高考数学第一轮复习复习第5节　椭　圆（讲义）

这是一份高考数学第一轮复习复习第5节　椭　圆（讲义），共26页。
1.了解椭圆及椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
1.椭圆的定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.焦距的一半称为半焦距.
其数学表达式:集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>c>0,且a,c为常数.
(1)2a>2c的原因是三角形两边之和大于第三边;
(2)上述表达式中,若a=c,则集合P为线段.若a0)上的任意一点,F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆的左、右焦点,则|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0,其中e=ca.
6.椭圆系方程:
①与x2a2+y2b2=1共焦点的椭圆系为x2a2-k+y2b2-k=1(k0).
1.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于12,则C的方程是( D )
A.x23+y24=1B.x24+y23=1
C.x24+y22=1D.x24+y23=1
解析:由右焦点为F(1,0)可知c=1,离心率等于12,即ca=12,故a=2,
由a2=b2+c2知b2=3,
故椭圆C的方程为x24+y23=1.
2.(选择性必修第一册P109T3改编)已知椭圆C:x225+y216=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作直线交椭圆C于A,B两点,则三角形ABF2的周长为( C )
A.10B.15C.20D.25
解析:由题意椭圆的长轴长为2a=225=10,
由椭圆的定义得|AF1|+|AF2|=2a=10,
|BF1|+|BF2|=2a=10,所以△ABF2的周长是20.
3.已知椭圆4x2+ky2=4的一个焦点坐标是(0,1),则实数k的值是 .
解析:椭圆方程可化为x2+y24k=1,
由题意知4k>1,4k-1=1,
解得k=2.
答案:2
4.椭圆9x2+5y2=45的离心率为 .
解析:由9x2+5y2=45,得y29+x25=1,
则a=3,c=9-5=2,可知e=ca=23.
答案:23
5.若方程x2m+y21-m=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围为 .
解析:由题可知,1-m>m>0,
解得02+2,由椭圆的定义可得动点M的轨迹是椭圆,且2a=10,2c=4,b2=a2-c2=52-22=21.
因此椭圆的方程为x225+y221=1.
3.动圆M过定点A(-3,0),且内切于定圆B:(x-3)2+y2=100,动圆圆心M的轨迹方程为 .
解析:由圆B方程知其圆心为B(3,0),
半径r1=10.
设圆M半径为r2,则|MA|=r2,
由题意可知|MB|=r1-r2=10-r2,
即|MA|+|MB|=10,
又|AB|=6,
所以|MA|+|MB|>|AB|.
所以动圆圆心M的轨迹是以A,B为焦点且a=5,c=3的椭圆,所以b2=a2-c2=16.
所以动圆圆心M的轨迹方程为 x225+y216=1.
答案:x225+y216=1
若平面上的动点的轨迹满足椭圆的定义的形式,可直接确定动点的轨迹或求椭圆的方程.
椭圆的标准方程
1.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为(2,0),右顶点为A,O为坐标原点,过OA的中点且与x轴垂直的直线交椭圆C于M,N两点,若四边形OMAN是正方形,则C的方程为( A )
A.x23+y2=1B.x25+y23=1
C.x27+y25=1D.x29+y27=1
解析:由椭圆方程及四边形OMAN是正方形可知A(a,0),M(a2,a2).又点M在椭圆C上,则有(a2) 2a2+(a2) 2b2=1,解得a2b2=3.
因为椭圆C的右焦点为(2,0),所以c=2,结合a2-b2=c2,解得a2=3,b2=1,即椭圆C的方程为x23+y2=1.
2.(多选题)已知椭圆C中心在原点,焦点在坐标轴上,若椭圆C的离心率为32,且过点(2,1),则椭圆C的标准方程为( AC )
A.x28+y22=1B.x22+y28=1
C.x2174+y217=1D.x217+y2174=1
解析:①当椭圆C的焦点在x轴上时,设椭圆C的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),
由椭圆C的离心率为32,得a2=4b2,
所以椭圆C的方程为x24b2+y2b2=1.
因为椭圆过点(2,1),所以44b2+1b2=1,解得b2=2,a2=8.椭圆C的标准方程为x28+y22=1.
②当椭圆C的焦点在y轴上时,
设椭圆方程为y2m2+x2n2=1(m>n>0),
由椭圆C的离心率为32,得m2=4n2,所以椭圆C的方程为y24n2+x2n2=1.
因为椭圆过点(2,1),所以14n2+4n2=1,解得n2=174,m2=17.椭圆C的标准方程为x2174+y217=1.
3.已知椭圆E经过A(-2,0),B(-1,22),C(2,22),D(-3,-12)中的三个点,则椭圆的标准方程为 .
解析:根据椭圆的对称性及点B,C的纵坐标相同,横坐标的绝对值不同,可知点B,C中有且只有一个点在椭圆E上,而A,D必在椭圆上.
设椭圆E的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),将点A,D代入椭圆方程得4m=1,3m+n4=1,
解得m=14,n=1.
此时椭圆方程为x24+y2=1,C在其上, B不在其上.
