2026年八年级数学人教版 第04讲 全等三角形及其性质(暑假预习讲义)

这是一份2026年八年级数学人教版 第04讲 全等三角形及其性质(暑假预习讲义)，共6页。学案主要包含了易错提醒，技巧归纳，变式 1-1，变式 1-2，变式 2-1，变式 2-2，变式 3-1，变式 3-2等内容，欢迎下载使用。
内容导航
预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向
教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理
题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型 1 全等图形
题型 2 全等三角形的概念及表示方法
题型 3 利用全等三角形的性质求角度
题型 4 利用全等三角形的性质求线段长
题型 5 利用全等三角形的性质证明线段或角相等
题型 6 全等三角形的性质在图形变换中的应用
题型 7 利用全等三角形的性质研究动点问题
过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固
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关键词
学习目标导航
全等三角
形
对应边相等
对应角相
等
理解全等形、全等三角形的概念，能准确识别全等三角形的对应顶点、对应边、对应角。
掌握全等三角形的表示方法，规范书写全等符号，做到对应顶点位置对齐。
熟记全等三角形的核心性质：对应边相等、对应角相等；理解并会运用推论：全等三角形周长、面积相等，对应中线、对应高线、对应角平分线相等。
能利用全等三角形的性质，进行边长、角度、周长、面积的计算与简单推理。
能在平移、旋转、翻转等变换后的图形中，快速找出全等三角形的对应元素。
学习重点：理解全等三角形的概念，掌握其对应边、对应角相等的性质并熟练运用。
学习难点：在图形变换后准确找出全等三角形的对应元素，规范完成几何推理。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点 01 全等图形
全等图形概念：能完全重合的图形叫做全等图形.
特征：
形状相同；
大小相等；
对应边相等、对应角相等。
即时即练下列各组中的两个图形属于全等形的是（ ）
B．
C．D．
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【答案】C
【分析】本题主要考查了全等图形的识别，能够完全重合的两个图形叫做全等图形，据此求解即可．
【详解】解：由题意知，选项 A、B、D 中的两个图形不能重合，故不是全等图形，而选项 C 中的两个图形能够完全重合，是全等图形；
故选：C．
知识点 02全等三角形概念
全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形.
把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角.
表示方法：全等用符号“≌”，读作“全等于”。
即时即练下列命题中，是真命题的为（ ）
直角三角形的两锐角互余
如果两个角相等，那么它们是对顶角
如果两个直角三角形的面积相等，那么它们全等 D．三角形的一个外角大于任何一个内角
【答案】A
【分析】本题考查命题的真假判断，涉及直角三角形的性质、对顶角、全等三角形和三角形外角的性质，根据直角三角形的性质，两锐角互余是真命题；其他选项均存在反例，是假命题．
【详解】解：对于 A：∵在直角三角形中，两锐角之和为90 ，∴两锐角互余，故 A 是真命题．对于 B：两个角相等不一定是对顶角，∴B 是假命题．
对于 C：两个直角三角形面积相等不一定全等，例如直角边分别为3 和4 的三角形与直角边分别为2 和6 的三角形面积都是6 但不全等，∴C 是假命题．
对于 D：三角形的一个外角可能等于或小于某个内角，例如直角三角形中直角处的外角等于直角，∴D 是假命题．
故选：A．
【易错提醒】
书写三角形全等时，要注意把对应顶点的字母写在对应的位置上。
找全等三角形对应边、对应角的几种常用方法：
全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边。
全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角。
有公共边的，公共边是对应边。
有公共角的，公共角是对应角。
有对顶角的，对顶角是对应角。
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两个全等三角形中一对最长边（或最大角）是对应边（或对应角），一对最短边（或最小角）是对应边（或对应角）。
由全等三角形的表示方法确定对应边和对应角，如：若△ABC ≌△DEF ，则 AB 和 DE，AC 和 DF， BC 和 EF 分别是对应边； A 和D ， B 和E ， C 和F 分别是对应角。
知识点 03全等三角形的性质
性质 1：对应边相等：两个全等三角形的所有对应边长度相等。
性质 2：对应角相等：两个全等三角形的所有对应角度数相等。
拓展延伸（常用推论）：由对应边、对应角相等可进一步推出：全等三角形的周长相等；
全等三角形的面积相等；
全等三角形对应边上的中线、高线、对应角的角平分线分别相等。
标准几何语言
若△ABC≌△DEF，则：
对应边：AB=DE，BC=EF，AC=DF
对应角：∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F
即时即练如图， ABC≌
DEB ，点 E 在边 AB 上，若 AE  6，BC  9 ，则线段 DE 的长是 ．
【答案】15
【分析】由全等三角形的性质推出 DE  AB，EB  BC  9 ，求出 AB  15 ，即可得到 DE 的长．
【详解】解：∵ ABC≌ DEB ，
∴ DE  AB，EB  BC  9 ，
∵ AE  6 ，
∴ AB  AE  BE  15 ，
∴ DE  15 ．
【易错提醒】
书写全等三角形时，对应顶点一一对应书写，否则会找错对应边、对应角。
全等三角形⟹ 周长相等、面积相等；周长/面积相等⟹ 三角形全等（反过来不成立）。
