2026年八年级数学人教版 第05讲 三角形全等的判定(暑假预习讲义)

这是一份2026年八年级数学人教版 第05讲 三角形全等的判定(暑假预习讲义)，共6页。学案主要包含了方法总结，技巧归纳，变式 1-1，变式 1-2，变式 2-1，变式 2-2，变式 3-1，变式 3-2等内容，欢迎下载使用。
内容导航
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题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型 1 用 SAS 证明三角形全等
题型 2 用 ASA(AAS)证明三角形全等题型 3 用 SSS 证明三角形全等
题型 4 全等的性质与 HL 综合题型 5 添加条件使三角形全等
题型 6 灵活选择判定方法证全等
题型 7 倍长中线模型
题型 8 旋转模型
题型 9 垂线模型
题型 10 证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题）
题型 11 尺规作图-作三角形
题型 12 尺规作一个角等于已知角
题型 13 过直线外一点作已知直线的平行线
题型 14 全等三角形综合问题
过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固
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关键词
学习目标导航
三角形全等判
定、SSS、SAS、 ASA、AAS、HL、
公共边、公共角、对顶角
掌握三角形全等的 SSS、SAS、ASA、AAS 四种基本判定定理，了解直角三角形专属判定定理 HL。
理解每个判定定理的条件含义，能准确区分不同判定方法的适用场景。
明确 SSA、AAA 不能作为三角形全等的判定依据，并能举例说明原因。
能根据已知条件，灵活选择判定方法证明两个三角形全等。
结合全等判定，完成线段相等、角相等的简单推理与证明，规范几何证明步骤。
学习重点：掌握三角形全等的五种判定方法，能运用定理证明三角形全等。
学习难点：准确挖掘图形隐含条件，合理选择判定方法并规范完成几何推理证明。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点 01 边边边（SSS）
内容：三边分别相等的两个三角形全等。
几何语言：在△ABC 和△DEF 中
 AB  DE

 BC  EF

AC  DF
∴△ABC≌△DEF(SSS)
适用场景：题干已知三组对应边相等，或可推导出三边相等。
即时即练如图，若 AC  DC ， AB  DB ，则可得△ABC≌△DBC ．其判定依据是（ ）
SSSB． SASC． SSAD． ASA
【答案】A
【分析】本题考查三角形全等的判定方法，利用 SSS 证明三角形全等即可．
【详解】解：在V ABC 和△DBC 中，
AC  DC ， AB  DB ， BC  BC ，
 ABC≌
DBC SSS  ，
故选：A．
【方法总结】
如图，如果 A ' B ' ＝AB， A 'C ' ＝AC， B 'C ' ＝BC，则△ABC≌△ A ' B 'C ' .
知识点 02边角边（SAS）
内容：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。
关键强调：必须是两边中间的夹角，不是其中一边的对角。
几何语言：在△ABC 和△DEF 中
 AB  DE

B  E

BC  EF
∴△ABC≌△DEF(SAS)
即时即练已知：如图，A、D 是 CF 上的两点，且 AB  DE ，AB∥ DE ，AF  CD ．求证：△ABC ≌△DEF ．
【答案】见解析
【分析】根据线段的和差求出 AC  DF ，根据平行线的性质求出BAC  EDF ，即可证明
△ABC≌△DEF SAS ．
【详解】证明：∵ CD  AF ，
∴ CD  AD  AF  AD ，即 AC  DF ，
∵ AB∥ DE ，
∴ BAC  EDF ，又∵ AB  DE ，
∴△ABC≌△DEF SAS ．
【方法总结】
如图，如果 AB ＝ A ' B ' ，∠A＝∠ A ' ，AC ＝
注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.
A 'C ' ，则△ABC≌△ A ' B 'C ' .
知识点 03角边角（ASA）
内容：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。
关键强调：边必须在两个角中间，为两角的公共边。
几何语言：在△ABC 和△DEF 中
A  D

 AB  DE

B  E
∴△ABC≌△DEF(ASA)
即时即练如图，D 是 AB 上一点， DF 交 AC 于点 E， DE  FE ， FC ∥ AB ．求证： AE  CE ．
【答案】见解析
【分析】首先，根据平行线的性质得A  ACF ，然后，证得
ADE≌ CFE AAS ，即可得到 AE  CE ．
【详解】证明：∵ FC AB ，
∴ A  ACF ．
在 ADE 和 CFE 中，
A  ACF ， AED  CEF ， DE  FE ，
∴ ADE≌ CFE AAS ，
∴ AE  CE ．
【方法总结】
如图，如果∠A＝∠ A ' ，AB＝ A ' B ' ，∠B＝∠ B ' ，则△ABC≌△ A ' B 'C ' .
知识点 04角角边（AAS）
内容：两角及其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。
推导依据：结合三角形内角和，AAS 可由 ASA 推导得出。
几何语言：在△ABC 和△DEF 中
A  D

B  E

 BC  EF
∴△ABC≌△DEF(AAS)
即时即练如图，在△AOC 和 BOD 中， A, O, B 三点共线，C,O, D 三点共线， AC  BD ， C  D ．求证：
AOC≌ BOD ．
【答案】证明见解析
【分析】根据AAS 证明两个三角形全等即可．
【详解】证明：∵ A, O, B 三点共线， C,O, D 三点共线，
∴AOC 与BOD 是对顶角，
∴AOC BOD ． 在△AOC 和 BOD 中，
C  D

AOC  BOD

 AC  BD
∴△AOC≌△BOD AAS ．
【方法总结】
由三角形的内角和等于 180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.
知识点 05直角三角形全等专属判定（HL）
适用范围：仅用于直角三角形。
内容：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。
几何语言：在△ABC 和△DEF 中，∠C=∠F=90°
 AB  DE(斜边）

AC  DF (直角边）
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)
补充：直角三角形也可使用 SSS、SAS、ASA、AAS 判定全等。
即时即练如图，在V ABC 和 DEF 中， A  D  90 ， AC  DE ，若要用“斜边直角边HL ”直接证明
Rt ABC≌Rt DFE ，则还需补充条件（ ）
A． AB  DF
【答案】D
B． B  F
C． ACB  DEF
D． BE  FC
【分析】根据直角三角形的全等判定解答即可．
【详解】解：补充 BE  FC ，可得： BC  EF ，在Rt△ABC 和Rt△DFE 中，
 AC  DE

BC  FE ，
∴ Rt
ABC≌Rt
DFE HL．
【方法总结】
一般的两个三角形满足两边及其中一边的对角对应相等即“SSA”条件时，它们并不全等，但当其中的“A”
是直角时，这两个直角三角形就是全等的，这就是判定两个直角三角形全等特有的“HL'’定理。
题型 1 用 SAS 证明三角形全等
【例 1】如图，已知点 B，D 在 AF 上， AC  FE ， AC ∥ FE ， AD  FB ．求证：
(1)△ABC ≌△FDE ；
(2) BC  DE ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先根据两直线平行，内错角相等得A  F ，再由 AD  FB 推出 AB  FD ，然后根据SAS 证明△ABC ≌△FDE ；
（2）由（1）△ABC ≌△FDE ，根据全等三角形对应边相等可得结论．
【详解】（1）证明：（1）∵ AC ∥ FE ，
∴ A  F ，
∵ AD  FB ，
∴ AD  DB  FB  DB ，即 AB  FD ，在V ABC 和V FDE 中，
 AC  FE

A  F ，

 AB  FD
∴△ABC≌△FDE SAS ；
（2）证明：由（1）知， △ABC ≌△FDE ，
∴ BC  DE ．
【例 2】如图，点C 在线段 AB 上， AD ∥ BE ，且 AD  BC ， BE  AC ．连接 DC ， EC ．
求证：△ADC≌△BCE ；
若A  45 ， ADC  15 ，求ECD 的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2) 75
【分析】（1）根据平行线的性质得A  B ，再根据SAS 即可得证；
（2）根据三角形外角的定义及性质得DCF  A  ADC  60 ，再根据全等三角形的性质得
BCE  ADC  15，最后根据角的和差可得答案．
【详解】（1）证明：∵ AD ∥ BE ，
∴ A  B ，
在△ADC 和 BCE 中，
 AD  BC

A  B ，

 AC  BE
∴ ADC≌ BCE SAS ；
（2）解：∵ A  45 ， ADC  15 ，
∴ DCF  A  ADC  45 15  60 ，
∵△ADC≌△BCE ，
∴ BCE  ADC  15，
【技巧归纳】
找准两组对应边+两边的夹角，角必须夹在两条边中间；优先挖掘公共角、对顶角，严格区分夹角与对角，禁止套用 SSA。
易错提醒：两边及其中一边的对角相等，不能判定全等。
∴ ECD  DCF  BCE  60 15  75 ，即ECD 的度数为75．
【变式 1-1】如图，点 E 在边CD 上， BC 与 AE 交于点 F, AB  CB, BE  BD,1  2．
(1)求证：△ABE ≌△CBD ；
(2)若 AE  8,CE  5 ，求 ED 的长．
【答案】(1)见解析
(2) ED  3
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
根据1  2 ，得ABE  CBD ，再结合 AB  CB ， BE  BD ，证明 ABE≌ CBD ，即可作答．
由（1）得 ABE≌ CBD ，故CD  AE  8 ，又结合CE  5 ，则 ED  3 ，即可作答．
【详解】（1）解： 1  2 ，
1 CBE  2  CBE,
即ABE  CBD ， 在 ABE 和△CBD 中，
 AB  CB

ABE  CBD

BE  BD
 ABE≌ CBD SAS ；
（2）解：由（1）得 ABE≌ CBD ，
CD  AE  8 ，又Q CE  5 ，
 ED  CD  CE  8  5  3 ．
【变式 1-2】如图， BD  BC ， DBE  CBE ，求证： AB 平分DAC ．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明V DBA≌VCBA 是解题的关键；由题意得DBA  CBA ，利用SAS 即可证明V DBA≌VCBA ，得DAE  CAE ，即可得 AB 平分DAC ．
【详解】证明：∵ DBE  CBE ，
∴180  DBE  180  CBE ，即DBA  CBA ，
在 DBA 与△CBA 中，
DB  CB

DBA  CBA ，

 AB  AB
∴V DBA≌VCBA(SAS) ，
∴ DAE  CAE ，
∴ AB 平分DAC ．
题型 2 用 ASA(AAS)证明三角形全等
【例 1】如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（ ）
A． SSSB． SASC． AASD． ASA
【答案】D
【分析】根据图形可知两角及夹边分别相等即可判断．
【详解】解：小明画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，即ASA ．
【例 2】如图，点 E ，C ，F ，B 在一条直线上，AB ∥ DE ，连接 AC ，DF ，AC  DF ．若要使△ABC ≌△DEF ，则需要添加的条件可以是（ ）
A． AB  DE
【答案】C
B． EC = BF
C． D  A
D． D  EFD
【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键；
注意： AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角，根据全等三角形的判定方法一一判断即可．
【详解】解：∵ AB ∥ DE ，
∴ B  E ，
当添加 AB  DE ，
∵ AC  DF ， AB  DE ， B  E ，不能证明△ABC ≌△DEF ，
∴A 选项不符合题意；
当添加 EC = BF ，那么 EC  CF  BF  CF ，即 EF  BC ，
∵ AC  DF ， EF  BC ， B  E ，不能证明△ABC ≌△DEF ，
∴B 选项不符合题意；
当添加D  A ，
∵ D  A ， B  E ， AC  DF ，满足AAS ，
∴可证△ABC ≌△DEF ，
∴C 选项符合题意；
当添加D  EFD，不能证明△ABC ≌△DEF ，
∴D 选项不符合题意；
∴需要添加的条件可以是D  A ，故选：C．
【技巧归纳】
AS：两角夹一边，相等的边在两个角中间； AAS：两角加其中一个角的对边；
可结合三角形内角和，灵活在 ASA、AAS 之间转化。
易错提醒：分清夹边与对边，条件顺序与定理保持一致。
【变式 2-1】如图，点 H 是V ABC 的高 AD 和 BE 所在直线的交点，且 AD  BD ，求证： BH  AC ．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质．关键是通过高的性质得到直角，再利用同角的余角相等找到相等的角，从而构造全等三角形．先根据高的定义得出ADB  ADC  90，再由直角三角形两锐角互余
推出HBD  DAC ，结合已知 AD  BD ，证明 BDH 
BH  AC ．
【详解】解：∵ AD 、 BE 是 ABC 的高，
∴ ADB  ADC  BEC 90 ，
∵在 Rt HDB 中， BHD  HBD  90 ，在 Rt AHE 中， AHE  DAC  90，
BHD  AHE ，
∴ HBD  DAC ， 在 BDH 和 ADC 中，
BDH  ADC

