新高考数学一轮复习基础版讲义第8章第2节　两直线的位置关系（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习基础版讲义第8章第2节　两直线的位置关系（2份，原卷版+解析版），共6页。试卷主要包含了直线的交点与方程组解的关系，距离公式，对称问题，已知直线l1，已知两直线l1等内容，欢迎下载使用。

【知识梳理】
1.两条直线的位置关系
直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一直线，l2与l4是同一直线，l3的法向量v1＝(A1，B1)，l4的法向量v2＝(A2，B2)的位置关系如下表：
2.直线的交点与方程组解的关系
(1)两直线的交点
点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标是方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标.
(2)两直线的位置关系与方程组解的关系
3.距离公式
(1)两点间的距离公式
平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).
特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝eq \r(x2＋y2).
(2)点到直线的距离公式
平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).
(3)两条平行线间的距离公式
一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).
4.对称问题
(1)点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P′(2a－x0，2b－y0).
(2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)，
则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(y′－y0,x′－x0)·k＝－1，,\f(y′＋y0,2)＝k·\f(x′＋x0,2)＋b，))可求出x′，y′.
[常用结论与微点提醒]
1.五种常用对称关系
(1)点(x，y)关于原点(0，0)的对称点为(－x，－y).
(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y).
(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x).
(4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y).
(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y).
2.应用点到直线的距离公式与两平行直线间的距离公式中的直线的方程必须是一般式.特别地，在两平行线的距离公式中，两直线方程的一般式中x，y的系数必须对应相等.
【诊断自测】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.( )
(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( )
(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.( )
(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( )
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
解析 (1)两直线l1，l2有可能重合.
(2)当l1⊥l2时，若l1的斜率k1＝0，则l2的斜率不存在，不满足题意.
2.(选修一P102T1(3))与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线的方程为( )
A.3x＋4y－5＝0B.3x＋4y＋5＝0
C.3x－4y＋5＝0D.3x－4y－5＝0
答案 B
解析 设所求对称直线的点的坐标(x，y)，关于x轴的对称点的坐标(x，－y)在已知的直线上，
所以所求对称直线方程为3x＋4y＋5＝0.
3.(选修一P77T3改编)已知点P(－1，2)到直线l：4x－3y＋C＝0的距离为1，则C＝______.
答案 5或15
解析 利用点P(－1，2)到直线l：4x－3y＋C＝0的距离为1，
得eq \f(|4×（－1）－3×2＋C|,\r(42＋（－3）2))＝1，
解得C＝5或15.
4.已知直线(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0与(5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0垂直，则a的值为________.
答案 0或1
解析 ∵两直线垂直，
∴(3a＋2)(5a－2)＋(1－4a)(a＋4)＝0，
可得11a2－11a＝0，解得a＝0或1.
考点一 两直线的平行与垂直
例1 已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.
(1)试判断l1与l2是否平行；
(2)当l1⊥l2时，求a的值.
解 (1)法一 由A1B2－A2B1＝0，
得a(a－1)－1×2＝0，
由A1C2－A2C1≠0，得a(a2－1)－1×6≠0，
所以l1∥l2⇔eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a（a－1）－1×2＝0，,a（a2－1）－1×6≠0))
⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2－a－2＝0，,a（a2－1）≠6，))可得a＝－1，
故当a＝－1时，l1∥l2；a≠－1时，l1与l2不平行.
法二 当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1不平行于l2；
当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，
l1不平行于l2；
当a≠1且a≠0时，两直线方程可化为l1：
y＝－eq \f(a,2)x－3，l2：y＝eq \f(1,1－a)x－(a＋1)，
l1∥l2⇔eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)＝\f(1,1－a)，,－3≠－（a＋1），))
解得a＝－1，
综上，当a＝－1时，l1∥l2；a≠－1时，l1与l2不平行.
(2)法一 由A1A2＋B1B2＝0，
得a＋2(a－1)＝0，可得a＝eq \f(2,3).
法二 当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，
l1与l2不垂直，故a＝1不成立；
当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，
l1不垂直于l2，故a＝0不成立；
当a≠1且a≠0时，l1：y＝－eq \f(a,2)x－3，
l2：y＝eq \f(1,1－a)x－(a＋1)，
由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)))·eq \f(1,1－a)＝－1，得a＝eq \f(2,3).
感悟提升 1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件.
2.在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.
