2026年八年级数学人教版 第09讲 等腰三角形(暑假预习讲义)

这是一份2026年八年级数学人教版 第09讲 等腰三角形(暑假预习讲义)，共6页。学案主要包含了等角对等边等内容，欢迎下载使用。
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题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型 1 等边对等角
题型 2 三线合一
题型 3 根据等角对等边证明等腰三角形
题型 4 根据等角对等边证明边相等
题型 5 根据等角对等边求边长 题型 6 含 30°角的直角三角形题型 7 等腰三角形的性质和判定
题型 8 等边三角形的性质
题型 9 等边三角形的判定
题型 10 最短路径问题
过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固
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关键词
学习目标导航
等腰三角形、等边三角形、腰、底边、顶角、底角、三线合一、等角对等边、等边对等角、轴对称、分类讨论、几
何证明
理解等腰三角形、等边三角形的定义，掌握各部分名称。
熟练掌握等腰三角形的性质与判定，掌握“三线合一”核心定理。
掌握等边三角形的性质与判定，了解含 30°直角三角形的性质。
能利用等腰三角形性质求边长、角度，规范完成几何证明。
掌握等腰三角形分类讨论思想，避免漏解。
学习重点：掌握等腰三角形、等边三角形的性质与判定，熟练运用三线合一解题。
学习难点：灵活运用三线合一，掌握等腰三角形边长、角度的分类讨论，解决综合几何问题。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点 01 等腰三角形的性质
性质 1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
性质 2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）．
即时即练如图，在V ABC 中， B  C ，过 BC 的中点 O 作OD  AB ， OE  AC ，垂足分别为点 D、E．
求证： OD  OE ；
若BOD  50 ，求BAC 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)100
【分析】（1）连接 AO ，易证 AO 平分BAC ，由角平分线的性质定理即可得到OD  OE ；
（2）由OD  AB ，BOD  50 ，先求出B  40 ，由B  C 及三角形内角和定理即可求出BAC 的度数．
【详解】（1）证明：连接 AO ，
∵ B  C ，
∴ AB  AC ，
∵O 是 BC 的中点，
∴ AO 平分BAC ，
∵ OD  AB ， OE  AC ，
∴ OD  OE ；
（2）解：∵ OD  AB ，
∴ BDO  90 ，
∵ BOD  50 ，
∴ B  90  BOD  90  50  40 ，
∴ C  B  40 ，
∴ BAC  180  B  C  180  40  40  100 ．
【方法总结】
等腰三角形的其他性质：
等腰三角形两腰上的中线、高分别相等．
等腰三角形两底角的平分线相等．
等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．
当等腰三角形的顶角为 90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是 45°．
知识点 02 等腰三角形的判定
判定等腰三角形的方法：
定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形；
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．数学语言：在△ABC 中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）．
即时即练已知：如图，点 D 是V ABC 的边 BC 的中点， DE AC ， DF  AB ，垂足分别为点 E ， F ，且
AE  AF ．求证：
(1) DF  DE ；
(2) V ABC 是等腰三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定、等腰三角形的判定等几何知识点及其应用问题，牢固掌握全等三角形的判定、等腰三角形的判定等几何知识点是解题的基础和关键．
运用HL 证明Rt DFA≌Rt DEA ，进而得到 DF  DE ；
根据题意得到 BD  CD ，由（1）知 DF  DE ，运用HL 证明Rt DFB≌Rt DEC HL ，推出B  C ，
即可证明结论．
【详解】（1）证明： DE  AC ， DF  AB ，
DFA  DFB  DEA  DEC  90 ，
 AE  AF

在Rt△DFA 和RtV DEA 中，  AD  AD ，
Rt DFA≌Rt DEAHL ，
 DF  DE ；
（2）证明： D 是 BC 边的中点，
 BD  CD ，
DF  DE

在Rt△DFB 和Rt△DEC 中， BD  CD ，
Rt DFB≌Rt DEC HL ，
B  C ，
 ABC 是等腰三角形．
【方法总结】
“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”．
“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定．
知识点 03 等边三角形及其性质
等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形．也是特殊的等腰三角形。
等边三角形的性质：
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 60°
三边都相等
有三条对称轴
同样满足三线合一
即时即练如图，V ABC ，V ADE 都是等边三角形， BE 与CD 相交于点 O， AC 与 BE 相交于点 P， AE 与CD相交于点 Q．
求证： BE  CD ；
求BOC 的度数．
【答案】(1)见解析
(2) 60
【分析】（1）由等边三角形的性质得到 AB  AC ， AD  AE ， BAC  DAE  60 ，然后证明出
BAE≌ CAD SAS ，即可得到 BE  CD ；
（2）由△BAE≌△CAD 得到ABE  ACD ，然后结合三角形内角和定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵V ABC ， V ADE 都是等边三角形，
∴ AB  AC ， AD  AE ， BAC  DAE  60 ，
∴ BAC  CAE  DAE  CAE ，即BAE  CAD ，
∴ BAE≌ CAD SAS ，
∴ BE  CD ；
（2）解：∵△BAE≌△CAD ，
∴ ABE  ACD ， 又∵ APB  OPC ，
∴180  ABE  APB  180  ACD  OPC ，即BOC  BAC  60．
【方法总结】
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；
等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质．
知识点 04 等边三角形的判定
判定等边三角形的方法：
定义法：三边都相等的三角形是等边三角形．
三个角都相等的三角形是等边三角形．
有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形．
即时即练如图， 在四边形 ABCD 中， AB  BC ， AD ∥ BC ， AC 平分
BCD,DE  AC ，连接 BE, DE ．
(1)求证： AE  CE ；
(2)若ACB  30 ，判断 ABE 的形状， 并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2) ABE 为等边三角形，理由见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定，30 直角三角形的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
先证明 ACD 是等腰三角形，再由三线合一即可证明；
先由30 直角三角形的性质得到 AB  1 AC ，而 AE  1 AC ，再由CAB  60即可证明．
22
【详解】（1）证明：∵ AD ∥ BC ，
∴ DAC  ACB ，
∵ AC 平分BCD ，
∴ ACB  ACD ，
∴ DAC  ACD ，
∴ AD  CD ，
∴ ACD 是等腰三角形，
∵ DE AC ，
∴点 E 为 AC 的中点，即 AE  CE ；
（2）解： ABE 为等边三角形，理由如下：
∵ ACB  30 ， AB  BC ，
∴ AB  1 AC ， CAB  60，
2
∵由（1）得 AE  CE ，即 AE  1 AC ，
2
∴ AB  AE ，
又∵ CAB  60，
∴ ABE 为等边三角形．
知识点 05 含 30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
即时即练如图， V AOB 和△COD 均为等腰直角三角形， AOB  COD  90， D 在 AB 上．
(1)求证： AOC≌ BOD ；
(2)若 AD  1 ， ADC  60 ，求CD 的长．
【答案】(1)见解析
(2) CD  2
【分析】（1）利用同角的余角相等证明角相等，再结合等腰直角三角形的边相等，根据SAS 证明全等；
（2）由全等三角形可得CAO  B  45 ，进而证明CAD 为直角，再用含30 角的直角三角形性质求CD长．
【详解】（1）解： AOB  COD  90，
 AOC  AOD  90 ， BOD  AOD  90 ，
 AOC BOD ，
V AOB 和△COD 均为等腰直角三角形，
 OC  OD ， OA  OB ，
在△AOC 和 BOD 中，
OC  OD

