2026年八年级数学人教版 第01讲 三角形的概念(暑假预习讲义)

这是一份2026年八年级数学人教版 第01讲 三角形的概念(暑假预习讲义)，共6页。学案主要包含了易错提醒，技巧归纳，变式 1-1，变式 1-2，变式 2-1，变式 2-2，变式 3-1，变式 3-2等内容，欢迎下载使用。
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题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型 1 判断是否为三角形
题型 2 三角形概念的识别
题型 3 三角形的分类
题型 4 三角形的个数
过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固
知｜识｜框｜架
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关键词
学习目标导航
等腰三角形的定义边、角、顶点
三角形的分类
三角形的个数
理解三角形的定义，认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形。
能按边或角对三角形进行分类，掌握各类三角形的特征。
准确的数出一个复杂图形中含有多少个三角形，不重复，不漏数。
学习重点：三角形的概念与表示方法、三角形的分类、三角形的个数，等腰三角形的定义。
学习难点：掌握三角形的分类以及准确输出复杂图形中有几个三角形。
知｜识｜精｜讲
知识点 01 三角形的概念
定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形.
基本元素：组成三角形的线段叫作三角形的边，相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角，例如，在图中，线段 AB，BC，CA 是三角形的边;点 A，B，C是三角形的顶点；∠A，∠B，∠C 是三角形的角.
表示：顶点是 A，B，C 的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形 ABC”，△ABC 的三边有时也用 a，b， c 来表示：如图，顶点 A 所对的边 BC 用 a 表示，顶点 B 所对的边 AC 用 b 表示，顶点 C 所对的边 AB 用 c表示.
即时即练观察下列图形，其中是三角形的是（ ）
B．C．D．
【答案】B
【详解】
解：图形中是三角形的是故选：B．
【易错提醒】
三条线段在同一直线上，无法构成三角形。
不是首尾顺次相接、图形不封闭，也不是三角形。
知识点 02三角形的分类
按角分类
锐角三角形：三个角都是锐角
直角三角形：有一个角是直角（记作 Rt△）钝角三角形：有一个角是钝角
直角三角形
斜三角形
三角形锐角三角形

钝角三角形
按边分类
不等边三角形：三条边都不相等
等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;
等边三角形（正三角形）：三条边都相等（特殊的等腰三角形）
即时即练如图是三角形按边分类的关系图，则图中的 A 表示（）
直角三角形B．锐角三角形
C．钝角三角形D．等腰三角形
【答案】D
【分析】根据三角形的分类可直接得到答案．
【详解】解：三角形按边分类应分为等腰三角形和不等边三角形，等腰三角形又分为腰与底不相等的等腰三角形和等边三角形，
则图中的 A 表示等腰三角形．
【易错提醒】
一个三角形最多 1 个直角 / 1 个钝角，不可能同时有直角和钝角。
有两个锐角≠锐角三角形，还要看第三个角。
认为等腰三角形只是 “只有两边相等”，等边三角形也是等腰三角形。
等腰三角形两底角相等，不要混淆顶角、底角、腰、底边。
知识点 03三角形的个数
基础题型：单条线段上数三角形（最常考）
图形特征：同一个顶点，对边被多条线段分割（底边有若干分点）公式
设底边被分成 n 条小线段 总三角形个数 =1+2+3+…+n举例
底边分成 2 条小线段：1+2=3 个 底边分成 3 条小线段：1+2+3=6 个
底边分成 4 条小线段：1+2+3+4=10 个口诀：从 1 依次加到小线段的总条数
复杂分割图形（通用原则）
分类数：单个小三角形 → 2 个组合 → 3 个组合…… 不重不漏标记法：给每个小区域编号，逐个列举，避免漏数、重复数 不跨区域、不跳着数，按从小到大顺序统计
即时即练图中共有（ ）个三角形．
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【分析】本题考查三角形的定义，熟练掌握相关知识是关键．
不在同一直线上的三个点可以确定一个三角形，使用列举法即可．
【详解】解：如图，
图中三角形为△ABD 、 ABE 、V ABC 、V ADE 、△ADC 、△AEC 共6 个．故选：B．
【易错提醒】
不要把大三角形漏掉；
区分三角形和四边形、梯形，只数三条边的封闭图形；
有平行线、交叉线的图形，优先分类枚举，慎用公式。
题型 1 判断是否为三角形
【例 1】下列由三条线段组成的图形是三角形的是（）
A． B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键．
【详解】解：由三角形的定义可知，只有 C 选项的图形是三角形，故选：C．
