2026年八年级数学华师版预习讲义 第10讲 等腰三角形

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知识点 1 等腰三角形的概念
等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边和腰的夹角叫做底角．
知识点 2 等腰三角形的性质
性质 1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．证明： ABC 是等腰三角形， AB  AC ，作底边 BC 的高 AD ，
由等腰三角形是轴对称图形，底边上的高 AD 是ABC 的对称轴可知，对称轴左右两边的三角形完全相等，即ABD  ACD ，得B  C ．
性质 2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．证明： ABC 是等腰三角形， AB  AC ，作底边 BC 的高 AD ，
由等腰三角形是轴对称图形，底边上的高 AD 是ABC 的对称轴可知，
对称轴左右两边的三角形完全相等，即ABD  ACD ，得BAD  CAD ， BD  CD ．
1 / 55
.
知识点 3 等腰三角形的判定
判定 1：如果一个三角形有两个角相等，那么着两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．证明：在ABC 中， B  C ，作 AD  BC 于 D ，则
B  C

ADB  ADC  90

 AD  AD
所以ABD ≌ ACD ，则 AB  AC ．
判定 2：如果一个三角形一边上的“三线”中的任意两线合一；那么这个三角形是等腰三角形．证明： CAE 是ABC 的外角， EAD  DAC ， AD∥BC ，则，
EAD  B ， DAC  C ，得B  C ，则 AB  AC ．
课本典例 1（习题 12.3 第 1 题）
等腰三角形的周长为 16，其中一条边的长是 6，求另两条边的长。
【答案】当 6 为腰长时，底边长为 16?6?6 = 4，另两条边是 6 和 4。当 6 为底边长时，腰长为
16 − 6 ÷ 2 = 5，另两条边是 5 和 5 。
【解析】等腰三角形两腰长度相等。分情况长度相等。分情况讨论，若已知边是腰，直接用周长减去两腰长得到底边；若已知边是底边，用周长减去底边后除以 2 得到腰长。
【点睛】对于等腰三角形已知一边求另两边问题，要分情况讨论已知边是腰还是底边，同时要注意三边需满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边 ），本题两种情况均满足。
课本典例 2（习题 12.3 第 2 题）
等腰三角形的底角比顶角大15?，求各个角的度数。
【答案】设顶角为 x，则底角为 x + 15?。根据三角形内角和为180?，可得 x + 2x + 15? = 180?，即 x + 2x + 30? = 180?，3x = 150?，解得 x = 50?，底角为50? + 15? = 65?。所以三个角分别是50?，65?，65?。
【解析】利用等腰三角形两底角相等以及三角形内角和定理，通过设未知数建立方程求解。
【点睛】涉及等腰三角形角的度数计算，常借助三角形内角和定理，设未知数建立方程求解，注意等腰三角形角的性质应用。
课本典例 3（习题 12.3 第 3 题）
有两个三角形，它们的三个角分别为：①20?，40?，120?；②20?，60?，100?。怎样把它们分别分成两个等腰三角形？画出图形试试看。
【答案】对于20?，40?，120?的三角形：在120?角处作一个20?的角，把120?角分成20?和100? ，得到两个等 腰三角形，一个三角形内角为20?，20?，140?；另一个为40?，40?，100?。对于20?，60?，100?的三角形：在 100?角处作一个60?的角，把100?角分成60?和40? ，得到两个等腰三角形，一个三角形内角为20?，20?，140?；另一个为60?，60?，60?。（图形略，可根据描述自行绘制 ）
【解析】根据等腰三角形两底角相等的性质，通过在大角中作出合适角度，构造出两个等腰三角形。
【点睛】此类题关键是依据等腰三角形角的特点，尝试在较大角中分割出与已有角相等的角，从而构造等腰三角形。
课本典例 4（习题 12.3 第 4 题）
如图，在?ABC 中，AB = AC，D、E 是边 BC 上的点，且 BD = CE。求证：?ADE = ?AED。
【答案】因为 AB = AC，所以∠B = ∠C（等边对等角）。 在?ABD 和?ACE 中，所
以?ABD??ACE SAS。 则 AD = AE（全等三角形对应边相等），所以?ADE = ?AED（等边对等角）。
【解析】先利用等腰三角形性质得到∠B = ∠C，再根据已知条件证明?ABD 和?ACE 全等，由全等得到 AD =
AE，最后根据等腰三角形性质证得?ADE = ?AED。
【点睛】证明等腰三角形中角相等，常通过证明边相等结合等边对等角来实现，而证明边相等可借助全等三角形，要善于挖掘等腰三角形本身的性质来创造全等条件。
课本典例 5（习题 12.3 第 5 题）
如图，AB、CD 相交于点 E，EA = EC，AC?BD。求证：EB = ED。
【答案】因为 AC?BD，所以∠A = ∠B，∠C = ∠D（两直线平行，内错角相等）。 又因为 EA = EC，所以
∠A = ∠C（等边对等角）。 从而∠B = ∠D，所以 EB = ED（等角对等边）。
【解析】先由平行线性质得到角相等，再结合已知 EA = EC 推出∠B = ∠D，最后根据等角对等边得到 EB = ED。
【点睛】本题综合运用了平行线性质和等腰三角形的判定，平行线能得到角的关系，等腰三角形中边与角相互转化的性质是解题关键，要熟练掌握等角对等边和等边对等角在证明中的应用。
题型一 根据等边对等角证明
1．（24-25 八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，V ABC 中， AB  AC ，点 D 为 BC 的中点，过点 D 分别作 DE AC 于 E、DF  AB 于 F ．
求证： DE  DF ；
求证： AE  AF ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质：
由等边对等角得B  C ，再证 DEC≌ DFB(AAS) ，即可得出 DE  DF ；
由 DEC≌ DFB 得CE  BF ，结合 AB  AC ，可得 AE  AF ．
【详解】（1）证明： AB  AC ，
B  C ，
D 为 BC 中点，
 BD  CD ，
又 DE  AC, DF  AB ，
DEC  DFB ， 在 DEC 和△DFB 中，
B  C
DFB  DEC ，


 DEC≌ DFB (AAS) ，
DE  DF ；
（2）证明：由（1）得： DEC≌ DFB ，
CE  BF ， 又 AC  AB ，
 AC  CE  AB  BF ，
 AE  AF ．
BD  CD
2．（24-25 八年级上·辽宁大连·期末）如图，点 E，B，C，F 在一条直线上，CF  BE ，AB  DC，ABC  BCD ，
AF 与 DE 相交于点O ，求证：
(1) A  D ；
(2) OE  OF ．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析．
【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、“等角对等边”等知识，推导出 BF  CE ，进而证明
ABC ≌ DCE 是解题的关键．
由CF  BE ，推导出 BF  CE ，而ABF  DCE，AB  DC ，即可根据“ SAS ”证明 ABC ≌ DCE ，则A  D ；
由全等三角形的性质得F＝E ，即可根据“等角对等边”证明OE  OF ．
【详解】（1）证明：∵点 E，B，C，F 在一条直线上，
∴ CF  BC  BE  BC ，
∴ BF  CE ，
∵ ABC  BCD ，
∴ ABF  DCE ， 在V ABC 和△DCE 中，
 AB  DC
ABF  DCE ，


∴
BF  CE
ABC≌ DCE SAS ，
∴ A  D ；
（2）证明：由（1）得 ABC ≌ DCE ，
∴ F  E ，
∴ OE  OF ．
3．（24-25 八年级上·江西赣州·期末）已知：如图，点 E 、F 在 BC 上，AF 与 DE 交于点G ，AB  DC ，GE  GF ，
B  C ．
求证： AF  DE ．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边对等角．由GE  GF 得出△GEF 为等腰三角形，即
GEF  GFE ，再利用AAS 判定△ABF ≌△DCE ，据此即可得出结论．
【详解】证明：∵ GE  GF ，
∴△GEF 为等腰三角形，
∴ GEF  GFE
∵在△ABF 和△DCE 中，
∵ B  C ， GEF  GFE ， AB  DC ，
∴ ABF≌ DCE AAS ，
∴ AF  DE ．
4．（24-25 八年级上·安徽池州·期末）如图，已知，在V ABC 中，ABC  45 ，D 是 BC 上一点，且 AD  BD ，
E 为 AC 上的一点， BE 交 AD 于 F， BF  AC ．
求证： △ADC≌△BDF ；
求证： BE  AC ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题考查了等腰三角形性质，全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定．
首先证明ADC  ADB  90 ，然后证明出△ADC≌△BDF (HL) ，进而得到结论；
由全等三角形性质可得EBC  DAC ，进而证明EBC  C  90 即可得出结论.
【详解】（1）证明： AD  BD ， ABC  45 ，
BAD  ABD  45 ，
ADB  90 ．
又 D 是 BC 上一点，
ADC  ADB  90 ．在Rt ADC 与Rt△BDF 中
 AC  BF

