第四章 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数-备战2022年（新高考）数学一轮复习考点讲解+习题练习学案

第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数

知识回顾

1．角的概念

(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．

(2)象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系．这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．

(3)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．

2．弧度制

(1)定义：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.

(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝ rad，1 rad＝°.

(3)扇形的弧长公式：l＝α·r，扇形的面积公式：S＝lr＝α·r2.其中r是半径，α(0<α<2π)为弧所对圆心角．

3．任意角的三角函数

任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，

则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．

三个三角函数的性质如下表：

课前检测

1.下列命题中正确的是(　　)．

A．三角形中的角是第一象限或第二象限角 B．终边相同的角一定相等
C．相等角的始边相同时，终边位置一定相同 D．不相等的角终边位置一定不相同

2.【2020年4月湖南长沙明德中学高一下学期周测数学试卷】若 是第三象限的角，则 是(　　)

A．第一或第二象限的角 B．第一或第三象限的角 C．第二或第三象限的角 D．第二或第四象限的角

3.【2020年河南新乡高一下学期期末考试数学试卷】下列与 的终边相同的角的表达式中正确的是(　　)

A．
B．
C．
D．

4．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　)

5．(多选)已知角2α的终边在x轴的上方，那么角α可能是(　　)

A．第一象限角   B．第二象限角

C．第三象限角   D．第四象限角

6．在0到2π范围内，与角α＝－终边相同的角是________．

7．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，若A(－1，y)是角θ终边上的一点，且sin θ＝－，则y＝________.

课中讲解

考点一.象限角

例1.【2020年云南昆明昆明市第三中学高一上学期期末考试数学试卷（滇池中学）】 角的终边落在(　　)

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

变式1.【2019年5月浙江丽水高一下学期月考数学试卷】与角 终边相同的角是(　　)

A． B．
C． D．

例2.若角 的终边在直线 上，则角 的取值集合为(　　)

A．
B．
C．
D．

变式2.如果 是第三象限的角，那么 必然不是下列哪个象限的角(　　)

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

例3.已知为第三象限角，则所在的象限是(　　)

A．第一或第二象限 B．第二或第三象限 C．第一或第三象限 D．第二或第四象限

变式3. 是第二象限角，则 是(　　)

A．第一象限角                                                   
B．第二象限角
C．第一象限角或第三象限角                       
D．第一象限角或第二象限角

考点二.弧度制及其应用

例1.【2020年11月陕西西安西安高新第一中学高一上学期月考数学试卷（第二次）】已知扇形的面积为 ，扇形的圆心角的弧度数是 ，则扇形的周长为(　　)

A． B． C． D．

变式1.如图所示，在平面直角坐标系 中，动点 、 从点 出发在单位圆上运动，点 按逆时针方向每秒钟转 弧度，点 按顺时针方向每秒钟转 弧度，则 、 两点在第 次相遇时，点 的坐标是(　　)

A． B．
C． D．

例2.已知扇形的周长是 ，面积是 ，则扇形的中心角的弧度数是(　　)

A． B．
C． 或  D． 或

变式2.已知扇形的圆心角为，周长为，则扇形的面积为 ___________ ．

例3.如图所示，单位圆中弧的长为，表示弧与弦
所围成的弓形面积的倍，则函数的图象是(　　)

A．
B．
C．
D．

考点三．三角函数的定义及应用

例1.比较 ，， 的大小为(　　)

A．
B．
C．
D．

变式1.已知角 的顶点与原点重合，始边与 轴的正半轴重合，终边在直线 上，则 的值等于________ ．

例2.若 ，则 ，， 的大小关系为(　　)

A．
B．
C．
D．

变式2.已知角 的终边与单位圆相交于点 ，则 等于(　　)

A．
B．
C．         
D．

例3.已知 角的终边与 角的终边关于 轴对称，点 在 角的终边上（不是原点），则 的值等于________ ．

变式3.已知 为终边不在坐标轴上的角，则函数 的值域是(　　)

A．          
B．
C． 
D．

例4.函数的定义域为________ ．

变式4.函数的定义域为________ ．

变式5.已知角 的终边经过点 ，且 ，，则实数 的取值范围是(　　)

A．       B．   
C．     D．

课后习题

一单选题

1.将分针拨慢 分钟，则分钟转过的弧度数是(　　)

A． B．
C． D．

2.与角 终边相同的角是(　　)

A． B．
C． D．

3.与 终边相同的角是(　　)

A． B．
C． D．

4.设小于的角，第一象限角，则等于________

A．锐角
B．小于的角
C．第一象限角
D．

5.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，那么其圆心角的弧度数为(　　)

A． B．
C． D．

6.矩形纸片 中，，．将其按图 的方法分割，并按图 的方法焊接成扇形；按图 的方法将宽 等分，把图 中的每个小矩形按图 分割并把 个小扇形焊接成一个大扇形；按图 的方法将宽 等分，把图 中的每个小矩形按图 分割并把 个小扇形焊接成一个大扇形；；依次将宽 等分，每个小矩形按图 分割并把 个小扇形焊接成一个大扇形．当 时，最后拼成的大扇形的圆心角的大小为(　　)

A．小于
B．等于
C．大于
D．大于

7.如果弧度的圆心角所对的弦长为，那么这个圆心角所对的弧长为(　　)

A． B．
C． D．

8.已知扇形的弧长为，半径为类比三角形的面积公式：底高，可推知扇形的面积公式等于(　　)

A． B．
C． D．

9.若是第一象限角，则的值与的大小关系是(　　)

A．
B．
C．
D．不能确定

10.已知角 的终边过点 ，且 ，则 的值为(　　)

A．
B．
C．
D．

11.设 是第二象限角， ，为其终边上的一点，且 ，则 =(　　)

A．                                      
B．
C．                                      
D．

12.已知角是第四象限角，角的终边经过点，且，则的值是(　　)

A． B．
C． D．

二．多选题

13．(多选)关于角度，下列说法正确的是(　　 )

A．时钟经过两个小时，时针转过的角度是60°

B．钝角大于锐角

C．三角形的内角必是第一或第二象限角

D．若α是第二象限角，则是第一或第三象限角

14．(多选)已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，下列选项正确的有(　　 )

A．圆的半径为2

B．圆的半径为1

C．圆心角的弧度数是1

D．圆心角的弧度数是2

三．填空题

15.如图，在 中，，以 为圆心、 为半径作圆弧交 于 点．若圆弧 等分 的面积，且 弧度，则 ________．

16.已知={锐角}，={小于的角}，={终边在第一象限的角}，，给出下列关系：
（1）；（2）；（3）；（4）．其中所有不成立的关系的序号为________．

17．给出下列命题：

①第二象限角大于第一象限角；

②三角形的内角一定是第一象限角或第二象限角；

③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；

④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；

⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角．

其中正确命题的序号是________．

18．(2019·福州模拟)在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与以原点为圆心的单位圆交于点A，点A的纵坐标为，且点A在第二象限，则cos α＝________.

四．解答题

19．已知角α是第三象限角，试判断：(1)π－α是第几象限角？(2)是第几象限角？(3)2α是第几象限角？

20．已知＝－，且lg(cos α)有意义．

(1)试判断角α所在的象限；

(2)若角α的终边上一点M，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．

21.如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B的坐标为(1,0)，∠BOA＝60°.质点A以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以2 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动．

(1)求经过1 s后，∠BOA的弧度；

(2)求质点A，B在单位圆上第一次相遇所用的时间．