新高考数学一轮复习基础版讲义第8章第7节　抛物线（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习基础版讲义第8章第7节　抛物线（2份，原卷版+解析版），共6页。试卷主要包含了抛物线的标准方程与几何性质，过原点O的一条直线与圆C等内容，欢迎下载使用。

【知识梳理】
1.抛物线的定义
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).
2.抛物线的标准方程与几何性质
[常用结论与微点提醒]
1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦.
2.抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))的距离|PF|＝x0＋eq \f(p,2)，也称为抛物线的焦半径.
3.过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A，B两点，则|AB|＝x1＋x2＋p，也称为抛物线的焦点弦.
4.抛物线定义中，如果定点F在直线l上，此时动点的轨迹为过点F且与l垂直的直线.
5.不同的方程中，焦半径公式、焦点弦公式也不相同.
【诊断自测】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( )
(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,4)，0))，准线方程是x＝－eq \f(a,4).( )
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( )
(4)抛物线的离心率一定大于椭圆的离心率.( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
解析 (1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线，而非抛物线.
(2)方程y＝ax2(a≠0)可化为x2＝eq \f(1,a)y，
是焦点在y轴上的抛物线，且其焦点坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4a)))，准线方程是y＝－eq \f(1,4a).
(3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形.
2.(选修一P138T2(2))抛物线y2＝8x上与焦点的距离等于6的点的坐标是________.
答案 (4，±4eq \r(2))
解析 设所求点为P(x0，y0)，
则yeq \\al(2,0)＝8x0且x0＋2＝6，
解得x0＝4，y0＝±4eq \r(2).
3.(选修一P133T1(3)改编)焦点到准线的距离是2的抛物线的标准方程是______________.
答案 y2＝±4x或x2＝±4y
解析 由题知p＝2，2p＝4，但焦点轴不确定，故答案为y2＝±4x或x2＝±4y.
4.(2021·新高考Ⅱ卷改编)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点到直线y＝x＋1的距离为eq \r(2)，则p＝________.
答案 2
解析 抛物线的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，
其到直线x－y＋1＝0的距离
d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)－0＋1)),\r(12＋（－1）2))＝eq \r(2)，
解得p＝2(p＝－6舍去).
考点一 抛物线的定义及应用
例1 (1)动点P到直线x－2＝0的距离比它到点M(－4，0)的距离小2，则点P的轨迹是( )
A.直线 B.椭圆
C.双曲线 D.抛物线
答案 D
解析 依题意，动点P到直线x－2＝0的距离比它到点M(－4，0)的距离小2，
所以P到直线x－4＝0的距离和它到点(－4，0)的距离相等，
所以P点的轨迹是抛物线.
(2)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，M，N是抛物线上两个不同的点.若|MF|＋|NF|＝5，则线段MN的中点到y轴的距离为( )
A.3B.eq \f(3,2)C.5D.eq \f(5,2)
答案 B
解析 由题意知抛物线的准线方程为x＝－1，
分别过点M，N作准线的垂线，垂足为M′，N′(图略)，
根据抛物线的定义得|MF|＝|MM′|，
|NF|＝|NN′|，
所以|MF|＋|NF|＝|MM′|＋|NN′|，
所以线段MN的中点到准线的距离为
eq \f(1,2)(|MF|＋|NF|)＝eq \f(5,2)，
所以线段MN的中点到y轴的距离为eq \f(5,2)－1＝eq \f(3,2).
(3)若在抛物线y2＝－4x上存在一点P，使其到焦点F的距离与到A(－2，1)的距离之和最小，则该点的坐标为________.
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，1))
解析 如图，∵y2＝－4x，∴p＝2，焦点坐标为(－1，0).
依题意可知当A，P及P到准线的垂足Q三点共线时，点P与点F、点P与点A的距离之和最小，故点P的纵坐标为1.
将y＝1代入抛物线方程求得x＝－eq \f(1,4)，
则点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，1)).
感悟提升 利用抛物线的定义可解决的常见问题
1.轨迹问题：用抛物线的定义可以确定与定点、定直线距离有关的动点轨迹是否为抛物线.
