新高考数学一轮复习基础版讲义第8章第4节　直线与圆、圆与圆的位置关系（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习基础版讲义第8章第4节　直线与圆、圆与圆的位置关系（2份，原卷版+解析版），共6页。试卷主要包含了圆与圆的位置关系，直线被圆截得的弦长的求法，已知直线l，圆M，已知圆C，过点P)作圆O等内容，欢迎下载使用。

【知识梳理】
1.直线与圆的位置关系
设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d.由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（x－a）2＋（y－b）2＝r2，,Ax＋By＋C＝0，))消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.
2.圆与圆的位置关系
已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝req \\al(2,1)，
C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝req \\al(2,2)，
则圆心距d＝|C1C2|＝eq \r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2).
则两圆C1，C2有以下位置关系：
3.直线被圆截得的弦长的求法
(1)几何法：运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2eq \r(r2－d2).
(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)相交于点M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，求出xM＋xN和xM·xN，则|MN|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(（xM＋xN）2－4xM·xN).
[常用结论与微点提醒]
1.圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在的直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2.设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，
圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，
(1)若两圆相交，两式相减，得(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0，该方程表示圆C1与C2的公共弦所在的直线方程.
(2)若两圆相切，两式相减，得(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0，该方程表示圆C1与C2的公共切线所在的直线方程.
【诊断自测】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件.( )
(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.( )
(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.( )
(4)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆，且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.( )
2.(多选)过点P(2，1)作圆O：x2＋y2＝1的切线l，则切线l的方程为( )
A.x＝2B.y＝1
C.4x－3y－5＝0D.4x－3y＋5＝0
3.(选修一P96例5改编)圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________.
4.(2024·武汉质检)若圆x2＋y2＋6x＝0与圆x2＋y2－2my＋m2－16＝0外离，则实数m的取值范围是________.
考点一 直线与圆的位置关系
例1 (1)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是( )
A.相交B.相切C.相离D.不确定
(2)(2024·深圳质检)已知直线l：xcs α＋ysin α＝1(α∈R)与圆C：x2＋y2＝r2(r＞0)相离，则r的取值范围是( )
A.0＜r≤1B.0＜r＜1
C.r≥1D.r＞1
感悟提升 判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系.
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.
训练1 (1)(多选)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0，则以下几个说法正确的有( )
A.直线l恒过定点(3，1)
B.直线l与圆C相切
C.直线l与圆C恒相交
D.直线l与圆C相离
(2)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1上，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( )
A.相切B.相交
C.相离D.不确定
考点二 圆的弦长、切线问题
角度1 弦长问题
例2 (1)已知直线x－eq \r(3)y＋8＝0和圆x2＋y2＝r2(r＞0)相交于A，B两点.若|AB|＝6，则r的值为__________.
(2)(2023·新高考Ⅱ卷)已知直线x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为eq \f(8,5)”的m的一个值________.
角度2 切线问题
例3 (1)(2023·新高考Ⅰ卷)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝( )
A.1B.eq \f(\r(15),4)C.eq \f(\r(10),4)D.eq \f(\r(6),4)
(2)已知直线l：x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－6x－2y＋1＝0的对称轴，过点
A(－1，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|等于________.
角度3 最值(范围)问题
例4 (1)(2024·杭州质检)若直线y＝kx＋1与圆C：(x－2)2＋y2＝9相交于A，B两点，则|AB|的取值范围为( )
A.[2，6]B.[4，6]C.[3，7]D.[4，8]
(2)过直线x－y－m＝0上一点P作圆M：(x－2)2＋(y－3)2＝1的两条切线，切点分别为A，B，若使得四边形PAMB的面积为eq \r(7)的点P有两个，则实数m的取值范围为( )
A.(－5，3)
B.(－3，5)
C.(－∞，－5)∪(3，＋∞)
D.(－∞，－3)∪(5，＋∞)
训练2 (1)(2021·北京卷)已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：y＝kx＋m，当k变化时，l截得圆C弦长的最小值为2，则m＝( )
A.±2B.±eq \r(2)C.±eq \r(3)D.±3
(2)(2024·河南名校联考)已知⊙C：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：x＋2y＋2＝0，M为直线l上的动点，过点M作⊙C的切线MA，MB，切点为A，B，当四边形MACB的面积取最小值时，直线AB的方程为____________.
