预习课第10讲 等腰三角形 暑假讲义2025-2026学年八年级数学上册（人教版2024）（解析版）

这是一份预习课第10讲 等腰三角形 暑假讲义2025-2026学年八年级数学上册（人教版2024）（解析版），共26页。学案主要包含了A组---基础题，B组---提高题等内容，欢迎下载使用。
1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础；
2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力；
【题型一】 等边对等角
【题型二】 三线合一
【题型三】 等腰三角形的判定
【题型四】 等角对等边求线段长度
【题型五】 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点
3 课后分层练习 进一步巩固所学内容.

1.掌握等腰三角形的定义和性质；
2.掌握等腰三角形的判定。
1 等腰三角形的性质
(1)等腰三角形的两个底角相等(简称：等边对等角)；
(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简称：三线合一).
2 等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等；(简称：等角对等边)
【题型一】等边对等角
相关知识点讲解
等腰三角形的两个底角相等(简称：等边对等角)；
如下图，在∆ABC中，AB=AC，则∠B=∠C.
你们能给出证明么？
【典题1】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AB和AC，垂足为M，N．且分别交BC于点D，E．若∠DAE=40°，则∠BAC的度数为（ ）
A．100°B．105°C．110°D．120°
【答案】C
【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、等边对等角、三角形内角和等知识点，灵活运用等边对等角成为解题的关键．
由线段垂直平分线的性质得DB=DA，EA=EC，则∠B=∠DAB，∠C=∠EAC，再由三角形内角和定理得∠BAD+∠CAE=80°，进而完成解答．
【详解】解：∵DM、EN分别垂直平分AB和AC，
∴DB=DA，EA=EC，
∴∠B=∠DAB，∠C=∠EAC，
∵∠DAE=40°，∠B+∠C+∠BAC=180°，
∵∠B+∠BAD+∠C+∠EAC=180°-40°=140°，
∴2∠BAD+2∠EAC=140°，
∴∠BAD+∠CAE=70°，
∴∠BAC=∠BAD+∠CAE+∠DAE=70°+40°=110°．
故选：C．

变式练习
1（2025·陕西宝鸡·二模）如图，AB∥CE，∠C=20°，CE=DE，则∠A=（ ）
A．40°B．30°C．20°D．10°
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质．根据等边对等角可得∠C=∠D=20°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠2=2∠C，根据两直线平行，内错角相等求解即可．
【详解】解：∵CE=DE，
∴∠C=∠D=20°，
∴∠2=∠C+∠D=2∠C=40°，
∵AB∥CE，
∴∠2=∠A=40°，
故选：A．
2（2025·江苏南京·一模）如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=CD，∠BAD=56°，则∠C等于（ ）
A．28°B．29°C．30°D．31°
【答案】D
【分析】本题考查的是三角形内角和定理，以及等腰三角形的性质．解题的关键是分析各角之间关系的能力，运用所学的三角形知识求解．根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得∠ADC=180°-∠ADB=118°，由AB=AD=DC可得∠DAC=∠C，从而即可求解．
【详解】解：∵AB=AD=CD，∠BAD=56°，
∴∠ABD=∠ADB=62°，∠DAC=∠C，
∴∠ADC=180°-∠ADB=118°，
又∵AD=DC，
∴∠C=12180°-118°=31°．
故选：D．
3（2025·云南楚雄·三模）如图，直线a∥b，直线AD分别与a，b交于点C，B，分别以点B，C为圆心，适当长为半径画弧，相交于M，N两点，作直线MN交直线b于点E，连接CE，若∠2=30°，则∠1的度数为（ ）
A．25°B．30°C．40°D．65°
【答案】B
【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了平行线的性质和线段垂直平分线的性质．利用基本作图得到EM垂直平分BC，则根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到∠2=∠EBC=30°，然后根据平行线的性质得到∠EBC=∠1=30°．
【详解】解：由作法得EM垂直平分BC，
∴EB=EC，
∴∠2=∠EBC，
∵∠2=30°，
∴∠EBC=30°，
∵a∥b，
∴∠EBC=∠1=30°．
故选：B．
【题型二】三线合一
相关知识点讲解
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简称：三线合一).