2.距离问题：灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化.“看到准线应该想到焦点，看到焦点应该想到准线”，这是解决抛物线中与距离有关的问题的有效途径.
提醒 一定要验证定点是否在定直线上.
训练1 (1)设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q.则线段FQ的垂直平分线( )
A.经过点O B.经过点P
C.平行于直线OP D.垂直于直线OP
答案 B
解析 连接PF(图略)，由题意及抛物线的定义可知|PQ|＝|FP|，则△QPF为等腰三角形，
故线段FQ的垂直平分线经过点P.故选B.
(2)(2022·全国乙卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3，0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|＝( )
A.2 B.2eq \r(2)
C.3 D.3eq \r(2)
答案 B
解析 由题意得F(1，0)，则|AF|＝|BF|＝2，
即点A到准线x＝－1的距离为2，
所以点A的横坐标为－1＋2＝1.
不妨设点A在x轴上方，将其横坐标1代入抛物线方程得A(1，2)，
所以|AB|＝eq \r(（3－1）2＋（0－2）2)＝2eq \r(2).
(3)已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为________.
答案 2
解析 由题意知抛物线的准线l：y＝－1，
过点A作AA1⊥l交l于点A1，
过点B作BB1⊥l交l于点B1，
设弦AB的中点为M，过点M作MM1⊥l交l于点M1，则|MM1|＝eq \f(|AA1|＋|BB1|,2).
∵|AB|≤|AF|＋|BF|(F为抛物线的焦点)，
即|AF|＋|BF|≥6，
∴|AA1|＋|BB1|≥6，2|MM1|≥6，|MM1|≥3，
故点M到x轴的距离d≥2，故最短距离为2.
考点二 抛物线的标准方程
例2 (1)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为( )
A.y2＝eq \f(3,2)xB.y2＝9x
C.y2＝eq \f(9,2)xD.y2＝3x
答案 D
解析 如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点E，D，
设|BF|＝a，则|BC|＝2a，
由抛物线的定义得|BD|＝a，
故∠BCD＝30°，
∴在Rt△ACE中，2|AE|＝|AC|，
∵|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，
∴3＋3a＝6，解得a＝1，
∵BD∥FG，∴eq \f(1,p)＝eq \f(2,3)，∴p＝eq \f(3,2)，
因此抛物线的方程为y2＝3x.
(2)若顶点在原点的抛物线经过点(－2，1)，(1，2)，(4，4)中的2个，则该抛物线的标准方程为________.
答案 x2＝4y或y2＝4x
解析 当抛物线的焦点在y轴上时，设抛物线的标准方程为x2＝my，若点(－2，1)在抛物线上，则m＝4，此时x2＝4y，点(4，4)在抛物线上，点(1，2)不在抛物线上，满足题意；
若点(1，2)在抛物线上，则m＝eq \f(1,2)，此时x2＝eq \f(1,2)y，点(－2，1)，(4，4)均不在抛物线上，不满足题意.
当抛物线的焦点在x轴上时，设抛物线的标准方程为y2＝nx，同理可求得当点(1，2)，(4，4)在抛物线上时满足题意，此时y2＝4x.故满足题意的抛物线的方程为x2＝4y或y2＝4x.
感悟提升 求抛物线标准方程的方法
(1)定义法：根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程.标准方程有四种形式，要注意选择.
(2)待定系数法：若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2＝ax(a≠0)，a的正负由题设来定；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay(a≠0)，这样就减少了不必要的讨论.
训练2 (1)(2024·兰州质检)在平面直角坐标系Oxy中，动点P(x，y)到直线x＝1的距离比它到定点(－2，0)的距离小1，则P的轨迹方程为( )
A.y2＝2xB.y2＝4x
C.y2＝－4xD.y2＝－8x
答案 D
解析 由题意知动点P(x，y)到直线x＝2的距离与到定点(－2，0)的距离相等，
由抛物线的定义知，P的轨迹是以(－2，0)为焦点，x＝2为准线的抛物线，
所以p＝4，轨迹方程为y2＝－8x.
(2)以坐标原点为顶点，以y轴为对称轴，并经过点P(－6，－3)的抛物线的标准方程为________.
答案 x2＝－12y
解析 由题意设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，则(－6)2＝－2p×(－3)，p＝6，
所以抛物线方程为x2＝－12y.