考点三 圆与圆的位置关系
例5 已知两圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.
(1)求证：圆C1和圆C2相交；
(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长.
训练3 (1)(2024·长沙联考)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________.
(2)(2024·石家庄质检)“a≥eq \f(\r(2),2)”是“圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：(x－a)2＋(y＋a)2＝1有公切线”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
直线系与圆系方程
1.直线系方程
(1)过点(x0，y0)的直线系方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＝0(其中A，B不全为零)；
(2)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程Ax＋By＋C0＝0(C≠C0)；
(3)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程Bx－Ay＋C0＝0；
(4)过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋By2＋C2)＝0.
(这个直线系不包括直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，解题时注意检验l2是否满足题意)
2.圆系方程
(1)以(a，b)为圆心的同心圆圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝λ(λ>0)；
(2)与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0同心圆的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋λ＝0；
(3)过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
(4)过两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0.
(λ≠－1，此圆系不含C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0)
特别地，当λ＝－1时，上述方程为一次方程，两圆相交时，表示公共弦所在直线方程；两圆相切时，表示公切线所在直线方程.
一、直线系方程
例1 (1)过点A(1，－4)且与直线2x＋3y＋5＝0平行的直线方程为_____________.
(2)经过点A(2，1)且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程为________________.
(3)已知两条直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点为P，过点P且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为________________.
二、圆系方程
例2 已知点M(2，－2)，圆O：x2＋y2＝3(O为坐标原点).
(1)求经过M，以及圆O与圆x2＋y2＋3x＝0交点的圆的方程；
(2)过点M向圆O引两条切线，切点分别为A，B，求直线AB的方程.
训练 (1)过点P(－1，4)，与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1相切的切线方程为____________.
(2)经过直线2x－y＋3＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的两个交点，且面积最小的圆的方程是________________.
(3)直线l1：x＋y－4＝0与l2：x－y＋2＝0的交点为P，直线l：2x－y－1＝0.
求：①过点P且与直线l平行的直线方程；
②过点P且与直线l垂直的直线方程.
【A级 基础巩固】
1.已知直线l：x＋y－2＝0与圆C：x2＋y2＝2，点A(1，1)，则下列说法正确的是( )
A.点A在圆C上，直线l与圆C相切
B.点A在圆C内，直线l与圆C相离
C.点A在圆C外，直线l与圆C相切
D.点A在圆C上，直线l与圆C相交
2.已知圆O1：(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆O2：(x＋2)2＋(y＋1)2＝16，则这两个圆的位置关系为( )
A.外离B.外切C.相交D.内含
3.已知圆x2＋y2＝4截直线y＝k(x－2)所得弦的长度为2，那么实数k的值为( )
A.±eq \f(\r(3),3)B.eq \f(\r(3),3)C.eq \r(3)D.±eq \r(3)
4.圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为eq \r(2)的点共有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
5.(2024·嘉兴调研)已知直线l：x＋2y－1＝0及圆C：(x＋1)2＋(y＋2)2＝4，过直线l上任意一点P作圆C的一条切线PA，A为切点，则|PA|的最小值是( )
A.eq \f(4\r(5),5)B.eq \f(2\r(5),5)C.eq \f(4\r(70),5)D.eq \f(2\r(70),5)
6.(多选)(2024·武汉调研)圆M：(x－k2)2＋(y－2k)2＝3与圆N：(x－1)2＋y2＝1交于A，B两点，若|AB|＝eq \r(3)，则实数k的可能取值有( )
A.2B.1C.0D.－1
7.(多选)(2024·南京调研)已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，则下列说法正确的是( )
A.若圆C与两坐标轴均相切，则a＝b
B.若a＝b，则圆C不可能过点(0，2)
C.若点(3，4)在圆C上，则圆心C到原点O的距离的最小值为4
D.若圆C上有两点到原点的距离为1，则0