新高考数学一轮复习考点讲义：第05章第1讲任意角、弧度制及三角函数的概念（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习考点讲义：第05章第1讲任意角、弧度制及三角函数的概念（含解析），共12页。

一 角的概念
1．角的形成
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
eq \a\vs4\al(2.,,,,,,,,)角的分类eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al(按旋转,方向不,同分类)\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(正角：按逆时针方向旋转形成的角.,负角：按顺时针方向旋转形成的角.,零角：射线没有旋转.)),\a\vs4\al(按终边,位置不,同分类)\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(象限角：角的终边在第几象限，这个, 角就是第几象限角.,轴线角：角的终边落在坐标轴上.))))
3．所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．
二 弧度的定义和公式
1．定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
2．公式：(1)弧度与角度的换算：360°＝2π弧度，180°＝π弧度；
(2)弧长公式：l＝|α|R；
(3)扇形面积公式：S扇形＝eq \f(1,2)lR和S扇形＝eq \f(1,2)|α|R2.
三 任意角的三角函数
1．设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，则sin α＝y，cs α＝x，tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)．
2．任意角的三角函数的定义(推广)
设P(x，y)是角α终边上异于原点的任意一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝eq \f(y,r)，cs α＝eq \f(x,r)，tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)．
3．三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图．

常/用/结/论
1．一个口诀
三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
2．象限角
3．轴线角
1．判断下列结论是否正确．
(1)锐角是第一象限角，反之亦然．()
(2)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是eq \f(π,6).()
(3)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等．()
(4)若sin α>0，则α的终边落在第一或第二象限．()
2．下列各角中，与160°是同一象限角的是( )
A．600° B．520°
C．－140° D．－380°
解析：160°是第二象限角，600°是第三象限角，520°是第二象限角，－140°是第三象限角，－380°是第四象限角．故选B.
答案：B
3．(多选)下列说法正确的是( )
A．－400°是第四象限角
B．60°角与600°角是终边相同的角
C．钝角一定是第二象限角
D．将表的分针拨慢10 min，则分针转过的角的弧度数为eq \f(π,3)
解析：对于A，－400°＝－360°－40°，所以－400°是第四象限角，故A正确；对于B，因为600°≠k·360°＋60°，k∈Z，所以60°角与600°角终边不同，故B错误；对于C，因为钝角的范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，所以钝角是第二象限角，故C正确；对于D，分针拨慢10 min，则分针转过的角的弧度数为eq \f(10,60)×2π＝eq \f(π,3)，故D正确．故选ACD.
答案：ACD
4．(1)已知扇形的圆心角为30°，其弧长为2π，则此扇形的面积为________．
(2)已知角θ的终边经过点P(－12,5)，则cs θ＝________，sin θ＝________，tan θ＝________.
解析：(1)∵α＝30°＝eq \f(π,6)，l＝|α|r，∴r＝eq \f(2π,\f(π,6))＝12，∴扇形面积S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)×2π×12＝12π.
(2)根据三角函数的定义，易知x＝－12，y＝5，r＝eq \r(x2＋y2)＝13，cs θ＝eq \f(x,r)＝－eq \f(12,13)，sin θ＝eq \f(y,r)＝eq \f(5,13)，tan θ＝eq \f(y,x)＝－eq \f(5,12).
答案：(1)12π (2)－eq \f(12,13) eq \f(5,13) －eq \f(5,12)
题型 任意角的概念的多维研讨
维度1 终边相同的角与象限角
典例1设角α1＝－350°，α2＝860°，β1＝eq \f(3,5)π，β2＝－eq \f(7,3)π.
(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；
只有把大角(或负角)转化为2kπ＋α，其中0≤α＜2π时，才容易判断其所在象限．
(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们有相同终边的所有角．
寻找终边相同的角，应用k·360 °＋α列不等式，解出k的值，当然是最严谨的；另一种方法即对k赋值，使其落入要求的范围．
解：(1)α1＝－350°＝－eq \f(350,180)π＝－eq \f(35π,18)＝－2π＋eq \f(π,18)，
α2＝860°＝eq \f(860,180)π＝eq \f(43,9)π＝4π＋eq \f(7,9)π.
∴α1的终边在第一象限，α2的终边在第二象限．
(2)β1＝eq \f(3,5)π＝eq \f(3,5)×180°＝108°，
设θ＝k·360°＋β1(k∈Z)，
∵－720°