 ADC≌ BDF HL ；
（2）证明：ADC≌ BDF ，
EBC  DAC ．
又 Rt△ADC 中DAC  C  90 ，
EBC  C  90 ，
BEC  90 ，
 BE  AC ；
 AD  BD，
题型二 三线合一
5．（24-25 八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在V ABC 中， AB  AC ， AD 是角平分线．若B  50 ，则CAD 的度数为（ ）
A． 40B． 50C． 55D． 60
【答案】A
【分析】本题考查等腰三角形的性质，根据等边对等角得C  B  50 ，由等腰三角形三线合一性质得 AD是V ABC 中 BC 边上的高，推出ADC  90 ，最后由CAD  90  C 可得答案．掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵ AB  AC ， B  50 ，
∴ C  B  50 ，
∵ AD 是角平分线，
∴ AD 是V ABC 中 BC 边上的高，
∴ AD BC ，
∴ ADC  90 ，
∴ CAD  90  C  90  50  40 ，
∴ CAD 的度数为40．故选：A．
6．（22-23 八年级上·广西河池·期中）如图，在等边 ABC 中， AD 是 ABC 的中线， CE  AB, AD  5, P 是
AD 上一个动点，则 PB  PE 最小值的是（）
A． 2.5B．5C． 7.5D．10
【答案】B
【分析】本题考查了等边三角形的性质，轴对称最短路径的计算，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 根据等边三角形的性质得到 AD  BC ， AD  CE  5 ，点 B 关于 AD 的对称点为点C ，如图所示，连接CP ，当点C, P, E 三点共线时，取最小值，最小值为CE  5 ，由此即可求解．
【详解】解：∵ ABC 是等边三角形， AD 是 ABC 的中线， CE  AB, AD  5 ，
∴ AD  BC ， AD  CE  5 ，
∴点 B 关于 AD 的对称点为点C ，
如图所示，连接CP ，
∴ PB  PE  PC  PE  CE ，
∴当点C, P, E 三点共线时，取最小值，最小值为CE  5 ，
∴ PB  PE 最小值的是5 ，故选：B ．
7．（24-25 八年级上·重庆·期中）如图，V ABC 中， AB  AC ， AD 平分CAB ，则下列结论中，错误的是
（ ）
A． BD  CD
C． B  C
B． AD  BC
D． AD BC
【答案】B
【分析】此题考查等腰三角形的三线合一的性质，等边对等角，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵V ABC 中， AB  AC ， AD 平分CAB ，
∴ CD  BD, B  C, AD  BC ，故 A，C，D 正确，
没有条件证明 AD  BC ，故 B 错误，故选：B．
8．（24-25 八年级上·江西上饶·阶段练习）（1）如图 1，已知 BD ， CE 是V ABC 的中线，请你用无刻度的直尺作出 BC 边上的中线；
（2）如图 2，在 AEB 中， BE  AE ， EM  AB ，在 AFC 中， AF  CF ， NF  AC ，请你用无刻度直尺作出V ABC 边 BC 上中线．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】本题考查了三角形的中线，等腰三角形三角形的性质等知识，截图的关键是：
设 BD ， CE 相交于 O，连接 AO 并延长交 BC 于点 F 即可；
根据三线合一的性质知：M 为 AB 中点，N 为 AC 中点，连接CM 、BN 相交于 O，连接 AO 并延长交 BC
于点 G 即可．
【详解】解：（1）如图， AF 即为所求，
；
（2）如图， AG 即为所求，
．
9．（24-25 八年级上·吉林·期中）在四边形 EFGH 中， EF  EG  EH
如图①，求证： EFG EHG FGH ；
如图②，在边 FG、GH 上分别取中点 M、N，连接 EM、EN ．若EFG  EHG  120 ，求MEN 的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2) 60
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，四边形内角和定理，熟知等腰三角形的性质是解题的关键．
根据等边对等角可得∠EFG ∠EGF，∠EGH ∠EHG ，再由角的和差关系可证明结论；
由三线合一定理得到∠EMG ∠ENG  90 ，再由四边形内角和定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵ EF  EG  EH ，
∴∠EFG ∠EGF，∠EGH ∠EHG ，
∵∠FGH ∠EGF ∠EGH ，
∴EFG EHG FGH ；
（2）解：∵ EF  EG  EH ，M、N 分别是 FG、GH 的中点，
∴ EM⊥GF，EN⊥GH ，
∴∠EMG ∠ENG  90 ，
∵ EFG  EHG  120 ，
∴ FGH  120，
∴∠MEN  360 ∠FGH ∠EMG ∠ENG  60 ．
题型三 根据三线合一证明
10．（24-25 八年级上·浙江杭州·期末）如图，在四边形 ACBD 中， C  90 ， BA  BD ．
若CA  3 ， BC  4 ， AD  6 ，求四边形 ACBD 的面积；
请在① ABD  2ABC ； ② AD  2AC 中选择一个做为条件，另一个为结论，并证明．
【答案】(1)四边形 ACBD 的面积为18 ；
(2)选择① 作为条件， ② 作为结论，证明见解析．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
（1）过 B 作 BH AD 于 H ，则C  AHB  DHB  90 ，根据等腰三角形的性质得 AH  DH  1 AD  3，
然后证明Rt ACB≌Rt
2
AHB HL ，故有V ABC 的面积 BAH 的面积，从而 S四边形ACBD  3 S ABC ，再求出
△ACB 的面积即可求解；
（ 2 ）分选择① 作为条件， ② 作为结论和选择② 作为条件， ① 作为结论，通过全等三角形的判定与性质即可求证．
【详解】（1）解：如图，过 B 作 BH AD 于 H ，则C  AHB  DHB  90 ，
∵ BA  BD ， AD  6 ，
∴ AH  DH  1 AD  3，
2
∴ AC  AH ，
∵ AB  AB ，
∴ Rt ACB≌Rt AHB HL ，
∴V ABC 的面积
∵ AH  DH ，
∴ ABH 的面积
BAH 的面积，
BDH 的面积，
∴ S四边形ACBD  3 S ABC ，
∵△ACB 的面积 1 AC·BC  1 3 4  6，
22
∴四边形 ACBD 的面积 3 6  18 ；
（2）解： i ）如图，选择① 作为条件， ② 作为结论，理由如下：过 B 作 BH AD 于 H ，则C  AHB  DHB  90 ，
∵ AB  DB ， BH AD ，
∴ AD  2AH ， ABD  2ABH ，
∵ ABD  2ABC ，
∴ ABH  ABC ，
∵ C  AHB  90， AB  AB ，
∴ ABH≌ ABC AAS ，
∴ AH  AC ，
∴ AD  2AC ；
ii ）如图，选择② 作为条件， ① 作为结论，理由如下：
过 B 作 BH AD 于 H ，则C  AHB  DHB  90 ，
∵ AB  DB ， BH AD ，
∴ AD  2 AH  2DH ， ABD  2ABH ，
∵ AD  2AC ，
∴ AC  AH  DH ，
∴ Rt ABH≌Rt ABC HL ，
∴ ABC  ABH ，
∴ ABD  2ABC ．
11．（24-25 八年级上·浙江金华·期末）如图，在V ABC 中，AB  AC ，点 D ，E 分别是 BC 上两点，连接 AD ，
AE ，且 AD  AE ．求证： BD  CE ．
针对这道题目，三位同学进行了如下讨论： 小明：“可以通过证明△ABD≌△ACE 得到．”
小华：“可以通过证明 ABE≌ ACD 得到．”
小聪：“我觉得可以通过等腰三角形三线合一定理添加适当的辅助线证明．”请你结合上述讨论，选择恰当的方法完成证明．
【答案】证明见解析
【分析】小明的方法：由等腰三角形的性质得B  C ，ADE  AED ，即得ADB  AEC ，进而可得
ABD≌ ACE AAS ，即可求证；
小华的方法证：由等腰三角形的性质得B  C ，AEB  ADC ，即得 ABE≌ ACD AAS ，即可求证；小聪的方法：过点A 作 AH  BC 于 H ，由等腰三角形的性质可得 BH  CH ， DH  EH ，进而即可求证；本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】小明的方法证明：
∵ AB  AC ，
∴ B  C ，
∵ AD  AE ，
∴ ADE  AED ，
∴ ADB  AEC ，
∴ ABD≌ ACE AAS ，
∴ BD  CE ；
小华的方法证明：
∵ AB  AC ，
∴ B  C ，
∵ AD  AE ，
∴ AED  ADE ，即AEB  ADC ，
∴ ABE≌ ACD AAS ，
∴ BD  CE ；
小聪的方法证明：
如图，过点A 作 AH  BC 于 H ，
∵ AB  AC ， AD  AE ，
∴ BH  CH ， DH  EH ，
∴ BH  DH  CH  EH ，即 BD  CE ．
12．（24-25 八年级上·江苏镇江·期末）如图，在V ABC 中， BA  BC ， CD  AB ，垂足为 D ， BE  AC ，垂足为 E ， CD 、 BE 交于点 F ， BD  CD ．求证：
△BDF≌△CDA ；
BF  2CE ．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质等知识，关键是推出△BDF≌△CDA ，
属于中考常考题型．
根据 ASA 证出△BDF≌△CDA 即可；
根据等腰三角形的性质得出 AE  CE ，再根据△BDF≌△CDA ，推出 AC  BF 即可．
【详解】（1）证明：∵ CD  AB, BE  AC ，
BDF  ADC  FEC  90 ，
DBF  90  BFD, DCA  90  EFC，且BFD  EFC ，
DBF  DCA ，
在 Rt DFB 和 Rt DAC 中，
BDF  ADC
BD  CD