答案:x24+y2=1
(1)求椭圆标准方程的主要方法是待定系数法,求解时首先由题目条件确定方程的类型(焦点的位置),再由条件确定方程的参数.
(2)若椭圆焦点位置不确定时,一般可设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),不必考虑焦点位置,用待定系数法求出m,n的值即可.
椭圆的几何性质
椭圆几何性质的理解
[例1] (2022·广东韶关高三测试)在椭圆C1:x24+y23=1与椭圆C2:x24-m+y23-m=1中,下列结论正确的是( )
A.长轴长相等B.短轴长相等
C.焦距相等D.离心率相等
解析:椭圆C1:x24+y23=1长轴长为4,短轴长为23,焦距为2,离心率为12,椭圆C2:x24-m+y23-m=1长轴长为24-m,短轴长为23-m,焦距为2,离心率为14-m,所以焦距相等.故选C.
根据椭圆方程研究椭圆的几何性质,主要是根据方程确定参数的几何意义,结合有关量的特征求解.
椭圆的离心率
[例2] (1)椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两焦点为F1,F2,若椭圆C上存在点P使△PF1F2为等腰直角三角形,则椭圆C的离心率为( )
A.22B.2-1
C.22或2-1D.22或5-12
(2)椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若椭圆上存在点P使得|PF1|=2|PF2|,则椭圆的离心率取值范围是( )
A.[13,1)B.(13,1)
C.[23,1)D.(23,1)
解析:(1)当PF1⊥PF2时,△PF1F2为等腰直角三角形,则点P为椭圆的上或下顶点,且满足b=c,此时e=ca=cb2+c2=22.
当PF2⊥F1F2或者PF1⊥F1F2时,此时P(±c,±b2a) ,根据△PF1F2为等腰直角三角形可知b2a=2c ,故a2-c2-2ac=0⇒e2+2e-1=0 ,
因为01时,有a2-1a2=(22)2,
解得a=2;
当a2b>0),F(-3,0)为其左焦点,过点F且垂直于x轴的直线与椭圆C的一个交点为A,若tan∠AOF=32(O为坐标原点),则椭圆C的长轴长等于 .
解析:因为椭圆C的左焦点为F(-3,0),
所以c=3,又AF垂直于x轴,A在椭圆C上,
故可设A(-c,y1),
所以(-c)2a2+y12b2=1,又a2=b2+c2,所以|y1|=b2a,又tan∠AOF=32,
所以b23a=32,a2=b2+3,解得a=23,b=3,从而2a=43.
答案:43
8.(2022·山东烟台高三期末)写出一个满足以下三个条件的椭圆的方程: .
①中心为坐标原点;②焦点在坐标轴上;③离心率为13.
解析:只要椭圆方程形如x29m+y28m=1(m>0)或y29m+x28m=1(m>0)即可.
答案:x29+y28=1(答案不唯一)
9.(2019·全国Ⅱ卷)已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点,
P为C上的点,O为坐标原点.
(1)若△POF2为等边三角形,求C的离心率;
(2)如果存在点P,使得PF1⊥PF2,且△F1PF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围.
解:(1)连接PF1(图略),由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中,
∠F1PF2=90°,|PF2|=c,
|PF1|=3c,
于是2a=|PF1|+|PF2|=(3+1)c,
故C的离心率为e=ca=3-1.
(2)由题意可知,满足条件的点P(x,y)存在,
当且仅当 12|y|·2c=16,yx+c·yx-c=-1,
x2a2+y2b2=1,
即c|y|=16,①
x2+y2=c2,②
x2a2+y2b2=1,③
由②③及a2=b2+c2得y2=b4c2,
又由①知y2=162c2,故b=4;
由②③及a2=b2+c2得x2=a2c2(c2-b2),
所以c2≥b2,从而a2=b2+c2≥2b2=32,故a≥42.当b=4,a≥42时,存在满足条件的点P.
故b=4,a的取值范围为[42,+∞).
10.若椭圆C:x2m+y29=1(m>9)比椭圆D:x26+y23=1更扁,则C的长轴长的取值范围是( C )
A.(6,62) B.(18,36)
C.(62,+∞) D.(36,+∞)
解析:椭圆C的离心率e1=m-9m,椭圆D的离心率e2=6-36=22,因为椭圆C比椭圆D更扁,所以e1>e2,即m-9m>22,
解得m>18,则2m>62,
所以椭圆C的长轴长的取值范围是(62,+∞).
11.(2022·黑龙江齐齐哈尔三模)椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆C上一点,且PF2垂直于x轴,若|F1F2|,|PF2|,
|PF1|成公差为2的等差数列,则椭圆C的方程为( D )
A.x225+y216=1 B.x225+y29=1
C.x281+y29=1 D.x281+y272=1
解析:由题意知,|F1F2|=2c,|PF2|=2c+2,
|PF1|=2c+4,又PF2垂直于x轴,
所以(2c)2+(2c+2)2=(2c+4)2,解得c=3.
