新高考数学一轮复习基础版讲义第8章第6节　双曲线（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习基础版讲义第8章第6节　双曲线（2份，原卷版+解析版），共6页。试卷主要包含了双曲线的标准方程和几何性质，焦点三角形的面积等内容，欢迎下载使用。

【知识梳理】
1.双曲线的定义
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
(2)其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
①若ac，则集合P为空集.
2.双曲线的标准方程和几何性质
[常用结论与微点提醒]
1.离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\f(b2,a2))，e越大，双曲线的“张口”越大.
2.双曲线的焦点到渐近线的距离为b，顶点到渐近线的距离为eq \f(ab,c).
3.同支的焦点弦中最短的为通径，其长为eq \f(2b2,a)；异支的焦点弦中最短的为实轴，其长为2a.
4.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝c＋a，|PF2|min＝c－a.
5.焦点三角形的面积：P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为eq \f(b2,tan \f(θ,2)).
6.若渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，则双曲线方程可设为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0).
7.等轴双曲线⇔e＝eq \r(2)⇔渐近线为y＝±x⇔方程x2－y2＝λ(λ≠0).
【诊断自测】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( )
(2)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.( )
(3)方程eq \f(x2,m)－eq \f(y2,n)＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.( )
(4)双曲线eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是eq \f(x,m)±eq \f(y,n)＝0.( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
解析 (1)||MF1|－|MF2||＝8＝|F1F2|，表示的轨迹为两条射线.
(2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部.
(3)当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线，而m＜0，n＜0时则表示焦点在y轴上的双曲线.
2.(选修一P127T1)双曲线4x2－y2＋64＝0上一点P与它的一个焦点的距离等于1，那么点P与另一个焦点的距离等于________.
答案 17
解析 4x2－y2＋64＝0可化为eq \f(y2,64)－eq \f(x2,16)＝1，
所以a＝8，b＝4，c＝eq \r(64＋16)＝4eq \r(5).
不妨设|PF1|＝1，则|PF2|－|PF1|＝2a＝16，得|PF2|＝17.
3.(选修一P121T1改编)经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为____________.
答案 eq \f(x2,8)－eq \f(y2,8)＝1
解析 设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，
把点A(3，－1)代入，得9－1＝λ，λ＝8，
故所求双曲线方程为eq \f(x2,8)－eq \f(y2,8)＝1.
4.(2020·北京卷)已知双曲线C：eq \f(x2,6)－eq \f(y2,3)＝1，则C的右焦点的坐标为__________；C的焦点到其渐近线的距离是__________.
答案 (3，0) eq \r(3)
解析 由eq \f(x2,6)－eq \f(y2,3)＝1，
得c2＝a2＋b2＝9，
解得c＝3，又焦点在x轴上，
所以双曲线C的右焦点坐标为(3，0).
双曲线的一条渐近线方程为y＝eq \f(\r(3),\r(6))x，
即x－eq \r(2)y＝0，
所以焦点(3，0)到渐近线的距离为
d＝eq \f(3,\r(12＋（－\r(2)）2))＝eq \r(3).
考点一 双曲线的定义及应用
例1 (1)已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是( )
A.椭圆B.双曲线
C.抛物线D.圆
答案 B
解析 如图，连接ON，
由题意可得|ON|＝1，且N为MF1的中点，
又O为F1F2的中点，
所以|MF2|＝2.
因为点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，
由垂直平分线的性质可得|PM|＝|PF1|，
所以||PF2|－|PF1||＝||PF2|－|PM||
＝|MF2|＝2＜|F1F2|，
所以由双曲线的定义可得，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线.
(2)(2024·济南模拟)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq \r(2)，F1，F2分别为C的左、右焦点，过F1的直线与C的左支交于A，B两点，若|AB|的最小值为4，则△ABF2周长的最小值为( )
A.8B.12C.16D.24
答案 C
解析 因为双曲线的离心率为eq \r(2)，
所以e2＝1＋eq \f(b2,a2)＝2，得a＝b.