，

 Rt DFB≌Rt DAC  AAS  ．
（2）证明：∵ BA  BC, BE  AC ，
DBF  ACD
CE  AE  1 AC ，
2
又由（1）知△DFB≌△DAC ，
∴ BF  AC ，
 2CE  AC  BF ．
13．（24-25 八年级上·湖南衡阳·期中）如图， BAD  CAE  90， AB  AD ， AE  AC ， AF  CB ，垂足为 F．
求证： △ABC ≌△ADE ；
求FAC 的度数；
求证： ABF  ADC ，并直接写出线段CD 、 BC 、 BF 之间的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2) 45
(3)见解析， CD  2BF  BC
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，等腰三角形的判定和性质，解
题的关键是作出辅助线，构造全等三角形．
根据SAS 证明△ABC ≌△ADE 即可；
根据CAE  90， AC  AE ，求出E  45，根据全等三角形性质得出BCA  E  45 ，根据
AF BC ，得出CFA  90 ，即可求出CAF  45；
延长 BF 到G ，使得 FG  FB ，连接 AG ，由△BAC≌△DAE 得CBA  EDA ，证明
CGA≌ CDAAAS ，得出CG  CD ，根据CG  CB  BF  FG  CB  2BF ，即可证明结论．
【详解】（1）证明：
BAC  CAD  90 ，
CAD  DAE  90 ，
BAC  DAE ， 在 BAC 和 DAE 中，
 AB  AD

BAC  DAE ，

 AC  AE
BAD  CAE  90 ，
 BAC≌
解：
DAE SAS ；
CAE  90 ， AC  AE ，
E  45 ，
由（1）知△BAC≌△DAE ，
BCA  E  45 ，
Q AF ^ CB ，
CFA  90 ，
FAC  45 ；
解： CD  2BF  BC ；理由如下：
延长 BF 到 G，使得 FG  FB ，连接 AG ，如图所示：
AF  BG ，
 AB  AG ，
ABF  G ，
△BAC≌△DAE ，
 AB  AD ， CBA  EDA ，
 AG  AD ， ABF  CDA ，
G  CDA ，
GCA  DCA  45 ，
∴在△CGA 和 CDA 中，
GCA  DCA
G  CDA