HBD  DAC

BD  AD
ADC ，最后根据全等三角形对应边相等得到
∴ BDH  ADC AAS，
∴ BH  AC .
【变式 2-2】如图，四边形 ABCD 中， AB  AC，D  90，BE  AC 于点 F，交CD 于点 E，连接 EA， EA
平分DEF ．
求证： △ABF≌△ACD ；
若CE  4，DE  3 ，求 BE 的长．
【答案】(1)见解析
(2)10
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
根据AAS 证出AED  AEF 即可；
证明Rt ABF≌Rt ACD HL ，由全等三角形的性质可得出 BF = CD = 7 ，由Rt AEF≌Rt AED HL 得
到 EF  3 ，利用 BE  BF  FE 解答即可．
【详解】（1）证明：∵ BE AF
∴ AFE  90
∵Ð D = 90°，
∴ AFE  D  90 ，
∵ EA平分DEF ，
∴ AED  AEF ， 在V ADE 和△AFE 中，
ADE  AFE

AED  AEF

 AE  AE
∴ ADE≌ AFE AAS
（2）解：∵ ADE≌ AFE AAS
∴ AF  AD ，
在Rt ABF 和Rt△ACD 中，
 AB  AC

 AF  AD ，
∴ Rt
ABF≌Rt
ACD HL ，
∴ BF  CD ．
∵ CE  4，DE  3 ，
∴ CD  7 ，
∴ BF  7 ．
在Rt AEF 和Rt△AED 中，
 AF  AD

 AE  AE ，
∴ Rt AEF≌Rt
∴ FE  DE ，
∵ DE  3 ，
∴ FE  3 ，
AED HL ，
∴ BE  BF  FE  7  3  10 ．
题型 3 用 SSS 证明三角形全等
【例 1】小明发现有两个结论：在△A1B1C1 与△A2 B2C2 中
①若 A1B1  A2 B2 , A1C1  A2 C2 ，且它们的周长相等，则△A1B1C1 ≌△A2B2C2 ；
②若A1  A2 , A1C1  A2C2 , B1C1  B2C2 ，则△A1B1C1 ≌△A2 B2C2 ．
对于上述的两个结论，下列说法正确的是（ ）
A．①，②都错误B．①，②都正确
C．①正确，②错误D．①错误，②正确
【答案】C
【分析】三角形全等的判定定理，分别根据两个结论给出的条件，结合全等判定规则判断正误即可．
【详解】解：对于结论①：
∵ A1B1  A2 B2 ， A1C1  A2C2 ，且两个三角形周长相等，
∴ B1C1  C A B C
 A1B1  A1C1  C A B C
 A2 B2  A2C2  B2C2 ，
1 1 12 2 2
∴A1B1C1≌
A2B2C2 SSS  ，故①正确．
对于结论②：
已知条件为
A1  A2 ， A1C1  A2C2 ， B1C1  B2C2 ，属于两边及其中一边的对角对应相等（ SSA ）的情况，
SSA 不能判定三角形全等，可构造出满足条件但不全等的两个三角形，故②错误.综上，①正确，②错误，答案选 C．
【例 2】已知 AE  DF , CE  BF , AB  CD ．
(1)求证： ACE ≌ DBF ；
(2) ACE  35，求BHC 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)110
【分析】（1）利用SSS定理证明两三角形全等即可；
（2）根据全等三角形的性质求解即可．
【详解】（1）证明：∵ AB  CD ，
∴ AB  BC  CD  BC ，即 AC  BD ，
在△ACE 与 DBF 中，
 AE  DF

CE  BF ，

 AC  BD
∴ ACE≌
DBF SSS ．
（2）解：∵ ACE ≌
DBF ， ACE  35，
∴ DBF  ACE  35 ，
∴ BHC  180  ACE  DBF  110．
【技巧归纳】
寻找三组对应边相等，优先利用公共边；题干多给出线段和差、等量代换，先推导出三边对应相等再证明。易错提醒：不要漏写公共边，三条边必须一一对应。
【变式 3-1】如图，点 D 是V ABC 外一点，连接 AD, CD ，已知B  45 ，Ð D = 90°．
在V ABC 内求作一点 M，使得 AMC≌ ADC （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
在（1）的条件下，求BAM  BCM 的度数．
【答案】(1)见解析
(2) 45
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，尺规作图：
以点 A 为圆心， AD 的长为半径画弧，再以点 C 为圆心， CD 为半径画弧，两弧交于点 M，即可；
根据全等三角形的性质可得AMC  D  90 ，从而得到MAC  MCA  90 ，再由B  45 ，可得BAC  BCA  135 ，即可求解．
BAM  BCM  BAC  BCA  MAC  MCA  45
【详解】（1）解：如图，点 M 即为所求；
（2）解：AMC≌ ADC ，Ð D = 90°，
AMC  D  90 ．
\ Ð MAC + Ð MCA = 90°．
B  45 ，
BAC  BCA  180  45  135 ．
BAM  BCM  BAC  BCA  MAC  MCA  45 ．
【变式 3-2】如图，已知点 B, E, C, F 在同一直线上， AB  DE ， AC  DF ,BE  CF ．
(1)求证： △ABC ≌△DEF ；
(2)若A  85 ，B=60 ，求F 的度数．
【答案】(1)见解析
(2) F  35
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
先由 BE  CF ，整理得 BC  EF ，再结合 AB  DE ， AC  DF ，即可证明△ABC≌△DEF SSS ；
先根据三角形内角和性质进行计算，得ACB  180  A  B  35，结合全等三角形的对应角相等，即可作答．
【详解】（1）证明：∵ BE  CF ，
∴ BE  CE  CF  CE ，
即 BC  EF ，
又∵ AB  DE ， AC  DF ，
∴△ABC≌△DEF SSS ；
（2）解：∵ A  85 ，B=60 ，
∴ ACB  180  B  A  35；由（1）得△ABC ≌△DEF ，
∴ F  ACB  35 ．
题型 4 全等的性质与 HL 综合
【例 1】如图，在V ABC 和 DEF 中， A  D  90 ， AB  DE ．若用“斜边、直角边（ HL ）”能直接证明Rt△ABC≌Rt△DEF ，则还需补充的条件是（ ）
BC  EF
【答案】A
AC  DF
C． B  E
D． ACB  DFE
【分析】根据全等三角形判定方法“ HL ”即可求解．
【详解】解：∵ A  D  90 ， AB  DE ，
∴用“斜边、直角边（ HL ）”能直接证明Rt△ABC≌Rt△DEF ，则还需补充的条件是 BC  EF ．
【例 2】如图，点 B、F、C、E 在一条直线上， A  D  90 ， AB  DE ，添加下列选项中的条件，能用
HL 判定△ABC ≌△DEF 的是（ ）
AC  DF
【答案】D
B． B  E
ACB  DFE
BF  EC
【分析】本题考查了三角形全等的判定定理．根据三角形全等的判定定理即可得．
【详解】解：∵ A  D  90 ， AB  DE ，
添加 AC  DF ，利用SAS 定理可判定△ABC ≌△DEF ，则此项不符合题意；
添加B  E ，利用ASA 定理判定△ABC ≌△DEF ，则此项不符合题意；
添加ACB  DFE ，利用AAS 定理判定△ABC ≌△DEF ，则此项不符合题意；
添加 BF  EC ，∴ BF  CF  EC  CF ，则 BC  EF ，能用HL 可判定△ABC ≌△DEF ，则此项符合题
意；
故选：D．
【技巧归纳】
HL 专用于直角三角形，只需找斜边+一条直角边相等；先利用 HL 证全等，再用全等性质求线段、角度。易错提醒：普通三角形不能使用 HL，做题先标注直角。
【变式 4-1】如图， AB  BC ， AM  BN ， AM  BN 于点 M ， CN ^ BN 于点 N ，求证MN  AM  CN ．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定和线段的和差关系．
根据 AM  BN 、CN ^ BN 以及 AB  BC ， AM  BN ，证Rt
段的和差关系即可得出结论．
【详解】解： AM  BN 于点 M ， CN ^ BN 于点 N ，
AMB  BNC  90 ，
ABM ≌ Rt
BCN ，得到 BM  NC ，再根据线
 AM  BN

在Rt ABM 和Rt BCN 中，  AB  BC ，
Rt ABM≌Rt BCN HL ，
BM  NC ，
 MN  BN  BM  AM  CN ．
【变式 4-2】已知：如图，在 ABC 中， AB  AC ， DE 是过点 A 的直线， BD  DE 于点 D，CE  DE 于点
E，且 AD  CE ．
(1)若 BC 在 DE 的同侧（如图①）求证： BA  AC ．
(2)若 BC 在 DE 的两侧（如图②），问 AB 与 AC 仍垂直吗？若是请予证明，若不是请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2) AB  AC ，见解析
【分析】（1）根据直角三角形全等的判定方法 HL 易证得 ABD≌ CAE ，可得DAB  ACE ，再根据三角形内角和定理即可证得结论；
（2）与（1）同理结论仍成立，即根据直角三角形全等的判定方法 HL 易证得 ABD≌ CAE ，可得
DAB  ACE ，再根据三角形内角和定理即可证得结论．
【详解】（1）证明： BD  DE 于 D， CE  DE 于 E，
ADB  CEA  90 ，在 Rt ADB 和 Rt CEA 中，
 AB  AC

 AD  CE ，
 Rt ABD≌Rt CAE HL ，
DAB  ACE ，
又 ACE  CAE  90，
DAB  CAE  90
BAC  90 ，即 AB  AC ；
（2）解： AB  AC ，
BD  DE 于 D， CE  DE 于 E，
ADB  CEA  90 ，在 Rt ADB 和 Rt CEA 中，
 AB  AC

 AD  CE ，
 Rt ABD≌Rt CAE HL ，
DAB  ACE ，
又 ACE  CAE  90，
DAB  CAE  90
BAC  90 ，即 AB  AC ．
题型 5 添加条件使三角形全等
【例 1】如图，已知EAC  BAD ， AC  AD ，增加下列条件：① AB  AE ；② BC  ED ；③ C  D ；
④ B  D ．其中能使△ABC≌△ AED的条件有．
【答案】①③
【分析】根据全等三角形的判定定理，依次判断各添加条件即可．
【详解】解：∵ EAC  BAD ，
∴ EAC  BAE  BAD  BAE ，即BAC  EAD ，
①当 AB  AE 时，
在V ABC 和△AED 中，
 AC  AD