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只有全等三角形的对应中线、对应高、对应角平分线才相等。
图形翻转、旋转、平移后得到的全等三角形，先锁定对应顶点，再依次找边和角，不跳步。
题型 1 全等图形
【例 1】下列各组中的两个图形属于全等形的是（ ）
B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等形的定义，关键是理解全等形需要形状和大小都完全相同，能够完全重合．
【详解】解：根据全等形的定义，能够完全重合的两个图形是全等形，即形状和大小都完全相同．选项 A 中，一个是圆形，一个是方形，形状不同，不是全等形；
选项 B 中，一个是六边形，一个是五边形，形状不同，不是全等形；选项 C 中，两个三角形大小不同，不是全等形；
选项 D 中，两个心形的形状和大小都完全相同，能够完全重合，是全等形；故选：D．
【例 2】下列图形是全等图形的是（ ）
A． B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了图形的全等：能够重合的两个图形是全等图形；根据此概念判断是否可以重合即可判断．
【详解】解：选项 A、C、D 中的两个图形不能重合，它们都不是全等图形，而选项 B 中的两个图形可以重合，是全等图形；
故选：B．
【技巧归纳】
能够完全重合的图形即为全等图形，全等图形形状、大小完全相同。
【变式 1-1】下面 4 组图形中，是全等图形的一组是（ ）
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A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了全等图形的概念，熟记全等图形的形状和大小都相同是解题的关键．根据全等图形的概念，逐项分析判断即可得出答案．
【详解】解：A、两个图形的大小不同，不是全等图形，不符合题意；
B、两个图形的形状、大小都相同，是全等图形，符合题意； C、两个图形的形状不同，不是全等图形，不符合题意；
两个图形的形状不同，不是全等图形，不符合题意；故选：B．
【变式 1-2】下列新能源汽车标志中，不是由多个全等图形组成的是（ ）
B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查的是全等图形的识别、全等图形的基本性质，属于较容易的基础题．根据能够完全重合的两个图形叫做全等图形对各选项分析判断利用排除法求解．
【详解】解：A、组成图形的两个图形全等，故本选项不符合题意；
组成图形的两个图形全等，故本选项不符合题意； C、组成图形的两个图形不全等，故本选项符合题意； D、组成图形的四个图形全等，故本选项不符合题意．故选：C．
题型 2 全等三角形的概念及表示方法
【例 1】如图，已知 ACD≌ CBE ，则A 的对应角是（ ）
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BCE
【答案】A
E
ACD
B
【分析】本题主要考查全等三角形的性质，解答的关键是熟记全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等．
根据全等三角形的性质进行求解即可．
【详解】解：∵ ACD≌ CBE ，
∴ A  BCE ，则A 的对应角为BCE ．故选：A．
【例 2】下列说法正确的是（ ）
形状相同的两个三角形全等B．面积相等的两个三角形全等 C．周长相等的两个三角形全等D．全等三角形的对应边相等
【答案】D
【详解】本题考查全等三角形的定义、全等三角形的性质等知识点，掌握全等三角形要求形状和大小完全相同是解题的关键．
根据全等三角形的定义和性质逐项判断即可．
【分析】解：A．形状相同的三角形大小可能不相等，不不一定全等，该选项错误，不符合题意；
面积相等的三角形不一定全等，故该选项错误，不符合题意； C．周长相等的三角形不一定全等，故该选项错误，不符合题意； D．全等三角形的对应边相等，故该选项正确，符合题意．
故选 D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形全等的定义，熟练掌握三角形全等的定义是解题的关键．全等三角形是指能够完全重合的三角形，因此选项 C 正确，其他选项均不能保证三角形全等．
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【技巧归纳】
记作△ABC≌△DEF 时，对应顶点必须一一对应书写，据此快速确定对应边、对应角。
【变式 2-1】下列命题是真命题的是（
）
A．形状相同的两个三角形全等
C．完全重合的两个三角形全等
B．面积相等的两个三角形全等
D．周长相等的两个三角形全等
【详解】解：对于 A，形状相同的三角形的对应角相等，但对应边不一定相等，故不一定全等，不符合题意；
对于 B，面积相等的三角形底和高可能不同，故不一定全等，不符合题意；
对于 C，因为两个三角形全等的定义是它们能够完全重合，所以选项 C 是真命题，符合题意；对于 D，周长相等的三角形三边组合可能不同，故不一定全等，不符合题意．
故选：C．
【变式 2-2】已知三角形的两边长为 m 和 n，一个内角为 30°，满足上述三个条件但不全等的三角形个数称为伴生数．
若 m  2 ， n  3 ，则伴生数为；
若 m  7 ，n 为正整数，且伴生数为 4，则 n 的最大整数值是．
【答案】413
【分析】本题主要考查了新定义的理解，全等三角形的定义，对于（1），根据新定义解答即可；
对于（2），先确定符合条件的 n 的值，再确定最大整数即可.
【详解】解：如图所示， ABC, DEF, DEG, JHK 中两边长为 2 和 3，有一角为30 ，所以伴生数为 4；
当n  4 时，比如：
ABC,
DEF,
DEG,
JHK 中两边长为 6 和 7，有一角为30 ，所以伴生数为 4；
当n  13 时，比如：
ABC,
DEF,
DEG,
JHK 中两边长为 6 和 7，有一角为30 ，所以伴生数为 4；
当n  13 时，伴生数不是 4，所以 n 的最大整数是 13.
故答案为：4；13.
