2022届高考数学一轮复习第二章第二节第3课时函数性质的综合应用学案

这是一份2022届高考数学一轮复习第二章第二节第3课时函数性质的综合应用学案，共12页。

题型一 函数性质的交汇应用问题
函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主．
考法(一) 单调性与奇偶性相结合
[例1] (2021·石家庄模拟)已知偶函数fx＋eq \f(π,2)，当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))时，f(x)＝x＋sin x，设a＝f(1)，b＝f(2)，c＝f(3)，则( )
A．aC．c[解析] ∵当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))时，y＝sin x单调递增，y＝xeq \f(1,3)也为增函数，∴函数f(x)＝x＋sin x也为增函数．∵函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))为偶函数，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x＋\f(π,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))，f(x)的图象关于x＝eq \f(π,2)对称，∴f(2)＝f(π－2)，f(3)＝f(π－3)，∵0<π－3<1<π－2[答案] D
[方法技巧]
函数单调性与奇偶性的综合常利用奇偶函数的图象的对称性，以及奇偶函数在关于原点对称的区间上的单调性求解．
考法(二) 奇偶性与周期性相结合
[例2] (1)(2021·扬州第一中学期末)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意的实数x，f(x－2)＝f(x＋2)，当x∈(0,2)时，f(x)＝－x2，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13,2)))＝( )
A．－eq \f(9,4) B．－eq \f(1,4)
C.eq \f(1,4) D.eq \f(9,4)
(2)(2021·淮北模拟)定义在R上的函数f(x)为奇函数，f(1)＝1，又g(x)＝f(x＋2)也是奇函数，则f(2 020)＝________.
[解析] (1)因为f(x－2)＝f(x＋2)，所以f(x)＝f(x＋4)，所以f(x)是周期为4的函数，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13,2)－8))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝ －eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))2))＝eq \f(9,4)，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13,2)))＝eq \f(9,4).故选D.
(2)∵g(x)＝f(x＋2)是奇函数，
∴g(－x)＝f(－x＋2)＝－f(x＋2)．
又∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，
∴－f(x＋2)＝f(－x－2)，
∴f(－x＋2)＝f(－x－2)＝f(－x＋2－4)，
∴f(x)＝f(x－4)，
∴函数f(x)是周期为4的周期函数．
∴f(2 020)＝f(4×505＋0)＝f(0)＝0.
[答案] (1)D (2)0
[方法技巧]
函数周期性与奇偶性的综合多是求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转换到已知函数解析式的定义域内求解．
考法(三) 单调性、奇偶性与周期性的综合
[例3] 定义在R上的奇函数f(x)满足feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,2)))＝f(x)，当x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))时，f(x)＝lg (1－x)，则f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))内是( )
A．减函数且f(x)>0 B．减函数且f(x)<0
C．增函数且f(x)>0 D．增函数且f(x)<0
[解析] 当x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))时，由f(x)＝lg (1－x)可知，f(x)单调递增且f(x)>0，又函数f(x)为奇函数，所以f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))上也单调递增，且f(x)<0.由feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,2)))＝f(x)知，函数的周期为eq \f(3,2)，所以在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))上，函数f(x)单调递增且f(x)<0.
[答案] D
[方法技巧]
对于函数性质结合的题目，函数的周期性有时需要通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．
[针对训练]
1．设e是自然对数的底数，函数f(x)是周期为4的奇函数，且当0A.eq \f(3,5) B.eq \f(3,4)
C.eq \f(4,3) D.eq \f(5,3)
解析：选D 因为函数以4为周期，
所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,3)))＝f(eq \f(7,3)－4)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)))＝lneq \f(5,3)，
所以e＝e＝eq \f(5,3).故选D.
2．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，则f(2 020)＋f(2 021)的值为( )
A．－2 B．－1
C．0 D．1
解析：选D ∵f(x)的图象关于x＝1对称，
∴f(2－x)＝f(x)．
∵函数f(x)为(－∞，＋∞)上的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝f(2－x)＝－f(－x)，
∴f(4－x)＝－f(2－x)＝f(－x)，∴周期T＝4.
∵x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，∴f(1)＝21－1＝2－1＝1.
又函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，∴f(0)＝0，
∴f(2 020)＋f(2 021)＝f(0)＋f(1)＝0＋1＝1.