，

 CGA≌ CDAAAS ，
CG  CD ，
CG  CB  BF  FG  CB  2BF ，
 CD  2BF  BC ．
 AG  AD
题型四 等边三角形的性质
14．（24-25 八年级上·广东广州·期中）如图，等边V ABC 的边长为 4， AD 是 BC 边上的中线， F 是 AD 边上的动点， E 是 AC 边上一点，若 AE  2 ，当 EF  CF 取得最小值时，则ECF 的度数为（ ）
A．15B． 22.5C． 30D． 60
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称 最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点的应用，找到 CM 是解题的关键．作点 E 关于 AD 对称的点 M，连接CM ，与 AD 交于点 F，推出 EF  CF 最小时即为CM ，再根据等边三角形的性质可得结果．
【详解】解：作点 E 关于 AD 对称的点 M，连接CM ，与 AD 交于点 F，
∵V ABC 是等边三角形， AD 是 BC 边上的中线，
∴ AD BC ， AD 平分BAC ，
∴M 在 AB 上，
∴ MF  EF ，
∴ EF  CF  MF  CF  CM ，
∵两点之间线段最短，
∴当C, F , M 时， EF  CF 最小，且为CM ，
∵ AE  2 ，
∴ AM  2 ，即点 M 为 AB 中点，
∵V ABC 是等边三角形，
∴ CM 平分ACB ， ACB  60
∴ ECF  1 ACB  30，
2
故选：C．
15．（24-25 八年级上·河北石家庄·阶段练习）已知V ABC 是等边三角形，点 D 在边 BA 的延长线上，则CAD
的度数为．
【答案】120
【分析】本题考查了等边三角形的性质和邻补角，结合等边三角形的性质可得A  B  C  60 ，再根据邻补角即可求出答案．
【详解】解： V ABC 是等边三角形，
A  B  C  60 ，
点 D 在边 BA 的延长线上，
∠CAD  180  60  120 ．故答案为：120 ．
16．（24-25 八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图， V ABC 是等边三角形，在V ADE 中，
AD  AE，DAE  80，BAD  15 ，则CDE  （ ）
A． 30B． 20C． 35D． 25
【答案】D
【分析】本题主要考查等边三角形的性质、等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握等边三角形的性质、等腰三角形的性质及三角形外角的性质是解题的关键；由题意易得B  60, ADE  50 ，则有
ADC  75，然后问题可求解．
【详解】解：∵V ABC 是等边三角形，
∴ B=60，
∵ AD  AE，DAE  80，BAD  15 ，
∴ ADE  180  DAE  50, ADC  B  BAD  75，
2
∴ CDE  ADC  ADE  25；故选：D．
17．（24-25 八年级上·青海西宁·阶段练习）①三角形的角平分线是射线；②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于一点；③三角形的三条高都在三角形内部；④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分；⑤等边三角形是等腰三角形．以上说法正确的是（填序号）
【答案】②④⑤
【分析】根据三角形的角平分线的定义与性质判断①与②；根据三角形的高的定义及性质判断③；根据三角形的中线的定义及性质判断④，根据等边三角形的定义判断⑤，即可求解．
【详解】①三角形的角平分线是线段，原说法错误；
②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点，说法正确；
③锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部．原说法错误；
④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分，说法正确．
⑤等边三角形是等腰三角形，说法正确．说法正确的有②④⑤，
故答案为：②④⑤．
【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线和高的定义及性质，等边三角形的定义．从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
18．（24-25 八年级上·吉林松原·期中）如图，△ACM 与△CBN 都是等边三角形， AC  BC ，若△ACM 不动，将△CBN 绕点 C 旋转，则在旋转过程中， AN 与 BM 的大小关系是（ ）
AN  BM
AN  BM
AN  BM
无法确定
【答案】A
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定
与性质是解题的关键．
利用SAS 证明 ACN≌ MCB 即可说理．
【详解】解：∵△ACM 与△CBN 都是等边三角形，
∴ CA  CM , CB  CN, ACM  BCN  60 ，
∴ ACN  MCB ，
∴ ACN≌ MCB SAS ，
∴ AN  BM ，故选：A．
题型五 等边三角形的判定
19．（24-25 八年级上·河南安阳·期中）满足下列条件的三角形是等边三角形的个数是（ ）
①有两个角是60 的三角形 ②有两个外角相等的等腰三角形
③腰上的高也是中线的等腰三角形 ④三个外角都相等的三角形
⑤有一个角为60 的等腰三角形．
A．2 个B．3 个C．4 个D．5 个
【答案】C
【分析】本题主要考查等边三角形的判定，熟记等边三角形的定义是解题关键．根据等边三角形的定义判断即可．
【详解】解：一个三角形有两个角是60 ，根据三角形内角和定理可知，另一个角也为60 ，即有两个角是60
的三角形是等边三角形，故① 正确；
一个等腰三角形有两个底角相等，则底角的外角相等，不能判定该三角形为等边三角形，即有两个外角相等的等腰三角形不一定是等边三角形，故② 错误；
有一腰上的中线也是这个腰上的高的等腰三角形，则说明该等腰三角形的腰与底一样长，即该三角形为等边三角形，故③ 正确；
一个三角形的三个外角都相等，则这个三角形的三个内角都相等，即三个外角都相等的三角形是等边三角形，故④ 正确；
有一个角是60的等腰三角形，根据三角形内角和定理即可得到该三角形的三个角均为60 ，即该三角形为等边三角形，故⑤ 正确．
综上，正确的有①③④⑤ ，共4 个．故选：C．
20．（24-25 八年级上·河南商丘·期末）如图，在V ABC 中， DE ∥ BC ， EDF  C ．
求证： BDF  A ；
若A  60 ， DF 平分BDE ，求出V ABC 的形状．
【答案】(1)见解析；
(2) V ABC 是等边三角形
【分析】本题考查平行线的判定与性质，等边三角形的判定，正确理解题意是解题的关键．
先根据平行线的性质得出AED  C ，再得出AED  EDF ，推出 DF ∥ AC ，根据平行线的性质即可得出结论；
先求出BDF  A  60，再根据平分线的定义得出BDF  FDE  60 ，根据平行线的性质得出
AED  FDE  60 ，进而得出C  AED  60 ，根据三角形内角和定理得出B  180  A  C  60，推出A  B  C  60 ，即可得出结论．
【详解】（1）证明： DE ∥ BC ，
∴ AED  C ，
∵ EDF  C ，
∴ AED  EDF ，
∴ DF ∥ AC ，
∴ BDF  A ；
（2）解：∵ A  60，
∴ BDF  A  60，
∵ DF 平分BDE ，
∴ BDF  FDE  60 ，
∵ DF ∥ AC ，
∴ AED  FDE  60 ，
∵ DE ∥ BC ，
∴ C  AED  60 ，
∴ B  180  A  C  180  60  60  60 ，
∴ A  B  C  60 ，
∴V ABC 是等边三角形
21．（24-25 八年级上·陕西渭南·期末）如图，在V ABC 中， AB  AC, ACB  60 ，在 AC 边上取点 D ，连接 BD ，使 BD  BC ．以 AD 为一边作等边V ADE ，且使点 E 与点 B 位于直线 AC 的同侧，EAB  2BAC ．
求BDE 的度数；
点 F 在 AB 上，连接 DF , DF  BD ，请判断V BDF 是否是等边三角形，并说明理由．
【答案】(1) 40
(2)等边三角形，理由见解析
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识．灵活运用等边三角形的判定与性质是解答本题的关键．
利用等边三角形的性质求出BAC 的度数，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出
ABC  C  BDC  80 ，从而根据BDE  180  BDC  ADE 求解即可；
利用等腰三角形的性质求出ABD  60 ，然后根据 DF  BD 证明V BDF 是等边三角形即可．
【详解】（1）解：在等边 V ADE 中， EAC  ADE  60 ，
EAB  2BAC ，
BAC  20 ，
AB  AC ，
 ABC  ACB  80
BD  BC ，
BDC  ACB 80 ，
BDE  180 BDC ADE  40 ．
（2）解： V BDF 是等边三角形． 理由如下：由 （1）可得 BDC  ACB  80 ，
CBD  180 BDC ACB  20 ，
ABC  80 ，
FBD  ABC CBD  60 ，
DF  BD ，
 BDF 是等边三角形．
，
题型六 找出图中的等腰三角形
22．（24-25 八年级上·北京·期中）如图，已知V ABC 中， AB  3 ， AC  5 ， BC  7 ，在V ABC 所在平面内画一条直线，将V ABC 分割成两个三角形，使其中有一个边长为 3 的等腰三角形，则这样的直线最多可画
（ ）
A．3 条B．4 条C．5 条D．6 条
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，利用图形分类讨论是解题关键．根据等腰三角形的性质分别利用 AB 为底以及 AB 为腰得出符合题意的图形即可．
【详解】解：如图所示，当 AB  AF  3 ， BA  BD  3， AB  AE  3 ， BG  AG ，都能得到符合题意的等腰三角形．
故选：B．
23．（23-24 八年级上·全国·单元测试）如图，在V ABC 中， AB  AC ，B  72 ，CD 平分ACB 交 AB 于点 D ， DE ∥ AC 交 BC 于点 E ，则图中共有等腰三角形（）
A． 3 个B． 4 个C． 5 个D． 6 个
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质，由已知条件利用相关的性质求得各个角相等是本题的关键．根据等腰三角形的判定和性质定理以及平行线的性质即可得到结论．
【详解】解：∵ AB  AC ， B  72 ，
∴V ABC 为等腰三角形， B  ACB  72 ， A  36
∵ DE ∥ AC
∴ DEB  ACB  B  72 ，
∴ BD  DE ， V BDE 为等腰三角形，
∵ CD 平分ACB ，
∴ACD  DCB  36 A ，
∴ AD  CD ， ACD 为等腰三角形，
BDC  A  DCA  72  B ，
∴ BC  CD ，△BCD 为等腰三角形，
∵ACD  DCB  36 A ， DE ∥ AC ，
∴ EDC  ACD  DCB  36
∴ DE  EC ， DEC 为等腰三角形．综上所述：共有 5 个等腰三角形． 故选 C．
24．（2024 八年级下·全国·专题练习）如图，B  C  36 ，ADE  AED  72 ，则图中的等腰三角形有 个．
【答案】6
【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的外角定理，三角形的内角和定理．
利用三角形的外角定理和三角形的内角和定理求出图中其他角的度数，根据“等角对等边”即可判定等腰三角形．
【详解】∵ B  C  36 ，
∴ AB  AC ， V ABC 是等腰三角形．
∵ ADE  AED  72 ，
∴ AD  AE ， V ADE 是等腰三角形．
∵ BAD  ADE  B  72  36  36 ，
∴∠BAD ∠B ，
∴ DB  DA ，△ABD 是等腰三角形．
∵ CAE  AED  C  72  36  36 ，
∴ CAE  C ，
∴ EA  EC ， △AEC 是等腰三角形．
∵ BAE  180  B  AED  180  36  72  72 ，
∴ BAE  AEB ，
∴ AB  EB ， ABE 是等腰三角形．
∵ CAD  180  C  ADC  180  36  72  72 ，
∴ CAD  ADC ，
∴ CA  CD ， ACD 是等腰三角形．
综上所述：图中等腰三角形有 6 个．故答案为：6
25．（23-24 八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示，共有等腰三角形（ ）
A．2B．3C．5D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，根据有两个角相等的三角形是等腰三角形，结合三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解：∵ EBC  ECB  36 ，
∴ EBC 是等腰三角形， BEC  180  EBC  ECB  108 ，
∴ AEB  DEC  180  108  72，
∴ AEB  A ， CED  D ，
∴ ABE 、△CED 是等腰三角形，
∵ ABC  180  ACB  A  180  72  36  72 ， BCD  180  DBC  D  180  72  36  72 ，
∴ A  ABC ， D  BCD ，
∴V ABC 、△BCD 是等腰三角形，故图中共有 5 个等腰三角形，
故选：C．
题型七 根据等角对等边证明等腰三角形
26．（24-25 八年级上·江苏盐城·期中）如图，在 ABC 中， AB  AC ， A  36 ， CD 平分ACB ，交 AB
于点 D ，求证： CDB 是等腰三角形．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、等腰三角形的判定，首先根据 AB  AC ，A  36 ，CD 平分
ACB ，可以求出ACD  DCB  36 ，根据三角形内角和定理可以求出CDB  72 ，根据等角对等边可证结论成立．
【详解】证明： AB  AC ，
ACB  B ，
又 A  36 ，
ACB  B  1 180  A  72 ，
2
CD 平分ACB ，
ACD  DCB  1 ACB  36 ，
2
CDB  180  B  BCD  180  36  72  72 ，
B  CDB ，
CD  BC ，
 CDB 是等腰三角形．
27．（23-24 八年级上·湖北宜昌·期中）如图，V ABC 中，D 为 BC 中点， 1  2 ．求证：V ABC 为等腰三角形．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
如图：过 D 点作 DE AB 于点 E, DF  AC 于点 F，根据角平分线的性质可得 DE 与 DF 的关系，根据HL 可得 BED 与△CFD 的关系，根据全等三角形的性质，可得B 与C 的关系，根据等腰三角形的判定定理即可证明结论．
【详解】证明：如图：过 D 点作 DE AB 于点 E, DF  AC 于点 F，
1  2 ，
 DE  DF ,BED  CFD  90 ．
D 是 BC 的中点，
 BD  CD ．
在Rt BED 和Rt CFD 中，
 BD  CD