考点三 抛物线的几何性质
例3 (1)(2024·武汉调研)设抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P是抛物线上位于第一象限内的一点，过P作l的垂线，垂足为Q，若直线QF的倾斜角为120°，则|PF|＝( )
A.3B.6C.9D.12
答案 B
解析 抛物线y2＝6x的焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，0))，
准线l：x＝－eq \f(3,2).
设P(x0，y0)(x0>0，y0>0)，则Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，y0))，
因为QF的倾斜角为120°，
所以kQF＝eq \f(y0,－\f(3,2)－\f(3,2))＝eq \f(y0,－3)＝－eq \r(3)，
即y0＝3eq \r(3)，
所以x0＝eq \f(yeq \\al(2,0),6)＝eq \f(27,6)＝eq \f(9,2)，
所以|PF|＝x0＋eq \f(3,2)＝eq \f(9,2)＋eq \f(3,2)＝6.
(2)过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p＝________.
答案 2
解析 直线AB的方程为y＝x－eq \f(p,2)，
与抛物线方程联立消去y得x2－3px＋eq \f(1,4)p2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
根据抛物线的定义，得
|AB|＝x1＋x2＋p＝4p＝8，∴p＝2.
感悟提升 由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离，从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程.
训练3 (1)已知点F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，且eq \(AF,\s\up6(→))＝teq \(FB,\s\up6(→))(t＞1)，|AB|＝eq \f(16,3)，则t＝________.
答案 3
解析 由题意得焦点F(1，0)，设直线l为
x＝λy＋1(λ≠0)，
代入抛物线方程得y2－4λy－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由韦达定理得y1y2＝－4，①
由eq \(AF,\s\up6(→))＝teq \(FB,\s\up6(→))，即(1－x1，－y1)＝t(x2－1，y2)，
有y1＝－ty2，②
∴由①②得y2＝eq \f(2,\r(t))，y1＝－2eq \r(t)或y2＝－eq \f(2,\r(t))，
y1＝2eq \r(t)，即x1＝t，x2＝eq \f(1,t)，
∴|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(1,t)＋t＋2＝eq \f(16,3)，
化简得3t2－10t＋3＝0，∴t＝3或t＝eq \f(1,3)(舍).
(2)设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点A(0，2)，线段FA与抛物线交于点B，且eq \(FB,\s\up6(→))＝2eq \(BA,\s\up6(→))，则|BF|＝________.
答案 eq \f(8\r(3),9)
解析 过B向y轴作垂线，垂足为D，如图，则|BD|＝|BF|－eq \f(p,2)，
∵eq \(FB,\s\up6(→))＝2eq \(BA,\s\up6(→))，∴eq \f(|BD|,|OF|)＝eq \f(|AD|,|AO|)＝eq \f(|AB|,|AF|)＝eq \f(1,3)，
又|OF|＝eq \f(p,2)，|OA|＝2，
∴|BD|＝eq \f(p,6)，|AD|＝eq \f(2,3)，
∴|OD|＝eq \f(4,3)，故Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,6)，\f(4,3))).
把Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,6)，\f(4,3)))的坐标代入y2＝2px，
得eq \f(16,9)＝eq \f(p2,3)，解得p＝eq \f(4\r(3),3)(负值舍去)，
∴|BF|＝|BD|＋eq \f(p,2)＝eq \f(p,6)＋eq \f(p,2)＝eq \f(2p,3)＝eq \f(8\r(3),9).
抛物线中的二级结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1·x2＝eq \f(p2,4)，y1y2＝－p2；
(2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|＝eq \f(p,1－cs α)，|BF|＝eq \f(p,1＋cs α)，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α)(α为弦AB所在直线的倾斜角)；
(3)eq \f(1,|FA|)＋eq \f(1,|FB|)＝eq \f(2,p)；
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；
(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上；
(7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.
例 (1)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于( )
A.4B.eq \f(9,2)C.5D.6
答案 B
解析 [通法]易知直线l的斜率存在，设为k，则其方程为y＝k(x－1).