3．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝f(－x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－cs x，则下列结论正确的是( )
A．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2 020,3)))B．f(2 018)C．f(2 018)D．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2 019,2)))解析：选C ∵f(x)是奇函数，
∴f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)的周期为4，
∴f(2 018)＝f(2＋4×504)＝f(2)＝f(0)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2 019,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2 020,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))，∵当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－cs x单调递增，∴f(0)∴f(2 018)题型二 新定义问题
所谓“新定义”函数，是相对于高中教材而言，指在高中教材中不曾出现过或尚未介绍的一类函数．函数新定义问题的一般形式是：由命题者先给出一个新的概念、新的运算法则，或者给出一个抽象函数的性质等，然后让学生按照这种“新定义”去解决相关的问题．
[典例] 若两函数具有相同的定义、单调区间、奇偶性、值域，则称这两函数为“亲密函数”．下列三个函数y＝2|x|－1，y＝eq \f(x2,1＋x2)，y＝eq \f(x2,2)＋cs x－1中，与函数f(x)＝x4不是亲密函数的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] 易知幂函数f(x)＝x4的定义域为R，是偶函数，在(－∞，0)上，f(x)单调递减，在(0，＋∞)上，f(x)单调递增，y≥0.三个函数的定义域都为R且都为偶函数，单调性也与y＝x4保持一致，但是y＝eq \f(x2,1＋x2)＝1－eq \f(1,1＋x2)的最大值接近1，y＝2|x|－1≥0，y＝eq \f(x2,2)＋cs x－1≥0，故选B.
[答案] B
[方法技巧]
深刻理解题目中新函数的定义、新函数所具有的性质或满足的条件，将定义、性质等与所求之间建立联系是解题的关键．如果函数的某一性质(一般是等式、不等式)对某些数值恒成立，那么通过合理赋值可以得到特殊函数值甚至是函数解析式，进而解决问题．
[针对训练]
(多选)在实数集R上定义一种运算“★”，对于任意给定的a，b∈R，a★b为唯一确定的实数，且具有下列三条性质：
(1)a★b＝b★a；(2)a★0＝a；(3)(a★b)★c＝c★(ab)＋(a★c)＋(c★b)－2c.
关于函数f(x)＝x★eq \f(1,x)的说法正确的是( )
A．函数f(x)在(0，＋∞)上的最小值为3
B．函数f(x)为偶函数
C．函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)
D．函数f(x)不是周期函数
解析：选ACD 对于新运算“★”的性质(3)，令c＝0，则(a★b)★0＝0★(ab)＋(a★0)＋(0★b)＝ab＋a＋b，即a★b＝ab＋a＋b，∴f(x)＝x★eq \f(1,x)＝1＋x＋eq \f(1,x).当x>0时，f(x)＝1＋x＋eq \f(1,x)≥1＋2 eq \r(x·\f(1,x))＝3，当且仅当x＝eq \f(1,x)，即x＝1时取等号，∴函数f(x)在(0，＋∞)上的最小值为3，故A正确；函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，∵f(1)＝1＋1＋1＝3， f(－1)＝1－1－1＝－1，∴f(－1)≠－f(1)且f(－1)≠f(1)，∴函数f(x)为非奇非偶函数，故B错误；根据函数的单调性，知函数f(x)＝1＋x＋eq \f(1,x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，故C正确；由C知，函数f(x)＝1＋x＋eq \f(1,x)不是周期函数，故D正确．
eq \a\vs4\al([课时跟踪检测])
一、综合练——练思维敏锐度
1．(2021·济南模拟)下列函数既是奇函数，又在[－1，1]上单调递增的是( )
A．f(x)＝|sin x| B．f(x)＝ln eq \f(e－x,e＋x)
C．f(x)＝eq \f(1,2)(ex－e－x) D．f(x)＝ln(eq \r(x2＋1)－x)
解析：选C 对于A，f(x)＝|sin x|为偶函数，不符合题意；
对于B，f(x)＝ln eq \f(e－x,e＋x)的定义域为(－e，e)，关于原点对称，有f(－x)＝ln eq \f(e＋x,e－x)＝ －ln eq \f(e－x,e＋x)＝－f(x)，为奇函数，
设t＝eq \f(e－x,e＋x)＝－1＋eq \f(2e,x＋e)，x∈(－e，e)，在(－e，e)上为减函数，而y＝ln t为增函数，则f(x)＝ln eq \f(e－x,e＋x)在(－e，e)上为减函数，不符合题意；
对于C，f(x)＝eq \f(1,2)(ex－e－x)，有f(－x)＝eq \f(1,2)(e－x－ex)＝－eq \f(1,2)(ex－e－x)＝－f(x)，为奇函数，且f′(x)＝eq \f(1,2)(ex＋e－x)>0，则f(x)在R上为增函数，符合题意；
对于D，f(x)＝ln(eq \r(x2＋1)－x)的定义域为R.
