 .
3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
4.柱、锥、台、球的表面积和体积
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)菱形的直观图仍是菱形.( )
(2)圆台的母线长都相等.( )
(3)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱.( )
(4)锥体的体积等于底面积与高之积.( )
2.已知正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝2，则该三棱柱的体积为( )
A.43B.33C.23D.3
3.用斜二测画法作一个水平放置的边长为6的正方形的直观图，则直观图的面积为( )
A.36B.182C.92D.922
4.已知某圆锥的侧面积是其底面积的两倍，则圆锥的高与底面半径的比值为 .
1.掌握三个结论
(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.
(2)直观图与原平面图形面积间的关系：S直观图＝24S原图形，S原图形＝22S直观图.
2.关于几何体的表面积和侧面积的两个注意点
(1)几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和.
(2)组合体的表面积应注意重合部分的处理.
题型一 基本立体图形
命题点1 结构特征
例1 (多选)下列说法中正确的是( )
A.各侧棱都相等的棱锥为正棱锥
B.长方体是直四棱柱
C.用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分为圆台
D.球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面
命题点2 直观图
例2 已知正△ABC的边长为a，那么水平放置的△ABC的直观图△A'B'C'的面积是( )
A.34a2B.38a2
C.68a2D.616a2
命题点3 展开图
例3 如图，已知圆锥的底面半径为1，母线长SA＝3，一只蚂蚁从A点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点A，则蚂蚁爬行的最短距离为( )
A.23B.33
C.6D.2π
思维升华 (1)辨别空间几何体的两种方法
①定义法：紧扣定义进行判定；
②反例法：要说明一个结论是错误的，只需举出一个反例即可.
(2)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段：平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半.
(3)在解决空间曲线(段)最短问题时一般考虑其展开图，采用化曲为直的策略，将空间问题平面化.
跟踪训练1 (1)下列说法正确的是( )
A.棱柱中相邻两个面的公共边叫做侧棱
B.底面是正多边形的棱锥是正棱锥
C.有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台
D.直角三角形以其一边所在直线为轴旋转一周形成的几何体不一定是圆锥
(2)(2024·台州统考)如图，用斜二测画法作水平放置的四边形ABCD的直观图为矩形A'B'C'D'，已知A'O'＝O'B'＝1，B'C'＝1，则四边形ABCD的周长为( )
A.62B.122C.8D.10
(3)如图在一根高为11 cm，外圆周长为6 cm的圆柱体外表面缠绕一根细铁丝，组成10个螺旋，如果铁丝的两端恰好落在圆柱的同一条母线的两端，则铁丝长度的最小值为( )
A.61 cmB.157 cm
C.2 021 cmD.1 037 cm
题型二 表面积与体积
命题点1 表面积
例4 (1)已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个圆心角为4π3的扇形，则该圆锥的表面积为( )
A.4πB.6πC.10πD.16π
(2)(2025·辽宁省名校联盟模拟)已知圆台的上、下底面的面积分别为4π，36π，侧面积为64π，则该圆台的高为 .
命题点2 体积
例5 (1)(2024·武汉模拟)“极目一号”Ⅲ型浮空艇(如图1)是中国科学院空天信息研究院自主研发的，它曾多次成功完成大气科学观测，彰显了中国的实力.“极目一号”Ⅲ型浮空艇长55 m，高19 m，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的体积约为(参考数据：9.52≈90，9.53≈857，315×1 005≈316 600，π≈3.14)( )
A.9 064 m3B.9 004 m3
C.8 944 m3D.8 884 m3
(2)(2025·包头模拟)如图，已知圆柱的轴截面为正方形ABCD，AB＝BC＝2，E，F为上底面圆周上的两个动点，且EF过上底面的圆心G，若AB⊥EF，则三棱锥A－BEF的体积为( )
A.23B.43C.223D.233
思维升华 求空间几何体的体积的常用方法
跟踪训练2 (1)(2024·新课标全国Ⅰ)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为3，则圆锥的体积为( )
A.23πB.33πC.63πD.93π
(2)(多选)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝2，BC＝3，CC1＝4，且AB⊥BC，P为BC1的中点，则( )
A.三棱锥A－BCC1的体积为4
B.三棱锥C－APC1的体积为52
C.四棱锥C1－ABB1A1的体积为8
D.三棱锥C1－ABC的表面积为14+213
答案精析
落实主干知识
1.(1)平行 全等 平行 相似 平行且相等 一点 一点 平行四边形 三角形 梯形 (2)垂直 一点 一点 矩形 等腰 三角形 等腰梯形 圆 矩形 扇形 扇环
2.(1)斜二测画法
(2)②分别平行于坐标轴 不变 一半
3.2πrl πrl π(r1+r2)l
4.Sh 13Sh
13(S上+S下+S上S下)h
4πR2 43πR3
自主诊断
1.(1)× (2)√ (3)× (4)×
2.C [在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝2，
所以S△ABC＝12×2×2×sin 60°＝3，
所以V三棱柱ABC−A1B1C1＝S△ABC·AA1＝23.]
3.C [在斜二测画法中，直观图面积是原图形面积的24，而边长为6的正方形面积为36，所以所求的直观图的面积为24×36＝92.]