训练1 (1)(2024·武汉调研)设λ∈R，则“λ＝1”是“直线3x＋(λ－1)y＝1与直线λx＋(1－λ)y＝2平行”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
答案 A
解析 若直线3x＋(λ－1)y＝1与直线λx＋(1－λ)y＝2平行，
则3(1－λ)－λ(λ－1)＝0，
解得λ＝1或λ＝－3，
经检验，λ＝1或λ＝－3时两直线平行，
故“λ＝1”是“直线3x＋(λ－1)y＝1与直线λx＋(1－λ)y＝2平行”的充分不必要条件.
(2)若a，b为正实数，直线2x＋(2a－4)y＋1＝0与直线2bx＋y－2＝0互相垂直，则ab的最大值为________.
答案 eq \f(1,2)
解析 由两直线垂直得4b＋2a－4＝0，
即2＝a＋2b≥2eq \r(2ab)，ab≤eq \f(1,2)，
当且仅当a＝1，b＝eq \f(1,2)时，等号成立，
故ab的最大值为eq \f(1,2).
考点二 两直线的交点与距离问题
例2 (1)已知直线l1：2x－y－4＝0，l2：x＋y－5＝0相交于点P，则P到直线l：x＋2y＋3＝0的距离为( )
A.2eq \r(5)B.eq \f(3\r(5),2)C.eq \r(5)D.eq \f(3\r(5),4)
答案 A
解析 由题意得，联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－y－4＝0，,x＋y－5＝0，))
可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝2，))故P(3，2)，
则P到直线l：x＋2y＋3＝0的距离
d＝eq \f(|3＋4＋3|,\r(12＋22))＝2eq \r(5).
(2)若两平行直线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为eq \f(2\r(13),13)，则c的值是______.
答案 2或－6
解析 由题意得eq \f(3,6)＝eq \f(－2,a)≠eq \f(－1,c)，
∴a＝－4，c≠－2，
则6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋eq \f(c,2)＝0.
由两平行线间的距离公式得eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(c,2)＋1)),\r(13))＝eq \f(2\r(13),13)，
即eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(c,2)＋1))＝2，
解得c＝2或c＝－6.
感悟提升 1.求过两直线交点的直线方程的方法：先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.
2.利用距离公式应注意：(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；(2)两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等.
训练2 (1)经过两直线l1：2x－y＋3＝0与l2：x＋2y－1＝0的交点，且平行于直线3x＋2y＋7＝0的直线方程是( )
A.2x－3y＋5＝0B.2x＋3y－1＝0
C.3x＋2y－2＝0D.3x＋2y＋1＝0
答案 D
解析 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－y＋3＝0，,x＋2y－1＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝1，))
所以直线l1与l2的交点为(－1，1)，
设与直线3x＋2y＋7＝0平行的直线为
3x＋2y＋m＝0(m≠7)，
所以3×(－1)＋2×1＋m＝0，解得m＝1，
所以所求直线方程为3x＋2y＋1＝0.
(2)(2020·全国Ⅲ卷)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为( )
A.1B.eq \r(2)C.eq \r(3)D.2
答案 B
解析 设点A(0，－1)，直线l：y＝k(x＋1)，
由l恒过定点B(－1，0)，
当AB⊥l时，点A(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离最大，最大值为eq \r(2).
考点三 对称问题
角度1 关于点对称
例3 (1)(2024·福州调研)直线x－2y－3＝0关于定点M(－2，1)对称的直线方程是________________.
答案 x－2y＋11＝0
解析 设所求直线上任意一点的坐标为(x，y)，则其关于M(－2，1)的对称点(－4－x，2－y)在已知直线上，
∴所求直线方程为(－4－x)－2(2－y)－3＝0，
即x－2y＋11＝0.
(2)过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为____________.
答案 x＋4y－4＝0
解析 设l1与l的交点为A(a，8－2a).
由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，
代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，
解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上，
所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.
角度2 关于线对称
例4 (1)已知A(0，2)，B(3，－1)，点P为x轴上一动点，则|PA|－|PB|的最大值是( )
A.eq \r(10)B.3eq \r(2)C.2eq \r(2)D.eq \r(7)
答案 A
解析 由已知点A关于x轴的对称点为C(0，－2)，kBC＝eq \f(－1＋2,3－0)＝eq \f(1,3)，直线BC方程为y＝eq \f(1,3)x－2，
令y＝0得x＝6，
所以直线BC与x轴交点为Q(6，0)，
|PA|－|PB|＝|PC|－|PB|≤|CB|＝eq \r(（3－0）2＋（－1＋2）2)＝eq \r(10)，当且仅当P是直线BC与x轴交点Q时等号成立.
(2)已知入射光线经过点M(－3，4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为________.