BAC  EAD ，

 AB  AE
∴ ABC≌
AED SAS ；
②当 BC  ED 时，不能判断△ABC≌△ AED；
③当C  D 时，
在V ABC 和△AED 中，
BAC  EAD

 AC  AD，

C  D
∴△ABC≌△AED ASA；
④当B  D ，而 AC  AD ，所以B 与D 不是对应角，所以不能判断△ABC≌△ AED．综上所述，能使△ABC≌△ AED的条件有①③．
【例 2】的条件是（）
A． B  D
【答案】D
ACB  CAD
AB  CD
AD  CB
【分析】根据垂直定义得出BAC  ACD  90 ，根据图形可知 AC 是公共直角边，根据直角三角形全等的判定HL 得出需要添加的条件是斜边相等．
【详解】解：∵ AB  AC，CD  AC ，
∴ BAC  ACD  90 ，
∵ AC  AC ，
若添加 AD  CB ，
∴ Rt
ABC≌Rt
CDA HL ．
【技巧归纳】
对照现有条件，匹配五大判定定理（SSS/SAS/ASA/AAS/HL），缺边补边、缺角补角；答案一般不唯一，优先选最简单条件。
易错提醒：禁止补充 SSA、AAA 类条件。
【变式 5-1】如图，点 P 是 AB 上任意一点， ABC  ABD ．从下列条件中补充一个条件，不一定能推出
△APC≌△APD 的是（ ）
AC  AD
【答案】A
BC  BD
Ð ACB = Ð ADB
CAB  DAB
【分析】此题考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定和性质逐个选项进行判断即可．
【详解】解：A、补充 AC  AD ，不能推出 APC≌
APD ，故此选项符合题意；
补充 BC  BD ，先证出 ABC≌
ABD ，后能推出 APC≌
APD ，故此选项不符合题意；
补充ACB  ADB ，先证出 ABC≌
ABD ，后能推出 APC≌
APD ，故此选项不符合题意；
补充CAB  DAB ，先证出 ABC≌
故选：A．
ABD ，后能推出 APC≌
APD ，故此选项不符合题意；
【变式 5-2】如图，在V ADE 和V CBF 中， AD  CB ， AF  CE ．
请添加一个条件，使V ADE≌V CBF ；
若V ADE≌V CBF ，且B  70 ， A  25 ，求DEC 的度数．
【答案】(1) DE  BF （答案不唯一）
(2) 95
【分析】（1）添加一个条件为 DE  BF ，再证明出 AE  CF ，最后利用SSS即可证明V ADE≌V CBF ；
（2）由全等三角形的性质可得D  B  70 ，再结合三角形外角的定义及性质计算即可得出结果．
【详解】（1）解：添加一个条件为 DE  BF ，
∵ AF  CE ，
∴ AF  EF  CE  EF ，即 AE  CF ，在V ADE 和V CBF 中，
 AD  CB

 AE  CF ，

DE  BF
∴△ADE≌△CBF SSS
（2）解：∵V ADE≌V CBF ，
∴ D  B  70 ，
∵ A  25
∴ DEC  A  D  95 ．
题型 6 灵活选择判定方法证全等
【例 1】如图，为测量池塘两端 AB 的距离，学校课外实践小组在池塘旁的开阔地上选了一点 C，测得ACB
的度数，在 AC 的另一侧测得ACD  ACB ， CD  CB ，再测得 AD 的长，就是 AB 的长．则其依据是
（）
A． SSSB． SASC． ASAD． AAS
【答案】B
【详解】解：已知条件是ACD  ACB ， CD  CB ， AC  AC ，
∴ ABC≌
ADC SAS ，
∴ AB  AD ．故选：B．
【例 2】如图，一块三角形玻璃破裂成 I，II 号两块，现需划同样大小的一块三角形玻璃，为方便起见，只
需带上号碎片．根据全等三角形的知识，这样选择的依据是．
【答案】Ⅱ角边角/ ASA
【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS 、ASA 、AAS 和HL ）是解题的关键．
根据三角形全等的判定方法解答即可．
【详解】解：由图可知，带Ⅱ号碎片去可以利用“角边角”得到与原三角形全等的三角形．故答案为：Ⅱ，角边角．
【技巧归纳】
已知多条边相等 → 优先 SSS；
已知两边+一个角 → 优先 SAS（必看是否为夹角）；
已知多个角相等 → 优先 ASA、AAS；
图形含直角 → 优先尝试 HL。
易错提醒：先挖掘公共边、公共角、对顶角等隐含条件。
【变式 6-1】小数同学在探究三角形全等的条件时，设计了一个如图所示的数学实验，把两根木条的一端用螺栓固定点 A 位置，然后固定木条 AB ，摆出V ABC ．把木条 AC 转动一定角度后，点C 刚好落在直线 BC 上的C 处．此实验得到的结论是： 的两个三角形不一定全等．
【答案】有两边和其中一边的对角分别相等
【分析】本题考查了全等三角形的判定，在 ABC 和△ABC  中，AB 为公共边，AC  AC ，ABC  ABC，锐角三角形 ABC 与钝角△ABC  不全等，从而说明有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不能确定全等．
【详解】解：在 ABC 和△ABC  中， AB 为公共边， AC  AC， ABC  ABC，
而 ABC 与△ABC  不全等，
有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等．故答案为：有两边和其中一边的对角分别相等．
【变式 6-2】如图， AB  AD ， BC  DE ，ABC  ADE  90 ， BC 与 DE 交于点 F，连接CD 、 EB ．
(1)请找出图中的全等三角形；
(2)你认为线段CF 与 EF 之间存在怎样的数量关系，请说明理由．
【答案】(1) △ABC ≌△ADE ；△ADC≌△ABE ；△CDF≌△EBF
(2) CF  EF ，理由见解析
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，解题关键是熟知全等三角形的判定定理SAS ，ASA ，AAS ，
SSS ．
利用全等三角形的判定定理判定即可；
利用△CDF≌△EBF 得到CF  EF 即可．
【详解】（1）解：在V ABC 和V ADE 中，
 AB  AD

ABC ADE  90 ，

BC  DE
∴ ABC≌
ADE SAS ；
∴ CAB  EAD ， AC  AE ， ACB  AED ，
∴ CAB  DAB  EAD  DAB ，
∴ CAD  EAB ，
在 ACD 与 AEB 中，
 AC  AE

CAD  EAB

 AD  AB
 ACD≌
AEB SAS ；
∴ CD  EB ， ACD  AEB ，
∴∠ACB ∠ACD  ∠AED ∠AEB ，即DCF  BEF ，在V CDF 与△EBF 中，
DCF  BEF

CD  EB，

CFD  EFB
 CDF≌
EBF AAS ；
综上，全等三角形有△ABC ≌△ADE ； ACD≌
（2）解： CF  EF
AEB ；△CDF≌△EBF ；
证明：由（1）知△CDF≌△EBF ，
∴ CF  EF ．
题型 7 倍长中线模型
【例 1】如图，在V ABC 中， AD 是V ABC 的中线， AB  12 ， AD  8 ，则 AC 的取值范围是．
【答案】4  AC  28 / 28  AC  4
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系．
延长 AD 至点 E ，使 AD  DE ，连接 BE ，证明V ADC≌V EDB ，进而得到 AC  BE ，根据三角形的三边关系求出 BE 的范围即可．
【详解】解：延长 AD 至点 E ，使 AD  DE ，连接 BE ，则： AE  2AD  16 ，
∵ AD 是V ABC 的中线，
∴ BD  CD ，
又∵ ADC  BDE ，
∴ ADC≌
EDB SAS  ，
∴ AC  BE ，
∵ AB  12, AE  16 ，
∴ AE  AB  BE  AE  AB ，即： 4  BE  28 ，
∴ 4  AC  28 ；
故答案为： 4  AC  28 ．
【例 2】如图，在V ABC 中， AD 是 BC 边上的中线， AC  4 ， AD  5 ， AB 的长度为偶数，则 AB 的所有可能值为．
【答案】8，10，12
【分析】本题考查三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
延长 AD 至 E ，使 DE  AD  5 ，连接CE ，证明
ABD≌
ECD SAS ，得到 AB  EC ，在△ACE 中根据三
角形的三边关系求出CE 的取值范围，从而得到 AB 的取值范围，即可解答．
【详解】解：如图，延长 AD 至 E ，使 DE  AD  5 ，连接CE ，
AD 为 BC 边上的中线，
 BD  CD ，
∵在△ABD 和 ECD 中，
AD  DE

ADB  EDC，

BD  CD
 ABD≌
ECD SAS ，
 AB  EC ，
AC  4，AE  AD  DE  10 ，
AE  AC  EC  AC  AE ，
 6  EC  14
∴ 6  AB  14 ．
AB 为偶数，
∴ AB  8 ，10，12．故答案为：8，10，12
【技巧归纳】
遇到三角形中线，延长中线至一倍长，构造 SAS 型全等；利用全等实现线段转移，将分散线段集中到同一个三角形中。
口诀：遇中线，加倍延，出全等，转线段。
易错提醒：延长后务必标注相等线段，明确对顶角为夹角。
【变式 7-1】【问题原型】在数学活动课上，老师给出以下问题：如图 1， AD 是V ABC 的中线， AB  AC ，求证： DAC  BAD ．
【解决问题】小聪同学想到这个问题可能与已学过的“大边对大角”有关，但小明同学随即提出疑问：题目所涉及的DAC 和BAD 并不在同一个三角形中，因此不能直接用“大边对大角”进行证明，小强同学由 “ AD 是V ABC 的中线”想到了一种思路：如图 2，延长 AD 至 E，使 DE  AD ，连接 BE ，得到V BDE ，易证
△ACD≌△BDE ，这样就将已知的不在同一个三角形中的两个角的大小关系转化为在同一个三角形中两个角的大小关系． 请根据小强同学的思路写出证明DAC  BAD 的完整过程．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．
延长 AD 至 E，使 DE  AD ，连接 BE ，根据 AD 是中线得到CD  BD ，证明
ACD≌
EBD SAS 得到
AC  BE, BEA  DAC ，可知 AB  BE ，根据“大边对大角”得到BEA  BAD ，即可证明DAC  BAD ．
【详解】证明：延长 AD 至 E，使 DE  AD ，连接 BE ，
∵ AD 是中线，
∴ CD  BD ，
在 ACD 和△EBD 中，
AD  DE

ADC  BDE ，

CD  BD
 ACD≌ EBD SAS ，
 AC  BE, BEA  DAC ，
AB  AC ，
 AB  BE ，
BEA  BAD ，
BEA  DAC ，
DAC  BAD ．
【变式 7-2】如图， AD 为V ABC 的中线．
(1)求证： AB  AC  2AD ；
(2)若 AB  5，AC  3，求 AD 的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)1  AD  4
【分析】本题考查了三角形中线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形三边关系，解题的关键是通过倍长中线法构造全等三角形，将线段进行转化，把分散的线段集中到同一个三角形中利用三边关系解决问题．
倍长中线 AD 至 E 使 DE  AD ，连接 BE ，利用 SAS 证明V ADC≌V EDB ，得到 AC  EB ，再在 ABE
中运用三角形三边关系推导出 AB  AC  2AD ；
由（1）的全等结论得 BE  AC ，结合三角形三边关系 AB  BE  AE  AB  BE ，代入 AE  2 AD 及边长数值，计算得出 AD 的取值范围．
【详解】（1）证明：延长 AD 到点 E ，使 DE  AD ，连接 BE ．
AD 为 ABC 的中线，
 BD  CD
在 ADC 和 EDB 中，
CD  BD