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝k（x－1），,y2＝4x，))得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
得xA·xB＝1，①
因为|AF|＝2|BF|，
由抛物线的定义得xA＋1＝2(xB＋1)，
即xA＝2xB＋1，②
由①②解得xA＝2，xB＝eq \f(1,2)，
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝eq \f(9,2).
[优解]因为|AF|＝2|BF|，
所以eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(1,2|BF|)＋eq \f(1,|BF|)
＝eq \f(3,2|BF|)＝eq \f(2,p)＝1，
解得|BF|＝eq \f(3,2)，|AF|＝3，
故|AB|＝|AF|＋|BF|＝eq \f(9,2).
(2)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过F且倾斜角为eq \f(π,3)的直线交C于A，B两点，线段AB中点的纵坐标为eq \r(3)，则|AB|＝( )
A.eq \f(8,3)B.4C.8D.24
答案 C
解析 [通法]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴kAB＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(y1－y2,\f(yeq \\al(2,1)－yeq \\al(2,2),2p))＝eq \f(2p,y1＋y2).
∵线段AB中点的纵坐标为eq \r(3)，
∴y1＋y2＝2eq \r(3)，
又直线AB的倾斜角为eq \f(π,3)，∴kAB＝eq \r(3)，
即eq \f(2p,2\r(3))＝eq \r(3)，得p＝3.
∴抛物线C的方程为y2＝6x，
则焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，0))，
直线AB的方程为y＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))，
与抛物线方程y2＝6x联立并整理，
得3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))eq \s\up12(2)＝6x，即x2－5x＋eq \f(9,4)＝0，
∴x1＋x2＝5，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝5＋3＝8.
[优解]抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦的弦长l＝eq \f(2p,sin2θ)，其中θ为焦点弦所在直线的倾斜角.
在求出p＝3后，可直接利用此二级结论得出
|AB|＝eq \f(2p,sin2θ)＝eq \f(6,sin2 \f(π,3))＝8.
(3)(2024·武汉调研)过抛物线y2＝8x焦点的直线与抛物线交于M，N两点，设抛物线的准线与x轴的交点为A，当MA⊥NA时，|MN|＝________.
答案 8
解析 [通法]由题意可知A(－2，0)，焦点坐标为(2，0).
设过抛物线焦点的直线方程为x＝ky＋2，
代入y2＝8x，消去x，得y2－8ky－16＝0.
设M(xM，yM)，N(xN，yN)，则yMyN＝－16，
所以xMxN＝eq \f(（－16）2,64)＝4.
因为MA⊥NA，
所以kMA·kNA＝eq \f(yM,xM＋2)·eq \f(yN,xN＋2)
＝eq \f(yMyN,xMxN＋2（xM＋xN）＋4)＝－1，
所以8＋2(xM＋xN)＝16，即xM＋xN＝4，
所以由抛物线的定义知|MN|＝xM＋xN＋4＝8.
[优解]由题意可知A(－2，0)，
设M(xM，yM)，N(xN，yN)，
则xMxN＝eq \f(p2,4)＝4，yMyN＝－p2＝－16.
eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(AN,\s\up6(→))＝(xM＋2，yM)(xN＋2，yN)＝0，
即(xM＋2)(xN＋2)＋yMyN＝0，
得4＋2(xM＋xN)＋4－16＝0，
∴xM＋xN＝4，|MN|＝xM＋xN＋4＝8.
训练 (1)(2024·广州联考)直线y＝x－1过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，且与C交于A，B两点，则|AB|＝( )
A.2B.4C.6D.8
答案 D
解析 焦点F(1，0)，∴p＝2，
∴|AB|＝eq \f(2p,sin2α)＝eq \f(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2))＝8(α为直线y＝x－1的倾斜角).
(2)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，过点F且斜率为eq \r(3)的直线交C于A，B(A在上方)，且|AF|＝6，则|BF|＝________.
答案 2
解析 由k＝eq \r(3)得∠AFx＝60°，
法一 利用eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,|AF|)＋\f(1,|BF|)＝\f(2,p)，,|AF|＋|BF|＝\f(2p,sin260°)＝\f(8p,3)，,|AF|>|BF|，))
解得|AF|＝2p，|BF|＝eq \f(2,3)p，
∵|AF|＝2p＝6，∴p＝3，
∴|BF|＝eq \f(2p,3)＝eq \f(2,3)×3＝2.