① 如下图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，且BD=CD，则∠BAD=∠CAD，且AD⊥BC；
② 如下图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，且∠BAD=∠CAD，则BD=CD，且AD⊥BC；
③ 如下图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，且AD⊥BC，则∠BAD=∠CAD，且BD=CD.
你们能给出证明么？
【典题1】（2025·云南临沧·二模）如图，CD是等腰△ABC底边上的中线，BE平分∠ABC，交CD于点E，AC=8，DE=2，则△BCE的面积是（ ）
A．16B．12C．8D．6
【答案】C
【分析】本题考查等腰三角形底边上三线合一，角平分线上点到角两边距离相等，解题的关键是作出辅助线．过E作EF⊥BC交BC于点F，根据等腰三角形底边上三线合一得到DE⊥AB，结合EF⊥BC，BE平分∠ABC得到DE=EF即可得到答案；
【详解】解：如图，过E作EF⊥BC交BC于点F，
∵CD是等腰三角形△ABC底边上的中线，
∴DE⊥AB，AC=BC，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BC，
∴DE=EF，
∵AC=8，DE=2
∴S△BCE=12BC×EF=12AC×DE=12×8×2=8，
故选：C．

【典题2】（24-25八年级上·安徽淮北·期末）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的动点且DE⊥DF，连接EF．
(1)证明：AE=CF；
(2)△ABC和四边形AEDF的面积有什么关系，说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)△ABC的面积是四边形AEDF的面积的2倍，理由见解析
【分析】本题考查等腰三角形三线合一，全等三角形的证明及基本性质，中线基本性质，熟练掌握基本知识点是解题关键．
（1）先证△AED≌△CFD，再通过全等三角形性质即可得证；
（2）先通过全等性质得到S△AED=S△CFD，再通过中线基本性质即可得到答案．
【详解】（1）证明：如图，连接AD，
∵AB=AC，D是BC的中点，∠A=90°，
∴AD⊥BC，AD=CD，∠BAD=∠CAD=∠B=∠C=45°，
∴∠ADC=90°，
∵DE⊥DF，
∴∠EDF=90°，
∴∠EDA+∠ADF=∠ADF+∠CDF，
∴∠EDA=∠CDF，
又∵∠BAD=∠C=45°，AD=CD，
∴△AED≌△CFD，
∴AE=CF．
（2）解：△ABC的面积是四边形AEDF的面积的2倍，证明如下：
∵△AED≌△CFD，
∴S△AED=S△CFD，
∴SAEDF=S△ADC，
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴S△ABC=2S△ADC，
∴S△ABC=2SAEDF．
变式练习
1（24-25八年级上·重庆·期中）如图，△ABC中，AB=AC，AD平分∠CAB，则下列结论中，错误的是（ ）
A．BD=CDB．AD=BC
C．∠B=∠CD．AD⊥BC
【答案】B
【分析】此题考查等腰三角形的三线合一的性质，等边对等角，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵△ABC中，AB=AC，AD平分∠CAB，
∴CD=BD,∠B=∠C,AD⊥BC，
故A，C，D正确，
没有条件证明AD=BC，故B错误，
故选：B．
2（24-25八年级下·山西运城·期中）如图是古建筑中的房梁三角架的示意图．在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连接AD，E是AC上一点，且AD=DE．若∠BAC=110°，则∠ADE的度数为（ ）
A．55°B．60°C．62.5°D．70°
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形中“三线合一”是解题关键．由三线合一知∠BAD=∠CAD=55°，由等腰三角形两底角相等即可求解．
【详解】解：∵AB=AC，D是BC的中点，∠BAC=110°，
∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC=55°，
∵AD=DE，
∴∠ADE=180°-2∠CAD=70°．
故选：D．
3（2025·辽宁鞍山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC为等腰三角形，AB=AC，BC∥x轴，若A1,3，C4,-1，则△ABC的面积为（ ）
A．8B．9C．12D．24
【答案】C
【分析】本题考查坐标与图形，等腰三角形的性质．过点A作AD⊥BC，利用等腰三角形的三线合一，求出BD=CD=3，AD=4，据此求解即可．
【详解】解：∵BC∥x轴，C4,-1，A1,3，
∴点B的纵坐标为-1，
过点A作AE⊥x，交x轴于点E，交BC于点D，则：D1,-1，

∵AB=AC
∴BD=CD=4-1=3，
∴BD=CD=2×3=6，AD=3--1=4，
∴△ABC的面积为12BD×AD=12．
故选：C．