f(－x)＝ln(eq \r(x2＋1)＋x)＝－ln(eq \r(x2＋1)－x)＝－f(x)，为奇函数，
设t＝eq \r(x2＋1)－x＝eq \f(1,\r(x2＋1)＋x)，易知t在R上为减函数，而y＝ln t为增函数，
则f(x)＝ln(eq \r(x2＋1)－x)在R上为减函数，不符合题意．故选C.
2．已知f(x)是定义在[2b,1－b]上的偶函数，且在[2b,0]上为增函数，则f(x－1)≤f(2x)的解集为( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(2,3))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,3)))
C．[－1,1] D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1))
解析：选B ∵f(x)是定义在[2b,1－b]上的偶函数，∴2b＋1－b＝0，∴b＝－1，
∵f(x)在[2b,0]上为增函数，即函数f(x)在[－2,0]上为增函数，∴函数f(x)在(0,2]上为减函数，则由f(x－1)≤f(2x)，得|x－1|≥|2x|，即(x－1)2≥4x2，解得－1≤x≤eq \f(1,3).
又∵函数f(x)的定义域为[－2,2]，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2≤x－1≤2，,－2≤2x≤2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤x≤3，,－1≤x≤1.))综上，所求解集为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,3))).
3．已知函数f(x)在[0,4]上是增函数，且函数y＝f(x＋4)是偶函数，则下列结论正确的是( )
A．f(2)C．f(5)解析：选B 因为函数y＝f(x＋4)是偶函数，所以函数y＝f(x＋4)的图象关于直线x＝0对称，所以函数y＝f(x)的图象关于直线x＝4对称，所以f(5)＝f(3)，又函数y＝f(x)在[0,4]上是增函数，所以f(2)4．(2021·广州模拟)如果对定义在R上的奇函数，y＝f(x)，对任意两个不相等的实数x1，x2，所有x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，则称函数y＝f(x)为“H函数”，下列函数为H函数的是( )
A．f(x)＝sin x B．f(x)＝ex
C．f(x)＝x3－3x D．f(x)＝x|x|
解析：选D 根据题意，对于任意不相等的实数x1，x2，x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)恒成立，
则有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0恒成立，即函数f(x)是定义在R上的增函数，
故“H函数”为奇函数且在R上为增函数．
据此依次分析选项：
对于A，f(x)＝sin x，为正弦函数，为奇函数但不是增函数，不符合题意；
对于B，f(x)＝ex，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；
对于C，f(x)＝x3－3x，为奇函数，但在R上不是增函数，不符合题意；
对于D，f(x)＝x|x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2，x≥0，,－x2，x<0))为奇函数且在R上为增函数，符合题意，故选D.
5．(多选)已知f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于点(1,0)对称，给出下列关于f(x)的结论，其中正确的结论是( )
A．f(x)是周期函数
B．f(x)满足f(x)＝f(4－x)
C．f(x)在(0,2)上单调递减
D．f(x)＝cs eq \f(πx,2)是满足条件的一个函数
解析：选ABD 因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，因为f(x)的图象关于点(1,0)对称，则f(－x)＝－f(2＋x)，故f(x＋2)＝－f(x)，故有f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)是以4为周期的周期函数，故A正确；可得f(－x)＝f(x)＝f(x＋4)，把x替换成－x可得f(x)＝f(4－x)，故B正确；f(x)＝cseq \f(πx,2)是定义在R上的偶函数，(1,0)是其图象的一个对称中心，可得D正确；f(x)＝－cseq \f(πx,2)满足题意，但f(x)在(0,2)上单调递增，故C错误．
6．(多选)设函数f(x)是定义在R上的函数，满足f(－x)－f(x)＝0，且对任意的x∈R，恒有f(x＋2)＝f(2－x)，已知当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，2))时，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2－x，则有( )
A．函数的最大值是1，最小值是eq \f(1,4)
B．函数f(x)是周期函数，且周期为2
C．函数f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2，4))上递减，在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4，6))上递增
D．当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2，4))时，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2－x
解析：选AC ∵函数f(x)满足f(－x)－f(x)＝0，即f(－x)＝f(x)，∴函数f(x)是偶函数．
∵f(x＋2)＝f(2－x)＝f(x－2)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数，B错误；
∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，2))时，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2－x，
∴x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，2))时，f(x)是增函数，
∴f(x)max＝f(2)＝1，f(x)min＝f(0)＝eq \f(1,4).