题型 3 利用全等三角形的性质求角度
【例 1】如图，△ABC≌△ABC ，则C 的度数是（ ）
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A．107B． 73C． 56D． 51
【答案】B
【分析】由全等三角形的性质得到B 的度数，再由三角形内角和定理可得答案．
【详解】解：∵△ABC≌△ABC ，
∴ B  B  51 ，
∵ A  B  C  180 ， A  56 ，
∴ C  73 ．
【例 2】如图， △ABC≌△ AED，若BAC=40， CAE  15 ，则CAD 等于 ．
【答案】55
【分析】根据全等三角形的性质得到EAD  BAC  40，即可求出CAD 的度数．
【详解】解：∵△ABC≌△ AED， BAC=40，
∴ EAD  BAC  40，
∵ CAE  15 ，
∴ CAD  40 15  55 ．
【技巧归纳】
全等三角形对应角相等，结合三角形内角和、外角性质综合计算。
【变式 3-1】如图， AB 与CD 相交于点O ，已知△AOD ≌△COB ， A  50 ， COB  100 ，则B 的度数为．
【答案】30 /30 度
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【分析】利用全等三角形对应角相等得到C ，再根据COB  100 和三角形内角和定理求出 B ．
【详解】解： △AOD ≌△COB ，
 A  C  50 ，
COB  100 ，
 B  180  COB  C  30．
【变式 3-2】如图，已知△ABC ≌△DEF ，且点 F ， B ， E ， C 在同一条直线上．
(1)连接 BD ．若DBE  70 ， BDF  30 ，求C 的度数；
(2)若 DF  4, AB  3 ，求 BC 长度的取值范围．
【答案】(1) 40
(2)1  BC  7
【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形三边关系，三角形内角和定理，关键是掌握全等三角形的对应边和对应角相等．
由互补的定义得DBF  180  DBE  110 ，由三角形内角和定理得到
F  180  DBF  BDF  40 ，再根据全等三角形的性质得C  F  40 ；
由全等三角形的性质推出 AC  DF  4 ，由三角形三边关系定理得到1  BC  7 ．
【详解】（1）解： 点 F , B, E, C 在同一条直线上， DBE 与DBF 互为补角，
DBF  180  DBE  180  70  110，
在V BDF 中，得F  180  DBF  BDF  180 110  30  40 ，由△ABC ≌△DEF ，得C  F  40 ；
（2）解：ABC ≌
 AC  DF  4 ．
AB  3 ，
 4  3  BC  4  3 ，
1  BC  7．
DEF ，
题型 4 利用全等三角形的性质求线段长
【例 1】如图，△ABC ≌△DEF ，点 A 与 D ，B 与 E 分别是对应顶点，且测得 BC  5cm ，BF  7cm ，则 EC
长为（ ）
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A．1cmB． 2cmC． 3cmD． 4cm
【答案】C
【详解】解：∵△ABC ≌△DEF ， BC  5cm ， BF  7cm ，
∴ EF  BC  5cm ， CF  BF  BC  2cm ，
∴ EC  EF  CF  3cm
【例 2】如图，已知△ADC≌△AEB ， AB  8 ， CE  5 ，则 AE 的长度为（ ）．
A． 2B． 3C． 4D． 5
【答案】B
【分析】本题考查全等三角形的性质，线段的和差运算，掌握好相关知识是关键．根据全等三角形对应边相等的性质可得 AC  AB  8 ，作差求出 AE 的长．
【详解】解：∵△ADC≌△AEB ，
∴ AC  AB  8 ，
∴ AE  AC  CE  8  5
故选：B．
 3．
【技巧归纳】
全等三角形对应边相等，结合线段和差关系求解长度。
【变式 4-1】如图，
ABD≌
EBC，AB  4cm，BC  7cm ，则 DE  cm ．
【答案】3
【分析】根据全等三角形的性质得到 EB  AB  4cm ， BD  BC  7cm ，根据线段的和差即可求解．
【详解】解∶∵
ABD≌
EBC，AB  4cm，BC  7cm ，
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∴ EB  AB  4cm ， BD  BC  7cm ，
∴ DE  BD  BE  7  4  3cm ．
【变式 4-2】如图， A、C、D、F 在一条直线上， △ABC≌△FED ， 1  62， B  22， AF  5cm ，
CD  1cm ．求：
AC 的长；
F 的度数．
【答案】(1) 2cm
(2) 40
【分析】（1）根据△ABC≌△FED ，利用全等三角形的性质得出 AC  DF ，再根据线段的和差关系得出
AC  DF  AF  CD  4(cm) ，即可解答；（2）根据△ABC≌△FED ，利用全等三角形的性质得出
E  B  22 ，再利用外角的性质得出1  E  F ，即可解答．
【详解】（1）解： △ABC≌△FED ，
 AC  DF ．
AC  DF  AF  CD  5 1  4(cm) ，即2 AC  4cm ，
 AC  2cm ．
答： AC 的长为2cm ．
（2）解： △ABC≌△FED ，
 E  B  22．
1  E  F  62 ，
 F  1 E  62  22  40 ．答： F 的度数为40．
题型 5 利用全等三角形的性质判断两直线的位置关系
【例 1】如图所示， △ADF ≌△CBE ，且点 E、B、D、F 在同一条直线上．
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(1)试判断 AF 与 EC 的位置关系，并说明理由．
(2)线段 BF 与线段 DE 相等吗？说明理由．
【答案】(1) AF ∥ EC ，理由见解析
(2) BF  DE ，理由见解析
【分析】（1）由全等三角形的性质得F  E ，再根据平行线的判定即可求证；
（ 2 ）利用全等三角形的性质解答即可求证；
本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
【详解】（1）解： AF ∥ EC ，理由如下：
∵△ADF ≌△CBE ，
∴ F  E ，
∴ AF ∥ EC ；
（2）解： BF  DE ，理由如下：
∵△ADF ≌△CBE ，
∴ DF  BE ，
∴ DF  BD  BE  BD ，即 BF  DE ．
【例 2】如图，△ABC≌△DEC ，BC  3 ，CD  5 ，点 B，C，D 在同一直线上，点 E 在 AC 上，延长 DE 交 AB
于点 F．
(1)求 AE 的长；