4（2025·陕西宝鸡·二模）如图，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分线，点D是AE上的一点，AD=2DE，若△ADC的面积为4，则△ABC的面积是（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形中线的性质．利用等腰三角形的性质求得BE=CE，推出S△ABE=S△ACE=12S△ABC，由AD=2DE，推出S△CDE=12S△CAD=2，据此求解即可．
【详解】解：∵AB=AC，AE是∠BAC的平分线，
∴AE⊥BC，BE=CE，
∴S△ABE=S△ACE=12S△ABC，
∵AD=2DE，
∴S△CDE=12S△CAD=2，
∴S△ACE=S△CDE+S△CAD=6，
∴S△ABC=2S△ACE=12，
故选：D．
5（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在△ABC中，AB=AC，AD=DB，DE⊥AB于点E，若BC=3，且△BDC的周长为8，则AE的长为（ ）
A．2B．2.5C．3D．3.5
【答案】B
【分析】
本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
根据已知可得BD+CD=5，从而可得AB=AC=5，然后利用等腰三角形的三线合一性质进行计算即可解答．
【详解】
解：∵BC=3，且△BDC的周长为8，
∴BD+CD=8-3=5，
∵AD=BD，
∴AD+DC=5，
∴AC=5，
∵AB=AC，
∴AB=5，
∵AD=DB，DE⊥AB，
∴AE=12AB=2.5，
故选：B．
【题型三】等腰三角形的判定
相关知识点讲解
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等；(简称：等角对等边)
如下图，在∆ABC中，∠B=∠C，则AB=AC. (均用全等三角形证明)
【典题1】（24-25八年级上·天津南开·期末）如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E,F．
(1)求证：△BED≌△CFD；
(2)求证：△ABC是等腰三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查角平分线的性质、全等三角形的判定和性质；等腰三角形的判定，熟练掌握角平分线的性质，证明三角形全等是解题的关键．
（1）证得△BDE和△CDF是直角三角形，利用HL证明Rt△BDE≌Rt△CDF，即可；
（2）由Rt△BDE≌Rt△CDF得出∠B=∠C，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90°，DE=DF，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，BD=CDDE=DF，
∴Rt△BDE≌Rt△CDFHL；
（2）证明：∵Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．
变式练习
1（24-25八年级上·广西崇左·期末）如图，已知直线l1∥l2∥l3，Rt△ABC的直角顶点C在直线l1上，点B在直线l2上，点A在直线l3上，l2与AC交于点D，且∠BAC=25°，∠BAE=25°．
(1)求证：△ABD是等腰三角形；
(2)求∠BCF的度数．
【答案】(1)见解析
(2)40°
【分析】本题主要考查了平行线的性质，等角对等边，三角形内角和定理：
（1）由平行线的性质可得∠DBA=∠BAE=25°，则∠DBA=∠BAC=25°，据此可证明结论；
（2）由平行线的性质求出∠ACF的度数即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵l2∥l3，
∴∠DBA=∠BAE=25°，
∵∠BAC=25°
∴∠DBA=∠BAC，
∴DB=DA，
∴△ABD是等腰三角形；
（2）解：∵∠BAC=25°，∠BAE=25°，
∴∠CAE=∠BAE+∠CAB=50°，
∵l1∥l3，
∴∠ACF=180°-∠CAE=130°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCF=∠ACF-∠ACB=40°．
【题型四】等角对等边求线段长度
【典题1】（24-25八年级上·陕西延安·期末）如图，在△ABC中，DE∥AC，分别交AB,BC于点D,E，连接CD，且∠ACD=∠BCD．若DE=9,BE=7.5，则BC的长为（ ）
A．16.5B．15.5C．14D．13
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，掌握等角对等边是解题的关键．
根据平行得到∠ACD=∠EDC，继而等量代换得到∠EDC=∠ECD，则ED=EC=9，再由线段和差计算即可求解．
【详解】解：∵DE∥AC，
∴∠ACD=∠EDC，
∵∠ACD=∠BCD
∴∠EDC=∠ECD，
∴ED=EC=9，
∴BC=BE+EC=9+7.5=16.5，
故选：A．
变式练习
1（24-25八年级上·山西阳泉·期中）如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD=4，则CD的长为（ ）
A．4B．5C．3D．2
【答案】A
【分析】本题考查等角对等边，根据角平分线的定义，平行线的性质，推出∠DCO=∠DOC，进而得到CD=OD即可．
【详解】解：∵OC平分∠AOB，
∴∠DOC=∠BOC，
∵CD∥OB，
∴∠DCO=∠BOC，