AOC  BOD ，

OA  OB
 AOC≌ BOD SAS ．
（2）解： V AOB 是等腰直角三角形，
 OAB  B  45 ，
AOC≌ BOD ，
 CAO  B  45 ，
 CAD  CAO  OAB  90 ，
ADC  60 ，
 ACD  30 ，
AD  1 ，
 CD  2 ．
【方法总结】
该性质是含 30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用．
这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系．
该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切．
在有些题目中，若给出的角是 15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将 15°的角转化后，再利用这个性质解决问题．
题型 1 等边对等角
【例 1】如图，V ABC 中， AB  AC ， D 为 BC 边上一点，把△ABD 沿 AD 翻折得到△AED ，（点 E 与点 B
对应），若CAE  38，则ADC 的度数为（ ）
A． 52B． 62C． 71D． 72
【答案】C
【分析】根据题意可得B  C  BAD  EAD  142 ，进而可得B  BAD  71 ，再根据三角形外角定理可得ADC 的度数．
【详解】解： AB  AC ，
B  C ，
由翻折可知BAD  EAD，又CAE  38，
B  C  BAD  EAD  180  38  142 ，
B  BAD  71 ，
ADC  B  BAD  71 ．
【例 2】等腰三角形的一个外角为110 ，则它的底角为（ ）
A． 70B． 50 或70C． 55 或70D． 40
【答案】C
【详解】解：分两种情况讨论：
情况 1：当110 外角的邻补角为等腰三角形的底角时，底角为180 110  70，符合三角形内角和定理，
情况 2：当110 外角的邻补角为等腰三角形的顶角时，顶角为180 110  70，则底角为180  70  55 ，
2
综上，等腰三角形的底角为55 或70．
【技巧归纳】
解题思路：先找相等边，再直接推出对应角相等，结合三角形内角和、外角性质倒角求值；
易错提醒：仅适用于同一个三角形，不可跨三角形使用；底角恒为锐角。
【变式 1-1】如图，这是公元前五世纪古希腊人发明的一种“三等分角”的仪器的模型，模型中OC  CD  DE ，如果在一次测量中BDE  75 ，则CDE 的度数为．
【答案】80 /80 度
【分析】根据OC  CD  DE ，可得O  ODC ， DCE  DEC ，根据三角形的外角性质可知
DCE  O  ODC  2ODC ，进一步根据三角形的外角性质可知BDE  3ODC  75 ，即可求出
ODC 的度数，进而求出CDE 的度数．
【详解】解： OC  CD  DE ，
O  ODC ， DCE  DEC ，
DCE  O  ODC  2ODC ，
∴ DEC  2ODC
O  DEC  BDE  75 ，
∴ 3ODC  75
ODC  25 ，
CDE  ODC  180  BDE  105 ，
CDE  105  ODC  80 ．
【变式 1-2】如图， △ABC≌△ AED，点 E 在线段 BC 上， 1  44 ，则ABE 的大小为（ ）
A． 38B． 40C． 44D． 68
【答案】D
【分析】先由全等三角形的对应角相等得出BAC  EAD ，AB  AE ，再结合等腰三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵△ABC≌△ AED，
∴ BAC  EAD ， AB  AE ，
∴ BAC  EAC  EAD  EAC ， ABE  AEB ，
∴∠BAE  ∠1  44，
∴ ABE  1 180  BAE   68 ．
2
题型 2 三线合一
【例 1】如图，等腰V ABC 的底边 BC 的长是6cm ，面积是15cm2 ，腰 AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 N，垂足为 M，若 D 为 BC 边上的一动点，P 为MN 上的一动点，求 BP  DP 的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】由线段垂直平分线的性质可得 AP  BP ，则 BP  DP  AP  DP ，当点 A，P，D 共线且 AD BC 时，
AP  DP 有最小值，即 BP  DP 有最小值为 AD 的长，由等积法可求解．
【详解】解：连接 AD，AP ，
∵ MN 垂直平分 AB ，
∴ AP  BP ，
∴ BP  DP  AP  DP ，
∴当点 A，点 P，点 D 共线且 AD BC 时， AP  DP 有最小值，即 BP  DP 有最小值为 AD 的长，
∵ S ABC
 1 BC  AD  1  6 AD  15 ，
22
∴ AD  5cm ．
【例 2】如图，在等腰三角形 ABC 中， CAB  120 ， AD BC 于点 D， DE AB 于点 E．若 AD  2 ，则
BE 的长为（）
A．2B．3C．4D．6
【答案】B
【分析】先根据等腰三角形三线合一的性质求出BAD 的度数，再利用含30 角的直角三角形的性质分别求出 AB 和 AE 的长度，最后通过 BE  AB  AE 求出 BE 的长．
【详解】解：∵ AB  AC ， BAC  120 ，
∴ B  30 ，
∵ AD BC ，
∴ BAD  60 ，
∵ DE AB 于点 E，
∴在V ADE 中， ADE  30 ，
∴ AD  2AE  2 ，
∴ AE  1，
在△ABD 中， AB  2AD  4 ，
∴ BE  AB  AE  3 ．
【技巧归纳】
适用前提：仅限等腰三角形，针对顶角和底边；
核心逻辑：顶角平分线、底边上的高、底边上的中线，知一推二，无需证全等；
解题用途：快速得垂直、线段平分、角平分三类隐藏条件，简化证明和计算。口诀：等腰底边一中线，垂直角分全兑现。
易错提醒：腰上的高、中线、角平分线不重合，严禁乱用三线合一。
【变式 2-1】如图，平面直角坐标系中，点 A 在 y 轴上，点 B 2m  3, 0 ，点C 1 m, 0 在 x 轴上，且 AB  AC ，则 m 的值是（ ）
A． 2
【答案】D
B．0C．1D．2
【分析】根据等腰三角形的三线合一性质，列方程求解即可．
【详解】解： B 2m  3, 0 ， C 1  m, 0 ，
OB  2m  3 ， OC  1 m  m 1 ，
AB  AC ， OA  BC ，
OB  OC ，
 2m  3  m 1，解得m  2 ．
【变式 2-2】如图， V ABC 中， AB  AC ， BC  6 ， S△ABC  12 ， EF 垂直平分 AC 分别交边 AC ， AB 于点
E， F ， P 为线段 EF 上一动点，D 为边 BC 的中点，则△PCD 周长的最小值是（ ）
A．4B．7C．9D．12
【答案】B
【分析】连接 AD ，由于V ABC 是等腰三角形，点 D 是 BC 边的中点，故 AD BC ，再根据三角形的面积公式求出 AD 的长，根据 EF 是线段 AC 的垂直平分线可知，点C 关于直线 EF 的对称点为点 A ，故 AD 的长为 CP  PD 的最小值，由此即可得出结论．
【详解】解：连接 AD ，如图，
V ABC 中， AB  AC ，点 D 是 BC 边的中点，
 AD  BC ，
 S ABC
 1 BC  AD  1 6  AD 12 ，
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解得 AD  4 ，
EF 是线段 AC 的垂直平分线，
点C 关于直线 EF 的对称点为点 A ，
 AD 的长为CP  PD 的最小值，
 △CDP 的周长最小值 CP  PD  CD  AD 1 BC 4 1 6
22
7，
题型 3 根据等角对等边证明等腰三角形
【例 1】如图，已知点 E ， C 在线段 BF 上， AC 交 DE 于点O ， AB  DF ， BE  CF ， ABC  DFE ．求证： OE  OC
【答案】见解析
【分析】根据题意容易证得△ABC ≌△DFE ，进而得到ACB  DEF ，结论即可得到证明．
【详解】因为 BE  CF ，所以 BE  EC  CF  EC ．所以 BC  FE ．
又因为 AB  DF ， ABC  DFE ，所以△ABC ≌△DFE （SAS）．
所以ACB  DEF ．所以OE  OC ．
【例 2】如图，在V ABC 中， A  36， AB  AC ，分别以 A ， B 为圆心，大于 1 AB 的长为半径画弧，两
2
弧分别相交于 E ， F 两点，作直线 EF 与 AC 相交于点 D ，连接 BD ．
(1)求DBC 的度数；
(2)求证： BD  BC ．
【答案】(1) DBC  36
(2)见解析
【分析】本题主要考查了尺规作图、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理．
根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得C  ABC  72，由尺规作图可知：直线 EF 垂直平分 AB ，根据线段垂直平分线的性质可知ABD  A  36 ，再根据角之间的关系求出DBC 的度数；
根据三角形外角的性质可得： BDC  72 ，根据等角对等边即可求出DBC 的度数．
【详解】（1）解 如下图所示，在 ABC 中，
AB  AC ， A  36，
 C  ABC  180  36  72 ，
2
由尺规作图可知：直线 EF 垂直平分 AB ，
 DA  DB ，
ABD  A  36，
DBC  ABC  ABD ，
DBC  72  36  36
DBC  36；
（2）解：
BDC  ABD  A ， ABD  A  36 ，
BDC  A  ABD  36  36  72，在 BCD 中，
C  72 ， BDC  72 ，
C  BDC ，
 BD  BC ．
【技巧归纳】
核心思路：欲证三角形为等腰，优先证三角形内两个内角相等；
常用倒角途径：平行线内错角相等、角平分线分角相等、对顶角、三角形外角性质；易错提醒：必须是三角形内部两角相等，方可判定等腰。
【变式 3-1】如图，已知 AB  AC ， ADB  AEC ， BD 和CE 相交于点 O．
(1)求证： BE  CD ；
(2)判断 BOC 的形状，并说明理由．
【答案】(1)证明见详解
(2) BOC 是等腰三角形，理由见详解
【分析】本题考查了补角的定义，全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质．
根据已知条件利用补角的定义得到BEC  CDB ，再利用等边对等角得出∠ABC  ACB ，证明
BEC≌ CDB AAS ，从而得出结论；
根据（1）的结论得到ECB  DBC ，再由等角对等边可得出结论．
【详解】（1）证明：∵ ADB  AEC ，
∴180  ADB  180  AEC ，即BEC  CDB ，
又∵ AB  AC ，
∴∠ABC  ACB ， 在V BEC 和△CDB 中，
BEC  CDB