法二 由焦半径公式|AF|＝eq \f(p,1－cs θ)＝eq \f(p,1－cs 60°)＝2p＝6，得p＝3，
∴|BF|＝eq \f(p,1＋cs α)＝eq \f(p,1＋cs 60°)＝eq \f(2,3)p＝2.
【A级 基础巩固】
1.抛物线x2＝eq \f(1,4)y的准线方程为( )
A.y＝－eq \f(1,16)B.x＝－eq \f(1,16)
C.y＝eq \f(1,16)D.x＝eq \f(1,16)
答案 A
解析 由抛物线的标准方程可得，抛物线的焦点位于y轴正半轴上，焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,16)))，准线方程为y＝－eq \f(1,16).
2.过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于( )
A.9B.8C.7D.6
答案 B
解析 抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，
|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.
3.(2024·合肥质检)已知O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝8x的焦点，M为C上一点，若|MF|＝8，则△MOF的面积为( )
A.4eq \r(3)B.3eq \r(2)C.8D.3eq \r(3)
答案 A
解析 抛物线C：y2＝8x的准线方程为x＝－2.
设M(x0，y0)，由抛物线的定义可知，点M到焦点F(2，0)的距离等于其到准线x＝－2的距离，
所以|MF|＝x0＋2＝8，所以x0＝6.
因为点M(x0，y0)在抛物线C：y2＝8x上，
所以yeq \\al(2,0)＝8×6＝48，则|y0|＝4eq \r(3)，
所以S△MOF＝eq \f(1,2)|OF|·|y0|＝eq \f(1,2)×2×4eq \r(3)＝4eq \r(3).
4.已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，直线l与抛物线C相交于A，B两点，且与y轴相交于点P，若|PA|＝3|PB|，|AF|＝8，|BF|＝4，则p＝( )
A.1B.2C.3D.4
答案 D
解析 过点A，B分别作抛物线准线的垂线AD，BM，垂足分别为D，M，且AD，BM与y轴分别相交于E，N，
则△PAE∽△PBN，得eq \f(|PA|,|PB|)＝eq \f(|AE|,|BN|).
由抛物线的定义知|AF|＝|AD|，|BF|＝|BM|，
则eq \f(|PA|,|PB|)＝eq \f(|AE|,|BN|)＝eq \f(|AD|－\f(p,2),|BM|－\f(p,2))＝eq \f(|AF|－\f(p,2),|BF|－\f(p,2))＝eq \f(8－\f(p,2),4－\f(p,2))＝3，解得p＝4.
5.已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过x轴负半轴上的动点A作C的一条切线，切点B在第一象限，若M为线段AB的中点，则eq \(FB,\s\up6(→))·eq \(FM,\s\up6(→))的取值范围是( )
A.(1，2]B.(1，2)
C.[1，＋∞)D.(1，＋∞)
答案 D
解析 由题意可设切线AB的方程为
x＝ty＋m(t＞0，m＜0)，
则A(m，0)，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y2＝4x，,x＝ty＋m，))
得y2－4ty－4m＝0，
由Δ＝(－4t)2＋4×4m＝0，得m＝－t2，
∴A(－t2，0)，B(t2，2t)，∴M(0，t).
结合F(1，0)，得eq \(FB,\s\up6(→))＝(t2－1，2t)，eq \(FM,\s\up6(→))＝(－1，t)，
∴eq \(FB,\s\up6(→))·eq \(FM,\s\up6(→))＝－(t2－1)＋2t2＝t2＋1＞1.
6.(多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为4，直线l过点F且与抛物线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若M(m，2)是线段AB的中点，则下列结论正确的是( )
A.p＝4
B.抛物线方程为y2＝16x
C.直线l的方程为y＝2x－4
D.|AB|＝10
答案 ACD
解析 由焦点F到准线的距离为4，
根据抛物线的定义可知p＝4，故A正确；
则抛物线的方程为y2＝8x，故B错误；
则yeq \\al(2,1)＝8x1，yeq \\al(2,2)＝8x2，
若M(m，2)是线段AB的中点，则y1＋y2＝4，
∴yeq \\al(2,1)－yeq \\al(2,2)＝8x1－8x2，
即eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(8,y1＋y2)＝eq \f(8,4)＝2，
∴直线l的方程为y＝2x－4，故C正确；
又由y1＋y2＝2(x1＋x2)－8＝4，得x1＋x2＝6，
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋4＝10，故D正确.