∴∠DCO=∠DOC，
∴CD=OD=4；
故选A．
2（24-25八年级上·四川泸州·期中）如图，在△ABC中，BF，CF 分别平分∠ABC和∠ACB，过点F 作EG∥BC，分别交AB，AC于点E，G，若AB=9，BC=10，AC=11，则△AEG的周长为（ ）
A．19B．20C．21D．30
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义和等腰三角形的判定，根据平行线的性质和角平分线的定义可得∠EBF=∠EFB，∠GFC=∠GCF，∠GFC=∠FCB，进而可得EF=EB，FG=GC，再根据三角形的周长和线段的和差解答即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵EG∥BC，
∴∠EFB=∠FBC，∠GFC=∠FCB，
∵BF、CF分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠EBF=∠FBC，∠GCF=∠FCB，
∴∠EBF=∠EFB，∠GFC=∠GCF，
∴EF=EB，FG=GC，
∴△AEG的周长=AE+EF+FG+AG=AE+EB+AG+GC=AB+AC=9+11=20，
故选：B．
3（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A=∠ABE，BD=1，BC=3，则AC的长为（ ）
A．4B．4.5C．5D．5.5
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定及性质，熟悉相关性质是解题的关键．由△BCD≌△ECDASA得到BC=CE=3，BD=DE=1，由等角对等边判定AE=BE，继而可求AC．
【详解】解：∵CD平分∠ACB，BE⊥CD，
则∠BCD=∠ECD，∠BDC=∠EDC=90°，
又∵CD=CD，
∴△BCD≌△ECDASA，
∴BC=CE=3，BD=DE=1，
∴BE=2
又∵∠A=∠ABE，
∴AE=BE=2，
∴AC=AE+CE=2+3=5，
故选：C．
【题型五】 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点
【典题1】 （21-22八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（4，2），点P在坐标轴上，若以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（ ）个．
A．5B．6C．8D．9
【答案】C
【分析】分别以点O、A为圆心，以OA的长度为半径画弧，与坐标轴的交点即为所求的点P的位置．
【详解】解：如图，以点O、A为圆心，以OA的长度为半径画弧与坐标轴有6个交点，OA的垂直平分线与坐标轴的交点有2个，
综上所述，满足条件的点P有8个．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质，利用数形结合的思想求解更简便．
变式练习
1（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知：如图△ABC中，∠B=60°，∠C=80°，在直线BA上找一点D，使△ACD或△BCD为等腰三角形，则符合条件的点D的个数有（ ）

A．7个B．6个C．5个D．4个
【答案】B
【分析】分△ACD或△BCD为等腰三角形两种情况画出图形即可判断．
【详解】解：如图：当BC=BD时，△BCD是等腰三角形；

∵∠CBA=60°，∴△BCD是等边三角形，∴BC=BD=CD；
当BC=BD1时，△BCD是等腰三角形；
当AC=AD2=AD3，CA=CD4，当CD5=D5A时，△ACD都是等腰三角形；
综上，符合条件的点D的个数有6个．
故选：B．
2（18-19八年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，1），点P在坐标轴上，若以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（ ）个．
A．5B．6C．8D．9
【答案】C
【分析】分别以点O、A为圆心，以OA的长度为半径画弧，与坐标轴的交点即为所求的点P的位置．
【详解】解：如图，
以点O、A为圆心，以OA的长度为半径画弧，OA的垂直平分线与坐标轴的交点有2个，
综上所述，满足条件的点P有8个．
故选C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质，利用数形结合的思想求解更简便．

【A组---基础题】
1（2025·河南驻马店·三模）如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC，BD为AC边上的高线，AE∥BD，且AE交CB的延长线于点E．若∠BAC=70°，则∠AEC的度数为（ ）
A．30°B．20°C．35°D．25°
【答案】C
【分析】本题考查的是平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，先求解∠ABC=∠ACB=12180°-70°=55°，∠DBC=90°-55°=35°，再利用平行线的性质求解即可．
【详解】解：在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=70°，
∴∠ABC=∠ACB=12180°-70°=55°，