(2)求证： DF  AB ．
【答案】(1) 2
(2)见详解
【分析】本题考查了全等三角形的性质，直角三角形的特征；
由全等三角形的性质得 AC  DC  5 ， BC  EC  3 ，即可求解；
由全等三角形的性质得ACB  DCE ， A  D ，结合直角三角形两锐角互余得
BFD  180  90  90 ，即可得证．
【详解】（1）解：
 AC  DC  5 ，
BC  EC  3 ，
 AE  AC  EC
△ABC≌△DEC ，
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 5  3
 2 ，
故 AE 的长为2 ；
（2）证明： △ABC≌△DEC ，
ACB  DCE ，
A  D ，
ACB  DCE  180 ，
ACB  DCE  90，
A  B  90 ，
D  B  90
BFD  180  90  90 ，
 DF  AB ．
【变式 5-1】如图，在V ABC 中，AD BC 于点 D，点 E 在 AB 边上，连接CE 交 AD 于点 F，△ABD ≌△CFD ．
(1)若 BD  4 ， AD  12 ，求V ABC 的面积；
(2)试判断 AB 与CF 之间的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)96；
(2) AB  CF ，理由见解析．
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形面积计算，垂线定义理解，熟练掌握全等三角形的性质，是解题的关键．
根据全等三角形的性质得出CD  AD  12 ，求出 BC  BD  CD  16 ，根据三角形面积公式求出结果即可；
根据垂线定义得出BAD  B  90 ，根据 ABD≌ CFD ，得出BAD  FCD ，求出FCD  B  90
即可得出答案．
【详解】（1）解：
 AD  CD ．又∵ AD  12 ，
CD  AD  12 ．
△ABD≌△CFD ，
又 BD  4 ，
 BC  BD  CD  16 ．
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 S△ ABC
 1 BC  AD  1 16 12  96 ．
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（2）解： AB  CF ．理由： AD  BC ，
CDF  90 ，
BAD  B  90 ，
△ABD≌△CFD ，
BAD  FCD ，
FCD  B  90 ．
BEC  180  FCD  B  90 ．
 AB  CF ．
【变式 5-2】如图，已知 ABC≌ DEC ，ACB 是锐角，B  30，ACD  60 ，延长 BA 交 DE 于点 F， 交CE 于点 G．
(1)判断直线 BF 与CE 是否垂直？请说明理由；
(2)若 AC DE ，求DCE 的度数．
【答案】(1)直线 BF 与CE 垂直，理由见解析
(2)DCE  30
【分析】本题综合考查全等三角形的性质、三角形内角和定理、平行线的性质(内错角相等)，涉及角的和差运算．
通过全等转化角度，结合三角形内角和判定垂直；
复用前一问结论，结合平行线性质完成角度计算．
【详解】（1）解： BF  CE ．
理由如下：∵ ABC≌ DEC ，B  30，ACD  60 ，
∴B E  30 ，ACB  DCE ，
∴BCG ACB ACG  DCE ACG ACD  60，
∴BGC  180 B BCG  180  30  60  90，
∴ BF  CE ；
（2）解：由（1）知E  30 ，
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∵ AC DE ，
∴ACG  E  30．
∵ACD  60 ，
∴DCE ACD ACG  60  30  30 ．
题型 6 全等三角形的性质在图形变换中的应用
【例 1】如图，点 D ， E 在V ABC 的边 BC 上，且△ABD≌△ACE ，下列说法错误的是（ ）
△ABD 经过平移可与△ACE 重合，平移的距离为 DE 的长
将△ABD 沿 BC 的垂直平分线翻折，可与△ACE 重合
将 ABE 沿 BC 的垂直平分线翻折，可与 ACD 重合
将△ABD 绕 BC 的中点逆时针旋转180 ，不能与△ACE 重合
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的性质，旋转与平移的性质，无论旋转还是平移，运动后的图形与原图形是全等的．
【详解】解：∵△ABD≌△ACE ，
∴ AB  AC ， BD  CE ， AD  AE ，
△ABD 经过平移距离为 DE 的长，BD 和 EC 重合，点 A 不重合，故不能与△ACE 重合，故 A 选项错误，符合题意；
将△ABD 沿 BC 的垂直平分线翻折，可与△ACE 重合，正确，不符合题意；
将 ABE 沿 BC 的垂直平分线翻折，可与 ACD 重合，正确，不符合题意；
将△ABD 绕 BC 的中点逆时针旋转180 ， BD 和CE 重合，点 A 不重合，故不能与△ACE 重合，正确，不符合题意．
故选：A．
【例 2】两个全等的三角形按如图方式摆放，其中 ABC90靶, BAC = x , AB5, BC  2, ABC ≌ DEF ．此
时 B，E 重合，B，C，D 在同一直线上．现将 DEF 沿射线 BC 向右平移．在平移过程中，直线 AB 与 DF 交 于点G, CAG 的平分线与直线 EF 交于点 H ，则AHE   （用含 x 的代数式表示）．
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【答案】 1 x 或180  1 x 或 90  1 x 
22 2 

【分析】本题考查了三角形的全等的性质，角平分线的定义，平行线的性质，
根据角平分线的定义求出Ð HAG = 1 x°，利用△ABC ≌△DEF ，得Ð B = Ð FED = 90°，可得 AB ∥ EF ， 根
2
据平行线的性质，分四种情况求解即可，
【详解】解：当点 G 在点 A 下方且点 H 在点 F 上方时，如图，
AH 平分CAG ，
\ Ð HAG = 1 x°，
2
ABC ≌ DEF ，
\ Ð B = Ð FED = 90°，
 AB EF ，
\ Ð HAG +Ð AHE = 180°，
AHE  180  1 x  ，
2 

当点 G 在点 A 下方且点 H 在点 F 下方时，如图，
AH 平分CAG ，
17 / 34
\ Ð HAG = 1 x°，
2
ABC ≌ DEF ，
\ Ð B = Ð FED = 90°，
 AB EF ，
\ Ð HAG +Ð AHE = 180°，
AHE  180  1 x  ，
2 

当点 G 在点 A 下方且点 H 在点 E 下方时，如图，
AB∥EF ，
\ Ð HAG = Ð AHE = 1 x°，