7.(多选)(2023·新高考Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线y＝－eq \r(3)(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则( )
A.p＝2
B.|MN|＝eq \f(8,3)
C.以MN为直径的圆与l相切
D.△OMN为等腰三角形
答案 AC
解析 对于A，因为直线y＝－eq \r(3)(x－1)经过抛物线C的焦点，且直线与x轴的交点为(1，0)，
所以抛物线C的焦点坐标为(1，0)，
所以eq \f(p,2)＝1，即p＝2，所以A正确；
对于B，不妨设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x10)于点P，若|OP|＝8，则p的值为________.
答案 6
解析 由题意得直线OP的斜率存在.
设直线OP的方程为y＝kx，
因为该直线与圆C相切，
所以eq \f(|－2k|,\r(1＋k2))＝eq \r(3)，解得k2＝3.
将直线方程y＝kx与曲线方程y2＝2px(p>0)联立，得k2x2－2px＝0，
因为k2＝3，
所以3x2－2px＝0，解得x＝0或eq \f(2p,3)，
设P(x1，y1)，则x1＝eq \f(2p,3)，又O(0，0)，
所以|OP|＝eq \r(1＋k2)|x1－0|＝2×eq \f(2p,3)＝8，
解得p＝6.
10.(2024·南京、盐城模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，点P是其准线上一点，过点P作PF的垂线，交y轴于点A，线段AF交抛物线于点B.若PB平行于x轴，则AF的长度为________.
答案 3
解析 易得F(1，0)，设P(－1，t)，
则kPF＝eq \f(t－0,－1－1)＝－eq \f(t,2)，所以kPA＝eq \f(2,t)，
直线PA的方程为y－t＝eq \f(2,t)(x＋1)，
即y＝eq \f(2,t)x＋eq \f(2,t)＋t，
易得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,t)＋t))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(t2,4)，t))，A，B，F共线，
所以eq \f(\f(2,t)＋t－0,0－1)＝eq \f(t－0,\f(t2,4)－1)，得t2＝2，
所以|AF|＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,t)＋t))\s\up12(2))＝eq \r(1＋\f(4,t2)＋t2＋4)＝3.
11.分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.
(1)准线方程为2y＋4＝0；
(2)过点(3，－4)；
(3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上.
解 (1)准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，
故抛物线焦点在y轴的正半轴上，
设其方程为x2＝2py(p>0).
又eq \f(p,2)＝2，∴2p＝8，
故所求抛物线的标准方程为x2＝8y.
(2)∵点(3，－4)在第四象限，
∴抛物线开口向右或向下，
设抛物线的标准方程为
y2＝2px(p>0)或x2＝－2p1y(p1>0).
把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，
得(－4)2＝2p·3，32＝－2p1·(－4)，
则2p＝eq \f(16,3)，2p1＝eq \f(9,4).
∴所求抛物线的标准方程为
y2＝eq \f(16,3)x或x2＝－eq \f(9,4)y.
(3)令x＝0得y＝－5；
令y＝0得x＝－15.
∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15，0)，
∴所求抛物线的标准方程为
x2＝－20y或y2＝－60x.
12.已知抛物线C：x2＝my(m>0)的焦点F到其准线的距离为1.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过F的直线与抛物线C相交于A，B两点，在A，B处分别作抛物线C的切线，两条切线的交点为P，证明：AB⊥FP.
(1)解 抛物线C的焦点为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(m,4)))，准线方程为y＝－eq \f(m,4)，所以焦点F到其准线的距离为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(m,4)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(m,4)))))＝1，
因为m>0，所以m＝2.
所以抛物线C的方程为x2＝2y.
(2)证明 由题意，直线AB的斜率一定存在，
设直线AB的方程为y＝kx＋eq \f(1,2)，
代入抛物线方程x2＝2y，
整理得x2－2kx－1＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，
则x1＋x2＝2k，x1x2＝－1.