ABC  ACB ，

BC  BC
∴ BEC≌ CDB AAS ，
∴ BE  CD ．
（2）解： BOC 是等腰三角形，
理由：由（1）知，
∴ ECB  DBC ，
∴ OB  OC ，
BEC≌ CDB AAS ，
∴ BOC 是等腰三角形．
【变式 3-2】如图， AD 平分V ABC 的外角EAC ， AD ∥ BC ．求证： V ABC 是等腰三角形．
【答案】见详解
【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，掌握以上知识，数形结合是关键，根据角平分线的定义，平行线的性质得到B  C ，结合等腰三角形的定义即可求解．
【详解】证明：∵ AD 平分V ABC 的外角EAC ，
∴ EAD  DAC ，
∵ AD BC ，
∴ EAD  B, DAC  C ，
∴ B  C ，
∴ AB  AC ，即V ABC 是等腰三角形．
题型 4 根据等角对等边证明边相等
【例 1】如图，在 ABC 中，已知ABC 和ACB 的平分线相交于点 F，过点 F 作 DE BC ，交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，若 BD  5 、CE  3 ，则线段 DE 的长为（）
A．6B．12C．10D．8
【答案】D
【分析】根据角平分线的定义可得ABF＝CBF ， ACF＝BCF ，再利用平行线的性质可得
DFB＝CBF ， EFC＝BCF ，从而可得ABF  DFB ， ACF  EFC ，然后利用等角对等边可得
DB  DF ， EF  EC ，即可解答．
【详解】解：∵ BF 平分ABC ， CF 平分ACB ，
∴ ABF  CBF ， ACF  BCF ，
∵ DE BC ，
∴ DFB  CBF ， EFC  BCF ，
∴ ABF  DFB ， ACF  EFC ，
∴ DB  DF ， EF  EC ，
∵ BD  5 ， CE  3 ，
∴ DE  DF  EF  BD  CE  5  3  8 ．
【例 2】如图， V ABC 中， B  2A ，ACB 的平分线CD 交 AB 于点 D，已知 AC  16 ， BC  9 ，则 BD
的长为．
【答案】7
【分析】在 AC 上截取CE  CB ，连接 DE ，利用已知条件求证△CBD≌△CED ，然后可得 BD  ED ，
B  CED ，再利用三角形外角的性质求证CE  DE ，最后计算即可．
【详解】解：如图，在 AC 上截取CE  CB ，连接 DE ，
∵ACB 的平分线CD 交 AB 于点 D，
∴ BCD  ECD ．
在△CBD 与△CED 中，
CB  CE

BCD  ECD ，

CD  CD
∴ CBD≌ CED SAS ，
∴ BD  ED ， B  CED ，
∵ B  2A ， CED  A  ADE ，
∴ 2A  A  ADE ，
∴ A  ADE ，
∴ AE  ED ，
∴ AE  ED  BD ，
∴ BD  AC  CE  AC  BC  16  9  7 ．
【技巧归纳】
适用场景：直接证明线段相等困难时，优先转化为证角相等；
核心规则：同一三角形中，等角对等边，等角对应的侧边一一相等；
答题技巧：先倒角证两角相等，再直接写对应边相等，简化全等步骤。易错提醒：区分角与对应边，避免错找对应线段。
【变式 4-1】如图，在 ABC 中，ABC  60 ，C  70 ，BAC 和ABC 的角平分线 AE 、BF 交于点 O，
AD  BC ，垂足为点 D，且 AD 与 BF 交于点 G．
(1)求CAD 和BOE 的度数；
(2)求证： AG  BG ．
【答案】(1) CAD  20 ， BOE  55
(2)见解析
【分析】（1）首先，根据三角形的内角和定理及垂直的定义求出BAC  50， ADC  ADB  90，
CAD  20 ，再根据角平分线的性质求出BAE  1 BAC  25 ， ABF  1 ABC  30 ，最后，再根据
22
外角的性质求出BOE 的度数；
（2）首先，根据垂直的定义及三角形的内角和求出BAD  30 ，然后，再由（1）知ABF  1 ABC  30 ，
2
运用“等角对等边”知识可知 AG  BG ．
【详解】（1）解：在 ADC 中， ABC  60 ， C  70 ，
∴ BAC  180  ABC  C  180  60  70  50，
∵ AD  BC ，
∴ ADC  ADB  90，
∴ CAD  180  C  ADC  180  70  90  20 ，
∵ AE 平分BAC ，
∴ BAE  1 BAC  25 ．
2
∵ BF 平分ABC ，
∴ ABF  1 ABC  30 ．
2
∵ BOE 为 AOB 的外角，
∴ BOE  BAE  ABF  25  30  55；
（2）证明：在 ABD 中， ABC  60 ， ADB  90 ，
∴ BAD  180  ABC  ADB  180  60  90  30，
由（1）知ABF  1 ABC  30 ，
2
∴ BAD  ABF ，
∴ AG  BG ．
【变式 4-2】如图，A  B  90 ，E 是 AB 上的一点，且 AE  BC ，1  2 ，求证：Rt△ADE≌Rt△BEC ．
【答案】证明见解析
【分析】利用等角对等边，推出 DE  EC ，再根据HL 即可证明Rt△ADE≌Rt△BEC ．
【详解】证明：∵ 1  2 ，
∴ DE  CE ，
∵ A  B  90 ，
∴在Rt ADE 和Rt BEC 中，
 AE  BC