【例 2】下列图形中，是三角形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形的定义，三角形是由同一平面内，不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形，据此可得答案．
【详解】解：由三角形的定义可知，四个选项中，只有 B 选项中的图形是三角形，故选：B．
【技巧归纳】
核心抓定义三要素：三条线段、不在同一直线、首尾顺次相接、封闭图形
识别步骤 ① 看组成：必须是三条线段，排除曲线、折线图形； ② 看位置：三条线段不能共线； ③ 看连接：首尾顺次相接，整体为封闭图形。
快速排除： 线段共线、图形开口不封闭、线段未首尾相接，直接判定不是三角形。
【变式 1-1】下列由三条线段组成的图形是三角形的是（）
A． B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键．
【详解】解：由三角形的定义可知，只有 C 选项的图形是三角形，故选：C．
【变式 1-2】小华用三根火柴搭成下列图形，其中是三角形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】此题考查了三角形的定义．三角形的定义为：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形．据此求解即可
【详解】解：因为三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形．用三根火柴搭成下列图形，其中是三角形的是
， 故选：C．
题型 2 三角形概念的识别
【例 1】在 ABE 中， AB 边所对的角是（）
A． ADB
【答案】B
B． AEB
C． ACB
D． AEC
【分析】本题考查“三角形的基本概念”，了解三角形中的相关概念是解题关键．根据图形和三角形的边所对角的概念进行判断即可．
【详解】解：根据三角形的边所对角的概念，在 ABE 中， AB 边所对的角是AEB ，
故选：B
【例 2】如图，在V ABC 中， AE  BC ，点 E 是垂足，点 D 是边 BC 上的一点，连接 AD ．
写出 ABE 的三个内角；
在△ABD 中，B 的对边是；在V ABC 中，B 的对边是．
图中共有个三角形，ADC 是哪几个三角形的公共角？
【答案】(1) ABE 的三个内角是：BAE ，B ， AEB
AD ； AC
6，ADC 是V ADE ， △ADC 的公共角
【分析】本题考查了三角形的基本概念（内角、对边、公共角）及图形中三角形的识别，解题的关键是结合图形明确三角形的组成元素及相互关系．
根据三角形内角的定义，直接从 ABE 中找出三个内角．
依据“角的对边是角对面的边”，分别在△ABD 、△ABC 中确定B 的对边．
先逐一数出图中三角形的数量，再根据公共角的定义，找出包含ADC 的三角形．
【详解】（1） ABE 的三个内角是：BAE ，B ， AEB ；
在△ABD 中，B 的对边是 AD ；在V ABC 中，B 的对边是 AC ．故答案为： AD ； AC ；
图中共有 6 个三角形，分别是：△ABD ， ABE ， V ABC ， V ADE ， △ADC ， △AEC ．故答案为：6；
ADC 是V ADE ， △ADC 的公共角；
【变式 2-1】下列关于三角形的描述，正确的是（ ）
A．由三条线段组成的图形叫做三角形 B．三角形的内角和为180 ，外角和为180 C．锐角三角形的三个外角都是钝角
D．直角三角形只有一条高
【答案】C
【分析】本题考查三角形的性质，熟练掌握三角形的性质是解题的关键．
根据三角形的定义、三角形内角和定理、直角三角形的性质进行逐项判断即可．
【详解】解：选项 A、三角形是由三条不在同一直线的线段首尾顺次连接组成的图形，则 A 错误；选项 B、根据三角形内角和定理得，三角形的内角和为180 ，外角和为360 ，则 B 错误；
选项 C、锐角三角形的每个内角小于90 ，每个外角 180  内角 90，则三个外角都是钝角，C 正确；选项 D、直角三角形有两条直角边作为高，还有从直角顶点向斜边所作的高，有三条高，则 D 错误； 故选：C．
【变式 2-2】如图，在V ABC 中，点 D 在边 BC 上， BD  AD  DC  AC ．
写出以点 C 为顶点的三角形；
写出以 AB 为边的三角形；
找出图中的等腰三角形和等边三角形．
【答案】(1) V ABC ， △ADC
V ABC ，△ABD
等腰三角形是△ABD ， △ADC ；等边三角形是△ADC
【分析】本题考查三角形的定义、三角形的分类：
根据三角形的定义，找出以点 C 为顶点的三角形即可；
根据三角形的定义，找出以 AB 为边的三角形即可；
根据题中边长关系，找出有两条边相等的三角形为等腰三角形，三边均相等的三角形为等边三角形．
【详解】（1）解：以点 C 为顶点的三角形有V ABC ， △ADC ；
解：以 AB 为边的三角形有V ABC ，△ABD ；
解：∵ BD  AD  DC  AC ，
∴等腰三角形有△ABD ， △ADC ，等边三角形有△ADC ．
题型 3 三角形的分类
【例 1】如图，某一个三角形被长方形纸板遮住一部分，只露出一个角，你能判断它是什么三角形吗？你的判断是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上都有可能
