新高考数学一轮复习基础版讲义第1章第2节 常用逻辑用语（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习基础版讲义第1章第2节 常用逻辑用语（2份，原卷版+解析版），共6页。试卷主要包含了全称量词与存在量词，全称量词命题和存在量词命题等内容，欢迎下载使用。

【知识梳理】
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.
(2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.
3.全称量词命题和存在量词命题
[常用结论与微点提醒]
1.会区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒/ A)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A⇒/ B)两者的不同.
2.p是q的充分不必要条件，等价于綈q是綈p的充分不必要条件.
3.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.
4.命题p和綈p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难，可判断此命题否定的真假.
【诊断自测】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)至少有一个三角形的内角和为π是全称量词命题.( )
(2)写全称量词命题的否定时，全称量词变为存在量词.( )
(3)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件.( )
(4)若已知p：x＞1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件.( )
答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√
解析 (1)错误，至少有一个三角形的内角和为π是存在量词命题.
2.(必修一P22习题1.4T2改编)命题“三角形是等边三角形”是命题“三角形是等腰三角形”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由“三角形是等边三角形”可得到“该三角形一定是等腰三角形”，但反之不成立.
3.(必修一P30例4(3)改编)命题“有一个偶数是素数”的否定是________.
答案 任意一个偶数都不是素数
4.使－2＜x＜2成立的一个充分条件是______________.(答案不唯一，写出一个即可)
答案 0＜x＜2(答案不唯一)
解析 只要是{x|－2＜x＜2}的一个子集都是使－2＜x＜2成立的充分条件，如－1＜x＜1，或0＜x＜2等.
考点一 充分条件、必要条件的判定
例1 (1)(2023·天津卷)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
答案 B
解析 若a2＝b2，则当a＝－b≠0时，
有a2＋b2＝2a2，2ab＝－2a2，即a2＋b2≠2ab，
所以a2＝b2⇒/ a2＋b2＝2ab；
若a2＋b2＝2ab，则有a2＋b2－2ab＝0，
即(a－b)2＝0，所以a＝b，
则有a2＝b2，即a2＋b2＝2ab⇒a2＝b2.
所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件.
(2)(2023·全国甲卷)设甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sin α＋cs β＝0，则( )
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
答案 B
解析 甲等价于sin2α＝1－sin2β＝cs2β，
等价于sin α＝±cs β，
所以由甲不能推导出sin α＋cs β＝0；
由sin α＋cs β＝0，得sin α＝－cs β，
平方可得sin2α＝cs2β＝1－sin2β，
即sin2α＋sin2β＝1，所以由乙可以推导出甲.
综上，甲是乙的必要不充分条件.
(3)(多选)ab＋b－a－1＝0的一个充分不必要条件可以是( )
A.a＝－1 B.a＝b
C.b＝1 D.ab＝1
答案 AC
解析 由ab＋b－a－1＝0，可得(a＋1)(b－1)＝0，解得a＝－1或b＝1，故选AC.
感悟提升 充分、必要条件的两种判定方法：
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题.
(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题.
训练1 (1)设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由a2＞a，得a2－a＞0，解得a＞1或a＜0，
∴“a＞1”是“a2＞a”的充分不必要条件.
(2)(多选)(2024·武汉调研)下列命题为真命题的是( )
A.“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件
B.“a>b”是“eq \f(1,a)b⇒/ ac2>bc2(c＝0时不成立)，由ac2>bc2⇒a>b，则“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件，A中命题是真命题；
对于B，若a>0，bb得不到eq \f(1,a)0).若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________.
答案 [3，＋∞)
解析 由不等式x2－x－12≤0，解得－3≤x≤4，
设p对应的集合为A，则A＝[－3，4].
由不等式(x＋m)[x－(1＋2m)]≤0(m>0)，
解得－m≤x≤2m＋1(m>0)，
设q对应的集合为B，
则B＝[－m，2m＋1](m>0).
因为p是q的充分不必要条件，
所以A是B的真子集，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－m≤－3，,2m＋1≥4))(不同时取等号)，解得m≥3，
所以实数m的取值范围是[3，＋∞).
考点三 全称量词与存在量词
角度1 含量词命题的否定
例3 (1)(2024·西安模拟)若命题p：∀x∈R，ex≥x＋1，则綈p是( )
A.∀x∈R，ex≤x＋1 B.∀x∈R，ex