新高考数学一轮复习基础版讲义第1章第1节 集合（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习基础版讲义第1章第1节 集合（2份，原卷版+解析版），共6页。试卷主要包含了集合间的基本关系，集合的基本运算，集合的运算性质等内容，欢迎下载使用。

【知识梳理】
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.
(4)常用数集及记法
2.集合间的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集.记作A ⊆B(或B ⊇A).
(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA).
(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.
(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本运算
4.集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A.
[常用结论与微点提醒]
1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.
2.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB.
3.∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB).
【诊断自测】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)任何一个集合都至少有两个子集.( )
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.( )
(3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或1.( )
(4)对于任意两个集合A，B，(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
解析 (1)错误.空集只有一个子集.
(2)错误.{x|y＝x2＋1}＝R，{y|y＝x2＋1}＝[1，＋∞)，{(x，y)|y＝x2＋1}是抛物线
y＝x2＋1上的点集.
(3)错误.当x＝1时，不满足集合中元素的互异性.
2. (必修一P13T1改编)已知U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，4，5}，B＝{1，3，5，7}，则A∩(∁UB)＝________.
答案 {2，4}
解析 易知∁UB＝{2，4，6}，故A∩(∁UB)＝{2，4}.
3.已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________.
答案 －eq \f(3,2)
解析 当m＋2＝3时，m＝1，
此时，m＋2＝2m2＋m＝3，故舍去；
当2m2＋m＝3时，解得m＝－eq \f(3,2)(m＝1舍去).
4.(必修一P9T5改编)已知集合A＝{x|0＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，若B⊆A，则实数a的取值范围是________.
答案 [2，＋∞)
解析 由图可知a≥2.
考点一 集合的基本概念
例1 (1)(2023·南充模拟)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤eq \r(3)，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( )
A.4 B.5
C.8 D.9
答案 B
解析 因为x2＋y2≤eq \r(3)，x∈Z，
所以x可取－1，0，1.
当x＝－1时，得y＝0；
当x＝0时，得y＝－1，0或1；
当x＝1时，得y＝0.
所以A＝{(－1，0)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，0)}，共有5个元素.
(2)(2024·邵阳质检)已知a，b∈R，若eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a，\f(b,a)，1))＝{a2，a＋b，0}，则a2 024＋b2 024的值为( )
A.－1 B.0
C.1 D.±1
答案 C
解析 由集合相等可知0∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a，\f(b,a)，1))，且a≠0，则eq \f(b,a)＝0，
所以b＝0，所以a2＝1，解得a＝1或a＝－1.
根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，
因此a＝－1，
所以a2 024＋b2 024＝(－1)2 024＋02 024＝1.
感悟提升 1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件，从而准确把握集合的含义.
2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
训练1 (1)(2023·石家庄联考)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，集合B＝{(x，y)|y＝|x|－1}，则集合A∩B的真子集的个数为( )
A.3 B.4
C.7 D.8
答案 C
解析 结合图象可知，集合A∩B有3个元素，所以集合A∩B的真子集的个数为23－1＝7.
(2)已知集合A＝{1，a－2，a2－a－1}，若－1∈A，则实数a的值为( )
A.1 B.1或0
C.0 D.－1或0
答案 C
解析 ∵－1∈A，
若a－2＝－1，即a＝1时，A＝{1，－1，－1}，不符合集合元素的互异性；
若a2－a－1＝－1，即a＝1(舍去)或a＝0时，A＝{1，－2，－1}，故a＝0.
考点二 集合间的基本关系
例2 (1)已知集合A＝{x∈Z|y＝lg5(x＋1)}，B＝{x∈Z|x2－x－2＜0}，则( )
A.A∩B＝A B.A∪B＝B
C.BA D.AB
答案 C
解析 由x＋1＞0，得x＞－1，
∴A＝{x∈Z|x＞－1}＝{0，1，2，3，…}.
由x2－x－2＜0，得－1＜x＜2，
∴B＝{0，1}，∴A∩B＝B，A∪B＝A，BA.