DE  EC ，
∴ Rt△ADE≌Rt△BEC HL ．
题型 5 根据等角对等边求边长
【例 1】如图，在V ABC 中，B 、C 的平分线交于O 点，过O 点作 EF ∥ BC 交 AB 、AC 于点 E 、F ．当
EF  7 ， BE  3 时， CF 的长为．
【答案】
4
【分析】由角平分线的定义，结合平行线的性质，可得EOB  EBO ， FOC  FCO ，可得 EB  EO ，
FC  FO ，即可得CF 的长．
【详解】解：∵在V ABC 中，B 、C 的平分线交于O 点，
∴ ABO  CBO ， ACO  BCO ，
∵ EF 过点O ， EF ∥ BC 交 AB 、 AC 于点 E 、 F ，
∴ EOB  OBC ， FOC  BCO ，
∴ EOB  EBO ， FOC  FCO ，
∴ EB  EO ， FC  FO ，
∵ EF  7 ， BE  3 ，
∴ FC  FO  EF  EO  EF  EB  7  3  4 ．
【例 2】如图，在Rt△ABC 中， B  30 ，CM 平分ACB 交 AB 于点 M，过点 M 作 MN ∥ BC 交 AC 于点
N，若 AN  1，则 BC 的长为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】B
【分析】CM 平分ACB ，MN ∥ BC 构造了等腰三角形 MNC ，再根据含 30 度角的直角三角形的性质求解．
【详解】解： CM 平分ACB ，
 BCM  ACM ，
MN ∥ BC ，
 BCM  NMC ，
 NMC  ACM ，
 MN  NC ，
MN ∥ BC ， B  30 ，
 AMN  B  30，
A  90，AN  1
 MN  2 AN  2 1  2 ，
 NC  MN  2 ，
 AC  AN  NC  1 2  3 ，
Rt△ABC 中， B  30 ，
 BC  2 AC  6 ．
【技巧归纳】
解题流程：题干/图形找等角判定等腰三角形对应边等量代换；
周长计算：利用等边替换，将不规则折线边长转化为已知线段长度；
复杂题型：结合多次等角转换，得到多组等边，分步求解边长。易错提醒：计算后必须检验三角形三边关系，舍去无解情况。
【变式 5-1】如图，在V ABC 中， C  2B ， AD BC 于点 D， AC  5 ， CD  3 ．则 BD 的长为．
【答案】8
【分析】在 DB 上截取 DE  DC ，连接 AE ，得出 AD 是 EC 的垂直平分线，得出相等的边和角，然后利用三角形的外角定理以及等角对等边进行求解．
【详解】解：如图，在 DB 上截取 DE  DC ，连接 AE ，
∵ AD BC ，
∴ AD 是 EC 的垂直平分线，
∴ AE  AC  5, DE  CD  3 ，
C  AEC ，
∵ C  2B ，
∴ AEC  2B ，
∵AEC 是 ABE 的一个外角，
∴ AEC  B  BAE ，
∴ B  BAE ，
∴ AE  BE  5 ，
∴ BD  BE  DE  8 ．
【变式 5-2】如图，在V ABC 中， BD 平分ABC ，交 AC 于点 D，点 E 在 AB 上，连接 DE ．已知A  30，
C  AED  75 ．
求证： DE ∥ BC ；
若 AB  12 ， DE  4 ，求 AD 的长．
【答案】(1)见解析
(2)8
【分析】（1）由三角形内角和定理求出ADE  75，得到ADE  C ，即可推出 DE ∥ BC ；
（2）由角平分线和平行线的性质得到ABD  BDE ，推出 BE  DE  4 ，然后由等角对等边求解即可．
【详解】（1）证明：在V ADE 中， A  30， AED  75 ，
∴ ADE  180  30  75  75．
∴ ADE  C ，
∴ DE ∥ BC ；
（2）解：∵ BD 平分ABC ，
∴ ABD  CBD ．
∵ DE ∥ BC ，
∴ BDE  CBD ，
∴ ABD  BDE，
∴ BE  DE  4 ．
∵ AB  12 ，
∴ AE  AB  BE  12  4  8 ．
∵ AED  ADE  75 ，
∴ AD  AE  8 ．
题型 6 含 30°角的直角三角形
【例 1】如图， V ABC 中， ACB  90 ， B  30 ， CH  AB 于 H，若 AH  2 ，则 BH  ．
【答案】6
【分析】根据直角三角形的性质可得A 和ACH 的度数，再根据在直角三角形中，30 角所对的直角边等于斜边的一半可得 AC 和 AB 的长，进而可得答案．
【详解】解：∵ CH  AB ，
∴ AHC  90 ，
∵ ACB  90 ， B  30 ，
∴ A  60， AB  2AC ，
∴ ACH  30 ，
∴ AC  2AH  4 ，
∴ AB  2AC  8 ，
∴ BH  AB  AH  8  2  6 ．
【例 2】如图， V ABC 中， C  90 ， CD 是高， A  30 ，若 AB  4 ，则 BD  ．
【答案】1
【分析】由题意得出V ABC 和 BDC 是含 30 度角的直角三角形，根据 30 度角所对的直角边等于斜边的一半解决问题．
【详解】解：∵V ABC 中， C  90 ， A  30 ， AB  4 ，
∴ BC  1 AB  2 ， B  90  A  60，
2
∵ CD 是高，B=60 ，
∴ BCD  90  B  30 ，
∴ BD  1 BC  1  2  1 ．
22
【技巧归纳】
1. 核心定理：Rt△中，30°锐角所对的直角边= 1 斜边；
2
2. 反向推导：Rt△中，若一条直角边等于斜边一半，则该直角边对角为 30°；
3. 解题用途：快速求直角三角形边长、线段倍分关系，无需勾股定理。易错提醒：必须是直角三角形+30°内角，普通三角形不适用。
【变式 6-1】如图，V ABC 中， C  90 ， A  30 ， AB 的垂直平分线交 AC 于 D ，交 AB 于 E ， CD  3 ，则 AD 等于（ ）
A． 6B． 8C． 9D．12
【答案】A
【分析】连接 BD ，根据直角三角形两锐角互余得ABC  60 ，再利用线段垂直平分线的性质得 DA  DB ，继而得到DBA  A  30 ，进而可得DBC  30 ，然后根据含30 角的直角三角形的性质可得答案．
【详解】解：如图，连接 BD ，
∵ C  90 ， A  30，
∴ ABC  90  A  60 ，
∵ DE 是 AB 的垂直平分线， CD  3 ，
∴ DA  DB ，
∴ DBA  A  30 ，
∴ DBC  ABC  DBA  60  30  30 ，
∴ AD  BD  2CD  2  3  6 ．
【变式 6-2】如图，OP 平分AOB ，AOP  15 ，PC ∥OA ，PD  OA 于点 D ，PC  4 ，则 PD  ．
【答案】2
【分析】过点 P 作 PE  OB ，利用角平分线性质得到 PD  PE ，再结合平行线、三角形外角性质可证△CEP
为含30 角的直角三角形，结合 PC  4 求出 PE ，进而得到 PD ．
【详解】解：如图，过点 P 作 PE  OB ，
OP 平分AOB ， AOP  15 ， PD  OA ，
 BOP  15 ， PD  PE ，
PC ∥OA ，
 CPO  15，
 ECP  30 ，
PC  4 ，
 PE  1 PC  2 ， 2
 PD  2 ．
题型 7 等腰三角形的性质和判定
【例 1】如图，已知：在 PAC 中，点 D 、B 分别在边 PA 、PC 上， AB 与CD 相交于点O ，ADC  ABC ，
AD  BC ．
(1)求证： PA  PC ；
(2)连接 PO 并延长交 AC 于点 E ，求证： PE  AC ．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)证明过程见解析
【分析】（1）由AOD  COB ， ADO  CBO ， AD  CB ，根据“ AAS ”证明△AOD ≌△COB ，得
DAO  BCO ， OA  OC ，所以OAC  OCA ，推导出PAC  PCA ，则 PA  PC ；
（2）连接 PO 并延长交 AC 于点 E ，由 PA  PC ， AD  BC ，推导出 PD  PB ，而OD  OB ， OP  OP ，可根据“ SSS”证明 OPD≌ OPB ，得DPO  BPO ，即可根据等腰三角形的“三线合一”证明 PE  AC ．
【详解】（1） 点 D 、 B 分别在边 PA 、 PC 上， AB 与CD 相交于点O ，
AOD  COB ，
ADC  ABC ，
ADO  CBO ，
在△AOD 和△COB 中，
ADO  CBO

AOD  COB ，

AD  CB
 AOD≌ COB AAS ，
 DAO  BCO ， OA  OC ，
OAC  OCA ，
DAO  OAC  BCO  OCA ，
PAC  PCA ，
 PA  PC ．
（2）连接 PO 并延长交 AC 于点 E ，
PA  PC ， AD  BC ，
 PA  AD  PC  BC ，
PD  PB ，
由（1）得△AOD ≌△COB ，
OD  OB ，
在△OPD 和△OPB 中，

 PD  PB
OD  OB ，

OP  OP
 OPD≌ OPB SSS ，
DPO  BPO ，
PA  PC ， PE 平分APC ，
 PE  AC ．
【例 2】如图，在V ABC 中， AB  AC ， BD 为 AC 边上的高， BE 平分ABD ，点 F 在 BD 上，连接 EF 并 延长交 BC 于点 G，若 BG  EG ，A  2DEF ，有下列结论：① DEF  CBD ；② ABE  CBD  45；
③ EG  BC ；④ BF  CE ．其中正确的结论有．（填序号）
【答案】①②③④
【分析】过点 A 作 AN  BC 于点 N ，证明 EG//AN ，得出CGE  ANC  90 ，说明 EG  BC ，判断③正确；根据BDC  90，得出CBD  C  DEF  C  90 ，证明DEF  CBD ，判断①正确；证明
BGF 
EGC ，得出 BF  CE ，判断④正确；证明EBG  BEG  1  90  45 ，根据ABE  DBE ，
2
得出EBG  EBD  CBD  ABE  CBD  45 ，判断②正确．
【详解】解：过点 A 作 AN  BC 于点 N ，如图所示：
AB  AC ， AN  BC ，
ANC  90 ， BN  NC ， BAN  CAN  1 BAC ，
2
BAC  2DEF ，
DEF  1 BAC ，
2
CAN  DEF ，
 EG//AN ，
CGE  ANC  90 ，
 EG  BC ，故③正确；
BD 为 AC 边上的高，
 BD  AC ，
BDC  90 ，
CBD  C  90，
CGE  90，
DEF  C  90 ，
DEF  CBD ，故①正确；
在 BGF 和 EGC 中，
DEF  CBD