根据函数f(x)是偶函数可知当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，2))时，最大值为1，最小值为eq \f(1,4)，由周期性知当x∈R时，最大值为1，最小值为eq \f(1,4)，A正确；
又∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，2))时，f(x)是增函数，∴x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，0))时，f(x)是减函数，由T＝4知f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2，4))上递减，在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4，6))上递增，C正确；
令x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，0))，则－x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，2))，f(－x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋x＝f(x)，
∴f(x－4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋x－4＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－2＝f(x)，
∴x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2，4))时，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－2，D错误．故选A、C.
7．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝ 6－x，则f(919)＝________.
解析：∵f(x＋4)＝f(x－2)，
∴f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)的周期为6，
∵919＝153×6＋1，∴f(919)＝f(1)．
又f(x)为偶函数，∴f(919)＝f(1)＝f(－1)＝6.
答案：6
8．(2021·衡水中学模拟)已知函数f(x)＝ex－eq \f(1,ex)－2sin x，其中e为自然对数的底数，若f(2a2)＋f(a－3)＋f(0)<0，则实数a的取值范围为________．
解析：因为f(0)＝0，f′(x)＝ex＋e－x－2cs x，ex＋e－x≥2，而2cs x≤2，所以f′(x)≥0，所以函数y＝f(x)是单调递增函数．又f(－x)＝－f(x)，即函数f(x)是奇函数，所以原不等式可化为f(2a2)<－f(a－3)＝f(3－a)，则2a2<3－a，即2a2＋a－3<0，解得－eq \f(3,2)答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，1))
9．定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)＋f(x＋2)＝0，且f(4－x)＝f(x)．现有以下三个命题：
①8是函数f(x)的一个周期；②f(x)的图象关于直线x＝2对称；③f(x)是偶函数．
其中正确命题的序号是________．
解析：∵f(x)＋f(x＋2)＝0，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，f(x)的周期为4，故①正确；又f(4－x)＝f(x)，∴f(2＋x)＝f(2－x)，即f(x)的图象关于直线x＝2对称，故②正确；由f(x)＝f(4－x)得f(－x)＝f(4＋x)＝f(x)，故③正确．
答案：①②③
10．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积．
解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数，
所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.
(2)由f(x)是奇函数且f(x＋2)＝－f(x)，
得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，
即f(1＋x)＝f(1－x)．
故知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．
又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．
设当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×2×1))＝4.
11．已知定义在R上的函数f(x)，对于任意实数a，b都满足f(a＋b)＝f(a)f(b)，且f(1)≠0，当x>0时，f(x)>1.
(1)求f(0)的值；
(2)证明：f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数；
(3)求不等式f(x2＋x)解：(1)令a＝1，b＝0，则f(1)＝f(1＋0)＝f(1)f(0)，
∵f(1)≠0，∴f(0)＝1.
(2)证明：当x<0时，－x>0.
令a＝x，b＝－x，则f(x)f(－x)＝f(x－x)＝f(0)＝1，由f(－x)>0得f(x)>0，注意到f(0)＝1>0，
∴对于任意实数x，f(x)>0.
任取x1，x2∈R，且x10，f(x2－x1)>1，
∵f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]＝f(x1)f(x2－x1)>f(x1)，
∴函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．
(3)∵eq \f(1,f2x－4)＝eq \f(f0,f2x－4)＝f(－2x＋4)，
∴f(x2＋x)由(2)可得x2＋x<－2x＋4，
解得－412．已知函数f(x)对任意x∈R满足f(x)＋f(－x)＝0，f(x－1)＝f(x＋1)，若当x∈[0,1)时，f(x)＝ax＋b(a＞0且a≠1)，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝eq \f(1,2).
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数g(x)＝f2(x)＋f(x)的值域．
解：(1)因为f(x)＋f(－x)＝0，
所以f(－x)＝－f(x)，即f(x)是奇函数．
因为f(x－1)＝f(x＋1)，所以f(x＋2)＝f(x)，
即函数f(x)是周期为2的周期函数，
所以f(0)＝0，即b＝－1.
又feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝1－eq \r(a)＝eq \f(1,2)，解得a＝eq \f(1,4).
(2)当x∈[0,1)时，
f(x)＝ax＋b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))x－1∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，0))，
由f(x)为奇函数知，当x∈(－1,0)时，f(x)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4)))，
又因为f(x)是周期为2的周期函数，
所以当x∈R时，f(x)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，\f(3,4)))，
设t＝f(x)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，\f(3,4)))，
所以g(x)＝f2(x)＋f(x)＝t2＋t＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(1,2)))2－eq \f(1,4)，
即y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(1,2)))2－eq \f(1,4)∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，\f(21,16))).
故函数g(x)＝f2(x)＋f(x)的值域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，\f(21,16))).
二、自选练——练高考区分度
1．(多选)(2021·衡阳模拟)若函数f(x)同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：
(1)∀x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0；
(2)∀x1，x2∈R，且x1≠x2，都有eq \f(fx1－fx2,x1－x2)<0.
下面四个函数中，是“优美函数”的为( )
A．f(x)＝sin x B．f(x)＝－2x3
C．f(x)＝e－x－ex D．f(x)＝ln(eq \r(x2＋1)＋x)
解析：选BC 由条件(1)，得f(x)是奇函数，由条件(2)，得f(x)是R上的减函数．
对于A，f(x)＝sin x在R上不单调，故不是“优美函数”；
对于B，f(x)＝－2x3既是奇函数，又在R上单调递减，故是“优美函数”；
对于C，f(x)＝e－x－ex是奇函数，并且在R上单调递减，故是“优美函数”；
对于D，易知f(x)在R上单调递增，故不是“优美函数”．
故选B、C.
2．设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－eq \f(1,1＋x2)，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围为________．
解析：由已知得函数f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(|x|)，由f(x)>f(2x－1)，可得f(|x|)>f(|2x－1|)．
当x>0时，f(x)＝ln(1＋x)－eq \f(1,1＋x2)，
因为y＝ln(1＋x)与y＝－eq \f(1,1＋x2)在(0，＋∞)上都单调递增，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
由f(|x|)>f(|2x－1|)，可得|x|>|2x－1|，两边平方可得x2>(2x－1)2，整理得3x2－4x＋1<0，解得eq \f(1,3)答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1))
3．给出关于函数f(x)的一些限制条件：①在(0，＋∞)上单调递减；②在(－∞，0)上单调递增；③是奇函数；④是偶函数；⑤f(0)＝0.在这些条件中，选择必需的条件，补充在下面问题中，并解决这个问题．
定义在R上的函数f(x)，________(填写你选定条件的序号)，且f(－1)＝0.求不等式f(x－1)>0的解集．
解：由题意易知条件①和②最好只选择一个，否则可能产生矛盾；条件③和④最好也只选择一个，否则f(x)就变成恒等于0的常数函数，失去研究价值．
如果选择条件①③.由f(x)是定义在R上的奇函数，可知f(0)＝0，f(1)＝－f(－1)＝0，且f(x)在关于原点对称的区间上的单调性一致．因为f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以，当00，当x≥1或－1≤x≤0时，f(x)≤0.f(x－1)>0⇔0故不等式f(x－1)>0的解集为(－∞，0)∪(1,2)．
如果选择条件①④⑤.因为f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且f(x)是偶函数，所以f(x)在 (－∞，0)上单调递增，注意到f(－1)＝0，所以f(x－1)>0⇔f(x－1)>f(－1)⇔f(|x－1|)>f(|－1|)⇔|x－1|<1⇔00的解集为(0,1)∪(1,2)．
选择其他条件组合的解法类似．
如果同时选择条件③④.易知f(x)＝0恒成立，不等式f(x－1)>0的解集为空集．