答案 6x－y－6＝0
解析 设点M(－3，4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(b－4,a－（－3）)·1＝－1，,\f(－3＋a,2)－\f(b＋4,2)＋3＝0，))解得a＝1，b＝0.
又反射光线经过点N(2，6)，
所以所求直线的方程为eq \f(y－0,6－0)＝eq \f(x－1,2－1)，
即6x－y－6＝0.
感悟提升 对称问题的求解策略
(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解.
(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题.
训练3 已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2).求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；
(3)直线l关于点A对称的直线l′的方程.
解 (1)设A′(x，y)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(y＋2,x＋1)×\f(2,3)＝－1，,2×\f(x－1,2)－3×\f(y－2,2)＋1＝0，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－\f(33,13)，,y＝\f(4,13)，))即A′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(33,13)，\f(4,13))).
(2)在直线m上取一点，如M(2，0)，
则M(2，0)关于直线l的对称点必在m′上.
设对称点为M′(a，b)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2×\f(a＋2,2)－3×\f(b＋0,2)＋1＝0，,\f(b－0,a－2)×\f(2,3)＝－1，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝\f(6,13)，,b＝\f(30,13)，))即M′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,13)，\f(30,13))).
设m与l的交点为N，则由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－3y＋1＝0，,3x－2y－6＝0，))
得N(4，3).又m′经过点N(4，3)，
∴由两点式得直线m′的方程为
9x－46y＋102＝0.
(3)法一 在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，
如P(1，1)，N(4，3)，
则P，N关于点A的对称点P′，N′均在直线l′上.
易知P′(－3，－5)，N′(－6，－7)，
由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.
法二 设Q(x，y)为l′上任意一点，
则Q(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为
Q′(－2－x，－4－y).
∵Q′在直线l上，
∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，
即直线l′的方程为2x－3y－9＝0.
【A级 基础巩固】
1.两条直线l1：x＝2和l2：3x＋2y－12＝0的交点坐标是( )
A.(2，3)B.(－2，3)
C.(3，－2)D.(－3，2)
答案 A
解析 联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,3x＋2y－12＝0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝3，))
所以两条直线的交点坐标为(2，3).
2.(2024·石家庄质检)若直线l1：x－2y＋1＝0与直线l2：x＋ay－1＝0平行，则l1与l2间的距离为( )
A.eq \f(\r(5),5)B.eq \f(2\r(5),5)C.eq \f(1,5)D.eq \f(2,5)
答案 B
解析 易知直线l1的斜率为eq \f(1,2)，
则直线l2的斜率为－eq \f(1,a)＝eq \f(1,2)，即a＝－2，
故直线l2：x－2y－1＝0，
所以l1和l2间的距离为eq \f(|－1－1|,\r(12＋（－2）2))＝eq \f(2\r(5),5).
3.直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是( )
A.x＋2y－1＝0B.2x＋y－1＝0
C.2x＋y－3＝0D.x＋2y－3＝0
答案 D
解析 设所求直线上任一点(x，y)，则它关于x＝1对称点为(2－x，y)在直线x－2y＋1＝0上，
所以2－x－2y＋1＝0，化简得x＋2y－3＝0.
4.若直线a，b的斜率分别为方程x2－4x－1＝0的两个根，则a与b的位置关系为( )
A.互相平行B.互相重合
C.互相垂直D.无法确定
答案 C
解析 由根与系数的关系得ka·kb＝－1，
则a与b互相垂直.
5.(2024·南通调研)若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离的最小值为( )
A.eq \r(5)B.eq \r(6)C.2eq \r(3)D.2eq \r(5)
答案 A
解析 联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝2x，,x＋y＝3，))解得x＝1，y＝2.
把(1，2)代入mx＋ny＋5＝0可得m＋2n＋5＝0，
所以m＝－5－2n.
所以点(m，n)到原点的距离
d＝eq \r(m2＋n2)＝eq \r(（5＋2n）2＋n2)
＝eq \r(5（n＋2）2＋5)≥eq \r(5)，
当n＝－2，m＝－1时取等号.
所以点(m，n)到原点的距离的最小值为eq \r(5).
6.(2024·烟台质检)唐代诗人李欣的诗《古从军行》的开头两句是“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为A(1，1)，若将军从山脚下的点B(4，4)处出发，河岸线所在直线l的方程为x－y＋1＝0，则“将军饮马”的最短总路程是( )
A.3eq \r(6)B.eq \r(34)C.eq \r(5)D.2eq \r(5)
答案 D
解析 如图，设B(4，4)关于直线x－y＋1＝0对称的点为C(a，b).