ADC  EDB

 AD  ED
 ADC ≌△EDB（SAS ）
 AC  EB
在 ABE 中，根据三角形的三边关系，得 AB  EB  AE ，即 AB  AC  2AD
（2）解：由（1）知： AB  BE  2AD  AB  BE
所以5  3  2AD  5  3 ，即1  AD  4 ．
题型 8 旋转模型
【例 1】如图，在四边形 ABCD 中， AC 平分BAD ， AD  AC ，在 AC 上截取 AE  AB ，连接 DE ， BE ，并
延长 BE 交CD 于点 F ．给出下列结论：① BAC≌ EAD ；② ABE  ADE  BCD ；③ BC  CF  DE  EF ．其中正确的有．（填序号）
【答案】①②③
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，只要证明 BAC≌
ABE  ACD ， FE  FC 即可解决问题．
【详解】解：∵ AC 平分BAD ，
∴ BAC  EAD ，
∵ AB  AE ， AC  AD ，
EAD ，
∴ BAC≌ EAD SAS，故①正确，
∴ ACB  ADE ， BC  DE ，
∵ AB  AE ， AC  AD ，
∴ ABE  AEB ， ACD  ADC ，
∴ BAE  2ABE  180， CAD  2ACD  180 ，
∵ BAE  CAD ，
∴ ABE  ACD ，
∴ ABE  ADE  ACD  ACB  BCD ，故②正确，
∵ CEF  AEB ， ABE  AEB ， ABE  ACD ，
∴ FEC  ECF ，
∴ EF  CF ，
∴ BC  CF  DE  EF ，故③正确，故答案为： ①②③ ．
【例 2】如图，在五边形 ABCDE 中， B  E  90 ， CAD  1 BAE ， AB  AE ，且CD  3 ， AE  4 ，
2
则五边形 ABCDE 的面积为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】D
【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将面积进行转化．
将V ABC 绕点 A 逆时针旋转至△AEF ，首先证明点 D，E，F 三点共线，证明△ACD≌△AFD(SAS) ，得到
CD  DF  3 ， S△ACD  S△AFD ，再将所求面积转化为2S△AFD 进行计算即可．
【详解】如图，将V ABC 绕点 A 逆时针旋转至△AEF ，
AB=AE ， B  E  90 ，
则 AF  AC ， B  AED  AEF  90 ，
DEF  180 ，即点 D，E，F 三点共线，
CAD  1 BAE ，
2
BAC  DAE  DAE  EAF  CAD ，即FAD  CAD ，
在 ACD 和△AFD 中
AC  AF

CAD  FAD ，

AD  AD
△ACD≌△AFD(SAS)
CD  DF ， S△ACD  S△AFD CD  3 ，
 DF  3 ，
五边形 ABCDE 的面积为：
S四边形ACDE  S ABC  S四边形 ACDE  S AEF
 S ACD  S AFD  2S AFD ，
 2  1  DF  AE ，
2
 2  1  3 4
2
 12 ．
故选：D．
【技巧归纳】
图形绕定点旋转，旋转前后三角形全等；旋转角为公共角，利用“等角 + 公共角”推出夹角相等，常用 SAS
证明。
口诀：图形旋转边角不变，公共角作夹角，SAS 直接用。易错提醒：找准旋转前后的对应边、对应角。
【变式 8-1】在 ABC 中， AB  AC ，点 D 是直线 BC 上一点（不与 B、C 重合），E 是 ABC 外一点，连接 AD、AE ，已知 AD  AE ， DAE  BAC ，连接CE，DE
如图 1，点 D 在线段 BC 上，如果BAC  90，则ACE  度：
如图 2，当点 D 在线段 BC 上，试判断ADE 与ACE 之间的数量关系，并说明理由；
当点 D 在线段CB 的延长线上时，（2）中的结论是否成立？若不成立，请写出新的结论并说明理由．
【答案】(1) 45
(2) ADE  ACE ，理由见解析
(3)（2）中的结论不成立，当点 D 在CB 的延长线上时， ADE  ACE  180 ．理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的常见模型－旋转模型，掌握该模型的相关结论是解题关键．
证 BAD≌ CAE 即可求解；
证 BAD≌ CAE 即可求解；
证 BAD≌ CAE 即可求解．
【详解】（1）解：∵ DAE  BAC ，
∴ DAE  DAC  BAC  DAC ，即： CAE  BAD ，
∵ AB  AC ， AD  AE ，
∴ BAD≌ CAE
ADE  ACE
∵ BAC  90， AB  AC ，
ACE  ABD  45
故答案为： 45
解： ADE  ACE ，理由如下：
AB  AC, AD  AE, ，
ABC  ACB, ADE  AED
DAE  BAC ，
又 ABC  1 180  BAC , ADE  1 180  DAE  ，
22
ABC  ADE ，
BAC  DAE,
BAC  DAC  DAE  DAC
即： BAD  CAE ，
 AB  AC

在 BAD 和 CAE 中， BAD  CAE ，

 AD  AE
△BAD ≌△CAE(SAS),
ABC  ACE
ADE  ACE ；
解：（2）中的结论不成立，当点 D 在CB 的延长线上时， ADE  ACE  180 ．理由如下：如图所示：
DAE  BAC ，
DAE  BAE  BAC  BAE ，即： DAB  EAC ，
 AB  AC

在 BAD 和 CAE 中， BAD  CAE ，

 AD  AE
△BAD ≌△CAE(SAS),
ABD  ACE
AB  AC, AD  AE,
ABC  ACB, ADE  AED
DAE  BAC
又 ABC  1 180  BAC , ADE  1 180  DAE  ，
22
ABC  ADE,
ABD  ABC  180
ADE  ACE  180 ．
【变式 8-2】【基本模型】
如图 1， ABCD 是正方形， EAF  45 ，当 E 在 BC 边上， F 在CD 边上时，请你探究 BE 、 DF 与 EF
之间的数量关系，并证明你的结论．
【模型运用】
如图 2，ABCD 是正方形，EAF  45 ，当 E 在 BC 的延长线上，F 在CD 的延长线上时，请你探究 BE 、
DF 与 EF 之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1） EF  BE  DF ，证明见解析（2） EF  BE  DF ，证明见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质．本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形．
结论： EF  BE  DF ．将△ADF 绕点 A 顺时针旋转，使 AD 与 AB 重合，得到 ABF ，然后求出
EAF   EAF  45 ，利用“边角边”证明△AEF 和△AEF  全等，根据全等三角形对应边相等可得
EF  EF  ，从而得解；
结论： EF  BE  DF ，证明方法同法（1）．
【详解】解：（1）结论： EF  BE  DF ．
理由：如图 1，将△ADF 绕点 A 顺时针旋转，使 AD 与 AB 重合，得到 ABF ，
则： FAB  DAF, ABF  D  90 ， AF  AF  ， BF  DF ，
∴ ABF   ABC  180 ，即： F, B, E 三点共线，
EAF  45 ，
∴ DAF  BAE  90  EAF  45，
∴ BAF  BAE  45 ，
EAF   EAF  45 ，在△AEF 和△AEF  中，
AF  AF 

