初中数学沪科版（2024）八年级下册（2024）17.5 一元二次方程的应用学案设计

这是一份初中数学沪科版（2024）八年级下册（2024）17.5 一元二次方程的应用学案设计，共9页。学案主要包含了模块一 任务定向，模块二 知识铺垫，模块三 深度研习，案例分析，模块四 范例导学，模块五 实战演练，模块六 学后反思，模块七 参考解答等内容，欢迎下载使用。
一、我能说出列一元二次方程解应用题的六个步骤
二、我能根据实际问题中的数量关系列出一元二次方程
三、我能检验方程的解是否符合实际意义并正确取舍
四、我能解决增长率、面积、利润三类典型应用问题
五、我能运用建模思想分析生活中的非线性变化问题
【模块二 知识铺垫】
一、思维导图框架
请在草稿纸上画出一元二次方程应用的知识网络图。从中心"一元二次方程的应用"出发，画出三个主要分支：应用类型、解题步骤、易错提醒。每个分支至少补充3个关键词。
二、核心问题
1. 列一元二次方程解应用题的关键一步是什么？
2. 为什么说"检验"是解应用题必不可少的步骤？
3. 增长率问题和降低率问题在列方程时有什么异同？
三、预习检测
1. 某商品原价200元，连续两次降价后售价为162元，设平均每次降价的百分率为x，可列方程为__。
2. 一个矩形的周长是28cm，面积是48cm²，设长为x cm，可列方程为__。
3. 判断：方程x²-7x+10=0的两个根都是正数，所以它们一定都符合实际问题的意义。（ ）
4. 某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同，求平均每月的增长率。（只列方程，不求解）
【模块三 深度研习】
一、三类典型应用对比
应用类型 等量关系 常见情境 关键注意点
增长率问题 原量×(1±率)ⁿ=现量 人口增长、成本下降、利润变化 增长次数要看清时间段
面积问题 面积公式建立方程 边框、道路、裁剪、拼接 边长必须为正数且合理
利润问题 总利润=单件利润×销量 涨价降价、销量变化、成本核算 价格变化与销量变化反向
【小结】
一元二次方程的应用，本质是把实际问题中的数量关系抽象为数学模型，通过解方程来解决问题。这个过程叫做数学建模。建模的关键是找准等量关系。
【提醒】
这里容易踩坑！很多同学列方程时只顾数学上成立，忽略了实际意义。比如边长不能是负数，人数不能是小数，增长率不能超过100%太多等等。
二、【重点】
学生在学列一元二次方程解应用题时，最常出现的问题是找不准等量关系，特别是在复杂情境中不会剥离无关信息。比如在利润问题中，题目往往会给出很多数据，像进价、售价、原销量、变化幅度、目标利润等等，不少同学读完题就懵了，不知道哪些量之间有联系。还有的同学习惯用小学的算术思维，不会用未知数去表示相关的量，比如设了降价x元，却不会用含x的式子表示现在的销量和现在的每件利润。另外，很多同学审题不仔细，把"增长了"和"增长到"搞混，或者把"每降价1元多卖5件"理解成"降价x元多卖5件"，漏乘了x，导致方程列错。这些问题归根到底，是没有掌握"用字母表示数"的代数思维，还是停留在具体数字的运算层面。
三、【难点】
从复杂的实际问题中抽象出等量关系，特别是涉及多个变化量的问题，是本课的难点。突破方法：课堂上用5分钟开展"拆解题目"活动。教师给出一道典型的利润问题，先让学生独立读题，然后请一位同学上台，用不同颜色的笔圈出题目中的已知量、未知量、关键句。接着教师提问："题目中哪句话告诉我们等量关系？请你读出来。"引导学生找到像"每天盈利1200元""面积等于540平方米"这样的结果性语句。然后再问："要得到这个结果，需要用哪两个量相乘或相加？"引导学生拆解等量关系的组成部分。最后让学生用含未知数的代数式分别表示这两个部分，自然就能列出方程。这个活动的核心是把"列方程"这个大任务拆解成"找关键句→拆等量关系→用字母表示各部分"三个小步骤，降低思维难度。
四、【案例分析】
实验探究：用一张A4纸做一个无盖长方体盒子，怎样裁剪才能使盒子的容积最大？
小组活动：每组拿出一张A4纸，剪刀一把。先讨论：如果在四个角各剪去一个边长为x的小正方形，折成盒子后，盒子的长、宽、高分别是多少？容积怎样表示？
教师提问：如果我们规定盒子的底面积是300平方厘米，那么x应该是多少？
学生活动：小组合作，先测量A4纸的长和宽，然后列方程求解，最后动手裁剪验证。