Rt BED  Rt CFD HL ，
B  C ，
 AB  AC ，
 ABC 为等腰三角形．
DE  DF ，
28．（24-25 八年级上·广东肇庆·期末）如图， A  B, CE ∥ DA ，CE 交 AB 于点 E ．求证： CEB 是等腰三角形．
【答案】见解析
【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据平行线的性质，等量代换得到CEB  B ，即可得证．
【详解】证明：∵ CE ∥ DA ，
∴ A  CEB ，
∵ A  B ，
∴ CEB  B ，
∴ CE  CB ，
∴ CEB 是等腰三角形．
29．（24-25 八年级上·江苏常州·期中）如图， BE 是V ABC 的角平分线，在 AB 上取点 D 使 DE ∥ BC ．
求证： DBE 是等腰三角形
若A  65， AED  45 ，求EBC 的度数．
【答案】(1)见解析
(2) 35
【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的内角和定理和平行线的性质：
角平分线的性质，平行线的性质，推出DBE  DEB ，即可得出结论；
三角形的内角和定理，求出ADE 的度数，平行线的性质，求出ABC 的度数，进而求出EBC
的度数即可．
【详解】（1）解：∵ BE 是V ABC 的角平分线，
∴ ABE  CBE ，
∵ DE ∥ BC ，
∴ CBE  DEB ，
∴ DBE  DEB ，
∴ BD  DE ，
∴ DBE 是等腰三角形；
（2）∵ A  65， AED  45 ，
∴ ADE  180  A  AED  70 ，
∵ DE ∥ BC ，
∴ ABC  ADE  70 ，
∵ BE 是V ABC 的角平分线，
∴ EBC  1 ABC  35．
2
题型八 根据等角对等边证明边相等
30．（22-23 八年级上·广西河池·期中）如图，点 E、F 在 BC 上， BE  CF ， AB  CD ， B  C ， AF 与
DE 相交于点 O，求证OF  OE ．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，解题的关键是掌握所学的知识．
证明△ABF ≌△DCE ，得出AFB  DEC ，根据等腰三角形的判定定理即可证明．
【详解】证明：∵ BE  CF ，
∴ BE  EF  CF  EF ，
∴ BF  CE ，
在△ABF 与△DCE 中，
 BF  CE
B  C ，

 AB  DC

∴ ABF≌ DCE SAS  ，
∴ AFB  DEC ，
∴ OE  OF ．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．连接 AD ，证明 ABD≌ DCASSS ，得ADB  DAC ，再由等腰三角形的判定即可得出结论．
【详解】证明：如图，连接 AD ，
在 ABD 和 DCA 中，
 AB  DC
BD  CA


 ABD≌ DCASSS ，
ADB  DAC ，
OA  OD ．
 AD  DA
31．（24-25 八年级上·青海西宁·阶段练习）如图，已知 AB  CD ， AC 交 BD 于点O ，且 AC  BD ．求证 OA  OD ．
32．（24-25 八年级上·福建福州·期末）如图， △ABF 和△DCE 中，点 E，F 在 BC 上，
BE  CF, AB  DC, AF  DE ．求证： GE  GF ．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
根据题意可证明 ABF≌ DCE SSS ，得到AFB  DCE ，即可得到GE  GF ．
【详解】证明： BE  CF
 BE  EF  CF  EF
 BF  CE
在△ABF 与△DCE 中，
 AB  DC
 BF  CE


△ABF≌△DCE(SSS)
AFB  DEC
GE  GF ．
 AF  DE
题型九 根据等角对等边求边长
33．（22-23 八年级上·广西河池·期末）如图，在V ABC 中， B  C ， AB  3 ，则 AC 的长为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】D
【分析】本题主要考查等角对等边．根据等角对等边即可解答．
【详解】解：∵ B  C ， AB  3 ，
∴ AB  AC  3．故选：D．
34．（24-25 八年级上·北京海淀·期中）如图， D 为V ABC 内一点， AD  CD ， AD 平分CAB ，且
DCB  B ．如果 AC  6 ， CD  2 ，求 AB 的长．
【答案】10
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等角对等边、角平分线的定义，结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．延长CD 交 AB 于点 E ，利用全等三角形的ASA 判定定理证出
△ADE ≌△ADC ，得出 AE  AC  6 ， ED  CD  2 ，由DCB  B 得到 BE  CE ，再利用线段的和差关系即可求解．
【详解】解：如图，延长CD 交 AB 于点 E ，
AD  CD ，
ADE  ADC  90 ，
AD 平分CAB ，
DAE  DAC ，
在V ADE 和△ADC 中，
ADE  ADC
 AD  AD

，

 ADE≌ ADC ASA ，
 AE  AC  6 ， ED  CD  2 ，
CE  ED  CD  4 ，
DCB  B ，
 BE  CE  4 ，
 AB  AE  BE  6  4  10 ，
AB 的长为 10．
DAE  DAC
35．（24-25 八年级上·重庆渝北·期中）如图，在V ABC 中， BAC  45 ，高 AD ， CE 交于点 H．若
AB  13, CE  7 ，则CH  ．
【答案】1
【分析】本题考查了等腰三角形的判定、三角形全等的判定与性质等知识，正确找出两个全等三角形是解题关键．先根据等腰三角形的判定可得 AE  CE  7 ，从而可得 BE  6 ，再证出 AEH≌ CEB ，根据全等三角形的性质可得 EH  BE  6 ，然后CH  CE  EH 求解即可得．
【详解】解：∵ AD ， CE 是V ABC 的高，
∴ AEH  CEB  BDA  90，
∴ BAD  B  90 ， BAD  AHE  90，
∴ AHE  B ，
∵ BAC  45 ，
∴ ACE  90  BAC  45，
∴ ACE  BAC  45 ，
∴ AE  CE  7 ，
∵ AB  13 ，
∴ BE  AB  AE  6 ，在△AEH 和 CEB 中，
AEH  CEB  90
AHE  B

，

∴△AEH≌△CEB AAS ，
∴ EH  BE  6 ，
∴ CH  CE  EH  7  6  1，故答案为：1．
 AE  CE
36．（24-25 八年级上·浙江金华·期末）如图，在V ABC 中，点 D 是边 AC 上一点，点 E 为V ABC 外的一点，连接 BD ， BE ， DE ，其中 AB  BE  BC ， ABD  EBD．
求证： △ABD≌△EBD ；
若CAB  DBA ， BE  6 ， AC  10 ，求 BDC 的周长．
（2）解：∵ CAB  DBA ，
BD  BD
ABD≌ EBD SAS ；