BG  EG，

BGF  EGC
 BGF  EGC  ASA ，
 BF  CE ，故④正确；
EG  BG ， EG  BC ，
EBG  BEG  1  90  45 ，
2
BE 平分ABD ，
ABE  DBE ，
EBG  EBD  CBD  ABE  CBD  45，故②正确；综上分析可知，①②③④正确．
【技巧归纳】
先判定后用性质：先证等腰，再用等边对等角、三线合一解题；
常结合模型：角平分线+平行线、折叠对称、三角形外角综合倒角。
易错提醒：区分性质与判定因果，判定是“等角推等边”，性质是“等边推等角
【变式 7-1】如图，直角三角形 ABC 中，ABC  90 ，AB  11，BC  5 ，D 是边 AC 上一点，且BDC  BCD ，过点 D 作 DE  BD ，交边 AB 于点 E，则V BDE 的周长是．
【答案】16
【分析】由直角三角形的性质可得A  C  90 ，由垂直的定义及平角的定义可得ADE  BDC  90，再结合等腰三角形的性质可得A  ADE ，即可证明 AE  DE ，再利用三角形的周长公式可求解．
【详解】解： ABC  90 ，
A  C  90 ，
DE  BD ，
BDE  90 ，
ADE  BDC  90 ，
BDC  BCD ，
 BD  BC  5 ， A  ADE ，
 AE  DE ，
AB  11, BD  BC  5 ，
 BDE 的周长为： BD  BE  DE
 BD  BE  AE
 BD  AB
 5 11
 16 ．
【变式 7-2】已知∶如图，在V ABC 中， AB  AC ， AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D ，交 AB 于点 E ．
若A  36，求DBC 的度数；
若 AE  8 ， △CBD 的周长为 24，求V ABC 的周长．
【答案】(1) DBC  36
(2)40
【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质得到 DB  DA ，求出ABD  A  36 ，利用等腰三角形的性质求出ABC  72 ,继而得到DBC  ABC  ABD  72  36  36 ；
（2）先求出 AB  2 AE  16 ，再推出 AC  BC  24 ,计算即可得到答案．
【详解】（1）解∶ AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D ，
 DB  DA ，
 ABD 是等腰三角形；又 A  36 ，
ABD  A  36 ， ABC  C  180  36   2  72
DBC  ABC  ABD  72  36  36 ；
（2）解： AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D ， AE  8 ，
 AB  2 AE  16 ， AD  BD ，
CBD 的周长为 24，
 BD  CD  BC  AD  CD  BC  AC  BC  24 ，
 ABC 的周长 AB  AC  BC  16  24  40 ．
题型 8 等边三角形的性质
【例 1】如图，等边V ABC 的边长为 4， AD 是 BC 边上的中线，F 是 AD 边上的动点，E 是 AC 边上一点，
若 AE  2 ，当 EF  CF 取得最小值时，则ECF 的度数为（ ）
A．15B． 22.5C． 30D． 45
【答案】C
【分析】先作点 E 关于 AD 对称的点 M ，连接CM ，与 AD 交于点 F ，根据“将军饮马”模型，得出此时 EF  CF
取得最小值，再根据等边三角形的性质可得结果．
【详解】解：如图，作点 E 关于 AD 对称的点 M ，连接CM ，与 AD 交于点 F ，
∵V ABC 是等边三角形， AD 是 BC 边上的中线，
∴ AD BC ， ACB  60 ，
∴点M 在 AB 上，
 AM  AE  2 ， FM  FE ，
 EF  CF  MF  CF  CM ，此时， EF  CF 取得最小值．
AB  4 ， AM  2 ，
点M 为 AB 的中点，
 CM 平分ACB ，
ECF  1 ACB  30 ．
2
【例 2】如图，V ABC 是边长为 1 的等边三角形，D 是 AC 的中点，DE  BC 于 E ，延长 BC 到点 F，F  30 ，则 BE 的长为（ ）
A． 3
4
【答案】A
B． 4
5
C． 3
5
D． 2
5
【分析】根据等边三角形的性质得出ACB  60 ，AC  BC  1，由中点的定义得出CD 的长，在Rt△DEC 中利用30 角所对的直角边等于斜边的一半求出CE 的长，最后根据 BE  BC  CE 计算即可．
【详解】解：∵V ABC 是边长为 1 的等边三角形，
∴ ACB  60 ， AC  BC  1，
∵D 是 AC 的中点，
∴ CD  1 AC  1 ，
22
∵ DE  BC ，
∴ DEC  90 ，
在Rt△DEC 中， CDE  90  ACB  30，
∴ CE  1 CD  1  1  1 ，
22 24
∴ BE  BC  CE  1 1  3 ．
44
故选：A．
【技巧归纳】
核心性质：三边相等、三角均为 60°、三条对称轴、满足三线合一；
解题核心：所有边角均相等，可自由等量代换，快速倒角、证边相等；
综合应用：等边三角形内角 60°是全等证明、角度计算的核心条件。
易错提醒：等边三角形是特殊等腰三角形，但不可用普通等腰性质一概而论。
【变式 8-1】V ABC 中， AB  AC ， A  20 ，在 AB 上取点 D，使 AD  BC ，则BDC  ．
【答案】30 /30 度
【分析】先根据等腰三角形性质与三角形内角和定理求出V ABC 的底角度数，通过构造等边三角形得到全等三角形，再利用全等三角形的性质和等腰三角形的性质计算BDC 的度数．
【详解】解：∵ AB  AC ，∠BAC  20
∴ ABC  ACB  180  20  80 ．
2
以 AC 为边，在V ABC 外侧作等边△ACE ，连接 DE ．
则 AC  AE  CE ， CAE  AEC  60 ．
∴ DAE  BAC  CAE  20  60  80．
AB  AC ，
∴ AB  AE ．
又 AD  BC ，
 ABC≌ EAD SAS ．
∴ ADE  ACB  80 ， AED  BAC  20 ， DE  AC ．
DE  AC  CE ，
 DEC 是等腰三角形， DE  CE ， DEC  AEC  AED  60  20  40．
∴ EDC  ECD  180  40  70 ．
2
A, D, B 三点共线，
BDC  180  ADE  EDC  180  80  70  30．
【变式 8-2】如图，在等边V ABC 中，点 D，E 分别是 BC，AC 的中点， AD  8cm ，点 P 是 AD 边上的一个动点，当 PC  PE 最小时，求CPE  °．
【答案】60
【分析】连接 BE ， BP ，由等边三角形的性质得到 AD BC ， BCE  60 ， EBC  1 ABC  30 ，则可
2
证明 PC  PB ，故当 B、P、E 三点共线时， PC  PE 有最小值，由等边对等角可得PCB  PBC  30 ，再由三角形外角的性质可得答案．
【详解】解：如图，连接 BE ， BP ，
∵等边V ABC 中，点 D ， E 分别是 BC 、 AC 的中点，
 AD  BC ， BCE  60 ， EBC  1 ABC  30 ，
2
∴ AD 垂直平分 BC ，
 PC  PB ，
 PC  PE  PE  PB  BE ，
∴当 B、P、E 三点共线时， PC  PE 有最小值，
PC  PB ，
PCB  PBC  30 ，
CPE  PCB  PBC  30 30 60 ．
题型 9 等边三角形的判定
【例 1】如图，在V ABC 中， ABC  ACB  80 ，D 是 AB 上一点，且 AD  BC ， DE ∥ BC 且 DE  AC ，连接 AE 、CE 、CD ．
(1)求AED 的度数；
(2)证明： △ACE 是等边三角形．
【答案】(1) 20
(2)见解析
【分析】（1）根据等角对等边、三角形内角和定理和两直线平行同位角相等，求得BAC 和利用“ AAS ”
证得△ADE≌△CBA ，然后根据全等三角形对应角相等即可解答；
（2）根据全等三角形对应边和对应角相等，求得CAE  60 ，再根据有一个内角是60 的等腰三角形为等边三角形即可证得结论．
【详解】（1）解：∵ ABC  ACB  80，
∴ AB  AC ， BAC  180  280  20，
∵ DE ∥ BC ，
∴ ADE  B ，
∵ AB  AC ， DE  AC ，
∴ AB  DE ，
在V ADE 和△CBA 中，
 AD  CB