4.A [由题可知圆锥的高
h＝4−1＝3，
所以圆锥的体积
V＝13×π×12×3＝3π3.]
探究核心题型
例1 BD [对于A，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，故A错误；
对于B，易知长方体的侧棱和底面垂直，所以是直四棱柱，故B正确；
对于C，根据圆台的定义，用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分为圆台，故C错误；
对于D，球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面，故D正确.]
例2 D [方法一 如图，水平放置的△ABC的直观图为△A'B'C'，
由题意可知AB＝a，
OC＝32a，
则A'B'＝a，O'C'＝34a，
过点C'作C'D'⊥A'B'于点D'，
则C'D'＝22O'C'
＝22×34a＝68a，
所以△A'B'C'的面积为
12a×68a＝616a2.
方法二 由S直观图＝24S原图形得，
△A'B'C'的面积为24×34a2＝616a2.]
例3 B [已知圆锥的侧面展开图是半径为3的扇形，如图，
一只蚂蚁从A点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点A的最短距离为AA'，
设∠ASA'＝α，
圆锥底面周长为2π，
所以AA'＝α×3＝2π，
所以α＝2π3，
在△SAA'中，
由SA＝SA'＝3，
得AA'＝SA2+SA'2−2SA·SA'·csα
＝32+32−2×3×3×−12
＝33.]
跟踪训练1 (1)D [对于A，底面和侧面的公共边不是侧棱，A错误；
对于B，底面是正多边形的棱锥，顶点与底面中心的连线不一定垂直于底面，因此它不一定是正棱锥，B错误；
对于C，两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体不一定是棱台，还要满足各侧棱的延长线交于一点，C错误；
对于D，直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥，以其斜边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是由两个共底的圆锥组合而成，D正确.]
(2)D [由题设，知原四边形中AB＝CD＝A'B'＝C'D'＝2，
且AB∥CD，
所以原四边形ABCD为平行四边形，
而O'C'＝2，
则原四边形中OC＝22，
且OC⊥AB(O为AB的中点)，
故AD＝BC＝OC2+OB2＝3，
综上，四边形ABCD的周长为2(AB+AD)＝10.]
(3)A [∵圆柱体的高为11 cm，外圆周长为6 cm，
又铁丝在柱体上缠绕10圈，且铁丝的两个端点落在圆柱的同一条母线的两端，
则我们可以得到将圆柱侧面展开后的平面图形，如图所示，其中每一个小矩形的宽为圆柱的外圆周长6 cm，高为圆柱的高11 cm，则大矩形的对角线即为铁丝长度的最小值，
此时铁丝长度的最小值为112+602＝61(cm).]
例4 (1)C [因为圆锥的底面半径r＝2，所以底面积S底＝πr2＝4π，底面周长L＝2πr＝4π，母线长l＝L4π3＝3，圆锥侧面积S侧＝πrl＝6π，故圆锥的表面积为S底+S侧＝4π+6π＝10π.]
(2)43
解析 作圆台的轴截面，如图.
由题意得圆台的上、下底面的半径分别为2，6，设圆台的母线长为l，高为h，
则该圆台的侧面积S侧＝π×(2+6)×l＝64π，解得l＝8，
所以h＝l2−(6−2)2＝43.
例5 (1)A [由题图2得半球、圆柱底面和圆台一个底面的半径为R＝192＝9.5(m)，而圆台另一个底面的半径为r＝1 m，
则V半球＝12×43×π×9.53
≈1 7143π(m3)，
V圆柱＝π×9.52×14≈1 260π(m3)，
V圆台＝13×(9.52π+9.52π×π+π)×31.5≈3 1663π(m3)，
所以V＝V半球+V圆柱+V圆台
≈1 7143π+1 260π+3 1663π
≈9 064(m3).]
(2)B [如图，设圆柱的下底面的圆心为O，连接AG，BG，OG，
因为EF⊥AB，EF⊥BC，AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABCD，
所以EF⊥平面ABCD，且EF＝2，
S△ABG＝12AB×OG＝2，
所以V三棱锥A－BEF＝13S△ABGEF
＝13×2×2＝43.]
跟踪训练2 (1)B [设圆柱的底面半径为r，
则圆锥的母线长为r2+3，
而它们的侧面积相等，
所以2πr×3＝πr×3+r2，
即23＝3+r2，故r＝3，
故圆锥的体积为13π×9×3＝33π.]
(2)ACD [对于A，V三棱锥A−BCC1＝V三棱锥C1−ABC＝13×CC1×S△ABC＝13×4×12×2×3＝4，故A正确；
对于B，V三棱锥C−APC1＝V三棱锥A−PCC1，
而三棱锥A－BCC1与三棱锥
A－PCC1有共同的高，
∵P为BC1的中点，
∴S△PCC1＝12S△BCC1，
∴V三棱锥A−PCC1＝12V三棱锥A−BCC1
＝12×4＝2，故B错误；
对于C，V四棱锥C1−ABB1A1
＝V三棱柱ABC−A1B1C1－V三棱锥C1−ABC
＝12×2×3×4－4＝8，故C正确；
对于D，由题可知，
AC＝13，AC1＝29，BC1＝5，
∴AB2+BC12＝AC12，
∴△ABC1是直角三角形，
AB⊥BC1，
∴三棱锥C1－ABC的表面积为S△ABC+S△BCC1+S△ACC1+S△ABC1
＝12×2×3+12×3×4+12×13×4+12×2×5＝14+213，故D正确.]
名称
棱柱
棱锥
棱台
图形
底面
互相
且
多边形
互相
且
侧棱
相交于
但不一定相等
延长线交于

侧面
形状
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
图形
母线
互相平行且相等， 于底面
相交于

延长线交
于
轴截面
侧面展
开图
圆柱
圆锥
圆台
侧面展
开图
侧面积
公式
S圆柱侧＝
S圆锥侧＝
S圆台侧＝

名称
几何体
表面积
体积
柱体
S表＝S侧+2S底
V＝
锥体
S表＝S侧+S底
V＝
台体
S表＝S侧+
S上+S下
V＝

球
S表＝
V＝
公式法
规则几何体的体积，直接利用公式
割补法
把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体
等体
积法
通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积