教师巡视，指导学生注意检验解的合理性。
五、板书设计
左边：列方程解应用题步骤
审→设→列→解→验→答
中间：三类典型应用
增长率：a(1±x)ⁿ=b
面积：公式建模
利润：总利=单利×销量
右边：易错提醒
1. 检验实际意义
2. 增长次数数清楚
3. 变化量别漏乘
【模块四 范例导学】
一、增长率问题
例题1 某厂2023年的产值为100万元，2025年的产值为121万元。求这两年产值的年平均增长率。
解答：
设年平均增长率为x。
根据题意，得 100(1+x)² = 121
两边同时除以100，得 (1+x)² = 1.21
开平方，得 1+x = ±1.1
所以 x₁ = 0.1 = 10%，x₂ = -2.1
因为增长率不能为负数，所以x₂ = -2.1不合题意，舍去。
答：这两年产值的年平均增长率为10%。
【小结】
增长率问题的基本公式：原量×(1+增长率)ⁿ = 现量。
降低率问题：原量×(1-降低率)ⁿ = 现量。
其中n是增长或降低的次数。
【提醒】
说白了，增长次数就是看从起始到结束经过了几期。从2023到2025，是2次增长，不是3次。别数错了！
二、面积问题
例题2 用一块长40cm、宽30cm的长方形铁皮，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为600cm²的无盖长方体盒子。求小正方形的边长。
解答：
设小正方形的边长为x cm。
则盒子底面的长为(40-2x) cm，宽为(30-2x) cm。
根据题意，得 (40-2x)(30-2x) = 600
展开左边，得 1200 - 80x - 60x + 4x² = 600
整理，得 4x² - 140x + 600 = 0
两边同时除以4，得 x² - 35x + 150 = 0
因式分解，得 (x-5)(x-30) = 0
所以 x₁ = 5，x₂ = 30
当x = 30时，30-2x = 30-60 = -30，边长不能为负数，不合题意，舍去。
所以x = 5。
答：小正方形的边长为5cm。
【小结】
面积问题要注意图形变化前后的关系。截去小正方形后，长和宽都减少了2x，因为两边各截去一个。
【提醒】
检验的时候别只看根是不是正数，还要看减完之后是不是还是正数。比如x=30，虽然是正数，但减完就负了，肯定不对。
三、利润问题
例题3 某商店销售一批运动鞋，每双进价80元，售价120元，平均每天可售出10双。为了促销，商店决定降价销售。经调查发现，每双运动鞋每降价5元，平均每天可多售出2双。若商店平均每天要盈利420元，每双运动鞋应降价多少元？
解答：
设每双运动鞋应降价x元。
则每双利润为(120-80-x) = (40-x)元。
每降价5元多卖2双，那么降价x元多卖多少双呢？
先算x里有几个5元：x÷5，每个5元多卖2双，所以多卖 2×(x÷5) = 0.4x 双。
每天销售量为(10+0.4x)双。
根据题意，得 (40-x)(10+0.4x) = 420
展开左边，得 400 + 16x - 10x - 0.4x² = 420
整理，得 -0.4x² + 6x - 20 = 0
两边同时乘以-10，得 4x² - 60x + 200 = 0
两边同时除以4，得 x² - 15x + 50 = 0
因式分解，得 (x-5)(x-10) = 0
所以 x₁ = 5，x₂ = 10
两个解都是正数，而且销量都是正数，都符合题意。
答：每双运动鞋应降价5元或10元。
【小结】
利润问题的核心关系：总利润 = 每件利润 × 销售量。
价格变化会引起销量变化，要根据题目中的比例关系，用含未知数的式子表示变化后的销量。
【模块五 实战演练】
1. 某城市2023年底的绿化面积为300公顷，计划到2025年底增加到363公顷。求这两年绿化面积的年平均增长率。
2. 一个直角三角形的两条直角边相差3cm，面积是9cm²。求较长的直角边的长。
3. 某商店销售一批小家电，每个进价30元，定价40元时，平均每天可售出20个。为了扩大销售，商店决定降价销售。经调查发现，每个小家电每降价1元，平均每天可多售出2个。若商店平均每天要盈利192元，每个小家电应降价多少元？
4. 有一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数。求这个两位数。