∵BD为AC边上的高线，
∴∠DBC=90°-55°=35°，
∵AE∥BD，
∴∠AEC=∠DBC=35°，
故选：C．
2（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AC的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，连接CD．则∠BCD等于（ ）
A．20°B．30°C．40°D．70°
【答案】B
【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质，已知∠A=40°，AB=AC可得∠ABC=∠ACB=70°，再由线段垂直平分线的性质可求出∠ACD=∠A=40°，易求∠BCD．
【详解】解：∵∠A=40°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=70°，
又∵DE垂直平分AC，
∴DA=DC，
∴∠ACD=∠A=40°，
∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=70°-40°=30°．
故选：B．
3（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在△ABC中，AB=AC，AD为∠BAC的平分线，若BC=10，则CD的长为（ ）

A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的三线合一的性质求解即可．
【详解】解：∵AB=AC，AD为∠BAC的平分线，BC=10，
∴CD=12BC=5，
故选：C．
4（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，AD、CE分别是△ABC的中线和高线．若AB=AC,∠ACE=34°,则∠BAD的度数为（ ）
A．34°B．56°C．29°D．28°
【答案】D
【分析】本题考查三线合一，三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理求出∠BAC的度数，三线合一求出∠BAD的度数即可．
【详解】解：∵CE是高线，
∴∠AEC=90°，
∵∠ACE=34°,
∴∠CAE=90°-34°=56°，
∵AB=AC，AD是△ABC的中线，
∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC=28°；
故选D．
5（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，AD，BE分别是△ABC的中线和角平分线．若∠CAD=20°，则∠ABE的度数为（ ）
A．70°B．45°C．40°D．35°
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出∠ABC=70°是解题的关键．
先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠CAB=2∠CAD=40°，∠ABC=∠C=12180°-∠CAB=70°，再利用角平分线定义即可得出∠ABE=12∠ABC=35°．
【详解】解：∵AD是△ABC的中线，AB=AC，∠CAD=20°，
∴∠CAB=2∠CAD=40°，∠ABC=∠C=12180°-∠CAB=70°，
∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠ABE=12∠ABC=35°，
故选：D．
6（22-23八年级上·山东济南·期末）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，垂足为点E，CD平分∠ACB，若∠A=48°，则∠B的度数为（ ）
A．25°B．30°C．36°D．40°
【答案】C
【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线定义，三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用相关的性质进行求解．根据线段垂直平分线的性质可得CD=AD，则∠A=∠ACD，由CD平分∠ACB可得，∠ACD=BCD，再根据三角形内角和定理，求解即可．
【详解】解：∵DE垂直平分AC，
∴AD=CD，
∴∠A=∠ACD，
又∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∵∠A=48°，
∴∠A=∠ACD=∠BCD=48°，
∵∠A+∠ACD+∠BCD+∠B=180°，
∴3∠A+∠B=180°，
∴∠B=180°-3×48°=36°．
故选：C．
7（2025·湖南怀化·二模）如图，在△ABC中，AC=BC．以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB,AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，在∠BAC内两弧交于点P，射线AP交BC于点D．若∠ADB=72∘，则∠C= °．
【答案】36
【分析】本题考查了尺规作图角平分线，三角形的内角和定理和外角性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