2
当点 G 在点 A 上方时，如图，
Ð BAC = x°，
\ Ð CAG = 180°- x°，
AH 平分CAG ，
HAG   90  1 x  ，
2 

AB∥EF ，
HAG  AHE   90  1 x  ，
2 

综上， HAG 的度数为 1 x，180  1 x  90  1 x  ．
22  2 
 
故答案为： 1 x 或180  1 x 或 90  1 x  ．
22 2 

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【变式 6-1】如图 1，数轴上从左至右依次有 B，O，M，A，N 五个点，其中点 B，O，A 表示的数分别为 7 ，
【技巧归纳】
图形经过平移、旋转、翻折后，前后两个三角形全等；变换只改变位置，对应边、对应角大小不变。
0，4．如图 2，将数轴在点 O 的左侧部分绕点 O 顺时针方向旋转90 ，将数轴在点 A 的右侧部分绕点 A 逆时针方向旋转90 ，连接 BM，MN．若 OBM 和 AMN 全等，则点 M 表示的数为．
【答案】2 或4 
7
【分析】本题考查了全等三角形的性质以及实数与数轴，根据全等三角形的性质得出OB  MA  7 或
OM  MA 进而结合数轴即可求解．
7
【详解】解：依题意， OB ， OA  4 ，
∵ OBM 和 AMN 全等，
∴ OB  MA  7 或OM  MA ，
7
∴ OM  OA  MA  4 或OM  1 OA  2 ，
2
故答案为： 2 或4  7 ．
【变式 6-2】如图， V ABC 绕着点 B 旋转（顺时针） 90 到 DBE ，且ABC  90．
(1) V ABC 和 DBE 是否全等？如果全等，请指出对应边和对应角．
(2)直线 AC 与直线 DE 有怎样的位置关系？请说明理由．
【答案】(1) ABC ≌
DBE,ACB 与E
(2)垂直，见解析
DBE ，对应边： AB 与 DB, AC 与 DE, BC 与 BE ；对应角：A 与D,ABC 与
【分析】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质，是解题的关键：
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根据全等三角形的定义，以及全等三角形的性质，进行作答即可；
延长 AC 交 DE 于点 F ，根据全等三角形的性质，结合三角形的内角和定理求出AFD  90 ，即可得出结论．
【详解】（1）解： ABC ≌ DBE ；
∵V ABC 绕着点 B 旋转（顺时针） 90 到 DBE ，
∴ ABC ≌ DBE ，
∴对应边为： AB 与 DB, AC 与 DE, BC 与 BE ；
对应角为：A 与D,ABC 与DBE,ACB 与E ；
（2）直线 AC 与 DE 相互垂直，理由如下：延长 AC 交 DE 于点 F ，
∵ ABC ≌ DBE ，
∴ A  D ，
∵ ACB  DCF ，
∴ AFD  ABC  90 ，
∴直线 AC 与 DE 相互垂直．
题型 7 利用全等三角形的性质研究动点问题
【例 1】如图，直线 AM  AN ， AB 平分MAN ，过点 B 作 BC  BA 交 AN 于点C ．动点 D ， E 同时从点 A
出发，其中动点 E 以2cm / s 的速度沿射线 AN 运动，动点 D 以1cm / s 的速度在直线 AM 上运动．已知
AC  6cm ，设动点 D ， E 的运动时间为t s ．当动点 D 在直线 AM 上运动时，若 ADB 与V BEC 全等，则
t 的值为．
【答案】2 或6
20 / 34
【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
分① 当 E 在线段 AC 上时，△ADB≌△CEB ，② 当 E 在线段 AC 上时， DAB≌ CEB ， ③ 当 E 在线段 AC
延长线上时，△ADB≌△CEB ， ④ 当 E 在线段 AC 延长线上时， ADB≌
角形的性质即可求解．
【详解】解：∵ BC  BA ，
∴ ABC  90，
∵ BA  BC ，
∴ BAC  BCA  45，
∵ AM  AN ， AB 平分MAN ，
∴ BAD  BAC  BCE  45 ，
∴ ① 当 E 在线段 AC 上时， △ADB≌△CEB ，
∴ AD  CE ，
∵ AD  t ， CE  6  2t ，
ECB 四种情况，然后根据全等三
∴ t  6  2t ， 解得： t  2s ，
当 E 在线段 AC 上时， DAB≌ CEB ，
∴ AD  CE ，
∵ AD  t ， CE  6  2t ，
∴ t  6  2t ， 解得： t  2s ，
当 E 在线段 AC 延长线上时， △ADB≌△CEB ，
∴ AD  CE ，
∵ AD  t ， CE  2t  6 ，
∴ t  2t  6 ， 解得： t  6s ，
当 E 在线段 AC 延长线上时， ADB≌
∴ AD  CE ，
∵ AD  t ， CE  2t  6 ，
ECB ，
∴ t  2t  6 ， 解得： t  6s ，
∴若 ADB 与V BEC 全等，则t 的值为2 或6 ，故答案为： 2 或6 ．
【例 2】如图，在四边形 ABCD 中， AD ∥ BC ， AD  6cm，BD  10cm，BC  8cm ．动点 P 以1cm/s 的速度从点 A 出发沿边 AD 向点 D 匀速移动，动点 Q 以2cm/s的速度从点 B 出发沿边 BC 向点 C 匀速移动，动点 M 从点 B 出发沿对角线 BD 向点 D 匀速移动，三点同时出发．连接 PM、QM ，当动点 M 的速度为
cm/s 时，存在某个时刻，使得以 P、D、M 为顶点的三角形与 QBM 全等．
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【答案】0.5 或2.5
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的性质，解二元一次方程组，设运动的时间为ts ，动 点 M 的速度为vcm/s ，则 AP  tcm，BQ  2tcm，BM  vtcm ，进而得到 PD  6  t  cm，DM  10  vt  cm ，
再分当 DPM≌ BMQ 时，当 DPM≌ BQM 时，两种情况根据全等三角形对应边相等建立方程组求解即可．
【详解】解：设运动的时间为ts ，动点 M 的速度为vcm/s ，由题意得， AP  tcm，BQ  2tcm，BM  vtcm ，
∴ PD  6  t  cm，DM  10  vt  cm ．
∵ AD ∥ BC ，
∴ ADB  DBC ．
当 DPM≌ BMQ 时，则 DP  BM，DM  BQ ，
∴ 6  t  vt，10  vt  2t ，解得t  4 ，
∴ 6  4  4v ，解得v  0.5 ．
当 DPM≌ BQM 时，则 DP  BQ，DM  BM ，
