小学数学人教版（2024）六年级下册比和比例学案

这是一份小学数学人教版（2024）六年级下册比和比例学案，共3页。学案主要包含了模块一 素养目标，模块二 前置学习，模块三 知识点梳理，温馨提示，合作研讨，模块四 巩固提升等内容，欢迎下载使用。
【模块一 素养目标】
我能说出比例的意义和基本性质，区分比和比例的不同之处。
我能正确解比例，计算过程规范、步骤完整，会检验结果是否正确。
我能判断两种相关联的量成正比例还是反比例，清晰说出判断依据。
我能运用比例知识解决比例尺、按比分配等实际问题，会用比例方法列方程解答。
我能绘制比例单元的知识网络图，梳理知识点之间的联系与区别。
【模块二 前置学习】
一、思维导图框架
请你在下面的空白处，用思维导图的形式画出"比例"单元的知识结构。中心主题写"比例"，然后分出三个大分支：比例的意义和性质、正比例和反比例、比例的应用。每个大分支下面再细分小知识点。不用写太详细，先搭好框架就行。
二、核心问题
带着这三个问题去看书，找找答案：
1. 比和比例有什么区别？它们各有几个项？
2. 判断正反比例的关键是什么？看比值还是看乘积？
3. 比例尺是一把尺子吗？它的单位是什么？
三、预习检测
做完这三道题，检验一下预习效果：
1. 判断：0.6:0.2和3/4:1/4能组成比例吗？
2. 填空：如果a×3=b×5，那么a:b=（ ）:（ ）。
3. 选择：下面各组量中，成反比例的是（ ）。
A. 工作效率一定，工作总量和工作时间
B. 长方形的长一定，宽和面积
C. 总价一定，单价和数量
【模块三 知识点梳理】
问题一：什么是比例？它和比有什么不一样？
比例是表示两个比相等的式子。注意啦，比例有四个项，两端的两项叫外项，中间的两项叫内项。而比只有两个项，前项和后项。说白了，比是两个数相除，比例是两个比相等。比如3:2是比，3:2=6:4是比例。判断两个比能不能组成比例，关键看它们的比值是否相等。比值相等就能组成比例，不相等就不能。
【注意】比和比例是两个不同的概念。比只有两项，是两个数相除的关系；比例有四项，是两个比相等的等式。别搞混了！
问题二：比例的基本性质是什么？它有什么用？
在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。这就是比例的基本性质。用字母表示就是：如果a:b=c:d，那么ad=bc。这个性质太重要了，解比例全靠它。把比例式转化成等积式，就变成解方程了。
【温馨提示】当比例写成分数形式时，等号两边的分子和分母交叉相乘，积也相等。比如a/b=c/d，就有ad=bc。交叉相乘是检验比例是否成立的好方法。
问题三：什么是正比例？什么是反比例？怎么区分？
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。关系式是y/x=k（一定）。
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。关系式是xy=k（一定）。
这里容易踩坑！很多同学看到两种量都变化，就以为成比例。不对。得看是比值一定还是乘积一定。比值一定是正比例，乘积一定是反比例。如果都不是，就不成比例。
【合作研讨】小组讨论：判断下面每题中的两种量成什么比例，并说说理由。每组选一个代表发言，其他组补充。时间：5分钟。
1. 每小时织布米数一定，织布总米数和时间。
2. 小明的身高和体重。
3. 长方形的面积一定，长和宽。
4. 圆的周长和它的直径。
问题四：比例尺是什么？怎么计算？
一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。公式是：图上距离:实际距离=比例尺。注意啦，比例尺不是一把有刻度的尺子，它是一个比，没有单位。计算时一定要统一单位！比如图上距离用厘米，实际距离用千米，得先把千米化成厘米再比。
比例尺有两种形式：数值比例尺和线段比例尺。数值比例尺比如1:5000000，线段比例尺就是画一条线段，上面标着实际距离。
问题五：用比例解决问题的步骤是什么？
第一步，找不变量，判断成什么比例。第二步，设未知数x。第三步，根据比例关系列方程。第四步，解方程并检验。第五步，写出答案。
【重点】学生在学正反比例判断时最常出现的问题是，只看两种量是否相关联，就直接下结论，而不去计算比值或乘积是否一定。比如看到"路程和时间"，就想当然地说成正比例，却忘了"速度一定"这个前提。还有的同学把正比例和反比例搞反，看到一个量变大另一个量也变大，就说是正比例，看到一个变大另一个变小，就说是反比例。这种凭感觉判断的方法不靠谱，必须通过计算比值或乘积来验证。比如长方形的周长和长，虽然长变大周长也变大，但它们的比值不一定，所以不成正比例。
【难点】突破方法：课堂上用5分钟做一个"找不变量"的小游戏。老师给出10组不同的数量关系，比如"速度、时间、路程""单价、数量、总价""工作效率、工作时间、工作总量"等，每组同学快速找出其中的不变量，然后判断另外两个量成什么比例。答对的小组加1分，答错的其他组可以纠正加分。通过游戏强化"先找不变量，再判断比例关系"的解题思路，避免学生凭感觉判断。游戏结束后，每组总结一条判断正反比例的小技巧，写在便利贴上贴到黑板上。