EAF  EAF  ，

AE  AE
△AEF≌△EAF (SAS) ，
 EF  EF  ，
又 EF   BE  BF  ，
 EF  BE  DF ．
（2）结论： EF  BE  DF ．
理由：如图 2，将△ADF 绕点 A 顺时针旋转，使 AD 与 AB 重合，得到 ABF ，
则： BF  DF, AF  AF ，
同法（1）可得： △AEF≌△AEF(SAS) ，
 EF  EF  ，
又 EF   BE  BF   BE  DF ，
 EF  BE  DF ．
题型 9 垂线模型
【例 1】已知：V ABC 中， AB  AC, BAC  90 ，点 D 为直线 BC 上一点，过点 B 作 BG  直线 AD 于点G ，过点C 作CF  直线 AD 于点 F ．
如图 1，若 BG  7, CF  2 ，则GF  ；
当点 D 在直线 BC 上运动时， FG  10 ， BG  6 ，则CF  ．
【答案】516 或 4/4 或 16
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形“三垂直模型”．
证明
AFC≌
BGAAAS ，则 BG  AF  7, CF  AG  2 ，可得GF  AF  AG  5 ；
分三种情况讨论，证明
AFC≌
BGAAAS ，再根据线段和差求解即可．
【详解】解：（1）∵ BG  直线 AD ， CF  直线 AD ，
∴ AFC  BGA  90 ，
∵ BAC  90，
∴ ABG  CAF  90  BAG ，
∵ AB  AC
∴ AFC≌
BGAAAS ，
∴ BG  AF  7, CF  AG  2 ，
∴ GF  AF  AG  7  2  5 ，故答案为： 5 ；
（2）当点 D 线段 BC 延长线上时，
∵ BG  直线 AD ， CF  直线 AD ，
∴ AFC  BGA  90 ，
∵ BAC  90，
∴ ABG  CAF  90  BAG ，
∵ AB  AC
∴ AFC≌
BGAAAS ，
∴ AF  BG  6 ， AG  CF  FG  AF  10  6  4 ；当点 D 线段 BC 上时，
∵ BG  直线 AD ， CF  直线 AD ，
∴ AFC  BGA  90 ，
∵ BAC  90，
∴ ABG  CAF  90  BAG ，
∵ AB  AC
∴ AFC≌
BGAAAS ，
∴ AF  BG  6 ， AG  CF  FG  AF  10  6  16 ；当点 D 线段CB 延长线上时，
∵ BG  直线 AD ， CF  直线 AD ，
∴ AFC  BGA  90 ，
∵ BAC  90，
∴ ABG  CAF  90  BAG ，
∵ AB  AC
∴ AFC≌
BGAAAS ，
∴ AF  BG  6 ， AG  CF  FG  AF  10  6  4 ，
过点 A 作 BC 平行线，再过点C 作平行线的垂线，垂足为 H ，
∵ AB  AC, BAC  90 ， AH ∥ BC ，
∴ ACB  CAH  45 ，
∴ CAF  45, ACF  45 ，
∴ CF  AF ，
故点 D 线段CB 延长线上不成立，舍，综上： CF  16 或CF  4 ，
故答案为：16 或 4．
【例 2】如图，在V ABC 中，AB  AC ，AD BC 于点 D ，CE AB 于点 E ，交 AD 于点 F ．若BAC  45 ，
2
AF  2
，则CD 的长为．
2
【答案】
【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握
等腰三角形的判定与性质是解答的关键．先根据等腰三角形的性质得到 AD BC ， BD  CD  1 BC ，再根
2
据等腰三角形的判定和三角形的内角和定理证得 AE  CE ， EAF  ECB ，然后证明
2
△AEF≌△CEB ASA 得到 BC  AF 即可求解．
【详解】解：∵在等腰三角形 ABC 中， AD 是底边 BC 上的高线，
∴ AD BC ， BD  CD  1 BC ，
2
∴ BAD  B  90 ，
∵ CE AB ，
∴ AEC  BEC  90 ，又BAC  45 ，
∴ ACE  90  BAC  45  EAC ，ECB B  90
∴ AE  CE ， EAF  ECB ，
∴△AEF≌△CEB ASA，
∴ BC  AF ，
2
∵ AF  2，
2
2
∴ BD  1 BC  1 AF ，故答案为：．
22
【技巧归纳】
多条垂线出现，可得多个直角 90°；利用同角/等角的余角相等推导角相等，再结合 ASA、AAS、SAS 证全
等。
口诀：多垂直，余等角，转角之后证全等。
易错提醒：区分直角、余角关系，不要混淆角度。
【变式 9-1】如图，在V ABC 中，ABC  90 ，AB  BC ，D 是线段 BC 上一点，连接 AD ，过点 A 作 AE  AD ，且 AE  AD ，连接 EC 交 AB 于点 F ，若 BD  3.3 ， BF  2.5 ，则 AB 的长度为（ ）
A．8.3B．8.5C．8.7D．9.1
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
过点 E 作 EG  AB 于点G ，则AGE  EGB  90 ，先证明△AEG ≌△DAB 得到 EG  AB ，AG  BD  3.3 ，则有 EG  BC ，进而推出 EFG≌ CFB ，得到GF  BF  2.5 ，再利用线段的和差即可求解．
【详解】解：如图，过点 E 作 EG  AB 于点G ，
则AGE  EGB  90 ，
∴ EAG  AEG 90 ，
∵ AE  AD ，
∴ EAD  90 ，
∴ EAG  DAB 90 ，
∴ AEG  DAB ，
又∵ AGE  DBA  90 ， AE  AD ，
∴ AEG≌ DAB AAS ，
∴ EG  AB ， AG  BD  3.3 ，
∵ AB  BC ，
∴ EG  BC ，
又∵ EGF  CBF  90 ， EFG  CFB ，
∴ EFG≌ CFB AAS ，
∴ GF  BF  2.5 ，
∴ AB  AG  GF  BF  3.3  2.5  2.5  8.3 ．故选：A．
【变式 9-2】【材料阅读】
小明同学在学习完全等三角形后，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板．
如图：在V ABC 中， ABC  90， AB  CB ；在 DEF 中， DEF  90 ， EDF  30 ，并提出了相应的问题．
如图 1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点 B 摆放在线段 DF 上时，过点 A 作 AM  DF ，垂足为 M，过点 C 作CN  DF ，垂足为 N．
图 1 中， AM  3,CN  8 ，求 MN 的长，请补充小明的过程．
ABC  90 ，
ABM  CBN  90 ，
∵ AM  DF ， CN  DF ，
AMB  90 ， CNB  90 ，
ABM  BAM  90 ，
BAM  CBN ， …
如图 2，将两个三角板叠放在一起，当顶点 B 在线段 DE 上且顶点 A 在线段 EF 上时，过点 C 作CP  DE ，垂足为 P，猜想 AE ， PE ， CP 之间的数量关系，并说明理由．
如图 3，将两个三角板叠放在一起，当顶点 A 在线段 DE 上且顶点 B 在线段 EF 上时，若 AE  8, BE  2 ，连接CE ，请求出△ACE 的面积．
【答案】(1)见解析
PE  PC  AE ，理由见解析
24
【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键．
根据两个三角形全等的判定定理得到 ABM ≌ BCN (AAS) ，利用两个三角形全等的性质，得到
AM  BN  3 ， BM  CN  8 ，即可得到MN  MB  BN  11 ；
根据两个三角形全等的判定定理，得到△ABE≌△BCP ，利用两个三角形全等的性质，得到 AE  BP ，
BE  CP ，由图中 BE  BP  PE ，即可得到三者的数量关系；
延长 FE ，过点C 作CP  FE 于 P ，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到△ABE≌△BCP ，从而 PC  BE  2 ， PB  AE  8 ，则可求得 PE ，延长 AE ，过点C 作CF  AE 于 F ，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得CF  PE  6 ，代入面积公式得 S ACE ，即可得到答案．
【详解】（1）解： ABC  90 ，
ABM  CBN  90 ，
∵ AM  DF ， CN  DF ，
AMB  90 ， CNB  90 ，
ABM  BAM  90 ，
BAM  CBN ，
∵ BAM  CBN ， Ð AMB = Ð CNB = 90°， AB  BC ，
∴ ABM ≌ BCN (AAS) ；
 AM  BN, BM  CN ，
∵ AM  3 ， CN  8 ，
∴ MN  MB  BN  CN  AM  11 ；
解：结论： PE  PC  AE ．理由如下：
ABC  90 ，
ABE  CBE  90，
CP  BE ，
CPB  90 ，
BCP  CBP  90
ABE  BCP ，
AEB  90 ，
AEB  CPB  90 ，
∵ AB  BC ，
V ABE≌V BCP ，
 AE  BP ， BE  CP BE  BP  PE ，
 PE  BE  BP  PC  AE ；
解：延长 FE ，过点C 作CP  FE 于 P ，如图所示：
ABE  EBC  90， ABE  BAE  90 ，
EBC  BAE ，
Q AEB  CPB  90 ， AB  BC ，
∴ ABE≌
BCP AAS ，
 PC  BE  2 ， PB  AE  8 ，
 PE  PB  BE  8  2  6 ，
延长 AE ，过点C 作CF  AE 于 F ，如图所示：
AF  PE，CP  PE ，
 AF ∥CP ，
AF  PE，CF  AF ，
 PE ∥CF ，
由平行线间的平行线段相等可得CF  PE  6 ，
SV ACE
 1  AE  CF  1  8 6  24 ．
22
题型 10 证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题）
【例 1】如图，在V ABC 中，A  60，ABC 和ACB 的平分线 BD 、CE 相交于点 O，BD 交 AC 于点 D，
CE 交 AB 于点 E，若已知V ABC 周长为 20， BC  7 ， AE : AD  5 : 4 ，则 AE 长为（ ）
8
3
10
3
14
3
D．4
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的定义、三角形外角的性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
在 BC 上截取点 F 使得 BF  BE ，连接OF ，根据角平分线的定义得到OBE  OBF  1ABC ，
2
OCD  OCF  1 ACB，进而得到COD  BOE  OBC  OCB  60 ，先证明 OBF≌ OBE ，得到
2
BOF  BOE  60 ，再证明 OCF≌ OCD ，推出 BC  BF  CF  BE  CD ，再利用三角形的周长公式求出 AE 的长，即可得出答案．
【详解】解：如图，在 BC 上截取点 F 使得 BF  BE ，连接OF ，
∵ A  60，
∴ ABC  ACB  180  A  120，
∵ ABC 和ACB 的平分线 BD 、CE 相交于点 O，
∴ OBE  OBF  1ABC ， OCD  OCF  1 ACB，
2
∴ OBC  OCB  1ABC  1ACB  1 120 
222
∴ COD  BOE  OBC  OCB  60 ，
∵ BF  BE ， OBF  OBE ， OB  OB ，
2
60 ，
∴ OBF≌ OBE SAS ，
∴ BOF  BOE  60 ，
∴ COF  180  60  60  60 ，
∴∠COF ∠COD ，
又∵ OCF  OCD ， OC  OC ，
∴ OCF≌ OCD ASA ，
∴ CF  CD ，
∴ BC  BF  CF  BE  CD ，
∵ AE : AD  5 : 4 ，
∴设 AE  5x ， AD  4x ，
∵V ABC 周长为 20， BC  7 ，
∴ AB  AC  BC  AE  BE  CD  AD  BC  AE  AD  2BC  20 ，即5x  4x 14  20 ，
解得 x  2 ，
3
∴ AE  5 2  10 ，
33
故选：B．
【例 2】如图，在等边V ABC 中，点 E 在线段 AB 的延长线上，点 D 在直线 BC 上，且 ED  EC ．若V ABC
的边长为 1， AE  3 ，则CD  ．
【答案】4
【分析】过点 E 作 EF CD 于点 F，根据等边三角形的性质及线段的和差推出 BE  2 ，ABC  60 ，根据
直角三角形的性质得出BEF  30 ，根据含30 角的直角三角形的性质推出 BF  1 BE  1 ，根据等腰三角
2
形的性质及线段的和差求解即可．
此题考查了含30 角的直角三角形的性质，熟记含30 角的直角三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：过点 E 作 EF CD 于点 F，
∵V ABC 是等边三角形，边长为 1， AE  3 ，
∴ BE  AE  AB  2 ， ABC  60 ，
∵ EF CD ，
∴ EFB  90，
∴ BEF  90  60  30 ，
∴ BF  1 BE  1 ， 2
∴ CF  BF  BC  2 ，
∵ ED  EC ， EF CD ，
∴ DF  CF  2 ，
∴ CD  DF  CF  4 ．故答案为：4．
【技巧归纳】
常用截长补短法
截长：在长线段上截取一段等于其中一条短线段，证剩余部分等于另一条短线段；补短：延长短线段，使总长等于长线段，再证全等。
易错提醒：辅助线描述规范，证明紧扣全等性质。
【变式 10-1】如图，D 为V ABC 内一点，AD  CD ，AD 平分CAB ，且DCB  B ．如果 AC  6 ，CD  2 ，求 AB 的长．
【答案】10
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等角对等边、角平分线的定义，结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．延长CD 交 AB 于点 E ，利用全等三角形的ASA 判定定理证出
△ADE ≌△ADC ，得出 AE  AC  6 ， ED  CD  2 ，由DCB  B 得到 BE  CE ，再利用线段的和差关
系即可求解．
【详解】解：如图，延长CD 交 AB 于点 E ，
AD  CD ，
ADE  ADC  90 ，
AD 平分CAB ，
DAE  DAC ，
在V ADE 和△ADC 中，
ADE  ADC

 AD  AD，

DAE  DAC
 ADE≌ ADC ASA ，
 AE  AC  6 ， ED  CD  2 ，
CE  ED  CD  4 ，
DCB  B ，
 BE  CE  4 ，
 AB  AE  BE  6  4  10 ，
AB 的长为 10．
【变式 10-2】如图， V ABC 为等腰直角三角形， ACB  90 ，直线l 经过点 A 且绕点 A 在V ABC 所在平面内转动，作 BD  l ， CE  l, D, E 为垂足．
(1)如图①，求证： DA  DB  2DE ；
(2)在图②和图③中，（1）的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，直接写出 DE, DA, DB 三条线段的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)不成立，见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定，学会结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
在l 上截取 AF  BD ，连接CD , CF ，利用全等三角形SAS 判定△CBD≌△CAF ，得出CD  CF ，进而
用HL 判定得到Rt△CED≌Rt△CEF ，得出 DE  EF ，再通过线段的等量代换即可证明；
在l 上截取 AF  BD ，连接CD , CF ，用类似（1）的方法可得图②和图③中（1）的结论不成立，写出数量关系即可．
【详解】（1）证明：如图，在l 上截取 AF  BD ，连接CD , CF ，
ABC 为等腰直角三角形， ACB  90, BD  l ，
 AC  BC ,BDA  90 ，
CBD  CAD  360  BDA  ACB  360  90  90  180 ，
CAF  CAD  180 ，
CBD  CAF ， 在△CBD 和V CAF 中，
CB  CA

CBD  CAF ，

BD  AF
 CBD≌ CAF SAS ，
CD  CF ，
又 CE  l, CE  CE ，
Rt
CED≌Rt
CEF HL ，
 DE  EF  1 DF  1  DA  AF   1  DA  DB  ，
222
DA  DB  2DE ．
（2）解：在图②和图③中，（1）的结论不成立．图②中，结论： DA  DB  2DE ；
图③中，结论： DB  DA  2DE ．
对于②，截取 AF  BD ，连接CD , CF ，
ABC 为等腰直角三角形， ACB  90, BD  l ，
 AC  BC ,BDA  90 ，
CBD  BAD  45 ， CAF  BAD  45 ，
CBD  CAF ， 在△CBD 和V CAF 中，
CB  CA