∴ 6  t  2t，10  vt  vt ，解得t  2 ，
∴10  2v  2v ，解得v  2.5 ．
综上所述，动点 M 的速度为0.5cm/s 或2.5cm/s ，故答案为： 0.5 或2.5 ．
【技巧归纳】
动点运动过程中，始终保持三角形全等关系，对应边、对应角恒定不变；结合路程、速度、线段长度列等式求解。
【变式 7-1】题目：“如图，已知△ABD≌△CDB ， AD  8cm ， BD  10cm ，动点 P 以1cm/s 的速度从点 A 出发沿边 AD 向终点 D 移动，动点Q 以2cm/s的速度从点 B 出发沿边 BC 向终点C 匀速移动，动点 M 从点 B 出
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发沿对角线 BD 向终点 D 移动，三点同时出发，当其中一点到达终点时，其余两点也停止运动．连接 PM、QM ，求动点 M 的速度为多少时，存在某个时刻，使得以 P、D、M 为顶点的三角形与 QBM 全等（点 B 与点 D 是
对应点）．”甲答： 3cm/s ，乙答： 15 cm / s ，丙答： 10 cm / s ，则正确的是（）
83
A．甲、乙的答案合在一起才完整B．乙、丙的答案合在一起才完整 C．只有乙的答案正确D．三人的答案合在一起才完整
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的应用，由题意可得， AP  tcm ， BQ  2tcm ，即得 DP  8  t cm ，又由
△ABD≌△CDB 可得ADB  CBD ，然后分 PDM ≌ QBM 和 PDM ≌
性质解答即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：由题意得， AP  tcm ， BQ  2tcm ，
∴ DP  8  t cm ，
∵△ABD≌△CDB ，
∴ ADB  CBD ，
当 PDM ≌ QBM 时，则 DP  BQ ， DM  BM ，
∴ 8  t  2t ， DM  BM  1 BD  5cm ，
2
MBQ 两种情况根据全等三角形的
∴ t  8 ，
3
∴此时点M 的速度为5  8  15 cm/s ；
38
当 PDM ≌
MBQ 时，则 DP  BM ， DM  BQ ，
∴ DP  BQ  BM  DM  BD ，即8  t  2t  10 ，
∴ t  2 ，
∴ BM  DP  8  2  6cm，
∴此时点M 的速度为6  2  3cm/s ；
综上，动点 M 的速度为15 cm/s 或3cm/s ，
8
故选： A ．
【变式 7-2】综合与探究
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【问题情境】
如图①，在四边形 ABCD 中， AD ∥ BC ， A  90， AB  BC  12cm ， AD  10cm ．动点 P 从点 A 出发，以3cm / s的速度沿 AB 方向向点 B 匀速运动，连接 BD ， CP ．设运动时间为t （单位； s ）．
【初步探究】
如图①，若 ABD≌
【拓展延伸】
BCP ，求t 的值．
如图②，当点 P 开始运动时，另一动点Q 同时从点C 出发，以acm / s 的速度沿CB 方向向点 B 匀速运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．
①在 P ， Q 运动的过程中，若△ADP 与 BQP 全等，请求出此时a 和t 的值．
②如图③，当点Q 开始运动时，动点 M 同时从点 D 出发，以1.5cm / s 的速度沿 DA 方向向点 A 运动，连接CM ，
交 DQ 于点 E ．连接 AE ，当 MD  1 AD 时， S
4
ADE  S CDE
，请直接写出此时a 的值．
【答案】（1） t  2 s ；（2）① t  2 ， a  1 或t  2 ， a 15 ；② 6 ．
33
【分析】本题考查了全等三角形的性质．
1 根据全等三角形的性质可知 BP  AD  10cm ，所以 AP  2cm，根据3t  2 即可求出运动的时间；
2 ①当△ADP 与 BQP 全等时，有两种情况，一种情况是 ADP≌ BQP ，即 AP  BP ；另一种情况是
ADP≌ BPQ ，即 AD  BP 时．根据对应相等的线段的长度求出运动时间t 的值，再根据运动的时间和路
程求出a 即可；
②根据三角形的面积公式，可得： AD  CQ  10cm ，可以求出 MD 的长度，即点 M 的运动路程，根据点 M
的运动路程和速度求出运动时间t ，根据运动的时间t 和点Q 运动的路程CQ 的长度求出a 值即可．
【详解】（1）解：ABD≌ BCP ，
 BP  AD  10cm ，
 AP  AB  BP  12 10  2cm ，
t  2 s ；
3
（2）①解：若 ADP≌ BQP ，
 AP  BP ， AD  BQ  10cm ，
AB  12cm ，
24 / 34
 AP  BP  6cm，
t  6  2s ，
3
CQ  BC  BQ  12 10  2cm ，
 2a  12  10 ，
 a  1 ，
若 ADP≌ BPQ ，
 AD  BP  10cm ， BQ  AP  AB  BP  12 10  2cm ，
t  2 s ，
3
CQ  BC  BQ  12  2  10cm ，
 2 a  10 ，
3
 a  15 ；
综上所述： t  2 ， a  1 或t  2 ， a 15 ；
3
②解：如下图所示，连接 AQ ，过点 A 作 AG  DQ 于G ，过点C 作CH  DQ 于 H ，
MD  1 AD ， AD  10cm ，
4
 MD  5 cm ，
2
5
t  2  5 s ，
1.53
S ADE  S CDE ，
 1 DE·AG  1 DE·CH ，
22
 AG  CH ，
 1 DQ·AG  1 DQ·CH ，
22
 S ADQ  S CDQ ，
 1 AD·AB  1 QC·AB ，
22
 AD  CQ  10cm ，
25 / 34
∵ t  5 s ，
3
 5 a  10 ，
3
a  6 ．
如图， △ABC ≌△DEF ，点 A、E、B、D 在同一直线上，若A  45 ， F  65 ，则CBE 的度数为
（ ）
A． 65B． 70C． 75D． 80
【答案】B
【分析】此题考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识．根据全等三角形的性质得到
ACB  F  65 ，再根据三角形内角和定理即可求出CBE 的度数．
【详解】解：∵△ABC ≌△DEF ，
∴ ACB  F  65 ，
∵ A  45 ，
∴ CBE  180  A  ACB  70 ，故选：B
如图，已知线段 AB  20 米， MA  AB 于点 A ， MA  8 米， BD AB 于 B ， P 点从 B 点向 A 运动，每秒