【答案】D
【分析】本题考查了三角形内角和定理的运用以及图形的识别能力和推理能力，三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形．
【详解】解：从图中，只能看到一个角是锐角，其它的两个角中，可以都是锐角或有一个钝角或有一个锐角．
故选：D．
【例 2】若一个三角形三条边的长度比是1:1:1，则这个三角形是（ ）
A．直角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】本题考查的是三角形形状判定，由于三角形三边长度比为1:1:1，即三边相等，因此该三角形是等边三角形．
【详解】解：∵一个三角形三条边的长度比是1:1:1，即三边长度相等，
∴此三角形为等边三角形．故选：C．
【技巧归纳】
1.按角分类的判断技巧 三个角都是锐角 → 锐角三角形；有一个直角 → 直角三角形；有一个钝角 → 钝
【变式 3-1】已知 a，b，c 是V ABC 的三边，且满足 a  c  b  c  0 ，则V ABC 是三角形．
角三角形
规律：任意三角形至少有 2 个锐角，最多 1 个直角/钝角。
2.按边分类的判断技巧：三边全不相等 → 不等边三角形；至少两边相等 → 等腰三角形；三边都相等 → 等边三角形（特殊等腰三角形）
易错点：牢记等边三角形属于等腰三角形，分类时不单独割裂。
【答案】等边
【分析】本题考查绝对值的非负性，三角形的分类，根据绝对值的非负性，两个非负数的和为零，则每个数都为零，得到a  b  c ，进而得到V ABC 是等边三角形．
【详解】解：∵ a  c  b  c  0 ，
∴ a  c  0, b  c  0 ，
∴ a  c, b  c ，
∴ a  b  c ，
∵a，b，c 是V ABC 的三边，
∴V ABC 是等边三角形．故答案为：等边．
【变式 3-2】下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是（ ）
B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形按边分类，根据分类情况分为三边不相等的三角形和等腰三角形，而等腰三角形分为腰和底不相等的三角形、等边三角形，根据分类的情况即可得到答案．
【详解】解：根据三角形按边分类情况：等边三角形应该分在等腰三角形里，故选项 A 错误，不符合题意；分类正确，故选项 B 正确，符合题意；
等腰三角形包含等边三角形，故选项 C 错误，不符合题意；分类不完整，故选项 D 错误，不符合题意；
故选：B
题型 4 三角形的个数
【例 1】已知，如图，以 AB 为边的三角形的个数是（ ）
个B．2 个C．3 个D．4 个
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的认识，不重不漏的写出所有的三角形是解题的关键．根据三角形的概念、结合图形写出以 AB 为边的三角形．
【详解】解：由图可得，以 AB 为边的三角形有V ABC ，△ABD ， △ABF ， ABE ，一共有 4 个．
故选：D．
【例 2】如图中三角形的个数是（）
A．4B．6C．9D．5
【答案】D
【分析】本题考查三角形的概念．三角形是由三条线段顺次首尾相连，组成的一个闭合的平面图形；观察所给图形，先数出单个的三角形，再数出组成的三角形，然后求和可得答案．
【详解】解：图中的单个三角形有 ACD ， V ADE ， V BDE ，共 3 个，由 2 个三角形组成的三角形有△ABD ，共 1 个，
由 3 个三角形组成的三角形有V ABC ，共 1 个，所以共有3 11  5 （个）三角形．
故选：D．
【变式 4-1】如图，以ADE 为公共角的三角形有（ ）
A．1个B． 2 个C． 3 个D． 4 个
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的概念，根据三角形的概念即可求解，正确理解三角形的概念是解题的关键．
【详解】解：以ADE 为公共角的三角形有V ADE ， △ADC ，共2 个，故选： B ．
【变式 4-2】如图，在V ABC 中， BAC  90， AD 是 BC 边上的高，E 是 BC 的中点，连接 AE ，则图中的直角三角形有（ ）
个B．3 个C．4 个D．5 个
【答案】C
【分析】本题主要考查直角三角形的概念．根据直角三角形的概念可以直接判断．
【详解】解：∵在V ABC 中， BAC  90， AD 是 BC 边上的高，
∴△ABD ， V ABC ， △ADC ， V ADE 为直角三角形，共有 4 个直角三角形．
故选：C．
如图，在V ABC 中， BC  12 ，若 BCE 的周长为30 ，则 BE  CE  ．
【答案】18
【分析】本题考查三角形的周长，根据 BCE 的周长减去 BC 可得结论．
【详解】解：根据题意得 BE  CE  BC  30 ，
∵ BC  12 ，
∴ BE  CE  30  BC  30  12  18 ，故答案为：18．
V ABC 的三边为a、b、c ，且满足关系a  b b  c c  a  0 ，则V ABC 是三角形．
【答案】等腰
【分析】题目主要考查乘法的性质，等腰三角形的定义，熟练掌握是解题关键．