∴


ABD  EBD ，

（2）由CAB  DBA 可得 DA  DB ，根据CD  BD  BC  AC  BC 即可求出 BDC 的周长．
【详解】（1）证明：在△ABD 和△EBD 中，
AB  BE
【答案】(1)见解析
(2)16
【分析】本题考查全等三角形的判定，等角对等边，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
（1）利用SAS 证明△ABD≌△EBD 即可；
∴ DA  DB ，
∵ BE  6 ，
∴ BE  AB  CB  6 ，
∵ AC  10 ，
∴ BDC 的周长为CD  BD  BC  CD  AD  BC  AC  BC  16 ．
题型十 求图中任意两点构成的等腰三角形的点
37．（24-25 八年级上·江西宜春·期中）在平面直角坐标系中， A(0, 5) ， B(2, 3) ，C 为第一象限内一点，若以 A，B，C 三点为顶点的三角形为等腰直角三角形，则 C 点坐标为．
【答案】2, 5 或2, 7 或4, 5
【分析】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，坐标与图形的性质等知识，根据等腰直角三角形的性质和判定，画出图形即可解决问题；
【详解】解：如图，
观察图象可知，满足条件的点 C 坐标为2, 5 或2, 7 或4, 5 ．故答案为： 2, 5 或2, 7 或4, 5 ．
38．（23-24 八年级下·陕西西安·期中）如图，在V ABC 中， ABC  75 ， BAC  30 ．点 P 为直线 BC 上一动点，若点 P 与V ABC 三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点 P 的位置有（ ）
A． 4 个B． 6 个C． 8 个D． 9 个
【答案】C
【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等角对等边，从右到左依次考虑，即可得到所有构成等腰三角
形的情况，得到满足条件的点 P 的个数．熟练掌握等腰三角形的判定是解本题的关键．也考查了三角形内角和定理．
【详解】解：如图，
∵在V ABC 中， ABC  75 ， BAC  30 ，
∴ ACB  180  ABC  BAC  180  75  30  75 ，
当CAP  CPA  1  75  37.5 时， CAP 为等腰三角形；
2
当BAP  BPA  1 180  75  52.5 时， △BAP 为等腰三角形；
2
当PAB  PBA  75时， PAB 为等腰三角形；当 P 与C 重合时， ABP 为等腰三角形；
当 P 与 B 重合时，△ACP 为等腰三角形；
当PAC  PCA  75时， PAC 为等腰三角形；
当CAP  CPA  1 180  75  52.5时， CAP 为等腰三角形；
2
当BAP  BPA  37.5 时， △BAP 为等腰三角形；综上，满足条件的点 P 的位置有8 个．
故选：C．
39．（23-24 八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知：如图V ABC 中，B=60，C  80 ，在直线 BA 上找一点 D，使 ACD 或△BCD 为等腰三角形，则符合条件的点 D 的个数有（）
A．7 个B．6 个C．5 个D．4 个
【答案】B
【分析】分 ACD 或△BCD 为等腰三角形两种情况画出图形即可判断．
【详解】解：如图：当 BC  BD 时，△BCD 是等腰三角形；
∵ CBA=60 ，∴△BCD 是等边三角形，∴ BC  BD  CD ；
当 BC  BD1 时， △BCD 是等腰三角形；
当 AC  AD2  AD3 ， CA  CD4 ，当CD5  D5 A 时，综上，符合条件的点 D 的个数有 6 个．
故选：B．
【点睛】本题考查等腰三角形存在问题，如果题中没有说明等腰三角形的腰或者底分别是哪条线段，都要
ACD 都是等腰三角形；
进行分类讨论，让三条线段分别两两相等，得出三种情况，再根据题意看有没有需要排除的情况，然后再
一一分析符合条件的图形．
40．（21-22 八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在 Rt ABC 中， C  90 ， BC  AC ，以V ABC 的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在V ABC 的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为
（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】D
【分析】①以 B 为圆心， BC 长为半径画弧，交 AB 于点 D，△BCD 就是等腰三角形；
②以 A 为圆心， AC 长为半径画弧，交 AB 于点 E， △ACE 就是等腰三角形；
③以 C 为圆心， BC 长为半径画弧，交 AC 于点 F， V BCF 就是等腰三角形；
④作 AC 的垂直平分线交 AB 于点 H， ACH 就是等腰三角形；
⑤作 AB 的垂直平分线交 AC 于 G，则 AGB 是等腰三角形；
⑥作 BC 的垂直平分线交 AB 于 I，则 BCI 和 ACI 都是等腰三角形．
⑦作 AC 的垂直平分线交 AB 于 M，则△ACM 和 BCM 都是等腰三角形．
【详解】解：作图如下
故选：D
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定的应用；解题的关键是理解能力和动手操作能力．
题型十一 等腰三角形的性质和判定
41．（19-20 八年级上·北京海淀·期中）在V ABC 中，AB  AC, A  36，CD 平分ACB 交 AB 于 D, E, F 在
AC, BC 上，且EDF  108 ．
求ADC 的度数；
求证： AE  BF  BC ．
【答案】(1)108
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识；熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出B  ACB  72 ，由角平分线定义得出
ACD  BCD  36 ，由三角形的外角性质即可得出答案；
由（1）得ACD  36  A,ADC  108 ，得出 AD  CD ，证出ADC  EDF ，得出ADE  CDF ，证明 ADE≌ CDF ASA ，得出 AE  CF ，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵ AB  AC, A  36，
∴ B  ACB  1 180  36  72 ，
2
∵ CD 平分ACB ，
∴ ACD  BCD  36 ，
∴ ADC  B  BCD  72  36  108 ；
（2）证明：由（1）得： ACD  36  A,ADC  108 ，
∴ AD  CD ，
∵ EDF  108 ，
∴ ADC  EDF ，
∴ ADE  CDF ，在V ADE 和V CDF 中，
A  BCD
 AD  CD

，

∴ ADE≌ CDF ASA ，
∴ AE  CF ，
∵ CF  BF  BC ，
∴ AE  BF  BC ．
ADE  CDF
42．（24-25 八年级上·湖北襄阳·期末）如图（1）， V ABC 中， AB  AC ， BD 平分ABC 交 AC 于点 D ，且 BD  BC ．
求A 的度数；
若点 E 为线段 AB 的中点，连接 DE ，如图（2），判断直线 DE 与 AB 的位置关系，并说明理由．
【答案】(1) 36
(2) DE AB ，理由见详解
【分析】该题考查了等腰三角形的性质和判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
设ABD  x ，得出ABD  CBD  x ，ABC  C  2x ，BDC  C  2x ，根据三角形内角和列方程求出 x，再根据三角形外角的性质即可求解．
根据（1）证明 AD  BD ，根据等腰三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：设ABD  x ，
∵V ABC 中， AB  AC ，
∴ ABC  C ，
∵ BD 平分ABC ，
∴ ABD  CBD  x ，
∴ ABC  C  2x ，
∵ BD  BC ，
∴ BDC  C  2x ，
∴ 2x  2x  x  180，解得： x  36，
∴ A  BDC  ABD  2x  x  x  36 ；
（2）解： DE AB ，
理由：根据（1）可得A  ABD ，
∴ AD  BD ，
又点 E 为线段 AB 的中点，
∴ DE AB ．
43．（24-25 八年级上·福建厦门·阶段练习）如图，△ABD 中， AB  AD ， AC 平分BAD ，交 BD 于点 E，连接 BC ， CD ．
求证： BC  CD ；
若ABD  50 ， BCD  130 ，求ABC 的度数．
【答案】(1)见解析
(2) 75
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等；
由SAS 可判定 BAC ≌ DAC ，由全等三角形的性质即可得证；
由等腰三角形的性质得CBD  CDB  25 ，即可求解．熟练运用全等三角形和等腰三角形的性质是解题的关键．
【详解】（1）证明： AC 平分BAD ，
BAC  DAC ，在 BAC 与△DAC 中