CBD  CAF ，

BD  AF
 CBD≌ CAF SAS ，
CD  CF ，
又 CE  l, CE  CE ，
Rt
CED≌Rt
CEF HL ，
 DE  EF  1 DF  1  DA  AF   1  DA  DB  ，
222
 DA  DB  2DE ．
对于③，截取 AF  BD ，连接CD , CF ，同理可证： DB  DA  2DE ．
题型 11 尺规作图-作三角形
【例 1】课堂上，李老师先给每人发一张印有Rt△ABC（如图 1）的卡片，然后要求同学们画一个Rt ABC ，使得Rt△ABC≌Rt△ABC ．小宏同学先画出MBN  90 ，后续画图的主要过程如图 2 所示．这种画图方法的依据是（ ）
A． HLB． ASAC． AASD． SAS
【答案】A
【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．根据演示由尺规作图的方法确定作图的具体步骤，即可判断．
【详解】解：由图示知，小宏第一步为截取线段 BC  BC ，第二步为作线段CA  CA ，
在Rt ABC 与Rt△ABC 中，
BC  BC

CA  CA ，
Rt ABC≌Rt ABC (HL)，
∴这种画图方法的依据是HL ．
故选：A．
【例 2】已知线段 a，直角和锐角，求作直角三角形 ABC ，使C  ， A  ， BC  a ．
【答案】见解析
【分析】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图
形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
先作出的余角，再作NCM   90 ，在CM 上截取CB  a ，以B 为顶点，BC 为一边作CBA  ，
则V ABC 即为所作．
【详解】解：如图： V ABC 即为所作．
【技巧归纳】
依据 SSS、SAS、ASA 判定原理作图，先作基准边，再作角 / 截取线段，保留作图痕迹，最后标注字母。易错提醒：尺规作图只能用无刻度直尺和圆规，不可用量角器、刻度尺测量。
【变式 11-1】如图，已知线段a 和．
(1)求作V ABC ，使 AB  a，A  ，B  2；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在（1）的条件下，若a  5cm ，
【答案】(1)见解析
(2) BC  5cm
 45 ，求 BC 的长．
【分析】本题考查尺规作三角形，等腰直角三角形的性质和判定，灵活运用所学知识解决问题．
先作A  ，再以点 A 为圆心，以线段a 的长为半径画圆，交A 的一条边为 B，再作B  2，交B 的另一条边为 C，连接 AC 即可．
由作法可知：ABC  2 90 ，由此求出C  90  45  45 ，得出V ABC 是等腰直角三角形，由此即可求解．
【详解】（1）解：如图所示， V ABC 即为所求
（2）解：∵ A   45 ，
∴ ABC  2 90 ，
∴V ABC 是直角三角形，
∴ C  90  45  45 ，即C  A ，
∴ BC  AB ，
∵ AB  a  5cm ，
∴ BC  AB  5cm ．
【变式 11-2】如何作一个三角形与已知三角形全等？请思考作图依据并与同学交流．
【答案】见解析
【分析】此题考查了尺规作三角形的方法．利用尺规作图，根据SSS 全等判定定理作图，通过已知三角形的三边长度，构造一个与之全等的三角形，依据是三边对应相等的两个三角形全等（ SSS定理）．
【详解】解：已知三角形 ABC ，要作三角形 ABC 与之全等，
首先，作线段 AB 等于 AB ，
然后以 A 为圆心、 AC 长为半径画弧，以 B 为圆心、 BC 长为半径画弧，两弧交于点C ，连接 BC， AC ，
则三角形 ABC 全等于三角形 ABC ，依据是 SSS 全等判定定理．
题型 12 尺规作一个角等于已知角
【例 1】
(1)尺规作图，在AOB 的外．部．作BOD ，使得BOD  AOC （要求只保留作图痕迹，不写作法）；
(2)设AOC  x ，
①用 x 表示BOD ；
②求证： COD  120 ；
③探究AOD 与BOC 的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)① BOD  x；②见解析；③ AOD  BOC  240 ，理由见解析
【分析】（1）利用尺规作图在AOB 的外部作BOD ，使得BOD  AOC 即可；
（2）①根据（1）的作图即可解答；②由作图可知： BOD  AOC  x ， BOC  120  x ，再利用角的和差即可证明结论；③先说明AOD  120 x ，BOC  120 x ，再利用角的和差即可解答．
【详解】（1）解：（1）如图： BOD 即为所求．
（2）解：①由（1）作图可知： BOD  AOC  x
②证明：由作图可知： BOD  AOC  x ， BOC  120  x ，
∴ COD  BOC  BOD  120 x  x  120 ，
COD  120．
③ AOD 与BOC 的和等于240，理由如下：AOD  AOB  BOD 120  x， BOC 120 
∴ AOD  BOC  120 x  120 x  240 ．
x ，
【例 2】小华利用已学知识用尺规作一个角等于已知角，具体情况如图所示则小华得到 OCD 与 OCD 全等的依据是．
【答案】SSS
【分析】利用作图痕迹得到OC  OD  OC  OD ， CD  CD ，根据全等三角形的判定方法即可解答．
【详解】解：由作图痕迹得OC  OD  OC  OD ， CD  CD ，
 OCD≌ OCDSSS．
【技巧归纳】
核心原理是 SSS 全等；按照 “画射线→截等线段→画等弧→确定另一边” 四步操作，全程保证半径不变。易错提醒：作图过程中圆规半径不能随意更改。
【变式 12-1】尺规作图：作一个角等于已知角．已知：AOB ．
求作： AOB ，使AOB  AOB ．作法：
步骤一：如图1，以点O 为圆心，以任意长为半径画弧，交OA 、OB 于点C ， D ； 步骤二：如图2 ，作射线OA，以点O 为圆心，以▲长为半径画弧，交OA于点C ；步骤三：以点C 为圆心，以■长为半径画弧，与步骤二中所画的弧相交于点 D¢；
步骤四：经过点 D¢画射线OB ，则AOB  AOB ．
则▲，■所表示的内容为（ ）
A．任意， CDB． OC ， CDC．任意， OCD． OC ， OD
【答案】B
【分析】根据作一个角等于已知角的作图步骤分析即可求解．
【详解】解：步骤一：如图 1，以点O 为圆心，以任意长为半径画弧，交OA 、OB 于点C ， D ；步骤二：如图2 ，作射线OA，以点O 为圆心，以OC 长为半径画弧，交OA于点C ；
步骤三：以点C 为圆心，以CD 长为半径画弧，与步骤二中所画的弧相交于点 D¢；步骤四：经过点 D¢画射线OB ，则AOB  AOB ．
则▲，■所表示的内容为OC ， CD ．
【变式 12-2】如图，点C 在AOB 的边OB 上，用尺规作出了CN OA ，作图痕迹中弧 FG 是（ ）
A．以点C 为圆心， OD 长为半径的弧B．以点C 为圆心， DM 长为半径的弧
C．以点 E 为圆心， DM 长为半径的弧 D．以点 E 为圆心， OD 长为半径的弧
【答案】C
【详解】解：要作CN OA ，需要构造同位角相等，即NCB  AOB ，如图，点C 在AOB 的边OB 上，
首先以O 为圆心，任意长为半径画弧，交OB 于 D ，交OA 于M ，然后以C 为圆心， OD 长为半径画弧，交OB 于 E ，
接下来需要以 E 为圆心， DM 长为半径画弧 FG ，交之前的弧于 N ，连接CN 即可得到CN OA ，
∴图中弧 FG 是以点 E 为圆心， DM 长为半径的弧．
题型 13 过直线外一点作已知直线的平行线
【例 1】如图，已知 P 是直线l 外一点，用两种不同的方法过点 P 作与直线l 平行的直线．（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不需要写作法．）
【答案】见解析．
【分析】此题主要考查了尺规作图，解答此题的关键是熟练掌握基本尺规作图，应用两种方法，过直线外一点作已知直线的平行线．
【详解】解：方法 1：（1）过点 P 作直线b 与直线l 相交得1 ，
（2）以点 P 为顶点作2  1 ，得直线a l ；
方法 2：过点 P 作直线b  l ，过点 P 作直线a  b ，得直线a l ；
【例 2】如图，点C 在AOB 的边OA 上．请用尺规作图法，作直线CD∥ OB ．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】作ACD  AOB 即可．
本题考查了基本作图，平行线的判定，熟练掌握作图是解题的关键．
【详解】解：如图，（作法不唯一）
则直线CD 即为所求．
【技巧归纳】
利用同位角相等，两直线平行，先作一个角等于已知同位角，依托 “作等角” 尺规方法完成。易错提醒：找准同位角位置，作图痕迹清晰。
【变式 13-1】（1）尺规作图：已知V ABC ，过点C 在线段 BC 上方作射线CD ，使CD ∥ AB （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的作图中，在射线CD 上截取CE  AB ，连接 AE ，求证： AE ∥ BC
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】本题考查了作平行线，全等三角形的性质与判定，平行线的判定．
作ACD  A ，即可求解．
证明
BAC ≌
ECASAS 得出BCA  EAC ，即可证明 AE ∥ BC ．
【详解】解：（1）如图所示， CD AB
（2）如图，在射线CD 上截取CE  AB
由（1）可知， BAC  DCA
且 AB  CE ， AC  CA
∴ BAC ≌
ECASAS
BCA  EAC ，
 AE BC ．
【变式 13-2】尺规作图：如图，已知V ABC ，过点 A 作直线 MN ，使得 MN ∥ BC ．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见详解
【分析】本题考查过直线外一点作已知直线的平行线，根据题意作BAM  ABC ，连接 AM 即可．
【详解】解：如图，直线 MN 即为所求．
题型 14 全等三角形综合问题
【例 1】如图，在△OAB 和 OCD 中， OA  OB ， OC  OD ， OA  OC ， AOB  COD  30 ，连接 AC ，
BD 交于点 M ， AC 与OD 相交于 E ， BD 与OA 相交于 F ，连接OM ．则下列结论中：① AOC≌
AC  BD ；③ AMB  30 ；④ OEM≌ OFM ．正确的个数有（ ）
A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个
【答案】B
BOD ；
【分析】由SAS 证明 AOC≌ BOD 得出 AC  BD ，则①②正确；由全等三角形的性质得出OAC  OBD ，
由三角形的外角性质得AMB  OAC  AOB  OBD ，得出AMB  AOB  30 ，则③正确；作
OG MC 于G ， OH MB 于 H ，则OGC  OHD  90，由AAS 证明 OCG  ODH ，得出OG  OH ，
由角平分线的判定得出 MO 平分BMC ，假设 OEM≌ OFM ，证明Rt EOG≌Rt FOH HL ，可得到
DMO≌ AMO ASA ，从而得到OC  OA ，与OA  OC 矛盾，则④错误．
【详解】解： AOB  COD  30 ，
∴ AOB  AOD  COD  AOD ，即BOD  AOC ，在△AOC 和 BOD 中，
OA  OB

