7升8年级 暑假衔接讲义 人教版数学 八年级上册预习 第9讲 等腰三角形（无答案）

这是一份7升8年级 暑假衔接讲义 人教版数学 八年级上册预习 第9讲 等腰三角形（无答案），共9页。学案主要包含了例1.1，例1.2，变式1-1，变式1-2，例2.1，例2.2，变式2-1，变式2-2等内容，欢迎下载使用。
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．
要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ .
知识点02 等腰三角形的性质
1.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．
2.等腰三角形的性质的作用
性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．
性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．
3.等腰三角形是轴对称图形
等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．
知识点03 等腰三角形的判定
如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.
要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.
【题型1 等腰三角形的概念】
【例1.1】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为( )．
A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120°
【例1.2】已知等腰三角形的两条边长分别为2和3，则它的周长为（ ）
A．7 B．8 C．5 D．7或8
【变式1-1】等腰三角形有一个外角是100°，这个等腰三角形的底角是 ．
【变式1-2】若一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则这个等腰三角形的周长是为（ ）
A．8 B．10 C．8或10 D．6或12
【题型2 等腰三角形的性质 】 【重点】
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成等边对等角）
几何语言：在中，（等边对等角）
性质2：等腰三角形的顶角的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简写成“三线合一”）
几何语言：
（1） （2） （3）

【例2.1】如图，△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD平分∠ABC，则∠ABD的度数为（ ）
A．30° B．40° C．20° D．25°
【例2.2】如图，四边形ABCD中，AB=AD，将△ABC沿着AC折叠，点B恰好落在CD边上的点B'处．若∠ACB=α，则∠DAB可表示为（ ）
A．3αB．180°−αC．2αD．180°−2a
【变式2-1】如图，△ABC中，AB=AC，∠A=40°，点P是△ABC内一点，连结PB、PC，∠1=∠2，则∠BPC的度数是（ ）
A．110° B．130° C．140° D．120°
【变式2-2】如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别在边BC和AC上，若AD=AE，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．∠ADB=∠ACB+∠CAD B．∠ADE=∠AED C．∠B=∠C D．∠AED=2∠ECD
（变式2-1） （变式2-2）
【题型3 等腰三角形的判定 】【重难点】
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（简写成“等角对等边”）
【例3.1】如图，在△ABC中，∠BAC=126°，∠B=42°，边AB的垂直平分线DE与AB交于点E，与BC交于点D，连接AD．求证：△ACD是等腰三角形．
【例3.2】如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，∠BAC与∠ABC的角平分线AD、BE分别交BC、AC边于点D和点E． (1)求证：△BEC是等腰三角形；
(2)用等式表示线段AB、AC、BD之间的数量关系，并证明．
【变式3-1】如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，CE是斜边AB上的高，角平分线BD交CE于点M．求证：△CDM是等腰三角形．
【变式3-2】如图，∠MON=90°，点A,C分别在OM，ON上，以AO，AC为边在∠MON内作等边三角形AOB，ACD，连接DB并延长交ON于点E，求证：OE=BE．
【题型4 格点中画等腰三角形】
【例4】如图，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中A，B两个格点，请在图中再寻找另一个格点C，使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有（ ）个．
A．6B．8C．10D．12
【变式4-1】在方格纸中，点P、Q都在格点上，请用无刻度的直尺按要求画格点三角形：
(1)在图1中，画一个以PQ为腰的等腰△APQ（A为格点）；
(2)在图2中，画一个以PQ为底的等腰△BPQ（B为格点）．
【题型5 等腰三角形性质判定综合应用 】
【例5.1】如图，已知AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=α，点B，D，E在同一条直线上．
(1)求证：△ABD≌△ACE； (2)求证：2∠1+∠3=180°； (3)当AD∥EC时，求α的度数．
【例5.2】如图，已知∠BAD=∠CAE=90°，AD=AB，AC=AE，AF⊥CB，垂足为F．
(1)求证：△ABC≌△ADE； (2)已知 ∠E=∠ACD，求证：CD=2BF+DE．
【变式5-1】如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，过D作∠EDF=∠B，分别与AB，AC相交于点E和点F．(1)求证：∠BED=∠FDC； (2)若DE=DF，求证：BE=CD．
【变式5-2】在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE,∠DAE=∠BAC，连接CE．
(1)如图1，当点D在线段BC上，且∠BAC=90°．
①证明：△ABD≌△ACE； ②证明：AC平分∠BCE．
(2)如图2，当点D在直线BC上，设∠BAC=α,∠BCE=β．则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．

易错点
【易错点一】利用等腰三角形的性质解题时考虑不全导致错误
对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪一条是底边或腰时，应注意分情况分析，先确定已知边是底边还是腰，然后再考虑是否符合三角形三边关系。
【例题】等腰三角形一边长等于5，一边长等于10，它的周长是（ ）
A．20B．25C．20或25D．15
【变式】某等腰三角形的三边长分别为x，3，2x﹣1，则该三角形的周长为（ ）
【易错点二】忽视等边三角形是特殊的等腰三角形导致错误
【例题】等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴有（ ）
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 1条或3条
课后作业
1．已知一个等腰三角形两边长分别为5，6，则它的周长为( )
A．16B．17C．16 或 17D．10 或 12
2．若一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，那么相对应的三个外角的度数之比为（ ）
A．3：2：1B．1：2：3C．3：4：5D．5：4：3
3．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，则下列四个结论：（1）∠DEF=∠DFE；（2）AE=AF；（3）AD平分∠EDF；（4）EF垂直平分AD．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．有3cm，3cm，6cm，6cm，12cm，12cm的六条线段，任选其中的三条线段组成一个等腰三角形，则最多能组成等腰三角形的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．等腰三角形的一个底角比顶角大30°，那么顶角度数为_____．
6．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，BD平分∠CBA交AC于点D，DE⊥AB于E．若△ADE的周长为8cm，则AB＝_____ cm．
7．已知，如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，若BD+CE＝5，则线段DE的长为_____．
（6题） （7题）
8.图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、M、N均落在格点上，在图1、图2、图3给定的网格中按要求作图．
要求：只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出作法．
(1)在图1中的格点上确定一点P，画一个以AB为腰的等腰△ABP．
(2)在图2中的格点上确定一点P，画一个以AB为底的等腰△ABP．
(3)在图3中的格线MN上确定一点P，使PA与PB的长度之和最小．
9.如图所示，在△ABC中，AB=BC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC，连接BF．
(1)若∠AFD=155°，求∠EDF的度数；
(2)若点F是AC的中点，判断∠ABC与∠CFD的数量关系，并说明理由．
10.如图，在△ABC中，AC=BC，点D为边AB的中点，连接CD，∠BAC的平分线交CD于点E，已知∠AEC=115°．求∠DAC和∠ACB的度数．

11.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，连接OB，OC．(1)试说明：BO=AO； (2)若∠CAD=25°，求∠BOF的度数．
学生/课程
年级
7升8年级
学科
数学
授课教师
日期
时段

核心内容
等腰三角形的性质及判定 （第9讲）