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(a＋4,2)－\f(b＋4,2)＋1＝0，,\f(b－4,a－4)＝－1，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝5，))即C(3，5).
依题意可得“将军饮马”的最短总路程为|AC|，|AC|＝eq \r(（1－3）2＋（1－5）2)＝2eq \r(5).
7.(多选)已知平面上一点M(5，0)，若直线上存在点P使|PM|＝4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是( )
A.y＝x＋1B.y＝2
C.y＝eq \f(4,3)xD.y＝2x＋1
答案 BC
解析 由题意知，当点M到直线的距离不超过4时，符合要求.
对于A，点M(5，0)到直线y＝x＋1的距离为eq \f(6,\r(2))＝3eq \r(2)>4，故不符合；
对于B，点M(5，0)到直线y＝2的距离为2－0＝24，故不符合.
8.(多选)(2024·青岛调研)已知直线l1：4x－3y＋4＝0，l2：(m＋2)x－(m＋1)y＋2m＋5＝0(m∈R)，则( )
A.直线l2过定点(－3，－1)
B.当m＝1时，l1⊥l2
C.当m＝2时，l1∥l2
D.当l1∥l2时，两直线l1，l2之间的距离为1
答案 ACD
解析 对于A，l2：(m＋2)x－(m＋1)y＋2m＋5＝0(m∈R)变形为m(x－y＋2)＋2x－y＋5＝0，
令eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＋2＝0，,2x－y＋5＝0，))则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－3，,y＝－1，))
因此直线l2过定点(－3，－1)，故A正确；
对于B，当m＝1时，l1：4x－3y＋4＝0，
l2：3x－2y＋7＝0，
因为4×3＋(－3)×(－2)≠0，
所以两直线不垂直，故B错误；
对于C，当m＝2时，l1：4x－3y＋4＝0，
l2：4x－3y＋9＝0，
因为eq \f(4,4)＝eq \f(－3,－3)≠eq \f(9,4)，所以两直线平行，故C正确；
对于D，当l1∥l2时，
则满足eq \f(m＋2,4)＝eq \f(－（m＋1）,－3)≠eq \f(2m＋5,4)，得m＝2，
此时，l1：4x－3y＋4＝0，l2：4x－3y＋9＝0，
则两直线间的距离为eq \f(|4－9|,\r(42＋（－3）2))＝1，故D正确.
9.已知两直线l1：(m－1)x－6y－2＝0，l2：mx＋y＋1＝0，则l1⊥l2，则m＝________.
答案 －2或3
解析 l1：(m－1)x－6y－2＝0，
l2：mx＋y＋1＝0，
若l1⊥l2，则m(m－1)－6＝0，
解得m＝3或m＝－2.
10.已知点P1(2，3)，P2(－4，5)和A(－1，2)，则过点A且与点P1，P2距离相等的直线方程为________________.
答案 x＋3y－5＝0或x＝－1
解析 当直线与点P1，P2的连线所在的直线平行时，
由直线P1P2的斜率k＝eq \f(3－5,2＋4)＝－eq \f(1,3)，
得所求直线的方程为y－2＝－eq \f(1,3)(x＋1)，
即x＋3y－5＝0.
当直线过线段P1P2的中点时，
因为线段P1P2的中点坐标为(－1，4)，
所以直线方程为x＝－1.
综上，所求直线方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.
11.设△ABC的一个顶点是A(－3，1)，∠B，∠C的角平分线方程分别为x＝0，y＝x，则直线BC的方程为________.
答案 2x－y－5＝0
解析 ∵∠B，∠C的角平分线方程分别是x＝0，y＝x，
∴直线AB与直线BC关于x＝0对称，直线AC与直线BC关于y＝x对称.
A(－3，1)关于x＝0的对称点A′(3，1)在直线BC上，A(－3，1)关于y＝x的对称点A″(1，－3)也在直线BC上.
由两点式，所求直线BC的方程为2x－y－5＝0.
12.已知两直线l1：x－2y＋4＝0，l2：4x＋3y＋5＝0.若直线l3：ax＋2y－6＝0与l1，l2不能构成三角形，则实数a＝________.
答案 －1或eq \f(8,3)或－2
解析 由题意可得，①当l3∥l1时，不能构成三角形，此时a×(－2)＝1×2，解得a＝－1；
②当l3∥l2时，不能构成三角形，
此时a×3＝4×2，解得a＝eq \f(8,3)；
③当l3过l1与l2的交点时，不能构成三角形，
此时联立l1与l2，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2y＋4＝0，,4x＋3y＋5＝0，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝1，))
所以l1与l2的交点为(－2，1)，
将(－2，1)代入l3，
得a×(－2)＋2×1－6＝0，解得a＝－2，
综上，当a＝－1或eq \f(8,3)或－2时，不能构成三角形.