问题六：比例还有哪些应用？
比例的应用很广，除了比例尺，还有图形的放大与缩小、按比分配问题等。图形放大或缩小时，各边都要按相同的比来变，形状不变，大小变了。按比分配就是把一个数量按照一定的比来分配，比如按2:3分配50个苹果，就是分成2份和3份，一共5份，每份10个，分别是20个和30个。
【模块四 巩固提升】
A组 达标检测
1. 解比例
（1）x:12 = 3:4
（2）1.5/2.5 = 6/x
（3）3/4:x = 3:12
2. 判断下面每题中的两种量成什么比例关系
（1）订阅《小学生数学报》的份数和总钱数。
（2）正方形的边长和它的面积。
（3）生产电视机的总台数一定，每天生产的台数和所用的天数。
3. 在一幅比例尺是1:6000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是5厘米。甲、乙两地的实际距离是多少千米？
4. 用边长15厘米的方砖给教室铺地，需要2000块。如果改用边长25厘米的方砖铺地，需要多少块？（用比例解）
B组 拓展提高
1. （竞赛题）甲、乙两个长方形的周长相等，甲的长与宽的比是3:2，乙的长与宽的比是5:3。求甲与乙的面积之比。
2. （竞赛题）一辆汽车从甲地开往乙地，如果把车速提高20%，可以比原定时间提前1小时到达；如果以原速行驶120千米后，再将速度提高25%，则可提前40分钟到达。那么甲、乙两地相距多少千米？
3. （竞赛题）有甲、乙、丙三个梯形，它们的高之比是1:2:3，上底之比是6:9:4，下底之比是12:15:10。已知甲梯形的面积是30平方厘米，求乙和丙的面积之和是多少平方厘米？
4. （拓展题）在比例尺是1:3000000的地图上，量得A、B两地的距离是10厘米。甲、乙两车同时从A、B两地相向开出，经过3小时相遇。已知甲、乙两车的速度比是2:3，求甲、乙两车每小时各行多少千米？
5. （拓展题）师徒两人共加工零件168个，师傅加工一个零件用5分钟，徒弟加工一个零件用9分钟。完成任务时，两人各加工零件多少个？
参考答案
A组
1. 解比例
（1）x=9
（2）x=10
（3）x=3
2. 比例关系判断
（1）成正比例（总钱数÷份数=单价，单价一定）
（2）不成比例（面积÷边长=边长，边长不一定）
（3）成反比例（每天生产台数×天数=总台数，总台数一定）
3. 实际距离=5×6000000=30000000厘米=300千米
4. 解：设需要x块。教室面积一定，方砖面积和块数成反比例。
15×15×2000 = 25×25×x
225×2000 = 625x
x = 720
答：需要720块。
B组
1. 甲与乙的面积之比是128:135。
提示：设周长为单位"1"，分别求出两个长方形的长和宽，再计算面积比。
2. 甲、乙两地相距270千米。
提示：车速提高20%，时间变为原来的5/6，提前1小时说明原定时间6小时。行驶120千米后提速25%，提前40分钟，可求出120千米后按原速行驶需要的时间。
3. 乙和丙的面积之和是150平方厘米。
提示：根据梯形面积公式，分别求出三个梯形面积的比，再按比例分配。
4. 甲车每小时行40千米，乙车每小时行60千米。
提示：先求实际距离，再求速度和，最后按速度比分配。
5. 师傅加工108个，徒弟加工60个。
提示：工作效率与工作时间成反比，师傅和徒弟的效率比是9:5，按比例分配168个零件。
【模块五 易错点分析与学法指导】
一、知识网络图文字版
比例这个单元，可以用一棵"知识树"来梳理：
树根是"比例的意义"，表示两个比相等的式子。
树干分三大枝：
第一枝：比例的基本性质
小枝1：外项积等于内项积
小枝2：解比例（转化为方程）
第二枝：正比例和反比例
小枝1：正比例（比值一定，y/x=k）
小枝2：反比例（乘积一定，xy=k）
小枝3：判断方法（找不变量，算比值或乘积）
第三枝：比例的应用
小枝1：比例尺（图上距离:实际距离）
小枝2：图形的放大与缩小（各边按相同比）
小枝3：用比例解决问题（找不变量→列方程→解答）
二、方法提炼
1. 判断两个比能否组成比例：算比值，相等就能组成。
2. 解比例：用基本性质转化为方程，再解方程。
3. 判断正反比例：先找相关联的两种量，再看比值一定还是乘积一定。比值一定是正比例，乘积一定是反比例。
4. 比例尺计算：统一单位是关键，别把单位搞混了。
5. 用比例解题：第一步找不变量，第二步判断比例关系，第三步列方程解答。
三、常见错误与纠正方法
常见错误1：解比例时内外项搞反。
纠正方法：写比例时，把外项和内项标出来，或者用交叉相乘的方法验证。
常见错误2：判断正反比例凭感觉，不计算。
纠正方法：每次判断都写出关系式，看是比值一定还是乘积一定，养成好习惯。
常见错误3：比例尺计算时单位不统一。
纠正方法：看到比例尺就先想单位，把实际距离的单位化成和图上距离一样的单位再计算。
常见错误4：用比例解题时，比例式列反了。
纠正方法：列完比例后，检查一下对应量是否对应，比如路程和路程对应，时间和时间对应。