人教A版 (2019)必修 第一册建立函数模型解决实际问题第一课时学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册建立函数模型解决实际问题第一课时学案，共9页。学案主要包含了模块一 素养目标，模块二 温故知新，模块三 知识建构，课堂探究活动，模块四 范例导学，模块五 课堂练习，模块六 答案解析，模块七 收获盘点等内容，欢迎下载使用。
一、我能说出建立统计模型进行预测的基本步骤，包括数据收集、模型选择、参数估计、模型检验和预测应用五个环节。
二、我能根据散点图判断两个变量是否具有线性相关关系，并计算样本相关系数r来量化相关程度。
三、我能运用最小二乘法求出经验回归方程ŷ = bx + a，并解释回归系数b和截距a的实际意义。
四、我能利用经验回归方程对实际问题进行预测，并说明预测结果的适用范围和局限性。
五、我能通过残差分析判断模型的拟合效果，体会统计建模在解决现实问题中的价值。
【模块二 温故知新】
一、思维导图框架
请在下面的空白处，用思维导图的形式梳理你已经学过的"成对数据的统计分析"相关知识。中心主题写"成对数据分析"，至少画出三个分支，分别写上相关关系、散点图、一元线性回归这三个关键词，每个分支再补充一到两个具体知识点。
二、核心问题
1. 相关关系和函数关系有什么区别？请各举一个生活中的例子。
2. 最小二乘法的核心思想是什么？为什么要让残差平方和最小，而不是残差绝对值的和最小？
3. 样本相关系数r的取值范围是什么？r越接近1说明什么？r越接近0又说明什么？
三、预习检测
1. 判断正误：如果两个变量的相关系数r = 0.95，那么一定是其中一个变量导致了另一个变量的变化。
2. 已知一组数据的经验回归方程为ŷ = 2x + 3，当x = 5时，预测值ŷ等于多少？
3. 残差指的是哪两个数值的差？残差的绝对值越大，说明模型拟合效果越好还是越差？
【模块三 知识建构】
一、统计建模的基本流程
【关键点】建立统计模型进行预测，不是简单地套公式计算，而是一个完整的科学探究过程。从提出问题到最终决策，每一步都需要严谨的思考。
完整的统计建模流程包括以下五个步骤：
第一步，明确问题。先搞清楚我们要研究什么，预测什么，哪些变量可能影响结果。比如要预测某地区的年降水量，就要考虑气温、湿度、季风等因素。
第二步，收集数据。通过观测、实验或查阅资料获取成对数据。数据质量直接决定模型质量，垃圾进垃圾出，说的就是这个道理。
第三步，选择模型。先画散点图观察数据的分布形态，再选择合适的数学模型。是线性的还是非线性的？是一次函数还是指数函数？
第四步，估计参数。用最小二乘法等方法计算模型中的未知参数，得到具体的经验回归方程。
第五步，模型检验与预测。先用残差分析等方法检验模型的拟合效果，效果好的话再用模型进行预测。预测时要注意适用范围，不能随意外推。
二、线性回归模型与非线性回归模型的对比
图1 散点图与回归直线示意图
【要牢记】不是所有数据都适合用线性回归模型。拿到数据先画散点图，这是建模的第一步，也是最容易被忽略的一步。
线性回归模型的特点：散点大致分布在一条直线附近，变量之间呈均匀变化的趋势。比如人的身高和体重，在一定范围内大致呈线性关系。
非线性回归模型的特点：散点分布呈现曲线形态，变化率不均匀。比如细菌繁殖的数量和时间的关系，就是指数增长的曲线。
处理方法也不同。线性模型直接用最小二乘法求参数。非线性模型通常需要先做变量变换，把非线性关系转化为线性关系，再用最小二乘法求解。比如指数模型y = ae^(bx)，两边取自然对数就变成lny = lna + bx，这样就转化为lny关于x的线性关系了。
三、案例分析：某奶茶店销量预测
【课堂探究活动】
活动主题：奶茶店周销量与气温的关系研究
活动目标：通过真实数据体验建立统计模型的完整流程
活动步骤：
1. 教师给出某奶茶店连续8周的周平均气温和对应周销量数据。
2. 学生分组，每组4人，分别负责散点图绘制、相关系数计算、回归方程求解、模型检验四个任务。
3. 各组完成后派代表展示成果，其他组进行点评和质疑。
4. 教师引导总结建模过程中的关键节点和常见问题。
师生互动设计：