ADE  CBA ，

DE  BA
∴ ADE≌ CBAAAS ，
∴ AED  BAC  20 ；
（2）证明：∵△ADE≌△CBA ，
∴ AE  AC ， DAE  ACB  80 ，
∵∠BAC  20 ，
∴ CAE  DAE  BAC  60 ，
∴△ACE 是等边三角形．
【例 2】如图， AD 平分BAC ， DE AB ， DF AC ．
(1)求证： DEF  DFE ；
(2)若BAC  60 ，判断△AEF 的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析；
(2)等边三角形，见解析．
【分析】本题考查了角平分线的性质，等边三角形的判定，等腰三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
（1）由角平分线性质可得 DE  DF ，然后通过等边对等角即可求证；
（ 2 ）由 DE AB ， DF AC ，可得AED  AFD  90 ，所以AEF  DEF  AFE  DFE ，由（1）可知DEF  DFE ，从而可得AEF  AFE ，则有 AE  AF ，最后由等边三角形的判定方法即可求证．
【详解】（1）证明： AD 平分BAC ， DE AB ， DF AC ，
∴ DE  DF ，
∴ DEF  DFE ；
（2）解：△AEF 是等边三角形，理由如下：
∵ DE AB ， DF AC ，
∴ AED  AFD  90，
∴ AEF  DEF  AFE  DFE ，由（1）可知DEF  DFE ，
∴ AEF  AFE ，
∴ AE  AF ，
又∵ BAC  60 ，
∴△AEF 是等边三角形．
【技巧归纳】
等腰三角形仅有一个 60°角，不能判定为等边三角形。
【变式 9-1】如图，已知点O 是APB 内的一点， M ， N 分别是点O 关于 PA、PB 的对称点，连接 MN ，与 PA、PB 分别相交于点 E，F ，已知 MN  10cm ．
(1)求 OEF 的周长；
(2)连接 PM，PN ，若APB  30 ，判定 PMN 的形状，并说明理由．
【答案】(1)10cm
(2)等边三角形，理由见解析
【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟记轴对称的性质是解本题的关键．
根据轴对称的性质可得 EM  EO ， FN  FO ，再结合三角形的周长公式可得答案；
根据轴对称的性质可得APM APO ，BPN  BPO ，再结合角的和差运算可得
MPN  2APB  60 ，进而可结论．
【详解】（1）解： M，N 分别是点O 关于 PA、PB 的对称点，
 PA 垂直平分 MO ， PB 垂直平分ON
 EM  EO，FN  FO
 EO  EF  FO  EM  EF  FN  MN
MN  10cm
 OEF 的周长为10cm
（2）等边三角形，理由如下：连接OP
M，N 分别是点O 关于 PA、PB 的对称点，
 PA 垂直平分 MO，PB 垂直平分ON ，
 PM  PO，PN  PO ，
 APM APO ，BPN  BPO ，
APB  30 ，
MPN  APM APO BPN BPO ，
MPN  2APO  BPO  2APB  60 ，又 PM  PO，PN  PO ，
 PM  PN ，
△PMN 是等边三角形.
【变式 9-2】如图，在V ABC 中，点 D 是 AC 的中点，且 BD  AC ，过点 D 作 AB 的垂线交 AB 于点 F ，交 BC
的延长线于点 E ，已知E  30．
(1)求证： V ABC 是等边三角形，请完成以下证明过程；证明： 点 D 是 AC 的中点，，
BD 垂直平分 AC ，
，
又 EF  AB ， E  30，
，
 ABC 是等边三角形．
(2)判断线段 AD 与CE 的大小关系，并说明理由．
【答案】(1) BD  AC ， BA  BC ， ABC  60 ；
(2) AD  CE ，理由见解析．
【分析】（1）由线段垂直平分线的性质，可得 BA  BC ，由直角三角形的两个锐角互余，可得ABC  60 ，即可证得结论；
（2）由等边三角形的性质，结合直角三角形的两个锐角互余，可得ADF  30 ，由对顶角相等，结合已知可得CDE  E ，可得 AD  CD ，即可得线段 AD 与CE 的大小关系．
【详解】（1）证明： 点 D 是 AC 的中点， BD  AC ，
BD 垂直平分 AC ，
 BA  BC ，
又 EF  AB ， E  30，
ABC  60，
 ABC 是等边三角形．
（2）解： AD  CE ．理由：
ABC 是等边三角形，
A  60 ，
EF  AB ，
ADF  90  60  30，
CDE  ADF  30  E ，
CD  CE ，
又 D 是 AC 的中点，
 AD  CD ，
 AD  CE ．
题型 10 最短路径问题
【例 1】如图，是一个8 10 正方形格纸， V ABC 中 A 点坐标为(2,1) ， B 点的坐标为(1, 2) ．
请在图中建立平面直角坐标系， V ABC 和 ABC 关于哪条直线对称？
作出V ABC 关于 x 轴对称的图形△A1B1C1 ；
在 x 轴上求作一点 M ，使 MA  MB 的和最小．
【答案】(1)见详解
见详解
见详解
【分析】（1）根据已知点坐标确定原点、坐标轴位置，建立平面直角坐标系，根据轴对称的性质得到V ABC
和 ABC 的对称轴．
根据轴对称的性质找到V ABC 各端点关于 x 轴对称的对应点，连线即可得到△A1B1C1 ．关于 x 轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数．
最短路径问题：利用轴对称将折线和转化为直线段，根据“两点之间线段最短”求解即可．
【详解】（1）解：根据V ABC 中 A 点坐标为(2,1) ， B 点的坐标为(1, 2) ，建立平面直角坐标系如下图，
如图所示，点C 的坐标为3, 3 ，点 A、B、C 的坐标分别为2,1，1, 2，3, 3 ，
V ABC 和 ABC 的对应点的连线被 y 轴垂直平分，
∴V ABC 和 ABC 关于 y 轴对称；
解：如图， V ABC 的 A 2,1、B 1, 2、C 3, 3 三点关于 x 轴对称的对应点分别为
A1 2, 1、B1 1, 2、C1 3, 3 ，连接对应点得△A1B1C1 ，即为所求；
解：如图，作 B 关于 x 轴的对称点 B  ，
B和 B  关于 x 轴对称，点 M 在 x 轴上，
 MB  MB  ，
 MA  MB  MA  MB  ，
当 A、M、B  在一条直线上时， MA  MB  最小，
连接 AB  ， AB  和 x 轴的交点即为所求点 M ，此时MA  MB 最小．
【例 2】如图，在6  6 的正方形网格中，请仅用无刻度直尺完成下列画图问题．
(1)在图 1 中，画出线段 AB 的中点M ；
(2)如图 2，在直线l 上找一点 P ，连接 PC 和 PD ，使 PC  PD 的值最小．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了网格作图、线段中点的性质及轴对称求最短路径（两点之间线段最短），解题关键是利用网格的对称性和格点特征构造辅助线．
小问 1：选择格点 C、D，通过证明
AMC≌
BMD  ASA ，再利用全等三角形的性质即可得到 AB 的中点 M ．
小问 2：作点 D 关于直线l 的对称点 E ，连接CE ， CE 与直线l 的交点即为所求点 P ．
【详解】（1）解：如图 1，点 M 即为所求．
（2）如图 2，点 P 即为所求．
【技巧归纳】
1. 核心原理：轴对称转化+两点之间线段最短；
通用步骤：作定点关于直线的对称点，连接对称点与另一定点，线段长度即为最短路径；
模型口诀：一线两点作对称，连线最短无争议；
角度求解：结合等腰、等边三角形性质，求最短路径对应的夹角。易错提醒：找错对称点、选错对称轴，导致最短路径计算错误。
【变式 10-1】如图， V ABC 的面积为 6， B  30 ， AC  3 ，点 D 、 E 、 F 分别是 AC 、 AB 、 BC 边上的动点，则 DEF 周长的最小值为．
【答案】4
【分析】本题主要考查了对称性找最短路径，垂直平分线的性质，等边三角形的性质，理解和掌握垂直平分线的性质，对称轴的性质找最短路径的方法是解题的关键．
根据对称性质，将 DEF 周长转换为一条直线，作点 D 关于 AB 、BC 的对称点 M 、N ，连接 BM ，BN ，MN ， EM ， FN ， BD ，证明 BMN 是等边三角形，得 DEF 周长的最小值为MN ，由对称性和 BMN 是等边三角形可得 MN  BD ，求出 BD 的最小值即可得结论．
【详解】解：如图，作点 D 关于 AB 、 BC 的对称点 M 、 N ，连接 BM ， BN ， MN ， EM ， FN ， BD ，
由轴对称可得， BM  BD  BN ， EM  ED ， FD  FN ， MBA  DBA ， NBC  DBC ，
∴当M ，E ，F ，N 在一条直线上时， DEF 的周长 DE  EF  FD  EM  EF  FN  MN 最小，即 DEF
周长的最小值为 MN ，
∵ ABC  DBA  DBC  30 ，