函数y＝eq \f(1,2)x2的导函数为y′＝x，
故抛物线在点A处的切线方程为
y－y1＝x1(x－x1)，
化简得y＝x1x－eq \f(xeq \\al(2,1),2)，
同理，抛物线在点B处的切线方程为
y＝x2x－eq \f(xeq \\al(2,2),2)，
联立上述两切线方程，
解得x0＝eq \f(x1＋x2,2)＝k，y0＝eq \f(x1x2,2)＝－eq \f(1,2).
因为eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)＝(x2－x1)(1，k)，eq \(FP,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0，y0－\f(1,2)))，
所以eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(FP,\s\up6(→))＝(x2－x1)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x0＋k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y0－\f(1,2)))))＝(x2－x1)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(k＋k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)－\f(1,2)))))＝0，
所以AB⊥FP.
【B级 能力提升】
13.(2024·福州调研)已知点P在抛物线y2＝8x上，点F为该抛物线的焦点，点A的坐标为(6，3)，则△PAF周长的最小值为________.
答案 13
解析 由题意可知，点A在抛物线的内部，抛物线的焦点F(2，0)，
抛物线的准线方程为x＝－2，
△PAF的周长为|PA|＋|PF|＋|AF|，
|AF|＝eq \r(（6－2）2＋（3－0）2)＝5.
如图，过点P作准线的垂线，交准线于点D，
由抛物线的定义可知，|PF|＝|PD|，
∴要使得|PA|＋|PF|最小，即使得|PA|＋|PD|最小，
则当D，P，A三点共线时，
|PA|＋|PD|取得最小值，
即(|PA|＋|PF|)min＝6＋2＝8，
∴△PAF周长的最小值为8＋5＝13.
14.已知F为抛物线T：x2＝4y的焦点，直线l：y＝kx＋2与T相交于A，B两点.
(1)若k＝1，求|FA|＋|FB|的值；
(2)点C(－3，－2)，若∠CFA＝∠CFB，求直线l的方程.
解 由已知可得F(0，1)，
设Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1，\f(xeq \\al(2,1),4)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2，\f(xeq \\al(2,2),4)))，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx＋2，,x2＝4y，))得x2－4kx－8＝0，
所以x1＋x2＝4k，①
x1x2＝－8.②
(1)|FA|＋|FB|＝eq \f(xeq \\al(2,1),4)＋1＋eq \f(xeq \\al(2,2),4)＋1
＝eq \f(（x1＋x2）2－2x1x2,4)＋2.
当k＝1时，由①②得|FA|＋|FB|＝10.
(2)由题意可知eq \(FA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1，\f(xeq \\al(2,1),4)－1))，
eq \(FB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2，\f(xeq \\al(2,2),4)－1))，eq \(FC,\s\up6(→))＝(－3，－3).
由∠CFA＝∠CFB，
得cs〈eq \(FA,\s\up6(→))，eq \(FC,\s\up6(→))〉＝cs〈eq \(FB,\s\up6(→))，eq \(FC,\s\up6(→))〉，
即eq \f(\(FA,\s\up6(→))·\(FC,\s\up6(→)),|\(FA,\s\up6(→))||\(FC,\s\up6(→))|)＝eq \f(\(FB,\s\up6(→))·\(FC,\s\up6(→)),|\(FB,\s\up6(→))||\(FC,\s\up6(→))|)，
又|FA|＝eq \f(xeq \\al(2,1),4)＋1，|FB|＝eq \f(xeq \\al(2,2),4)＋1，
所以eq \f(－3x1－3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(xeq \\al(2,1),4)－1)),3\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(xeq \\al(2,1),4)＋1)))＝eq \f(－3x2－3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(xeq \\al(2,2),4)－1)),3\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(xeq \\al(2,2),4)＋1)))，
可得4＋2(x1＋x2)－x1x2＝0，
即4＋8k＋8＝0.解得k＝－eq \f(3,2)，
所以所求直线l的方程为3x＋2y－4＝0.
图形
标准方程
y2＝2px (p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
性质
顶点
O(0，0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
离心率
e＝1
准线
方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口
方向
向右
向左
向上
向下