教师提问：大家先看看散点图，这些点大致在一条直线上吗？你觉得用线性模型合适吗？
学生行为：观察散点图，小组讨论后举手回答，说出判断理由。
教师追问：如果气温达到40度，你能用这个模型预测销量吗？为什么？
学生行为：思考预测范围的问题，联系样本数据的范围，说出外推的风险。
【重点】
学生在学习建立统计模型进行预测时，最常出现的问题是跳过模型检验直接进行预测。很多同学拿到数据就算相关系数、求回归方程，算完就直接代入预测，根本不关心模型到底合不合理。这就像医生不诊断就开药，风险很大。还有一个突出问题是对预测结果的解读过于绝对。比如求出回归方程后，就认为x取某个值时y一定等于预测值，完全忽略了随机误差的存在。实际上预测值只是一个估计值，真实值会在预测值附近波动。另外，不少学生不注意模型的适用范围，拿到方程就随便代入数值，甚至用超出样本数据范围很多的x值去预测，这在统计学上叫做外推，外推预测的可靠性很低，因为我们不知道样本范围之外变量之间的关系是否还保持原来的模式。
【难点】
突破方法：课堂上用5分钟开展"模型压力测试"小游戏。教师提前准备好三组数据，第一组是完全线性相关的理想数据，第二组是有明显线性趋势但带随机误差的真实数据，第三组是明显非线性的曲线数据。每组数据都给出对应的回归方程和R²值。学生分成三组，每组拿到一组数据和对应的回归方程，然后分别用样本范围内的x值和样本范围外的x值进行预测，对比预测值与真实值的差异。5分钟后各组汇报结果，学生自然就能发现，对于线性好的数据，样本范围内预测比较准确，范围外预测误差就大了；对于非线性数据，即使R²看起来不低，模型本身就是错的，预测结果更不可靠。通过这个直观的对比活动，学生就能深刻理解模型检验和适用范围的重要性，比单纯讲理论效果好得多。
板书设计：
中间大标题：建立统计模型进行预测
左侧：建模五步法
1. 明确问题
2. 收集数据
3. 选择模型
4. 估计参数
5. 检验预测
右侧：两个关键提醒
1. 先检验，再预测
2. 不随意外推
下方：经验回归方程 ŷ = bx + a
其中 b = Σ(xᵢ - x̄)(yᵢ - ȳ) / Σ(xᵢ - x̄)²
a = ȳ - b x̄
【模块四 范例导学】
一、范例一：线性回归模型的建立与预测
题目：某学校研究小组为了了解高三学生的数学成绩与物理成绩之间的关系，随机抽取了10名学生的某次考试成绩，数据如下：
数学成绩x：105, 112, 98, 120, 108, 115, 95, 125, 100, 118
物理成绩y：72, 78, 65, 85, 75, 80, 62, 88, 68, 82
（1）画出散点图，判断数学成绩与物理成绩是否具有线性相关关系；
（2）求物理成绩y关于数学成绩x的经验回归方程；
（3）如果一名学生的数学成绩为110分，预测他的物理成绩大约是多少分。
解答：
（1）以数学成绩为x轴，物理成绩为y轴，在坐标系中描出这10个点。观察散点图可以发现，这些点大致分布在一条直线附近，且从左下到右上呈上升趋势，因此数学成绩与物理成绩具有正线性相关关系。
（2）第一步，计算均值。
x̄ = (105+112+98+120+108+115+95+125+100+118) / 10 = 1096 / 10 = 109.6
ȳ = (72+78+65+85+75+80+62+88+68+82) / 10 = 755 / 10 = 75.5
第二步，计算回归系数b。
先算分子：Σ(xᵢ - x̄)(yᵢ - ȳ)
逐个计算：
(105-109.6)(72-75.5) = (-4.6)(-3.5) = 16.1
(112-109.6)(78-75.5) = (2.4)(2.5) = 6.0
(98-109.6)(65-75.5) = (-11.6)(-10.5) = 121.8
(120-109.6)(85-75.5) = (10.4)(9.5) = 98.8
(108-109.6)(75-75.5) = (-1.6)(-0.5) = 0.8
(115-109.6)(80-75.5) = (5.4)(4.5) = 24.3
(95-109.6)(62-75.5) = (-14.6)(-13.5) = 197.1