AOC  BOD ，

OC  OD
 AOC≌ BOD SAS ，则①正确；
 AC  BD ，OAC  OBD ， OCA  ODB ，则②正确；
由三角形的外角性质得： AMB  OAC  OFD  AOB  OBD ，
AMB  AOB  30 ，则③正确；
如图，作OG MC 于G ， OH MB 于 H ，则OGC  OHD  90，
在 OCG 和 ODH 中，
OCG  ODH

OGC  OHD  90 ，

OC  OD
 OCG≌ ODH AAS ，
OG  OH ， GOM  HOM ，
 MO 平分BMC ，即CMO  BMO ，
CMD  BMA ，
∴ DMO  AMO ， 假设 OEM≌ OFM ，
OE  OF ，
在Rt△EOG 和Rt△FOH 中，
∵ OE  OF , OG  OH ，
∴ Rt
EOG≌Rt
FOH HL ，
∴ EOG  FOH ，
∴ EOG  GOM  FOH  MOH
在△DMO 和 AMO 中，
，即EOM  FOM ，
∵ DMO  AMO ， OM  OM ， EOM  FOM ，
∴ DMO≌
AMO ASA ，
∴ OD  OA ，即OC  OA ，与OA  OC 矛盾，则假设不成立，则④错误；
综上，正确的结论有①②③．
【例 2】如图，已知长方形 ABCD 的边长 AB  20 cm， BC  16 cm ，点 E 在边 AB 上， AE  6 cm，如果点 P从点 B 出发在线段 BC 上向点C 运动，同时，点Q 在线段 DC 上从点 D 向点C 运动；已知点 P 的运动速度是 2cm/s．则经过s ， BPE 与V CQP 全等．
【答案】1 或 4
【分析】设 P 运动的时间为ts ，由条件分两种情况，当△BPE≌△CQP 时，则有 BE  PC ，由条件可得到关于t 的方程，当△ BPE  △ CPQ ，则有 BP  PC ，同样可得出t 的方程，可求出t 的值．
【详解】解：设 P 运动的时间为ts ，分两种情况：
①当 EB  PC ， BP  QC 时， △BPE≌△CQP ，
Q AB  20cm ， AE  6cm ，
 EB 14cm ，
 PC  14cm ，
Q BC  16cm ，
 BP  2cm ，
点 P 从点 B 出发在线段 BC 上以2cm/s的速度向点C 运动，
t  2  2  1(s) ；
②当 BP  CP ， BE  QC 时， V BEP≌V CQP ，由题意得： 2t  16  2t ，
解得： t  4(s) ，
综上，经过1s 或4s ， BPE 与V CQP 全等．
【技巧归纳】
整体思路：识图找隐含条件→选判定证全等→用全等性质推边角关系；多步题型分步拆解，结合平行线、角平分线、高线、模型综合分析。
易错提醒：多组全等时，分清对应元素，推理步骤有理有据，不跳关键步骤。
【变式 14-1】如图， Rt△ABC 中， ACB  90 ， V ABC 的角平分线 AD 、 BE 相交于点 P，延长 BC 至 F，
△BAP 沿着 BP 折叠与△BFP 重合， PF 交 AC 于点 H，则下列结论： ①APB 135； ②PF  AD ；
APH≌ FPD ； ④AH  BD  AB ，其中正确的有（）
A． ①②③④B． ①②③C． ①②④D． ①③④
【答案】A
【分析】①利用直角三角形两锐角和为90 ，结合角平分线定义，得PAB  PBA  45 ，由三角形外角或
内角和定理，推出APB  135．②由折叠性质得 BAP≌ BFP ，故FPB  APB  135 ， AP  FP ，计
算得APF  90 ，即 PF  AD ．③在 PF  AD 的基础上，利用同角的余角相等得PAH  F ，结合
AP  FP 、APH  FPD  90 ，由ASA 证得△APH≌△FPD ．④延长 HP 交 AB 于Q ，先由ASA 证
APH ≌ APQ 得 AH  AQ ，再证 BPD≌ BPQ 得 BD  BQ ，最终得 AH  BD  AQ  BQ  AB ．
【详解】解： Rt△ABC 中， ACB  90 ，
CAB  CBA  90 ，
ABC 的角平分线 AD 、 BE 相交于点 P ，
PAB  PAC  1CAB ， PBA  PBC  1 CBA ，
22
BPD  PAB  PBA  1 CAB  CBA  45 ，
2
APB  180  BPD  135，故①正确；
∵△BAP 沿着 BP 折叠与△BFP 重合， PF 交 AC 于点 H，
∴ FPB  APB  135 ， AP  FP ，
∴∠APF  360 ∠FPB ∠APB  90 ，
∴ PF  AD ，故②正确；
APH  FPD  90 ，
PAH  ADC  90 ， F  ADC  90 ，
PAH  F ，
在V APH 和△FPD 中，
APH  FPD

 AP  FP,

PAH  F
 APH≌
FPD (ASA) ，
故③正确；
延长 HP 交 AB 于点Q ，则APH  APQ  DPQ  90 ，
BPQ  DPQ  BPD  45 ，
BPD  BPQ ，
在V APH 和△APQ 中，
PAH  PAQ

 AP  AP

APH  APQ
 APH≌ APQ (ASA) ，
 AH  AQ ，
在△BPD 和V BPQ 中，
PBD  PBQ

BP  BP

BPD  BPQ
 BPD≌ BPQ (ASA) ，
 BD  BQ ，
 AH  BD  AQ  BQ  AB ，故④正确．
【变式 14-2】如图， ABC 中， BAC  90, AB  22, AC  28 ，点 P 以每秒1个单位的速度按 B  A  C 的路
径运动，点Q 以每秒2 个单位的速度按C  A  B 的路径运动，在运动过程中过点 P 作 PF  l 于点 F ，点Q 作
QG  l 于点G ，两点同时出发，只要一个点到达终点两点即同时停止运动．设运动t 秒时 PFA≌ AGQ ，则t 的值是 ．
【答案】6 或 50
3
【分析】分类讨论：①当点 P 在 BA 上，点Q 在 AC 上，②当 P 在 AC 上， Q 在 AB 上，③当 P、Q 在 AB 上重合时，根据题意结合全等三角形的性质得出 PA  AQ ，再分别用t 表示出 PA 和 AQ 的长，列出等式，解
出即可，熟练掌握全等三角形的判定与性质，并利用分类讨论的思想是解决问题的关键．
【详解】解：当 P 在 AB 上， Q 在 AC 上时，如图1，
则 PB  t, CQ  2t, AP  22  t, AQ  28  2t ，
∴ AP  AB  PB  22  t, AQ  AC  CQ  28  2t ，
∵ PFA≌ AGQ ，
∴ AP  AQ ，
∴ 22  t  28  2t ，
∴ t  6 ，
即 P 点运动6 秒；
当 P 在 AC 上， Q 在 AB 上时，如图2 ，
∴ AQ  2t  28, AP  t  22 ，
∵ PFA≌
AGQ ，∴ AQ  AP ，∴ 2t  28  t  22 ，∴ t  6 ，不符合题意，舍去；
当 P、Q 在 AB 上重合时，如图3 ，
则 AP  22  t, AQ  2t  28
∴ AP  AQ ，即22  t  2t  28
解得： t  50 ，
3
综上可知： t  6 或t  50 ．
3
如图， C  F ，下列条件中，不能判定△ACB 与△DFE 全等的是（ ）
A  D ， AB  DE
C． AB  DE ， BC  EF
【答案】C
AC  DF ， BC  EF
D． BC  EF ， B  E
【分析】根据全等三角形的判定方法，逐个判断即可求解．
【详解】解：A、根据AAS 可判断△ACB 与△DFE 全等，故选项不符合题意；
根据SAS 可判断△ACB 与△DFE 全等，故选项不符合题意；
AB 、BC 的夹角是B ， DE 、EF 的夹角是E ，已知条件为C  F ，因此不符合SAS ，不能判断
△ACB 与△DFE 全等，故选项符合题意；
根据ASA 可判断△ACB 与△DFE 全等，故选项不符合题意．
如图， AB  BC ， AD  DC ，下列根据“ HL ”定理，添加一个条件可以使得Rt ABC ≌ Rt ADC 成立的是（ ）
AB  AC
C． BAC  DAC
【答案】B
AB  AD
D． AC  AC
【分析】本题考查了直角三角形的判定定理，根据判定定理“ HL ”即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：∵ AB  BC ， AD  DC ，
∴ B  D  90 ，
∵在Rt△ABC 和Rt ADC 中，斜边 AC  AC ，
∴要利用“ HL ”判定Rt ABC ≌ Rt ADC ，则应添加条件直角边 BC  DC 或 AB  AD ，故选： B ．
如图，在 3×3 的小正方形网格中，A，B，C，D 均为格点，设ABC ， BCD  ， BAD  ，则
 的值为（ ）
A． 45B． 60C． 75D．135
【答案】A
【分析】根据全等三角形的判定与性质可得ECB = GBA ，从而可得ABC = 90 =，再根据三角形外角的性质可得 45 ，即可求解．
【详解】解：如图， BE  AG ， BEC  AGB  90 ， EC  GB ，
∴ BEC≌
AGB SAS ，
∴ ECB = GBA ，
∵ ECB  EBC  90 ，
∴ GBA  EBC = 90 ，
∴ ABC = 90 =，
∵  CBD = 90 ， CBD  ABD  90 ，
∴ ABD  ，
∵ ADF = ABD  BAD = 45 ，
∴ 45 ，
∴= 90  45 = 45 ．
如图，在V ABC 中，AB  AC ，D 、E 分别是 AB ，AC 上的点，添加下列条件后，仍不能证明 ABE≌
的是（ ）
ACD
AD  AE
【答案】C
BD  CE
BE  CD
ABE  ACD
【分析】在 ABE 和 ACD 中，已知 AB  AC ， A 为公共角，已经具备一边一角对应相等，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断即可．
【详解】解： AB  AC ， A  A ，
当 AD  AE 时，则根据“ SAS ”可判断 ABE≌ ACD ，故 A 选项不符合题意；
当 BD  CE 时，可得 AB  BD  AC  CE ，即 AD  AE ，则根据“ SAS ”可判断 ABE≌ ACD ，故 B 选项不符合题意；
当 BE  CD 时，不能判断 ABE≌ ACD ，故 C 选项符合题意；
当ABE  ACD 时，则根据“ ASA ”可判断 ABE≌ ACD ，故 D 选项不符合题意．
在V ABC 中， AB  6，AC  4 ，则 BC 边上的中线 AD 的取值范围是 ．
【答案】1  AD  5
【分析】延长 AD 到点 E，使 AD  DE ，连接 BE ，证明V ADC≌V EDB ，得到 AC  BE  4 ，在 ABE 中，根据三角形三边的关系得到 AB  BE  AE  AB  BE ，代入求解即可．
【详解】解：如图所示，延长 AD 到点 E，使 AD  DE ，连接 BE ，
∵ AD 是 BC 边上的中线，
∴ BD  CD ，
在△ADC 和△EDB 中，
 AD  ED