【B级 能力提升】
13.已知点(1，－1)关于直线l1：y＝x的对称点为A，若直线l2经过点A，则当点B(2，－1)到直线l2的距离最大时，直线l2的方程为( )
A.2x＋3y＋5＝0B.3x－2y＋5＝0
C.3x＋2y＋5＝0D.2x－3y＋5＝0
答案 B
解析 设A(a，b)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(b＋1,a－1)＝－1，,\f(b－1,2)＝\f(a＋1,2)，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝1，))所以A(－1，1).
设点B(2，－1)到直线l2的距离为d，
当d＝|AB|时取得最大值，此时直线l2垂直于直线AB，
所以直线l2的斜率k＝－eq \f(1,kAB)＝－eq \f(1,\f(－1－1,2＋1))＝eq \f(3,2)，
所以直线l2的方程为y－1＝eq \f(3,2)(x＋1)，
即3x－2y＋5＝0.
14.(2024·南昌调考)若△ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，则直线BC的方程为( )
A.3x＋4y－6＝0B.x＋3y－4＝0
C.6x－5y－9＝0D.2x－3y－6＝0
答案 C
解析 BH所在直线方程为x－2y－5＝0，
设AC的方程为2x＋y＋t＝0，且过A(5，1)，
代入解得t＝－11，
所以直线AC的方程为2x＋y－11＝0.
联立AC与CM的方程得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋y－11＝0，,2x－y－5＝0，))
解得C(4，3).
设B(2m＋5，m)，则Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2m＋10,2)，\f(m＋1,2)))，
即2m＋10－eq \f(m＋1,2)－5＝0，
解得m＝－3，则B(－1，－3)，
所以直线BC的方程为eq \f(y＋3,3＋3)＝eq \f(x＋1,4＋1)，
即6x－5y－9＝0.
15.在等腰直角三角形ABC中，|AB|＝|AC|＝4，点P是边AB上异于A，B的一点.光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图所示).若光线QR经过△ABC的重心，则AP的长度为________.
答案 eq \f(4,3)
解析 以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意可知B(4，0)，C(0，4)，A(0，0)，
则直线BC的方程为x＋y－4＝0.
设P(t，0)(0＜t＜4)，可得点P关于直线BC的对称点P1的坐标为(4，4－t)，
点P关于y轴的对称点P2的坐标为(－t，0)，
根据反射定律可知直线P1P2就是光线RQ所在的直线，
由P1，P2两点的坐标可得直线P1P2的方程为y＝eq \f(4－t,4＋t)·(x＋t).
设△ABC的重心为G，易知Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(4,3))).
因为重心Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(4,3)))在光线RQ上，
所以eq \f(4,3)＝eq \f(4－t,4＋t)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)＋t))，得t＝eq \f(4,3)(t＝0舍去)，
即|AP|＝eq \f(4,3).
16.已知点A(4，－1)，B(8，2)和直线l：x－y－1＝0，动点P(x，y)在直线l上，则|PA|＋|PB|的最小值为________.
答案 eq \r(65)
解析 设点A1与A关于直线l对称，P0为A1B与直线l的交点，
∴|P0A1|＝|P0A|，
|PA1|＝|PA|.
在△A1PB中，|PA1|＋|PB|>|A1B|＝|A1P0|＋|P0B|＝|P0A|＋|P0B|，
∴|PA|＋|PB|≥|P0A|＋|P0B|＝|A1B|.
当P点运动到P0时，|PA|＋|PB|取得最小值|A1B|.
设点A关于直线l的对称点为A1(x1，y1)，
则由对称的充要条件知
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(y1＋1,x1－4)·1＝－1，,\f(x1＋4,2)－\f(y1－1,2)－1＝0，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＝0，,y1＝3，))
∴A1(0，3)，
∴(|PA|＋|PB|)min＝|A1B|＝eq \r(82＋（－1）2)＝eq \r(65).
位置关系
法向量满足的条件
l1，l2满足的条件
l3，l4满足的条件
平行
v1∥v2
k1＝k2且b1≠b2
A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0
垂直
v1⊥v2
k1·k2＝－1
A1A2＋B1B2＝0
相交
v1与v2不共线
k1≠k2
A1B2－A2B1≠0
方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解
一组
无数组
无解
直线l1与l2的公共点的个数
一个
无数个
零个
直线l1与l2的位置关系
相交
重合
平行