由等边对等角以及角平分线，设∠BAD=∠CAD=x，则∠CAB=∠B=2x，在△ADB中，由三角形内角和定理建立方程求解x，再由三角形的外角性质得到∠ADB=∠C+∠CAD，即可求解．
【详解】解：由作图可得AP平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵CA=CB，
∴∠CAB=∠B，
设∠BAD=∠CAD=x，
则∠CAB=∠B=2x，
∵∠ADB+∠B+∠BAD=180°，
∴2x+x+72°=180°，
解得：x=36°，
∴∠CAD=36°，
∵∠ADB=∠C+∠CAD，
∴∠C=∠ADB-∠CAD=72°-36°=36°，
故答案为：36．
8（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，DE=DF，则AB=AC，请说明理由．
【答案】见解析
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，首先根据中点定义可得DB=DC，再说明△DEB和△DCF是直角三角形，然后根据HL定理证明Rt△BED≌Rt△CFD，可得∠B=∠C，进而证明即可．
【详解】解：理由如下：
∵点D是BC的中点，
∴DB=DC，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，
∵在Rt△BED和Rt△CFD中，
BD=CDDE=DF，
∴Rt△BED≌Rt△CFDHL，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC．
9（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线MN，交边AC于点D，交边BC于点E，连接BD．
(1)若CE=4，△ABD的周长为10，求△ABC的周长．
(2)若∠ADM=60°，∠ABD=20°，求∠A的度数．
【答案】(1)18
(2)100°
【分析】本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形三线合一性质，三角形外角的性质，
（1）根据垂直平分线的性质可得BE=CE=4，根据三角形的周长公式可推出AB+AC=10，即可求解；
（2）根据对顶角相等可得∠CDN=60°，根据垂直平分线的性质，等腰三角形三线合一性质得∠BDN=∠CDN=60°，进而根据三角形外角的性质即可求解；
解题的关键是掌握垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
【详解】（1）解：∵MN垂直平分BC，CE=4，
∴DC=DB，BE=CE=4，
∴BC=BE+CE=4+4=8，
∵△ABD的周长为10，
∴10=AB+AD+DB=AB+AD+DC=AB+AC，
∴AB+AC+BC=10+8=18，
∴△ABC的周长为18；
（2）∵∠ADM=60°，∠ABD=20°，
∴∠CDN=∠ADM=60°，
∵MN垂直平分BC，
∴DC=DB，MN⊥BC，
∴∠BDN=∠CDN=60°，
∴∠BDC=∠BDN+∠CDN=60°+60°=120°，
∴∠A=∠BDC-∠ABD=120°-20°=100°，
∴∠A的度数为100°．
【B组---提高题】
1（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，线段AB，DE的垂直平分线交于点C，且∠ABC=∠EDC=72°，∠AEB=112°，则∠EBD的度数为（ ）
A．168°B．158°C．148°D．138°
【答案】C
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质，证明三角形全等是解题的关键．先由线段垂直平分线的性质得CA=CB，CD=CE，得到∠BAC=∠ABC=72°，∠DEC=∠EDC=72°，再证△BCD≌△ACESAS，得∠CBD=∠CAE=72°+∠BAE，然后由三角形内角和定理得∠ABE=68°-∠BAE，进而得出答案．
【详解】解：连接CE，如图所示：
∵线段AB，DE的垂直平分线交于点C，
∴CA=CB，CD=CE，
∴∠BAC=∠ABC=72°，∠DEC=∠EDC=72°，
∴∠ACB=∠DCE，
∴∠ACE=∠BCD，
在△BCD和△ACE中，
CB=CA∠BCD=∠ACECD=CE
∴△BCD≌△ACESAS，
∴∠CBD=∠CAE=72°+∠BAE，
∵∠AEB=112°，
∴∠ABE=180°-∠AEB-∠BAE=180°-112°-∠BAE=68°-∠BAE，
∴∠EBD=360°-∠CBD-∠ABC-∠ABE=360°-72°+∠BAE-72°-68°-∠BAE=148°，
故选：C．
2（20-21八年级上·湖北武汉·期末）已知△ABC中，AB=AC．∠A=108°，在平面内找一点P，使得△PAB，△PAC，△PBC都是等腰三角形，则这样的P点有（ ）个
A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【分析】根据等腰三角形定义，画出图形即可解决问题．
【详解】解：如图，以点A为圆心，AB为半径画圆，
以点B为圆心，AB为半径画圆，以点B为圆心，BC为半径画圆，
以点C为圆心，AC为半径画圆，以点C为圆心，BC为半径画圆，
再作AB，AC，BC的垂直平分线，分别得到8个点P，
则满足条件的所有点P的个数为8，
故选：C．

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键．