5. 在一块长12m、宽8m的矩形空地上，修建两条同样宽的互相垂直的小路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为77m²，求小路的宽。
6. 某水果批发市场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克。经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少10千克。现该市场要保证每天盈利1500元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
【模块六 学后反思】
一、解题方法对比
方法类型 适用情况 操作要点 易错点
直接设元 问题直接求什么就设什么 设未知数要带单位 单位不统一
间接设元 直接设元不好列方程时 设中间量，最后再求目标量 忘记最后求目标量
平移法 道路、边框类面积问题 把道路移到边上，简化图形 移完后长宽各减多少要算清
公式法 增长率、降低率问题 套公式a(1±x)ⁿ=b 增长次数数错
二、注意事项清单
1. 设未知数时必须写清楚单位，比如"设平均增长率为x"就不对，应该是"设平均每年增长的百分率为x"。
2. 列方程前先统一单位，题目里有米又有厘米的，要先换算成一样的。
3. 解方程得到两个根后，一定要逐一代入原题检验，不仅看数学上对不对，还要看符不符合实际意义。
4. 增长率问题中，"两年后"和"第二年"是不同的。"两年后"是增长2次，"第二年"是增长1次。
5. 面积问题中，如果有两条互相垂直的道路，用平移法可以简化计算，但要注意重叠的部分。
6. 利润问题中，涨价销量减少，降价销量增加，方向别搞反了。
7. 答案要写完整的答句，不能只写一个数字就完事。
8. 如果题目有特殊要求，比如"要使顾客得到实惠""要扩大销售"，还要根据要求选择合适的解。
【模块七 参考解答】
模块二 预习检测
1. 200(1-x)² = 162
2. x(14-x) = 48
3. ×（数学上是正数，但实际问题中不一定都符合，要看具体情境）
4. 解：设平均每月的增长率为x。200(1+x)² = 288
模块五 实战演练
1. 解：设这两年绿化面积的年平均增长率为x。
300(1+x)² = 363
(1+x)² = 1.21
1+x = ±1.1
x₁ = 0.1 = 10%，x₂ = -2.1（舍去）
答：这两年绿化面积的年平均增长率为10%。
2. 解：设较长的直角边长为x cm，则较短的直角边长为(x-3) cm。
½x(x-3) = 9
x² - 3x - 18 = 0
(x-6)(x+3) = 0
x₁ = 6，x₂ = -3（舍去）
答：较长的直角边的长为6cm。
3. 解：设每个小家电应降价x元。
(40-30-x)(20+2x) = 192
(10-x)(20+2x) = 192
200 + 20x - 20x - 2x² = 192
整理，得 x² = 4
解得 x₁ = 2，x₂ = -2（舍去）
答：每个小家电应降价2元。
4. 解：设十位数字为x，则个位数字为(x+3)。
这个两位数是10x + (x+3) = 11x + 3。
根据题意，得 (x+3)² = 11x + 3
x² + 6x + 9 = 11x + 3
x² - 5x + 6 = 0
(x-2)(x-3) = 0
x₁ = 2，x₂ = 3
当x=2时，个位数字是5，两位数是25；
当x=3时，个位数字是6，两位数是36。
答：这个两位数是25或36。
5. 解：设小路的宽为x m。
用平移法，把两条小路移到边上，草坪就变成了一个长(12-x)m、宽(8-x)m的矩形。
(12-x)(8-x) = 77
96 - 20x + x² = 77
x² - 20x + 19 = 0
(x-1)(x-19) = 0
x₁ = 1，x₂ = 19（舍去，超过8m）
答：小路的宽为1m。
6. 解：设每千克应涨价x元。
(5+x)(200-10x) = 1500
1000 - 50x + 200x - 10x² = 1500
-10x² + 150x - 500 = 0
两边同时除以-10，得 x² - 15x + 50 = 0
(x-5)(x-10) = 0
x₁ = 5，x₂ = 10
因为要使顾客得到实惠，所以选择涨价较少的。
答：每千克应涨价5元。