∴ MBN  MBA  DBA  DBC  NBC  2DBA  DBC   60，
∴ BMN 是等边三角形，
∴ MN  BM  BN  BD ，
∴ DEF 周长的最小值为 BD 的长，
根据垂线段最短，可知 BD  AC 时， BD 最小，即 DEF 周长最小，
∵V ABC 的面积为 6， AC  3 ，即 S
ABC
 1 AC  BD  1  3 BD  6 ，
22
∴ BD  4 ，即 DEF 周长最小值为 4．故答案为：4．
【变式 10-2】如图，在等腰V ABC 中， AB  AC ， AD BC 于点 D ，两动点 E ，F 分别在线段 AD 、AB 上运动，若BAC  48 ，则当 BE  EF 取得最小值时， EBF 的度数为 ．
【答案】42
【分析】本题主要考查了轴对称﹣最短路径问题，掌握线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和外角定理是解题的关键．
先根据线段的垂直平分线的性质找到最小值，再根据等腰三角形的性质和三角形的外角定理求解．
【详解】解：过 C 作CF   AB 于 F，交 AD 于 E ，连接 BE, CE ，
∵ AB  AC , AD  BC ，
∴ BD  CD ，
∴ AD 垂直平分 BC ， ABC  ACB  1 (180  48 ) 66 ，
2
∴ CE  BE, BCF  90  ABC  24，
∴ ECB  EBC  24, BE  EF  CE  EF  CE  EF  CF，
即当点C, E, F三点共线，且CF   AB 时， BE  EF 的最小值为CF 的长，
∴ EBF  ABC  EBC  66  24  42 ，即当 BE  EF 取得最小值时， EBF  42 ．故答案为： 42 ．
如图， ABC 是等边三角形，动点 D 从点 B 出发，沿 BA 方向运动到终点 A，以CD 为边向上作等边 CDE ，连接 AE ．在整个运动过程中，阴影部分面积大小的变化情况是（）
一直减小B．一直不变C．先减小后增大D．先增大后减小
【答案】B
【分析】根据等边三角形的性质可证 BCD≌ ACE SAS  ，由此可得阴影部分的面积为等边三角形 ABC 的
面积．
【详解】解：∵ ABC 、 CDE 是等边三角形，
∴ AB  AC, EC  DC, ACB  ECD  60 ，
∴ ACB  ACD  ECD  ACD ，即BCD  ACE ，
∴ BCD≌ ACE SAS  ，
∴ S BCD  S ACE ，
∵阴影部分的面积为 S ACD  S ACE ，
∴阴影部分的面积为 S ACD  S BCD  S ABC ，
∴阴影部分面积的变化情况是一直不变 ．
如图，在V ABC 中，∠ABC  ACB ， BAC  45 ．若 AD 平分BAC 交 BC 于 D， BE  AC 于 E，且交 AD 于 O．则下列结论：① AD BC ；② OB  OE ；③ OE  CE ；④V ACD≌V BCE ，其中正确的个数有
（ ）
A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个
【答案】C
【分析】结论①：利用等腰三角形的三线合一即可证明；结论②：证明OB  OC  OE 即可判断；结论③：证明ECO  OBA  45 即可；结论④：缺少全等的条件，无法证明两三角形全等．
【详解】解：如图，连接OC ，
∵∠ABC  ACB ，
∴ AB  AC ，
∵ AD 平分BAC ，
∴ AD BC ， BD  CD ，即①正确；
∴ OB  OC ，
∵ BE  AC ，而OC  OE ，
∴ OB  OE ，即②错误；
∵∠ABC  ACB ， OBC  OCB ， BE  AC ， BAC  45 ，
∴ ABE  ACO  45 ，
∴ ECO  EOC  45 ，
∴ OE  CE ，即③正确；
∵ AB  AC ， BAC  45 ，
∴ ABC  ACB  67.5 ，
∴ AC 不一定等于 BC ，
∴ ACD 和 BCE 不全等，即④错误， 综上所述，正确的结论有①③，共 2 个．
已知一个三角形中两个内角分别是70 和40，则这个三角形一定是（）
钝角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．不能确定
【答案】C
【分析】先根据三角形内角和定理求出第三个内角的度数，再依据等腰三角形的判定定理判断三角形类型．
【详解】解：第三个内角的度数为180  70  40  70 ，
∵有两个内角相等，
∴这个三角形是等腰三角形．
如图，在V ABC 中， ABC  90， C  30 ，以点 A 为圆心，以 AB 的长为半径作弧交 AC 于点 D ，连
接 BD ，再分别以点 B，D 为圆心，大于 1 BD 的长为半径作弧，两弧交于点 P，作射线 AP 交 BC 于点 E，
2
连接 DE ，则下列结论中：① BE  DE ；② CE  2BE ；③ S ABC 3S EDC ；④ DE 垂直平分线段 AC ，正
确的个数有（ ）个
个B．2 个C．3 个D．4 个
【答案】C
【分析】根据线段垂直平分线的判定和性质，可知 BE  DE ；根据角平分线的性质可知BAE  CAE  30 ，根据等角对等边可知 AE  CE ，根据含30 角的直角三角形的性质，可知 AE  2BE ，等量代换可知CE  2BE ；
可知 S
EDC
 1 S
2
ACE
，根据CE  2 BC ，可得： S
3
ACE
 2 S
3
ABC
，所以可得： S
EDC
 1 S
3
ABC
；由等腰三角形
的三线合一可得 ED  AC ，所以可知 DE 垂直平分线段 AC ，进而可得答案．
【详解】解：连接 PB ， PD ，
由作法得 AB  AD ， PB  PD ，
 AP 垂直平分 BD ，
 BE  DE ，故①正确；
ABC  90 ， C  30 ，
BAC  60 ，
由作法得 AE 平分BAC ，
BAE  CAE  30 ，
CAE  C ，
 AE  CE ，
在Rt△ABE 中， BAE  30 ，
 AE  2BE ，
CE  2BE ，故②正确； 在Rt△ABC 中， C  30 ，
 AC  2AB ，
AD  AB ，
 AD  CD ，
 S EDC
 1 S
2
ACE ，
CE  2BE ，
CE  2 BC ，
3
 S ACE
 2 S
3
ABC ，
 S EDC
 1  2 S
23
ABC
 1 S
3
ABC
，故③错误；
AD  CD ， AE  CE，
 DE  AC ，
 DE 垂直平分线段 AC ，故④正确．故正确的个数有 3 个．
如图，V ABC 是等边三角形，BD 是中线，延长 BC 至点 E ，使CE  CD ，连接 DE ．有下列结论：① BD  AC ；
② BD 平分ABC ；③ BD  DE ；④ BDE  120 ．其中正确的是．（填序号）
【答案】①②③④
【分析】根据等边三角形的性质及等边对等角依次判断即可．
【详解】∵V ABC 是等边三角形， BD 是中线，
∴ BD 平分ABC ； BD  AC ；故①②正确；
∵行ACB CDE DEC  60 ，
又CD  CE ，
∴ CDE  DEC  30 ，
∴ CBD  DEC  30 ，
∴ DB  DE
∴行BDE CDB  CDE  120，故③④正确，
综上其中正确的是①②③④．
如图，D，E 分别是 AB, AC 的中点， CD  AB ，垂足为 D， BE  AC ，垂足为 E， CD 交 BE 于点 F，若
DF  6 ，则 BE  ．
【答案】18
【分析】连接 BC ，根据垂直平分线的判定及性质可得V ABC 为等边三角形，结合图形，利用等边三角形的性质及各角之间的关系可得FBC  FCB  30 ，由30 所对的直角边是斜边的一半可得
FC  BF  2DF  12 ，结合图形即可得出结果．
【详解】解：连接 BC ，
∵点 D 是 AB 中点且CD  AB 于点 D，
∴ CD 是线段 AB 的垂直平分线，
∴ CA  CB ，
∵点 E 是 AC 中点且 BE  AC 于点 E，
∴ BE 是线段 AC 的垂直平分线，
∴ CB  AB ，
∴ AC  AB  CB ，
∴V ABC 为等边三角形，
∴ A  60， BE  CD ，在Rt△ABE 中，
ABE  90  A  30 ，在Rt ADC 中，
ACD  90  A  30 ，
∵ ABC  ACB  60 ，
∴ FBC  FCB  30，
∴ FC  BF  2DF  12 ，
∴ BE  CD  DF  CF  18 ．
如图， AB  AC ， CD 和 BE 相交于点O ，连接 BC ．
要使 ABE≌ ACD ，应添加的条件是（添加一个条件即可）．
在（1）的条件下，图中全等的三角形（不包括 ABE≌
【答案】AD  AE （答案不唯一）2
【分析】（1）依据全等三角形的判定添加条件即可；
ACD ）还有对．
（2）根据（1）中 ABE≌
ACD ，得出ACD  ABE ，根据 AAS 证明 COE≌ OD ，得出CO  BO ，根
据等边对等角得出OCB  OBC ，进而得出ECB  DBC ，则可根据SAS 证明 BCE≌ CBD .
【详解】解：（1）添加 AD  AE ，理由：在 ABE 和 ACD 中，
 AD  AE