根据乘积为零的性质，至少有一个因子为零，从而得到至少有两边相等，因此三角形为等腰三角形．
【详解】解：∵ a  b b  c c  a  0 ，
∴ a - b  0 或b  c  0 或c  a  0 ，即a  b 或b  c 或c  a ，
∴V ABC 至少有两边相等，是等腰三角形，故答案为：等腰．
如图，已知点 A，B 在直线 a 上，点 C，D，E 在直线 b 上．以点 A，B，C，D，E 中的任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有（ ）
个B．4 个C．6 个D．9 个
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的定义，掌握不在同一直线上的三点才能组成三角形是解题的关键．
三角形的三个顶点不能共线，因此从直线 a 和直线 b 中交叉选取三点，分①从a 选1个、b 选 2 个；②从a
选2 个、b 选1个两种情况，计算可组成的三角形数量．
【详解】解：可以组成的三角形有:
ACD ， △ACE ， V ADE ，△BCD ， BCE ， V BDE ， △CAB ， DAB ， EAB ，共 9 个．故选：D．
如图，在V ABC 中， D ， E 分别为 BC ， AB 上的点，则以点 D 为顶点的三角形的个数为（ ）
A．5B．3C．2D．4
【答案】D
【分析】此题考查了学生对三角形的认识．注意要审清题意，按题目要求解题是关键．根据三角形的定义即可得到结论．
【详解】解：∵以 D 为顶点的三角形有
∴以 D 为顶点的三角形的个数是 4 个．故选：D．
ABD,
EBD,
EDA,
ADC ，
观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（）
B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查三角形的定义，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做三角形．据此即可解答．
【详解】解：A、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念；
B、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； C、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； D、符合三角形的概念．
故选：D．
如图为一张藏宝图，有一人想出发寻宝，已知秘密宝藏藏在图中的某个黑点标示的位置．经过调查，秘密宝藏的位置 P 满足条件： PAB 为直角三角形，符合条件的 P 点的个数为个．
【答案】6
【分析】分三种情况，当APB  90时，当PAB  90时，当ABP  90时，分别找出符合条件的 P 点的个数，即可解决问题．
本题考查了直角三角形的性质，正确作出图形是解题的关键．
【详解】解：如图，分三种情况：
当APB  90时，符合条件的 P 点的个数有 2 个；当PAB  90时，符合条件的 P 点的个数有 2 个；
当ABP  90时，符合条件的 P 点的个数有 2 个；
综上所述， PAB 为直角三角形，符合条件的 P 点的个数为2  2  2  6 （个）．故答案为：6．
已知 a，b，c 是V ABC 的三边长，且 a  b b  a2  0 ，则V ABC 的形状是（ ）
等边三角形B．等腰三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】本题考查绝对值与平方数的非负性、三角形形状的判定，解题的关键是利用非负性求出边的关系．根据绝对值和平方数的非负性，由已知等式得出a  b ，进而判断三角形形状．
【详解】解： 绝对值和平方数均具有非负性，即| a  b | 0,(b  a)2  0，
 | a  b | 0 且(b  a)2  0 ，即a  b  0 ，
 a  b ，
由于a, b 是V ABC 的两边长，因此V ABC 有两边相等，是等腰三角形．故选：B．
如图，已知V ABC 中，Ð B = 90°， AB  8cm ， BC = 6cm ，P、Q 是V ABC 边上的两个动点，其中点 P 从点 A 开始沿 A  B 方向运动，且速度为每秒1cm ，点 Q 从点 B 开始沿 B  C  A 方向运动，且速度为每秒 2cm ，它们同时出发，设出发的时间为 t 秒．从出发 秒钟后， △PQB 第一次能形成等腰三角形？
【答案】 8 / 2 2
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【分析】本题考查了等腰三角形的定义，一元一次方程的应用，设出发 t 秒钟后， △PQB 能形成等腰三角形，则 BP  BQ ，由 BQ  2t ， BP  8  t ，列式求得 t 即可；
【详解】解：设从出发 t 秒钟后， △PQB 第一次能形成等腰三角形．
∵Ð B = 90°，
∴当△PQB 第一次能形成等腰三角形时， BP  BQ ．由题意， AP  t ， BQ  2t ；
∴ BP  8  t ，
当 BP  BQ 时， 8  t  2t ，解得t  8 秒．
3
故答案为： 8 ．
3