(2)已知集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,4)))))＜\f(1,4)) )，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|a＜x＜\f(1,2))).若B⊆A，则实数a的取值范围是________.
答案 [0，＋∞)
解析 由eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,4)))＜eq \f(1,4)，得－eq \f(1,4)＜x－eq \f(1,4)＜eq \f(1,4)，
解得0＜x＜eq \f(1,2)，即A＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))).
当a≥eq \f(1,2)时，B＝∅，满足B⊆A；
当a＜eq \f(1,2)时，因为B⊆A，所以0≤a＜eq \f(1,2).
综上，实数a的取值范围是[0，＋∞).
感悟提升 1.若B⊆A，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论.
2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而求得参数范围.注意合理利用数轴、Venn图帮助分析及对参数进行讨论.求得参数后，一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解.
训练2 (1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|x2－6x＜0}，则满足AC⊆B的集合C的个数为( )
A.4 B.6
C.7 D.8
答案 C
解析 ∵A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4，5}，且AC⊆B，
∴集合C的所有可能为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共7个.
(2)(2023·新高考Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则
a＝( )
A.2 B.1
C.eq \f(2,3) D.－1
答案 B
解析 依题意，有a－2＝0或2a－2＝0.
当a－2＝0时，解得a＝2，
此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不满足A⊆B；
当2a－2＝0时，解得a＝1，
此时A＝{0，－1}，B＝{－1，0，1}，满足A⊆B.
所以a＝1，故选B.
考点三 集合的运算
例3 (1)(2023·新高考Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N＝( )
A.{－2，－1，0，1} B.{0，1，2}
C.{－2} D.{2}
答案 C
解析 因为N＝{x|x2－x－6≥0}＝{x|x≥3，或x≤－2}，所以M∩N＝{－2}，故选C.
(2)(2023·全国乙卷)设集合U＝R，集合M＝{x|x＜1}，N＝{x|－1＜x＜2}，则{x|x≥2}＝( )
A.∁U(M∪N) B.N∪∁UM
C.∁U(M∩N) D.M∪∁UN
答案 A
解析 因为M∪N＝{x|x＜2}，
所以∁U(M∪N)＝{x|x≥2}，故选A.
(3)(2021·全国甲卷改编)设集合M＝{x|0＜x＜4}，N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|\f(1,3)≤x＜a))，且M∩N＝N，则a的取值范围为( )
A.a≤eq \f(1,3) B.a＞4
C.a≤4 D.a＞eq \f(1,3)
答案 C
解析 由M∩N＝N，∴M⊇N.
当N＝∅时，即a≤eq \f(1,3)成立；
当N≠∅时，借助数轴易知eq \f(1,3)＜a≤4.
综上，a≤4.
感悟提升 1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算.
2.对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况.
训练3 (1)(2023·全国乙卷)设全集U＝{0，1，2，4，6，8}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，则M∪∁UN＝( )
A.{0，2，4，6，8} B.{0，1，4，6，8}
C.{1，2，4，6，8} D.U
答案 A
解析 由题意知，∁UN＝{2，4，8}，
所以M∪∁UN＝{0，2，4，6，8}.
(2)若全集U＝{－2，－1，0，1，2}，A＝{－2，2}，B＝{x|x2－1＝0}，则图中阴影部分所表示的集合为( )
A.{－1，0，1} B.{－1，0}
C.{－1，1} D.{0}
答案 D
解析 B＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，阴影部分所表示的集合为∁U(A∪B).
又A∪B＝{－2，－1，1，2}，全集U＝{－2，－1，0，1，2}，
所以∁U(A∪B)＝{0}.
(3)(2023·驻马店模拟)已知集合A＝{x|(x－1)(x－4)a}，若A∪B＝{x|x>1}，则a的取值范围是( )
A.[1，4) B.(1，4)
C.[4，＋∞) D.(4，＋∞)
答案 A
解析 由题意可得A＝{x|1