(125-109.6)(88-75.5) = (15.4)(12.5) = 192.5
(100-109.6)(68-75.5) = (-9.6)(-7.5) = 72.0
(118-109.6)(82-75.5) = (8.4)(6.5) = 54.6
求和：16.1+6.0+121.8+98.8+0.8+24.3+197.1+192.5+72.0+54.6 = 784.0
再算分母：Σ(xᵢ - x̄)²
逐个计算：
(-4.6)² = 21.16
(2.4)² = 5.76
(-11.6)² = 134.56
(10.4)² = 108.16
(-1.6)² = 2.56
(5.4)² = 29.16
(-14.6)² = 213.16
(15.4)² = 237.16
(-9.6)² = 92.16
(8.4)² = 70.56
求和：21.16+5.76+134.56+108.16+2.56+29.16+213.16+237.16+92.16+70.56 = 914.4
所以b = 784.0 / 914.4 ≈ 0.857
第三步，计算截距a。
a = ȳ - b x̄ = 75.5 - 0.857 × 109.6 ≈ 75.5 - 93.9 = -18.4
因此，经验回归方程为 ŷ = 0.857x - 18.4
（3）当x = 110时，代入回归方程：
ŷ = 0.857 × 110 - 18.4 ≈ 94.3 - 18.4 = 75.9
所以预测这名学生的物理成绩大约是76分。
方法总结：求经验回归方程的步骤可以概括为"算均值、算系数、写方程"三步。计算时要细心，尤其是求和部分，建议分步计算避免出错。另外要注意，预测值只是估计值，真实成绩可能会有上下浮动。
二、范例二：模型检验与残差分析
题目：根据范例一中的数据，计算第1个样本点的残差，并说明残差的意义。
解答：
第1个样本点的数学成绩x₁ = 105，真实物理成绩y₁ = 72。
用回归方程计算预测值：ŷ₁ = 0.857 × 105 - 18.4 ≈ 89.985 - 18.4 = 71.585
残差e₁ = y₁ - ŷ₁ = 72 - 71.585 = 0.415
残差的意义：残差是真实值与预测值的差，反映了模型预测的误差大小。这个残差约为0.415，说明对于这个学生，模型预测的物理成绩比真实成绩低了约0.4分，误差不大。
如果残差的绝对值普遍比较小，说明模型拟合效果好；如果某个残差异常大，就要检查那个数据点是不是有问题，或者模型本身选得不对。
方法总结：残差分析是检验模型的重要手段。画残差图是最直观的方法，如果残差点比较均匀地落在水平带状区域内，说明模型合适；如果残差图有明显的曲线趋势，说明可能需要用非线性模型。
【模块五 课堂练习】
一、判断题（正确的打√，错误的打×）
1. 只要有两组数据，就一定可以建立线性回归模型进行预测。
2. 相关系数r的绝对值越接近1，说明两个变量的线性相关程度越强。
3. 经验回归方程一定经过样本点的中心(x̄, ȳ)。
4. 用经验回归方程预测时，x的取值可以是任意实数。
5. 残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好。
二、填空题
1. 建立统计模型进行预测的基本步骤是：明确问题、收集数据、__、估计参数、检验预测。
2. 最小二乘法的核心思想是使__最小。
3. 已知经验回归方程为ŷ = -3x + 10，则当x增加1个单位时，y平均__（填"增加"或"减少"）__个单位。
4. 样本相关系数r的取值范围是__。
5. 在回归分析中，R²越接近1，表示模型的拟合效果越__。
三、解答题
1. 某研究小组收集了某城市5天的空气质量指数（AQI）和当天的医院呼吸科就诊人数数据：
AQI：80, 120, 150, 90, 110
就诊人数：35, 52, 68, 40, 48
（1）求就诊人数y关于AQI的经验回归方程；
（2）如果某天的AQI预报为100，预测当天医院呼吸科的就诊人数。
2. （拓展题）某生物实验室研究某种细菌的繁殖规律，得到以下数据：
时间x（小时）：1, 2, 3, 4, 5
细菌数y（千个）：2, 5, 12, 28, 65