走 1 米，Q 点从 B 点向 D 运动，每秒走 2 米， P 、Q 同时从 B 出发，则出发 x 秒后，在线段 MA 上有一点C ，使 CAP 与 PBQ 全等，则 x 的值为（ ）
20
3
【答案】A
B．5 或 10C．10D． 20 或 10
3
【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据题意，分类讨论：当 CAP≌ QBP 时， AP  BP ， CA  QB ；当△CAP≌△PBQ 时， AP  BQ ，CA  PB ；由全等三角形
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性质计算CA 的值是否符合题意，即可求解．
【详解】解：P 点从 B 点向 A 运动，每秒走 1 米，Q 点从 B 点向 D 运动，每秒走 2 米，P 、Q 同时从 B 出发，则出发 x 秒后，
∴ BP  x 米， BQ  2x 米，
∴ AP  AB  BP  20 x （米），
当 CAP≌ QBP 时， AP  BP ， CA  QB ，
∴ 20  x  x ，解得， x  10 ，
此时CA  QB  2x  210  20  8 ，不符合题意，舍去；当△CAP≌△PBQ 时， AP  BQ ， CA  PB ，
∴ 20  x  2x ，
解得， x  20 ，
3
此时CA  BP  20  8 ，符合题意；
3
综上所述， CAP 与 PBQ 全等， x 的值为 20 ，
3
故选：A ．
如图，点 B, F , C, E 在一条直线上， △ABC ≌△DEF ， BC  6, EC  2 ，则 FC 的长是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的性质．先根据全等三角形的性质得到 BC  EF ，则可判断 BF  CE  2 ，然后利用 FC  BC  BF 可求出 FC 的长．
【详解】解：∵△ABC ≌△DEF ，
∴ BC  EF ，
即 BF  CF  CE  FC ，
∴ BF  CE  2 ，
∵ FC  BC  BF  6  2  4 ，故选：C．
如图，V ABC 中， AB  AC  14 厘米， BC  10 厘米，点 D 为 AB 的中点．如果点 P 在线段 BC 上以 2 厘
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米/秒的速度由 B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向 A 点运动．若点Q 的运动速度为v 厘米/秒，则当△BPD 与V CQP 全等时， v 的值为（）
3 或14B． 5 或 2C． 14 或 2D． 5 或 3
252
【答案】C
522
【分析】此题考查了全等三角形的性质．熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．分两种情况讨论：①V BPD≌V CQP，②△BPD ≌△CPQ ，继而可解．
【详解】解：设两点所用的时间为t ，则 BP  2t ， CQ  vt ， PC  BC  BP  10  2t ，
ABC 中， AB  AC  14 厘米，点 D 为 AB 的中点，
 BD  7 厘米，
若V BPD≌V CQP，则CP  BD ， BP  CQ ，则2t  vt ，解得v  2 ；
若△BPD ≌△CPQ ，则 BD  CQ, BP  PC
则vt  7, 2t  10  2t ，
解得t  5 ，v  14 ，
25
 v 的值为： 14 或 2；
5
故选：C．
图，AB  4cm ，AC  BD  3cm ，CAB  DBA ，点 P 在线段 AB 上以2cm/s的速度由点 A 向点 B 运动．同
时，点Q 在线段 BD 上由点 B 向点 D 运动，设运动时间为t(s) ，则 BP  cm（用含有 t 的式子表示）；当△ACP 与V BPQ 全等时，点Q 的运动速度为cm/s ．
【答案】4  2t 
2 或 3
【分析】本题考查了动点几何、全等三角形的性质，设点Q 的运动速度为acm/s 时，有 AP  2tcm ，BQ  atcm ， BP  4  2t  cm ，当△ACP 与V BPQ 全等时，需要分△ACP≌△BPQ 和△ACP≌△BQP 两种情况讨论，根据全等三角形对应边相等，可得关于a 、t 的方程，解方程即可求出a 的值．
28 / 34
【详解】解：设点Q 的运动速度为acm/s 时，△ACP 与V BPQ 全等，则有 AP  2tcm ， BQ  atcm ， BP  AB  AP  4  2t  cm ，
当△ACP≌△BPQ 时，
可得： BP  AC ， AP  BQ ，
AB  4cm ， AC  BD  3cm ，
at  2t
 4  2t  3 ，

t  1

解得： 2 ，
a  2
点Q 的运动速度为2cm/s；当△ACP≌△BQP 时，
可得： AC  BQ ， AP  BP ，
at  3
4  2t  2t ，

t  1

解得： a  3 ，
点Q 的运动速度为3cm/s ；
综上所述，点Q 的运动速度为2cm/s或3cm/s ．故答案为： 4  2t  ； 2 或3 ．
如图， AB  10，A  B，AC  BD  8 ．点 P 在线段 AB 上，点Q 在线段 BD 上．若△ACP≌△BPQ ，则 AP 的长为．
【答案】2
【分析】本题考查了全等三角形的性质，由全等三角形的性质得 AC  BP  8 ，进而根据线段的和差关系即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵△ACP≌△BPQ ，
∴ AC  BP  8 ，
∵ AB  10 ，
∴ AP  AB  BP  10  8  2 ，
29 / 34
故答案为： 2 ．
如图，已知线段 AD 与 BC 相交于点 E，且△ABE≌△DCE ，点 F 在线段CD 的延长线上，A  F ，求证： AD∥BF ．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定，掌握全等三角形的性质是关键；由全等三角形的性质得A  CDE ，结合A  F 得CDE  F ，由平行线的判定即可证明．
【详解】解： △ABE ≌△DCE ，
A  CDE ．
A  F ，
CDE  F ．
 AD ∥ BF ．
如图，已知△ABC ≌△DEB ，点 E 在 AB 上，AC 与 BD 交于点 F ，AB  6 ，AE  3 ，C  55，AED  80 ．
(1)求 BC 的长度；
(2)求D 的度数．
【答案】(1) BC  3
(2) D  25
【分析】本题考查全等三角形的性质；
BE  AB  AE  3 ，由△ABC ≌△DEB 可得 BC  BE ，即可求解；
由△ABC ≌△DEB 可得C  EBD  55 ，再由AED 为 BDE 的外角，可得D  AED  EBD ，即可求解.