又由椭圆定义可得2a=2c+2+2c+4=18,
即a=9,所以b2=a2-c2=81-9=72,
所以椭圆方程为x281+y272=1.
12.(2022·重庆二模)如图,神舟十二号的飞行轨道是以地球球心为左焦点的椭圆(图中虚线),我们把飞行轨道上的点与地球表面上的点的最近距离叫近地距离,最远距离叫远地距离.设地球半径为R,若神舟十二号飞行轨道的近地距离是R30,远地距离是R15,则神舟十二号的飞行轨道的离心率为( D )
A.1063 B.263 C.160 D.163
解析:如图所示,
以运行轨道长轴所在直线为x轴,地心F为左焦点建立平面直角坐标系,
设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),其中a2=b2+c2,
根据题意有a-c=R+130R=3130R, a+c=R+115R=1615R,
所以2a=6330R, 2c=130R,所以椭圆的离心率e=ca=2c2a=163.
13.(多选题)(2022·山东青岛一模)已知椭圆C:x24+y23=1的左、右焦点分别是F1,F2,M(43,y0)为椭圆C上一点,则下列结论正确的是( ABC )
A.△MF1F2的周长为6
B.△MF1F2的面积为153
C.△MF1F2的内切圆的半径为159
D.△MF1F2的外接圆的直径为3211
解析:由椭圆C:x24+y23=1知a=2,b=3,c=1,
由椭圆的定义知|MF1|+|MF2|=2a=4,|F1F2|=2c=2,
所以△MF1F2的周长为|MF1|+|MF2|+|F1F2|=4+2=6,A正确;
将M(43,y0)代入椭圆方程得,(43) 24+y023=1,
解得y0=±153,
所以△MF1F2的面积为S=12|F1F2|·|y0|=153,B正确;
设△MF1F2的内切圆的半径为r,则S=12(|MF1|+|MF2|+|F1F2|)·r,
即153=12×6·r,所以r=159,C正确;
不妨取M(43,153),则|MF1|=83,|MF2|=43,
所以△MF1F2的面积为S=12|MF1|·|MF2|sin∠F1MF2,
即153=12×83×43·sin∠F1MF2,所以sin∠F1MF2=31516,
由正弦定理知△MF1F2的外接圆的直径为|F1F2|sin∠F1MF2=231516=321545,D错误.
14.(2022·江西上饶模拟)已知椭圆x29+y25=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,设线段PF1的中点为M,且|OF2|=|OM|,则△PF1F2的面积为 .
解析:由题意可得a=3,b=5,c=9-5=2.
因为O,M分别是F1F2和F1P的中点,
所以|PF2|=2|OM|=2|OF2|=2c=4,
根据椭圆定义,可得|PF1|=2a-2c=2,
又因为|F1F2|=2c=4,
所以cs∠PF2F1=|PF2|2+|F1F2|2-|PF1|22|PF2|·|F1F2|=16+16-42×4×4=78,
所以sin∠PF2F1=1-cs2∠PF2F1=158.
故△PF1F2的面积是12|PF2|·|F1F2|·sin∠PF2F1=15.
答案:15
15.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,长轴A1A2,短轴B1B2,椭圆上的动点M满足|MF1||MF2|=2,若△MA1A2面积的最大值为82,△MB1B2面积的最小值为2,则该椭圆的离心率为( C )
A.63 B.33 C.22 D.32
解析:由题意知F1(-c,0),F2(c,0),|A1A2|=2a,|B1B2|=2b,
设M(x,y),则(|MF1||MF2|)2=(x+c)2+y2(x-c)2+y2=4,
整理可得(x-5c3)2+y2=16c29,即点M轨迹是以(5c3,0)为圆心,4c3为半径的圆,
所以|yM|max=4c3,|xM|min=5c3-4c3=c3,
所以(S△MA1A2)max=12·2a·4c3=4ac3=82,(S△MB1B2)min=12·2b·c3=bc3=2,
即ac=62,bc=6,所以ba=bcac=662=22,所以离心率e=1-ba2=1-12=22.焦点的
位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准
方程
x2a2+y2b2=1(a>b>0)
y2a2+x2b2=1(a>b>0)
性
质
范围
-a≤x≤a,且-b≤y≤b
-b≤x≤b,且-a≤y≤a
顶点
A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)
A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)
轴长
长轴长=2a,短轴长=2b
焦点
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c),F2(0,c)
离心
率
e=ca,且e∈(0,1)
a,b,c
的关系
a2=b2+c2
方法
解读
适合题型
几何法
利用椭圆的几何性质,设P(x0,y0)为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点,则|x0|≤a,a-c≤|PF1|≤a+c等,建立不等关系,或者根据几何图形的临界情况建立不等关系
题设条件有明显的几何关系
直接法
根据题目中给出的条件或根据已知条件得出不等关系,直接转化为含有a,b,c的不等关系式
题设条件直接有不等关系
知识点、方法
题号
椭圆的定义、标准方程
1,2,11
椭圆的几何性质
4,5,6,7,8,10,12
椭圆的综合问题
3,9,13,14,15