当弦AB与实轴垂直时，|AB|的值最小，
所以eq \f(2b2,a)＝4，所以a＝b＝2.
由双曲线的定义得|AF2|－|AF1|＝2a，
|BF2|－|BF1|＝2a，
所以|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋4a
＝|AB|＋4a，
所以△ABF2的周长为2|AB|＋4a，
因为a＝2，|AB|的最小值为4，
所以△ABF2周长的最小值为2×4＋4×2＝16.
感悟提升 1.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系.
2.与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解.
3.如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解.
训练1 (1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A.x2－eq \f(y2,8)＝1B.eq \f(x2,8)－y2＝1
C.x2－eq \f(y2,8)＝1(x≤－1)D.x2－eq \f(y2,8)＝1(x≥1)
答案 C
解析 设动圆M的半径为r，
由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，
得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r，
|MC2|－|MC1|＝20).
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(9m－28n＝1，,72m－49n＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝－\f(1,75)，,n＝－\f(1,25).))
∴双曲线的标准方程为eq \f(y2,25)－eq \f(x2,75)＝1.
(3)(2024·南通质检)若双曲线经过点(1，eq \r(3))，其渐近线方程为y＝±2x，则双曲线的方程是________________.
答案 4x2－y2＝1
解析 法一 由题意可知，①若双曲线的焦点在x轴上，
则可设eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
则eq \f(1,a2)－eq \f(3,b2)＝1且eq \f(b,a)＝2，
联立解得a＝eq \f(1,2)，b＝1，
则双曲线的方程为4x2－y2＝1；
②若双曲线的焦点在y轴上，
则可设eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，
则eq \f(3,a2)－eq \f(1,b2)＝1，且eq \f(a,b)＝2，此时无解，
综上，双曲线的方程为4x2－y2＝1.
法二 由题可设双曲线方程为4x2－y2＝λ(λ≠0)，
∵双曲线经过点(1，eq \r(3))，
∴λ＝4×12－(eq \r(3))2＝1，
∴双曲线方程为4x2－y2＝1.
感悟提升 1.用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn>0)，再根据条件求解.
2.与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)有相同渐近线时可设所求双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0).
训练2 (1)(2023·天津卷)双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.过F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P.已知|PF2|＝2，直线PF1的斜率为eq \f(\r(2),4)，则双曲线的方程为( )
A.eq \f(x2,8)－eq \f(y2,4)＝1B.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,8)＝1
C.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1D.eq \f(x2,2)－eq \f(y2,4)＝1
答案 D
解析 不妨取渐近线y＝eq \f(b,a)x，此时直线PF2的方程为y＝－eq \f(a,b)(x－c)，与y＝eq \f(b,a)x联立并解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(a2,c)，,y＝\f(ab,c)，))即Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,c)，\f(ab,c))).
因为直线PF2与渐近线y＝eq \f(b,a)x垂直，
所以PF2的长度即为点F2(c，0)到直线y＝eq \f(b,a)x(即bx－ay＝0)的距离，
由点到直线的距离公式得|PF2|＝eq \f(bc,\r(a2＋b2))＝eq \f(bc,c)＝b，所以b＝2.
因为F1(－c，0)，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,c)，\f(ab,c)))，且直线PF1的斜率为eq \f(\r(2),4)，
所以eq \f(\f(ab,c),\f(a2,c)＋c)＝eq \f(\r(2),4)，化简得eq \f(ab,a2＋c2)＝eq \f(\r(2),4)，
又b＝2，c2＝a2＋b2，
所以eq \f(2a,2a2＋4)＝eq \f(\r(2),4)，整理得a2－2eq \r(2)a＋2＝0，
即(a－eq \r(2))2＝0，解得a＝eq \r(2).