（1）画出散点图，判断y与x是否呈线性关系；
（2）试通过变量变换，将非线性关系转化为线性关系，建立回归模型。
【模块六 答案解析】
一、判断题答案
1. ×。解析：建立线性回归模型的前提是两个变量具有线性相关关系。如果两个变量根本不相关，或者是非线性相关，强行建立线性模型就没有意义，预测结果也不可靠。
2. √。解析：相关系数r的取值范围是[-1, 1]。|r|越接近1，线性相关程度越强；|r|越接近0，线性相关程度越弱。
3. √。解析：这是经验回归方程的重要性质。由a = ȳ - b x̄，代入x = x̄，得ŷ = b x̄ + a = b x̄ + ȳ - b x̄ = ȳ，所以回归直线一定经过样本中心点。
4. ×。解析：经验回归方程只适用于样本数据的x取值范围内的预测，超出这个范围叫做外推，外推预测的可靠性很低，因为我们不能保证样本范围之外变量之间还保持同样的线性关系。
5. √。解析：残差平方和是所有真实值与预测值差的平方相加的结果。残差平方和越小，说明预测值整体上越接近真实值，模型拟合效果就越好。
二、填空题答案
1. 选择模型。解析：这是统计建模五步法的第三步。拿到数据后先画散点图观察形态，再选择合适的模型，是线性的还是非线性的，不能上来就套公式。
2. 残差平方和。解析：最小二乘法就是要找到一条直线，使得所有样本点到这条直线的纵向距离的平方和最小。为什么用平方和不用绝对值和？因为平方运算在数学上更容易求导计算，而且能放大较大的误差，让模型对异常点更敏感。
3. 减少，3。解析：回归系数b = -3，斜率为负，说明x与y负相关。x每增加1个单位，y平均变化b个单位，也就是减少3个单位。这里要注意，是"平均"变化，不是每个点都严格变化3个单位。
4. [-1, 1]。解析：样本相关系数r的取值范围是-1到1之间，包括端点。r = 1表示完全正线性相关，r = -1表示完全负线性相关，r = 0表示没有线性相关关系。
5. 好。解析：R²叫做决定系数，取值范围也是[0, 1]。R²越接近1，说明回归模型能解释的变异越多，模型拟合效果越好；R²越接近0，说明模型拟合效果越差。
三、解答题答案
1. 解答：
（1）第一步，计算均值。
x̄ = (80+120+150+90+110) / 5 = 550 / 5 = 110
ȳ = (35+52+68+40+48) / 5 = 243 / 5 = 48.6
第二步，计算回归系数b。
分子：Σ(xᵢ - x̄)(yᵢ - ȳ)
= (80-110)(35-48.6) + (120-110)(52-48.6) + (150-110)(68-48.6) + (90-110)(40-48.6) + (110-110)(48-48.6)
= (-30)(-13.6) + (10)(3.4) + (40)(19.4) + (-20)(-8.6) + 0×(-0.6)
= 408 + 34 + 776 + 172 + 0
= 1390
分母：Σ(xᵢ - x̄)²
= (-30)² + 10² + 40² + (-20)² + 0²
= 900 + 100 + 1600 + 400 + 0
= 3000
b = 1390 / 3000 ≈ 0.463
第三步，计算截距a。
a = ȳ - b x̄ = 48.6 - 0.463 × 110 ≈ 48.6 - 50.93 = -2.33
所以经验回归方程为 ŷ = 0.463x - 2.33
（2）当x = 100时，
ŷ = 0.463 × 100 - 2.33 = 46.3 - 2.33 = 43.97 ≈ 44
所以预测当天医院呼吸科的就诊人数约为44人。
2. 解答：
（1）以时间x为横轴，细菌数y为纵轴，画出散点图。观察散点图可以发现，随着x增大，y增长得越来越快，散点呈现明显的曲线形态，不是直线趋势，因此y与x不呈线性关系，更像是指数增长关系。
（2）假设细菌数y与时间x满足指数关系 y = c · aˣ，其中c和a是待确定的参数。
两边取常用对数，得 lgy = lgc + x · lga
令z = lgy，A = lga，B = lgc，则方程变为 z = A x + B