BAC  DAC ，
AB  AD



AC  AC
 BAC ≌ DAC （ SAS ），
 BC  DC ；
（2）解： BC  DC ，
 CBD  CDB ，
Ð BCD = 130°
CBD  CDB
2
 25 ，
ABD  50 ，
ABC  ABD  CBD
 50  25
 75 ．
 1 180 BCD 
【答案】△ ADE 是等腰三角形，理由见解析．
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，关键是掌握等角对等边．先判定△ ABC 是等腰三角形，由等腰三角形三线合一的性质推出BAD  CAD ，由平行线的性质推出ADE  BAD，得到
ADE  EAD ，推出△ ADE 是等腰三角形．
【详解】解：△ ADE 是等腰三角形，理由如下：
B  C ，
 AB  AC ，
AD  BC ，
BAD  CAD ，
DE ∥ AB ，
ADE  BAD ，
44．（24-25 八年级上·河北廊坊·期中）如图，在V ABC 中， B  C ， AD BC ，垂足为 D ， DE∥AB ，交 AC 于点 E ． V ADE 是等腰三角形吗？请说明理由．
ADE  EAD ，
 EA  ED ，
△ ADE 是等腰三角形．
45．（24-25 八年级上·江西景德镇·期中）如图所示， AD ∥ BC ， AE 是BAD 的平分线， BE 是ABC 的平分线．求证：
AEB  90
AB  AD  BC ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，平行线的性质和三角形内角和定理，熟知等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定是解题的关键．
由平行线的性质和角平分线的定义可推出BAE  ABE  90 ，则由三角形内角和定理可证明结论；
延长 AE，BC 交于 F，可证明BAE  F ，则 AB  FB ，由三线合一定理得到 AE  EF ，证明
ADE≌ FCE ASA ，得到CF  AD ，据此可证明结论．
【详解】（1）证明：∵ AD ∥ BC ，
∴ ABC  BAD  180 ，
∵ AE 是BAD 的平分线， BE 是ABC 的平分线，
∴∠BAE  1∠BAD，∠ ABE  1ABC，
2
2
∠
∴ BAE  ABE  1 BAD  1 ABC 90 ，
2
2
∴ AEB  180  BAE  ABE  90 ；
（2）证明：如图所示，延长 AE，BC 交于 F，
∵ AD ∥ BC ，
∴ F  DAE ，
∵ AE 是BAD 的平分线，
∴ BAE  DAE，
∴ BAE  F ，
∴ AB  FB ，
∵ AEB  90 ，即 AE  BE ，
∴ AE  EF ，
又∵ AED  FEC ，
∴ ADE≌ FCE ASA ，
∴ CF  AD ，
∵ BF  BC  CF ，
∴ AB  BC  AD ．
单选题
1．（24-25 八年级上·山西忻州·期中）如图， △AOB ≌△ADC ，点 B 和点C 是对应顶点， O  D  90 ，记OAD  ,ABO  ，∠ABC  ACB ，当 BC ∥OA 时，与之间的数量关系为（ ）
A． a  B． 2
C．  90D． 2 180
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，由全等三角形的性质可得
AB  AC ， BAO  CAD ，即得BAC  OAD ，进而可得ABC  ACB  1 180   ，又由平行
2
线的性质得OBC  180  90  90 ，即可得 1 180  90 ，据此即可求解，掌握以上知识点是解题
2
的关键．
【详解】解：∵△AOB ≌△ADC ，
∴ AB  AC ， BAO  CAD ，
∴ BAC  OAD ，
∴ ABC  ACB  1 180   ，
2
∵ BC ∥OA ，
∴ OBC  180  90  90 ，
∴ 1 180  90 ，
2
整理得 2，
故选：B．
2．（24-25 八年级上·贵州遵义·期中）在V ABC 中，C  90，A  45 ，则对V ABC 的形状判断最准确的一项是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【答案】C
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定，三角形内角和定理，先求出B 的度数，进而得到
B  A ，再由C  90 即可得到V ABC 是等腰直角三角形．
【详解】解：∵在V ABC 中， C  90，A  45 ，
∴∠B  180  C  A  45，
∴ B  A ，
∴ CA  CB ，
∴V ABC 是等腰直角三角形，故选：C．
3．（24-25 八年级上·广东惠州·期中）如图，在V ABC 中，AB  AC ，D 为 BC 的中点，BAD  35 ，则C 
（ ）
A． 65B． 55C． 45D． 35
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，由三线合一可得 AD BC ，
CAD  BAD  35 ，进而即可求解，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵ AB  AC ， D 为 BC 的中点，
∴ AD BC ， CAD  BAD  35 ，
∴ C  90  CAD  90  35  55 ，故选： B ．
4．（24-25 八年级上·吉林·期中）若等腰三角形的两边长分别是 3 和 8、则它的第三边的长是（ ）
A．3B．6C．8D．3 或 8
【答案】C
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分腰长为 3 和腰长为 8 两种情况，根据构成三角形的条件讨论求解即可．
【详解】解：当腰长为 3 时，则三边长分别为 3，3，8，
∵ 3  3  8 ，
∴此时不能构成三角形，不符合题意；
当腰长为 8 时，则三边长分别为 3，8，8，
∵ 3  8  8 ，
∴此时能构成三角形，
∴第三边的长是 8，故选：C．
5．（24-25 八年级上·吉林·期中）如图，已知 EA  ED ．若CEA  140 ，则∠ BDE 的度数为（ ）
A． 70B． 80C．100D．110
【答案】D
【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形外角的性质，先由等边对等角和三角形外角的性质求出∠EDA的度数，再由平角的定义即可求出∠ BDE 的度数．
【详解】解：∵ EA  ED ，
∴∠A ∠EDA ，
∵ CEA ∠A ∠EDA  140，
∴∠A ∠EDA  70 ，
∴∠EDB  180 ∠EDA  110，故选：D．
6．（24-25 八年级上·甘肃兰州·期中）如图，正三角形的三条边长都为 1 个单位长度，点 P 与表示2 的点重合，现将正三角形不断向右翻转，则数轴上表示 2024 的点与正三角形重合的点是（）
A．点 PB．点 MC．点 ND．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查的是数轴，以及数字规律探究，正三角形向右翻转的一个周期为 3，由此规律进行解答即可．
【详解】解：由题意得，翻转 1 次，M 落在 0，翻转 2 次，P 落在 1，翻转 3 次，N 落在 2，周期为 3，
∵(2024 +1)¸ 3 = 675 ，能够整除，即余数为 0，
∴数轴上表示 2024 的点，与正三角形重合的点是 N．故选：C．
7．（24-25 八年级上·江西景德镇·期中）在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图所示，已知 A，B
是两个格点，如果点 C 也是图中的格点，且使V ABC 为等腰直角三角形，那么点 C 的个数是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】A
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定，以 B 为直角顶点有 2 个，以 A 为直角顶点有 2 个，以 C
为直角顶点有 2 个，据此结合网格的特点画出示意图即可得到答案．
【详解】解：如图所示， C1，C2，C3，C4， C5， C6即为所求，
故选：A．
8．（24-25 八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在V ABC 中， AB  AC  DC ， D 在 BC 上，且 AD  DB ，则BAC 的度数是（ ）
A．100B．105C．108D．120
【答案】C
【分析】此题主要考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、三角形外角的性质，解题的关键是熟练进行逻辑推理．先设B  x ，由 AB  AC 可知，C  x ，由 AD  DB 可知B  DAB  x ，由三角形外角的性质可知ADC  B  DAB 2 x，根据 DC  CA 可知ADC  CAD  2x ，再在V ABC 中，由三角形内角和定理即可得出关于 x 的一元一次方程，求出 x 的值，从而求解．
【详解】解：设B  x ，
∵ AB  AC ，
∴ C  B  x ，
∵ AD  DB ，
∴ B  DAB  x ，
∴ ADC  B  DAB 2 x，
∵ DC  CA ，
∴ ADC  CAD  2x ，
在V ABC 中， x  x  2x  x  180，解得： x  36．
∴ BAC  108 ．故选：C．
9．（24-25 八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，点 D ，C ，E 在直线l 上，点A ，B 在l 的同侧， AC  BC ，若 AD  AC  BC  BE ， CD  6 ， S ACD  12 ，则CE 的长是（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】B
【分析】过点 A 作 AM  CD 于点 M，BN  CE 于点 N，证明△ACM ≌△CBN ，得出 AM  CN ，根据CD  6 ，
S 12 ，得出 AM  2 12  4 ，根据等腰三角形的性质得出CN  NE  1 CE ，最后求出结果即可．
ACD62
【详解】解：过点 A 作 AM  CD 于点 M， BN  CE 于点 N，如图所示：
则AMD  AMC  BNC  90 ，
∵ AC  BC ，
∴ ACB  90 ，
∴ ACM  BCN  BCN  CBN  90 ，
∴ ACM  CBN ，
∵ AC  BC ， AMC  BNC  90 ，
∴△ACM ≌△CBN ，
∴ AM  CN ，
∵ CD  6 ， S ACD  12 ，
∴ AM  2 12  4 ，
6
∴ AM  CN  4 ，
∵ BC  BE ， BN  CE ，
∴ CN  NE  1 CE ，
2
∴ CE  2CN  8 ，故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，余角的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，证明△ACM ≌△CBN ．
10．（24-25 八年级上·广东湛江·阶段练习）如图，在Rt△ABC 中，AC  BC ，ACB  90 ，AD 平分BAC ，
BE  AD 交 AC 的延长线于 F，E 为垂足．则结论：（1） AD  BF ；（2）CF  CD ；（3） AC  CD  AB ；
BE  CF ；（5） BF  2BE ，其中正确的结论个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，先证明△ACD≌△BCF 可说明（1），（2），再说明△ABF 是等腰三角形可判断（3）（5），进而说明（4）可得答案．
【详解】解：∵ ACB  AEB  90，
∴ CDA  CAD  BDE  DBE  90 ，
∴ CAD  CBF ，
∵ ACD  BCF  90，AC  BC ，
∴△ACD≌△BCF ，
∴ AD  BF, CF  CD ，则（1）（2）正确；
∵ AD 平分BAC ， BE  AD ，
∴ CAE  BAE，AEB  AEF  90，
∴ ABE  AFE ，
∴ AB  AF  AC  CF  AC  CD ，
∴ BF  2BE ，
则（3）（5）正确.
当CBF  30时， CF  1 BF  BE ，
2
而CBF  30 ，所以（4）不正确，所以正确的有 4 个，
故选：D．
填空题
11．（24-25 八年级上·广东广州·阶段练习）如图， EAF  15， AB  BC  CD ，则ECD 等于．
【答案】45
【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形的外角的性质等知识，根据等腰三角形的性质以及三角形的
外角的性质即可解决问题；
【详解】解：∵ AB  BC ，
∴BAC  BCA 15，
∴ CBD  A  BCA  30 ，
∵ CB  CD ，
∴ CBD  CDB  30 ，
∴ ECD  A  CDB  15  30  45 ，故答案为： 45．
12．（24-25 八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图， AD 是V ABC 的高， AD  BD ， BE  AC ， BAC  70 ，则DBE 大小为．
【答案】25/25 度
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键；首先证明△BDE≌△ADC ，得DBE  CAD ；再由 AD  BD 得BAD  45，从而可求得结果．
【详解】解：∵ AD 是V ABC 的高，
∴ BDE  ADC  90 ；
∵ AD  BD ， BE  AC ，
∴ Rt BDE≌Rt ADC(HL) ，
∴ DBE  CAD ；
∵ AD  BD ， ADB  90 ，
∴ BAD  45，
∴ CAD  BAC  BAD 70  45  25 ，
∴ DBE  CAD  25；故答案为： 25．
13．（24-25 八年级上·甘肃陇南·阶段练习）如图，在V ABC 中， ABC  90，A  56， CD  CB ，则
CBD  ．
【答案】73
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，等边对等角，先由三角形内角和定理求出C 的度数，再由等边对等角得到CBD  CDB ，据此根据三角形内角和定理可得答案．
【详解】解：∵在V ABC 中， ABC  90，A  56，
∴∠C  180 ∠A ∠ABC  34，
∵ CD  CB ，
∴∠CBD  ∠CDB  180 ∠C  73 ，
2
故答案为： 73 ．
14．（24-25 八年级上·福建厦门·阶段练习）如图，点 P 在正五边形的边 BC 上运动（不与点 B，C 重合），若BAP  x ，则 x 的值可以是．（写出一个符合要求的答案即可）
【答案】30 （答案不唯一）
【分析】本题考查了正五边形的性质，等腰三角形的性质，根据点 P 在点 B 处时，可知 x  0 ；当点 P 在点
C 处时，求得 x  36 ，再根据题意即可求解．
【详解】解：当点 P 在点 B 处时，则BAP  x  0 ，即 x  0 ；
当点 P 在点 C 处时，
∵正五边形的内角度数为5  2180  5  108 ，且 AB  BC ，
BAP  x  180 108  2  36，
即 x  36 ，
∵点 P 在正五边形的边 BC 上运动（不与点 B，C 重合），
 0  x  36 ，
故答案为： 30 （答案不唯一）．
【答案】36 /36 度
【分析】设A  x ，根据等边对等角可得A  ACD  x ，再根据三角形外角的性质可得
BDC  A  ACD  2x ，根据CD  BC 可得B  BDC  2x ，根据 AB  AC 可得B  ACB  2x ，最后利用三角形内角和定理可得 A ACB  B 180，由此可解．
【详解】解：设A  x ，
CD  AD ，
 A  ACD  x ，
根据三角形的外角性质， BDC  A  ACD  2x ，
CD  BC ，
 B  BDC  2x ，
AB  AC ，
 B  ACB  2x ，
在V ABC 中， A ACB  B 180，即 x  2x  2x  180 ，
解得 x  36 ，即A  36．
故答案为： 36 ．
【点睛】本题考查三角形内角和定理、三角形外角的性质、等腰三角形的性质等，解题的关键是掌握等腰三角形中“等边对等角”．
15．（24-25 八年级上·河北邢台·阶段练习）如图， AB  AC ，点 D 在 AB 上，且 AD  CD  BC ，则A 的度数为．
解答题
16．（24-25 八年级上·安徽宣城·期中）已知a 、b 、c 为V ABC 的三边长．若V ABC 为等腰三角形，且周长为16 ，已知a  4 ，求b、c 的值．
【答案】b  c  6 ．
【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可得解．
【详解】解： a 、b 、c 为等腰三角形V ABC 的三边长，且周长为16 ， a  4 ，
分两种情况：
① 当a  4 为腰长时，底边 16  4  4  8 ，
4  4  8 ，
不能构成三角形，故a  4 为腰长舍去；
2
4 为底边，6 为腰长符合三角形的三边关系，
b  c  6 ，
综上所述， b  c  6 ．
② 当a  4 为底边时，腰长 16  4  6 ，
17．（24-25 八年级上·广东广州·阶段练习）如图，在V ABC 中， AB  AC ，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，
AD  AE ，求证： CD  BE ．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角的判定定理是解题的关键．
根据 AB  AC 得出DBC  ECB ，利用SAS 证明△BDC≌△CEB ，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【详解】 AB  AC ，
DBC  ECB ，
 AD  AE ，
 AB  AD  AC  AE ，即 DB  EC ，
在△DBC 和 ECB 中，
DB  EC
DBC  ECB ，


