新高考数学一轮复习基础版讲义第1章第5节 一元二次方程、不等式（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习基础版讲义第1章第5节 一元二次方程、不等式（2份，原卷版+解析版），共6页。试卷主要包含了三个“二次”间的关系，分式不等式与整式不等式等内容，欢迎下载使用。
3.能借助一元二次函数求解一元二次不等式.
【知识梳理】
1.一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.
2.三个“二次”间的关系
3.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)0(0(a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|0)的解集为
(－a，a).
记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间.
2.解不等式ax2＋bx＋c>0(0(0对任意实数x恒成立⇔eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝b＝0，,c>0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m0，))
解得m>3，
故实数m的取值范围是(3，＋∞).
角度3 给定参数范围的恒成立问题
例5 (2024·杭州调研)若不等式x2＋px>4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是( )
A.[－1，3] B.(－∞，－1]
C.[3，＋∞) D.(－∞，－1)∪(3，＋∞)
答案 D
解析 不等式x2＋px>4x＋p－3，
可化为(x－1)p＋x2－4x＋3>0，
由已知可得[(x－1)p＋x2－4x＋3]min>0(0≤p≤4)，
令f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3(0≤p≤4)，
可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（0）＝x2－4x＋3>0，,f（4）＝4（x－1）＋x2－4x＋3>0，))
解得x3.
感悟提升 恒成立问题求参数的范围的解题策略
(1)弄清楚自变量、参数.一般情况下，求谁的范围，谁就是参数.
(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ，一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论.
训练3 已知关于x的不等式2x－1＞m(x2－1).
(1)是否存在实数m，使不等式对任意x∈R恒成立，并说明理由；
(2)若不等式对于x∈(1，＋∞)恒成立，求m的取值范围；
(3)若不等式对于m∈[－2，2]恒成立，求实数x的取值范围.
解 (1)原不等式等价于mx2－2x＋(1－m)＜0，
当m＝0时，－2x＋1＜0不恒成立；
当m≠0时，若不等式对于任意实数x恒成立，
则需m＜0且Δ＝4－4m(1－m)＜0，无解，
所以不存在实数m，使不等式恒成立.
(2)因为x＞1，
所以m＜eq \f(2x－1,x2－1).
设2x－1＝t(t＞1)，x2－1＝eq \f(t2＋2t－3,4)，
所以m＜eq \f(4t,t2＋2t－3)＝eq \f(4,t－\f(3,t)＋2).
设g(t)＝t－eq \f(3,t)＋2，t∈(1，＋∞)，
显然g(t)在(1，＋∞)上单调递增.
当t→＋∞时，t－eq \f(3,t)＋2→＋∞，eq \f(4,t－\f(3,t)＋2)→0，
所以m≤0.所以m的取值范围是(－∞，0].
(3)设f(m)＝(x2－1)m－(2x－1)，
当m∈[－2，2]时，f(m)＜0恒成立.
当且仅当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（2）＜0，,f（－2）＜0，))
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x2－2x－1＜0， ①,－2x2－2x＋3＜0. ②))
由①得eq \f(1－\r(3),2)＜x＜eq \f(1＋\r(3),2).
由②得x＜eq \f(－1－\r(7),2)或x＞eq \f(－1＋\r(7),2).
取交集，得eq \f(－1＋\r(7),2)＜x＜eq \f(1＋\r(3),2).
所以x的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|\f(－1＋\r(7),2)＜x＜\f(1＋\r(3),2))).
【A级 基础巩固】
1.不等式－x2＋3x＋10＞0的解集为( )
A.(－2，5) B.(－∞，－2)∪(5，＋∞)
C.(－5，2) D.(－∞，－5)∪(2，＋∞)
答案 A
解析 由－x2＋3x＋10＞0得x2－3x－10＜0，
解得－2＜x＜5.
2.(2024·重庆诊断)若关于x的不等式x2＋px＋q