ADC  EDB ，

DC  DB
∴△ADC≌△EDB SAS ，
∴ AC  BE  4 ，
在 ABE 中， AB  BE  AE  AB  BE ，
∴ 6  4  2AD  6  4 ，
∴1  AD  5 ．
如图，三角形 ABC 中，BD 平分ABC ，AD  BD ，若 AB : BC  4 : 7 ，S△ADC  5 ，则S△ ABD  ．
【答案】 20
3
【分析】延长 AD 交 BC 于点 E，证明 ABD≌ EBD ASA ，得到 AB  BE ， S ABD  S EBD ， AD  DE ，可
证明 BE : EC  4 : 3 得到 S△EBD : S△ECD  4 : 3 ，根据三角形的中线平分三角形的面积得到 S ECD  S ADC  5 ，据此可得答案．
【详解】解：如图，延长 AD 交 BC 于点 E，
∵ BD 平分ABC, AD  BD
∴ ABD  EBD，ADB  EDB  90
又∵ BD  BD ，
∴ ABD≌ EBD ASA ，
∴ AB  BE ， S ABD  S EBD ， AD  DE ，
∵ AB : BC  4 : 7
∴ BE : BC  4 : 7
∴ BE : EC  4 : 3 ，
∴ S△EBD : S△ECD  4 : 3 ，
∵ AD  DE ， S ADC  5 ，
∴ S ECD  S ADC  5 ，
∴ S ABD  S EBD
 4 S
3
ECD
 20 ．
3
如图， AE 是V ABC 的角平分线， AD BC 于点 D ，点 F 为 BC 的中点，若BAC  104 ， C  40 ，
则有下列结论：① BAE  52 ；② DAE  2 ；③ EF  ED ；④ S
 1 S．其中正确的是．
△ABF
2 △ ABC
【答案】①②④
【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线及高线的性质，根据角平分线的定义可判定① ；根据角平分线的定义及垂直的定义求得CAE  52，CAD  50，再由DAE  CAE  CAD 即可判定② ；根据三角形中线的性质即可判定④ ；③ 根据已知条件判定不出，由此即可解答；熟知三角形的角平分线、中线及高线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵ AE 是V ABC 的角平分线， BAC  104 ，
∴ BAE  CAE  1 BAC  52 ，故① 正确；
2
∵ AD BC ， C  40 ，
∴ CAD  90  40  50 ，
∴ DAE  CAE  CAD  2 ，故② 正确；
∵ F 为 BC 的中点，
∴ S 1 S
，故 ④ 正确；
△ABF2 △ ABC
∵△AEF 为斜三角形， V ADE 为直角三角形，
∴△AEF 与V ADE 不全等，
∴不能够判定③ 正确；故答案为： ①②④ ．
已知， V ABC 是等腰三角形， BC  AB ， A 点在 x 轴的负半轴上，直角顶点 B 在 y 轴上，点C 在 x 轴上方．
如图 1 所示，点 A 的坐标是3, 0 ，点 B 的坐标是0,1 ，过点C 作CH  y 轴于 H ，则线段OH  ，点C的坐标是 ；
如图 2，利用尺规作图过点C 作CD  y 轴于 D ，（不写作法，保留作图痕迹）请猜想线段OA ，OD ，CD
之间的数量关系并写出证明过程．
如图 3，若 x 轴恰好平分BAC ， BC 于 x 轴交于点 E ，过点C 作CF  x 轴于 F ，请直接写出CF 与 AE
之间的数量关系．
【答案】(1)4， 1, 4
画图见解析， OA  CD  OD 或OA  OD  CD ，证明见解析
AE  2CF
【分析】（1）先求出OA  3， OB  1，再判断出 AB  CB ， BAO  CBH ，进而得出△AOB≌△BHC ， 即可得出结论；
先过点C 作CD  y 轴于 D ，再结合（1）的方法，进行分类讨论，即可得出结论；
先判断出CBD  90 ，再判断出BCD  DAF ，进而判断出 ABE≌ CBD ，得出 AE  CD ，最后判
断出 DF  CF ，即可得出结论．
【详解】（1）解： A(3, 0) ， B(0,1) ，
OA  3 ， OB  1，
 ABC 是等腰直角三角形，
 AB  CB ， ABC  90，
ABO  CBH  90 ，
ABO  BAO  90 ，
BAO  CBH ，
在V AOB 和△BHC 中，
AOB  BHC

BAO  CBH ，

 AB  CB
△AOB≌△BHC(AAS) ，
CH  OB  1， BH  OA  3 ，
OH  OB  BH  4 ，
C(1, 4) .
解：如图， CD 即为所求作的直线；
当点 B 在 x 轴下方时，
ABC 是等腰直角三角形，
 AB  CB ， ABC  90，
ABO  CBD  90 ，
ABO  BAO  90 ，
BAO  CBD ，
在V AOB 和 BDC 中，
AOB  BDC

BAO  CBD ，

 AB  CB
△AOB≌△BDC(AAS) ，
CD  OB ， BD  OA ，
 BD  OB  OD  CD  OD ，
 OA  CD  OD ；
当点 B 在 x 轴上方时，如图，
同（1）原理可得
AOB≌
BDC(AAS)，
CD  OB ， BD  OA ，
 BD  OD  OB  OD  CD ，
OA  OD  CD ；
综上， OA  CD  OD 或OA  OD  CD ；
解：如图，延长CF ， AB 相交于点 D ，
CBD  180  ABC  90 ，
CF  x 轴，
BCD  D  90 ，
DAF  D  90 ，
∴BCD  DAF ， 在 ABE 和△CBD 中，
ABE  CBD

BAE  BCD ，

 AB  CB
△ABE≌△CBD(AAS) ，
 AE  CD ，
x 轴平分BAC ， CF  x 轴，
CAF  DAF，AFC  AFD ，
AF  AF ，
 ACF≌
ADF ASA ，
CF  DF ，
CF  1 CD  1 AE ，
22
∴ AE  2CF ．
【问题】已知： CD 是经过BCA 顶点C 的一条直线， CA  CB ， E 、 F 分别是直线CD 上的两点，且
BEC  CFA  ，
【探究】嘉嘉、琪琪和乐乐对上面的问题展开了探究，请阅读他们的探究过程并解答下列问题：
如图 1，若直线CD 经过BCA 的内部，且 E ， F 射线在CD 上．嘉嘉给出的条件是“ BCA  90 ”，猜想 BE 与CF 的数量关系是
如图 2，琪琪改变了嘉嘉的条件，变为“ 0  BCA  180,  BCA  180 ”其余条件不变，请你探究 EF 、
BE 、 AF 三条线段之间的数量关系，并说明理由
如图 3，乐乐改变了直线CD 的位置，使CD 经过BCA 的外部，  BCA ，请写出 EF 、 BE 、 AF 三条线段之间的数量关系：（不要求证明）
【答案】(1) BE  CF
EF  BE  AF ，理由见解析
EF  BE  AF
【分析】（1）先得出BEC  AFC  90 ， CBE  ACF ，根据AAS 证△BCE≌△CAF ，即可；
求出BEC  AFC ， CBE  ACF ，根据AAS 证△BCE≌△CAF ，推出 BE  CF ， CE  AF 即可；
求出BEC  AFC ， CBE  ACF ，根据AAS 证△BCE≌△CAF ，推出 BE  CF ， CE  AF 即可．
【详解】（1）解：∵ BEC  CFA  ， BCA  90 ，
BEC  AFC  90，
BCE  ACF  90 ， CBE  BCE  90 ，
CBE  ACF ，
在 BCE 和V CAF 中，
EBC  ACF

BEC  AFC ，

BC  AC
 BCE≌ CAF AAS ，
 BE  CF ；
解： EF  BE  AF ，理由如下：
BEC  ，  ACB  180 ，  BCE  CBE  180 ，
∴ ACB  BCE  CBE ，
∵ ACB  BCE  ACF ，
CBE  ACF ， 在 BCE 和V CAF 中，
CBE  ACF

BEC  AFC ，

BC  AC
 BCE≌ CAF AAS ，
 BE  CF ， CE  AF ，
 EF  CF  CE  BE  AF ；
解：
BEC  CFA  ，  BCA ，
又 EBC  BCE  BEC  180 ， BCE  ACF  ACB  180 ，
EBC  BCE  BCE  ACF ，
EBC  ACF ， 在V BEC 和△CFA 中，
EBC  FCA

BEC  CFA ，

BC  CA
 BCE≌ CAF AAS ，
 AF  CE ， BE  CF ，
EF  CE  CF ，
 EF  BE  AF ．
在V ABC 中，C  90 ， BC 长为acm ， AC 长为bcm ， AB 长为15cm ，并且 a  9 
b 12
 0 ．请回
答以下问题：
a  ， b  ；
如图，在 DEF 中， E  90 ， EF  3cm ， DE  4cm ， DF  5cm ， D  A ．在V ABC 中，动点 P从点 A 出发，沿 AC 运动，到点 C 停止，速度为3cm / s，若另外有一个动点 Q 与点 P 同时出发，动点 Q 从点 B 出发，沿 BA 运动，到点 A 停止．在两点运动过程中的某时刻，恰好有以 A，P，Q 为顶点的三角形与 DEF全等，求出点 Q 的运动速度；
若在V ABC 中，动点 P 仍从点 A 出发，运动轨迹变为沿 AC  CB 运动，到点 B 停止，速度仍为3cm / s ．动点 Q 运动轨迹不变，仍与点 P 同时出发，从点 B 出发沿着 BA 运动，到点 A 停止．在两点运动过程中的某时刻，仍有以 X ，P，Q 为顶点的三角形与 DEF 全等( X 为 A 或 B)，此时点 Q 的运动速度还可以为 cm / s ．
【答案】(1)9，12
点 Q 的运动速度为15 cm / s 或 33 cm / s ；
25
5 cm / s 或 9 cm / s
616
【分析】本题考查了全等三角形的性质，算术平方根的非负性，解一元一次方程．
利用非负数的性质求解即可；
由题意得 AP  3t ， AQ  15  vt ，分两种情况讨论，① AP  DE  4 ， AQ  DF  5 ；② AP  DF  5 ，
AQ  DE  4 ，分别列式计算即可求解；
b 12
b 12
由题意得 BP  21 3t ， BQ  vt ，同（2）理，分两种情况讨论，分别列式计算即可求解．
【详解】（1）解：∵ a  9 
∴ a  9  0 ， b 12  0 ，解得a  9 ， b  12 ，
故答案为：9，12；
解：∵ a  9 ， b  12 ，
∴ BC  9cm ， AC  12cm ，
 0 ， a  9  0 ，
 0 ，
设运动时间为ts ，动点 Q 速度为vcm / s ，由题意得 AP  3t ， AQ  15  vt ，
要使△APQ 与 DEF 全等，且A  D ，
AP  DE  4 ， AQ  DF  5 ，
∴ 3t  4 ，解得t  4 ；
3
15  vt  5 ，即15  4 v  5 ，
3
解得v  15 ；
2
AP  DF  5 ， AQ  DE  4 ，
∴ 3t  5 ，解得t  5 ；
3
15  vt  4 ，即15  5 v  4 ，
3
解得v  33 ；
5
综上，点 Q 的运动速度为15 cm / s 或 33 cm / s ；
25
解：设运动时间为ts ，动点 Q 速度为vcm / s ，
以 B ，P，Q 为顶点的三角形与 DEF 全等，此时点 P 在 BC 上，由题意得 BP  21 3t ， BQ  vt ，
BP  EF  3 ， BQ  DF  5 ，
∴ 21  3t  3 ，解得t  6 ；
vt  5 ，即6v  5 ，
解得v  5 ；
6
BP  DF  5 ， BQ  EF  3 ，
∴ 21  3t  5 ，解得t  16 ；
3
vt  3 ，即16 v  3 ，
3
解得v  9 ；
16
综上，点 Q 的运动速度为 5 cm / s 或 9 cm / s ；
616
故答案为： 5 cm / s 或 9 cm / s ．
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