【详解】（1）解：∵ AB  6 ， AE  3 ，
∴ BE  AB  AE  3 ，
∵△ABC ≌△DEB ，
∴ BC  BE  3 .
（2）解：∵△ABC ≌△DEB ，
30 / 34
∴ C  EBD  55，
∵AED 为 BDE 的外角，
∴AED  D  EBD ，
即D AED  EBD  80  55  25.
如图所示，A，D，E 三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE ，试说明：
BD  DE  CE ；
ADB 满足什么条件时， BD ∥CE
【答案】(1)见解析
(2) ADB  90
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形对应边相等、对应角相等．
利用全等三角形的性质可得 AD  CE ， BD  AE ，然后再等量代换即可；
利用平行线的判定方法和全等三角形的性质进行推理即可．
【详解】（1）证明：∵△BAD ≌△ACE ，
∴ AD  CE ， BD  AE ，
∵A，D，E 三点在同一直线上，
∴ AE  AD  DE ，
∴ BD  DE  CE ；
（2）解：当ADB  90 时， BD ∥CE ，
∵△BAD ≌△ACE ，
∴ ADB  E  90 ，
∴ BDE  E  90
∴ BD ∥CE ．
如图①，在Rt△ABC 中， C  90 ， BC = 6cm ， AC = 8cm ， AB  10cm ，现有一动点 P 从点 A 出发，沿着三角形的边 AC  CB  BA 运动，回到点 A 停止，速度为2cm / s ，设运动时间为t 秒．
31 / 34
如图①，当t  2 时， AP  cm ；
如图①当t  时， △APC 的面积等于V ABC 面积的一半；
如图②，在 DEF 中， E  90 ， DE  4cm ， DF  5cm ， EF  3cm ，在V ABC 的边上，若另外有一个动点Q ，与点 P 同时从点 A 出发，沿着边 AB  BC  CA 运动，回到点 A 停止，在两点运动过程中的某时刻，恰好 APQ≌ DEF ，求点Q 的运动速度．
【答案】(1)4
11 s 或19 s
22
点Q 的运动速度为 5 cm/s 或19 cm/s 时，在两点运动过程中的某时刻， APQ≌ DEF ．
210
【分析】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积、一元一次方程的几何应用，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键．
当t  2 时，点 P 在线段 AC 上，则点 P 的运动距离即为 AP 的长；
ABCAPC
先求出S 24cm2 ，进而得出 S 12 cm2 ，分两种情况讨论：当点 P 在 BC 上时， CP  2t  8cm ，
利用三角形面积公式求解即可；解得： t  11 ；当点 P 在 AB 上时，过点C 作CD  AB 于点 D ，此时
2
AP  24  2t cm ，先利用等面积法求出CD  24 cm ，再利用三角形面积公式求解即可；
5
分两种情况讨论：①当点 P 在 AC 上，点Q 在 AB 上；②当点 P 在 AB 上，点Q 在 AC 上，根据全等三角形的性质，得到 AP  DE  4 cm ， AQ  DF  5cm ，再分别求出点 P 的运动时间，进而求出点Q 的运动速度即可．
【详解】（1）解：由题意可知，当t  2 时，点 P 的运动距离为2  2  4 cm ，
AC  8 cm ，
当t  2 时，点 P 在线段 AC 上，此时 AP  4 cm ，故答案为： 4 ；
解：在Rt△ABC 中， C  90 ， BC = 6cm ， AC = 8cm ， AB  10cm ，
 S ABC
 1 AC  BC  1  6  8  24 cm2 ，
22
APC 的面积等于V ABC 面积的一半，
32 / 34
 S APC
 1 S
2
ABC
 12 cm2
当点 P 在 BC 上时，如图，此时CP  2t  8cm ，
S APC
 1 AC  CP ，
2
 1  82t  8  12 2
解得： t  11 ；
2
当点 P 在 AB 上时，如图，过点C 作CD  AB 于点 D ，此时AP  6  8  10  2t   24
 2t cm ，
 1 10CD  24 ，
2
CD  24 cm ，
5
S△ABC
 1 AB CD ，
2
S APC
 1 AP  CD ，
2
 1 24  2t   24  12 ，
25
解得： t  19 ，
2
综上可知，当t  11 s 或19 s 时， △APC 的面积等于V ABC 面积的一半，
22
故答案为： 11 s 或19 s ；
22
解：∵ E  90 ，DE  4cm ，DF  5cm ，EF  3cm ，C  90 ，BC = 6cm ， AC = 8cm ， AB  10cm ，
∴ A  D ，
①当点 P 在 AC 上，点Q 在 AB 上，
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当 APQ≌ DEF 时，
 AP  DE  4 cm ， AQ  DF  5cm ，
点 P 的运动时间t  4  2  2 s ，
点Q 的运动速度为5  2  5 cm/s ；
2
②当点 P 在 AB 上，点Q 在 AC 上，
当 APQ≌ DEF 时，
 AP  DE  4 cm ， AQ  DF  5cm ，
点 P 的运动时间t  6  8 10  4  2  10s ，
点Q 的运动速度为6  8  10  5 10  19 cm/s ；
10
综上可知，点Q 的运动速度为 5 cm/s 或19 cm/s 时，在两点运动过程中的某时刻， APQ≌ DEF ．
210
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