所以双曲线的方程为eq \f(x2,2)－eq \f(y2,4)＝1.
(2)过双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的标准方程为________________.
答案 eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1
解析 因为渐近线y＝eq \f(b,a)x与直线x＝a交于点A(a，b)，c＝4且
eq \r(（4－a）2＋b2)＝4，
解得a2＝4，b2＝12，
因此双曲线的标准方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1.
考点三 双曲线的几何性质
角度1 渐近线
例3 设双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点.若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为( )
A.±eq \f(1,2) B.±eq \f(\r(2),2)
C.±1 D.±eq \r(2)
答案 C
解析 由题设易知A1(－a，0)，A2(a，0)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(b2,a)))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，－\f(b2,a))).
∵A1B⊥A2C，∴eq \f(\f(b2,a),c＋a)·eq \f(－\f(b2,a),c－a)＝－1，
整理得a＝b.∵渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，
即y＝±x，∴渐近线的斜率为±1.
角度2 离心率
例4 (2024·郑州调研)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，A，B分别为双曲线的左、右顶点，以AB为直径的圆与双曲线C的两条渐近线在第一、二象限分别交于P，Q两点，若OQ∥PF，则该双曲线的离心率为________.
答案 eq \r(2)
解析 如图所示，
∵OQ∥PF，
∴∠AOQ＝∠OFP.
又∵双曲线的渐近线关于y轴对称，
∴∠FOP＝∠AOQ，则∠OFP＝∠FOP，
∴△OPF为等腰三角形，
作PM⊥OF，垂足为M，
过点B作BD⊥x轴，交渐近线第一象限部分于点D，
则Rt△OMP∽Rt△OBD，|OB|＝a，|BD|＝b，
|OM|＝eq \f(1,2)|OF|＝eq \f(1,2)c，|OP|＝a，
|PM|＝eq \r(|OP|2－|OM|2)＝eq \r(a2－\f(c2,4))，
由相似三角形的性质可得eq \f(|BD|,|OB|)＝eq \f(|MP|,|OM|)，
∴eq \f(b,a)＝eq \r(\f(c2－a2,a2))＝eq \f(\r(a2－\f(c2,4)),\f(c,2))，
整理可得c4＝4a4，
∴离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(2).
感悟提升 1.渐近线的求法：求双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝0，即得两渐近线方程eq \f(x,a)±eq \f(y,b)＝0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＝±\f(b,a)x)).
2.求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝eq \f(c,a)转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围).
训练3 (1)(多选)(2024·长沙质检)已知双曲线的方程为eq \f(y2,64)－eq \f(x2,16)＝1，则( )
A.渐近线方程为y＝±eq \f(1,2)x
B.焦距为8eq \r(5)
C.离心率为eq \f(\r(5),2)
D.焦点到渐近线的距离为8
答案 BC
解析 由题意，易知双曲线的实半轴长a＝8，虚半轴长b＝4，半焦距c＝eq \r(64＋16)＝4eq \r(5)，且焦点在y轴上，
则渐近线方程为y＝±eq \f(a,b)x＝±2x，A错误；
焦距为2c＝8eq \r(5)，B正确；
离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5),2)，C正确；
焦点到渐近线的距离为4，D错误.
(2)(2024·岳阳调研)若双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)与直线y＝eq \r(3)x有交点，则其离心率的取值范围是( )
A.(2，＋∞) B.(1，2]
C.(1，2) D.[2，＋∞)
答案 A
解析 由题意可知，双曲线的焦点在x轴，一条渐近线方程为y＝eq \f(b,a)x，
这条渐近线的斜率应大于直线y＝eq \r(3)x的斜率，
即eq \f(b,a)＞eq \r(3)，则e＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))\s\up12(2))＞2.
(3)(2022·北京卷)已知双曲线y2＋eq \f(x2,m)＝1的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(3),3)x，则m＝________.