 DBC≌ ECB SAS ，
BC  CB
 CD  BE ．
18．（24-25 八年级上·四川乐山·期末）已知；如图，在V ABC 中， AB  BC ， ABC  90． F 为 AB 延长线上一点，点 E 在 BC 上， BE  BF ，连接 AE 、 EF 和CF ．
求证： AE  CF ；
若CAE  30，求EFC 的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2) EFC  30
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．
根据已知利用 SAS 判定△ABE≌△CBF ，由全等三角形的对应边相等就可得到 AE  CF ；
根据等腰直角三角形的性质得出CAB  BCA  45 ，BEF  BFE  45，根据全等三角形的性质得出EAB  FCB  15，利用三角形外角性质即可求得EFC 的度数．
【详解】（1）证明：在 ABE 和V CBF 中，
 AB  BC
ABC  CBF  90 ，


∴△ABE≌△CBF ，
∴ AE  CF ．
（2）解：∵ AB  BC ， ABC  90，
∴ CAB  BCA  45 ，
∵ CAE  30，
∴ EAB  CAB  CAE  15 ，
∵ BE  BF ， CBF  90 ，
∴ BEF  BFE  45，
∵△ABE≌△CBF ，
∴ BCF  BAE  15 ，
∴ EFC  BEF  BCF  30．
BE  BF
19．（23-24 八年级上·四川南充·阶段练习）如图，BAD  C  180， AD  CD ，求证： BD 平分ABC ；
【答案】见详解
【分析】延长 BA 至点 E ，使得 AE  CB ，先证明△AED 和△CBD 全等，利用全等的性质得
BD  AD,E  CBD ，再结合等边对等角以及角的等量代换得到ABD  CBD ，即可作答．本题考查了三角形全等的判定与性质，角平分线的定义，熟练三角形全等的判定，合理的添加辅助线是解题的关键．
【详解】解：延长 BA 至点 E ，使得 AE  CB ，连接 ED ，
∵ BAD  C  180， BAD  EAD  180 ，
C  EAD ，
在△CBD 和△AED 中，
BC  AE
C  EAD ，


 CBD≌ AED SAS ，
∴ BD  AD,E  CBD
ABD  E
∴ ABD  CBD ，
 BD 平分ABC ．
CD  AD
20．（23-24 八年级上·四川南充·期中）如图，已知 D ，E 在三角形 ABC 的边 BC 上，且 AB  AC ，BD  CE ．求证： AD  AE ．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了等边对等角，全等三角形的判定与性质，根据等边对等角可得 BD  CE ，再利用SAS证明△ABD≌△ACE ，则可证明 AD  AE ．
【详解】证明：∵ AB  AC ，
∴ B  C ，又∵ BD  CE ，
∴△ABD≌△ACE SAS ，
∴ AD  AE ．