A  A ，

 AB  AC
∴ ABE≌
ACD SAS 
或添加ACD  ABE ，
理由：在 ABE 和 ACD 中，
ACD  ABE

 AB  AC，

A  A
∴ ABE≌
ACD  ASA ；
或添加ADC  AEB ，
理由：在 ABE 和 ACD 中，
ADC  AEB

A  A，

 AB  AC
∴ ABE≌
ACD  ASA ；；
（2）若（1）添加 AD  AE ，
∵ ABE≌ ACD ，
∴ ACD  ABE ，
∵ AD  AE ， AB  AC ，
∴ CE  BD ，
又COE  BOD ，
∴ COE≌ BOD  AAS  ，
∴ CO  BO ，
∴ OCB  OBC ，又ACD  ABE ，
∴ ACB  ABC ，即ECB  DBC ，又CE  BD ， CB  BC ，
∴ BCE≌ CBD SAS  ，
故还有 2 对全等三角形；
若（1）添加ACD  ABE ，
∵ ABE≌ ACD ，
∴ AD  AE ，又 AB  AC ，
∴ CE  BD ，
又COE  BOD ， EOC  DOB
∴ COE≌ BOD  AAS  ，
∴ CO  BO ，
∴ OCB  OBC ，又ACD  ABE ，
∴ ACB  ABC ，即ECB  DBC ，又CE  BD ， CB  BC ，
∴ BCE≌ CBD SAS  ，
故还有 2 对全等三角形；
若（1）添加ADC  AEB ，
∵ ABE≌ ACD ，
∴ AD  AE ， ACD  ABE ，又 AB  AC ，
∴ CE  BD ，
又COE  BOD ， EOC  DOB
∴ COE≌ BOD  AAS  ，
∴ CO  BO ，
∴ OCB  OBC ，又ACD  ABE ，
∴ ACB  ABC ，即ECB  DBC ，又CE  BD ， CB  BC ，
∴ BCE≌ CBD SAS  ，
故还有 2 对全等三角形.
已知， V ABC 是等边三角形， BD 是中线，延长 BC 至 E ，使CE  CD ．
(1)如图 1，求证： DB  DE ；
(2)如图 2，过点 D 作 DE 的垂线交 BC 于点 F ，请直接写出图中所有与线段 AC 相等的线段（不包括 AC 本身）．
【答案】(1)见解析
(2)与线段 AC 相等的线段有： AB ， BC ， EF
【分析】（1）根据等边三角形的性质得出ABC  ACB  60 ，根据等边对等角得出EDC  CED ，根据三角形的外角性质求出DEC  30 ，根据等腰三角形三线合一的性质得出CBD  ABD  30 ，结合等角对等边即可证明；
（2）根据等边三角形的性质得出ACB  60 ， AC  AB  BC ，根据等腰三角形三线合一的性质得出
AC  2CD ，根据直角三角形的性质得出DFE  60，根据等边三角形的判定和性质得出CF  CD ，即可得出 EF  AC ，即可求解．
【详解】（1）证明：∵V ABC 是等边三角形，
∴ ABC  ACB  60 ，
∵ CE  CD ，
∴ EDC  CED ，
在 CDE 中， ACB  EDC  CED ，
∴ DEC  30 ，
又∵ BA  BC ， BD 是中线，
∴ CBD  ABD  30 ，
∴ DBE  DEB ，
∴ DB  DE ．
（2）解：∵V ABC 是等边三角形，
∴ ACB  60 ， AC  AB  BC ，
∵ BA  BC ， BD 是中线，
∴ AC  2CD ，
在Rt△DEF 中， DEC  30 ，
故DFE  90  DEC  90  30  60 ，
∵ DFE  ACB  60 ，
∴ DCF 是等边三角形，
∴ CF  CD ，
故 EF  CF  CE  CD  CD  2CD ，即 EF  AC ，
故与线段 AC 相等的线段有： AB ， BC ， EF ．
已知V ABC 是等边三角形，点 D 在射线 BC 上（与点 B，C 不重合），点 D 关于直线 AC 的对称点为点
E，连接 AD，AE，CE，DE ．
(1)如图 1，当点 D 为线段 BC 的中点时，求证： V ADE 是等边三角形；
(2)当点 D 在线段 BC 的延长线上时，连接 BE ，F 为线段 BE 的中点，连接CF ．根据题意在图 2 中补全图形，用等式表示线段 AD 与CF 的数量关系，并证明．
【答案】(1)证明：∵点 D，E 关于直线 AC 对称，
∴ AD  AE，DAC  EAC ，
∵V ABC 是等边三角形，
∴ AB  AC，BAC  60．
∵点 D 为线段 BC 的中点，
∴ DAC  1 BAC  1  60  30 ．
22
∴ DAC  EAC  30．
∴ DAE  60．
∵ AD  AE ，
∴V ADE 是等边三角形；
(2)解：补全图形如图所示，
线段 AD 与CF 的数量关系： AD  2CF ．
证明：延长CF 到点 G，使GF  CF ，连接 BG ．
∵F 为线段 BE 的中点，
∴ BF  EF ．
在 BFG 和 EFC 中，
GF  CF

BFG  EFC ，

BF  EF
∴ BFG≌
EFC SAS ，
∴ GB  CE，G  FCE ．
∴ BG∥CE ．
∵V ABC 是等边三角形，
∴ AC  BC，∠ACB  60 ．
∴ ACD  120．
∵点 D，E 关于直线 AC 对称，
∴ CD  CE，ACD  ACE 120 ．
∴ CD  BG，BCE  60 ，
∵ BG∥CE ．
∴ BCE  CBG  180 ，
∴ CBG  120 ，
∴ ACD  CBG ，在 ACD 和 CBG 中，
AC  CB

ACD  CBG ，

CD  BG
∴ ACD≌ CBG SAS ．
∴ AD  CG ，
∴ AD  2CF ．
【分析】（1）由对称性知 AD  AE，DAC  EAC ，由等边三角形的性质得DAC  EAC  30 ，从而
DAE  60 ，由等边三角形的判定即可证明结论；
（2）按题意补全图形即可；线段 AD 与CF 的数量关系：AD  2CF ；延长CF 到点 G，使GF  CF ，连接 BG ，易证明△BFG≌△EFC ，从而得GB  CE，G  FCE ，得GB ∥CE ；再证明 ACD≌ CBG ，得 AD  CG ，从而 AD  2CF ．
【详解】（1）略
（2）略
如图，在四边形 ABCD 中， AD ∥ BC ，点 E 为边CD 上一点， AE ， BE 分别平分DAB ，CBA ，延长 AE 交 BC 的延长线于点 F ．
求证： △ABF 是等腰三角形；
若 AD  2, BC  4，求 AB 的长．
【答案】(1)见解析
(2) 6
【分析】（1）由 AD ∥ BC ，得DAB  ABC  180 ，因为BAE  1 DAB ， ABE  CBE  1 ABC ，
22
所以FEB  1  DAB  ABC 90 ，则AEB  FEB  90 ，而 BE  BE ，可根据“ ASA ”证明
2
△ABE≌△FBE ，得 AB  FB ，即可解答；
（2）由全等三角形的性质得 AE  FE ，由 AD ∥ BC ，得D  ECF ，而AED  FEC ，可根据“ AAS ”证明△AED≌△FEC ，得 AD  FC  2 ，即可解答．
【详解】（1）证明： AD BC ，
DAB  ABC  180，
AE ， BE 分别平分DAB ，CBA ，
BAE  1 DAB ， ABE  CBE  1 ABC ，
2
FEB  BAE  ABE 
AEB  FEB  90，在 ABE 和 FBE 中，
2
1 DAB  ABC 
2
90 ，
ABE  FBE

BE  BE，

AEB  FEB
 △ABE≌△FBE ASA ，
 AB  FB ，
 △ABF 是等腰三角形；
（2）解：由（1）得△ABE≌△FBE ，
 AE  FE ，
AD BC ，
D  ECF ，
在△AED 和 FEC 中，
AED  FEC

D  ECF，

 AE  FE
 △AED≌△FECAAS ，
 AD  FC  2 ，
BC  4 ，
 AB  FB  FC  BC  2  4  6 ，
AB 的长是 6．
已知：如图，在V ABC 中， AB  AC ， BD  AC ，CE AB ，垂足分别为 D、E ， BD 与CE 交于点O ．
(1)求证： BD  CE ；
(2)连接 AO 并延长，交 BC 于点 F ，求证： AF 垂直平分 BC ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据AAS 证明△AEC ≌ ADB ，可得 BD  CE ；
（2）由△AEC ≌ ADB 得ACE  ABD ，由 AB  AC 得∠ABC  ACB ，进而证明OBC  OCB ，推
出OB  OC ，进而即可证明 AF 垂直平分 BC ．
【详解】（1）证明： BD  AC ， CE AB ，
 AEC  ADB  90 ，
在△AEC 和 ADB 中，
AEC  ADB

A  A

 AC  AB
 △AEC ≌
，
ADB AAS ，
 BD  CE ；
（2）证明：如图，连接 AO 并延长，交 BC 于点 F ，
由（1）得△AEC ≌
 ACE  ABD ，
AB  AC ，
∠ABC  ACB ，
ADB ，
 ABC  ABD  ACB  ACE ，
 OBC  OCB ，
 OB  OC ， 又 AB  AC ，
 AF 垂直平分 BC ．