答案 －3
解析 法一 依题意得m0)上任意一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，则|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0；
(2)若P(x0，y0)为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，①当点P在双曲线的左支上时，|PF1|＝－ex0－a，|PF2|＝－ex0＋a；②当点P在双曲线的右支上时，|PF1|＝ex0＋a，|PF2|＝ex0－a(左加右减).
2.焦半径的数量关系式
直线l过焦点F与椭圆相交于A，B两点，则eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2a,b2)，同理，双曲线中，eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2a,b2).
3.几个最值问题
(1)椭圆的焦半径最大为a＋c，最小为a－c(长轴两端点取到).
(2)双曲线的焦半径同侧最小为c－a，异侧最小为c＋a(实轴两端点取到).
(3)椭圆、双曲线中最短焦点弦为通径长为eq \f(2b2,a).
(4)在椭圆中，P为短轴端点时，∠F1PF2最大；P为短轴端点时，∠A1PA2最大.
4.(1)椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝acs θ，,y＝bsin θ；))
(2)双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a，b>0)的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(a,cs θ)＝asec θ；,y＝btan θ.))
例 (1)椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F，直线x＝eq \f(a2,c)与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
C.[eq \r(2)，－1，1)D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
答案 D
解析 [通法]由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等，
而|FA|＝eq \f(a2,c)－c＝eq \f(b2,c)＝|PF|∈[a－c，a＋c]，
于是eq \f(b2,c)∈[a－c，a＋c]，
即ac－c2≤b2≤ac＋c2，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ac－c2≤a2－c2，,a2－c2≤ac＋c2，))eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)≤1，,\f(c,a)≤－1或\f(c,a)≥\f(1,2)，))
又e∈(0，1)，故e∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)).
[优解](焦半径公式)设P点(x0，y0)，
则有|PF|＝|FA|，即a－ex0＝eq \f(a2,c)－c，
解得x0＝eq \f(a2,c)＋a－eq \f(a3,c2)，
又因为x0∈[－a，a]，
所以有－a≤eq \f(a2,c)＋a－eq \f(a3,c2)≤a，
两边同时除以a，可以解得eq \f(1,2)≤e0)的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上，当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|.
(1)求C的离心率；
(2)若B在第一象限，证明：∠BFA＝2∠BAF.
(1)解 设双曲线的离心率为e，焦距为2c，
在eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1中，令x＝c，则eq \f(c2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，
则eq \f(y2,b2)＝eq \f(c2,a2)－1＝eq \f(b2,a2)，故y＝±eq \f(b2,a)，
若|AF|＝|BF|，则a＋c＝eq \f(b2,a)，
所以a2＋ac＝b2＝c2－a2，
所以e2－e－2＝0，所以离心率e＝2.
(2)证明 由(1)知双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,3a2)＝1，
设B(x，y)(x>0，y>0)，
当x≠c时，kAB＝eq \f(y,x＋a)，kBF＝eq \f(y,x－c)，
设∠BAF＝θ，则tan θ＝eq \f(y,x＋a)，
tan 2θ＝eq \f(2tan θ,1－tan2θ)＝eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,x＋a))),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,x＋a)))\s\up12(2))
＝eq \f(2（x＋a）y,（x＋a）2－y2)＝eq \f(2（x＋a）y,（x＋a）2－3a2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x2,a2)－1)))
＝eq \f(2（x＋a）y,－2x2＋2ax＋4a2)＝eq \f(y,2a－x)＝eq \f(y,c－x)
＝－kBF＝tan∠BFA，
因为0≤2∠BAF≤π，0≤∠BFA≤π，
所以∠BFA＝2∠BAF.
当x＝c时，由题意知∠BFA＝eq \f(π,2)，∠BAF＝eq \f(π,4)，满足∠BFA＝2∠BAF.
综上，∠BFA＝2∠BAF.
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
离心率
e＝eq \f(c,a)，e∈(1，＋∞)
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2