这样就把y关于x的非线性关系，转化为z关于x的线性关系了。
计算变换后的数据：
x：1, 2, 3, 4, 5
z = lgy：lg2≈0.301, lg5≈0.699, lg12≈1.079, lg28≈1.447, lg65≈1.813
然后用最小二乘法求z关于x的经验回归方程：
x̄ = (1+2+3+4+5)/5 = 3
z̄ = (0.301+0.699+1.079+1.447+1.813)/5 = 5.339/5 ≈ 1.068
分子：Σ(xᵢ - x̄)(zᵢ - z̄)
= (1-3)(0.301-1.068) + (2-3)(0.699-1.068) + (3-3)(1.079-1.068) + (4-3)(1.447-1.068) + (5-3)(1.813-1.068)
= (-2)(-0.767) + (-1)(-0.369) + 0×0.011 + 1×0.379 + 2×0.745
= 1.534 + 0.369 + 0 + 0.379 + 1.490
= 3.772
分母：Σ(xᵢ - x̄)² = (-2)² + (-1)² + 0² + 1² + 2² = 4+1+0+1+4 = 10
A = 3.772 / 10 = 0.3772
B = z̄ - A x̄ = 1.068 - 0.3772 × 3 ≈ 1.068 - 1.132 = -0.064
所以z关于x的经验回归方程为 ẑ = 0.3772x - 0.064
换回原变量：
lgy = 0.3772x - 0.064
y = 10^(0.3772x - 0.064) = 10^(-0.064) · 10^(0.3772x) ≈ 0.863 · 2.383ˣ
这样就得到了细菌数关于时间的指数回归模型。
【模块七 收获盘点】
一、常见错误与正解思路
1. 易错点：不检验线性相关性，直接求回归方程。
正解思路：拿到成对数据后，第一步一定是画散点图，或者计算相关系数r，先确认两个变量确实有线性相关关系，再去求回归方程。如果根本不相关，求出的方程就没有实际意义，预测结果也不可信。就像你不能用身高去预测一个人的学号一样，两者没关系，硬算出来的方程也是假的。
2. 易错点：混淆相关关系与因果关系。
正解思路：两个变量有相关关系，不代表它们之间有因果关系。比如夏天冰淇淋卖得多，溺水死亡人数也多，两者正相关，但不是冰淇淋导致了溺水，而是因为夏天气温高，两者都受气温这个共同因素的影响。看到相关关系时，要多想想背后有没有真正的因果联系，还是只是巧合或者受第三个变量影响。
3. 易错点：过度外推，用样本范围外的x值预测。
正解思路：经验回归方程只在样本数据的x取值范围内有效，超出这个范围的预测叫做外推。外推的风险很大，因为我们不知道在样本范围之外，两个变量之间的关系会不会发生变化。比如你用0到18岁的身高数据建立回归模型，去预测30岁的身高，那就会闹笑话，因为人成年后身高就不长了。
二、学法建议
1. 重理解，轻记忆。统计建模这部分内容，公式不少，但死记硬背没用。关键是要理解每个公式背后的统计思想，比如最小二乘法为什么要最小化残差平方和，相关系数为什么能衡量相关程度。理解了原理，公式自然就记住了，用的时候也不会出错。
2. 多动手，多实践。统计是一门应用性很强的学科，光看例题不行。建议大家找一些自己感兴趣的真实数据，比如班级同学的身高和体重、每天的学习时间和考试成绩，自己动手做一遍完整的建模流程。从收集数据到画散点图，再到求方程、做预测，全程走一遍，比做十道练习题都管用。
3. 培养批判性思维。用统计模型做预测，不是算出数就完事了。要学会质疑：这个模型合理吗？数据可靠吗？预测结果靠谱吗？有没有其他因素没考虑到？带着批判的眼光看模型，才能真正学好统计，也才能在生活中不被虚假的统计数据忽悠。
三、自我评价
请根据本节课的学习情况，在对应的栏目里打√。
1. 我能说出建立统计模型的五个基本步骤。 完全掌握 / 基本掌握 / 还需努力
2. 我能根据散点图判断线性相关关系。 完全掌握 / 基本掌握 / 还需努力
3. 我能正确求出经验回归方程并进行预测。 完全掌握 / 基本掌握 / 还需努力
4. 我知道模型检验和适用范围的重要性。 完全掌握 / 基本掌握 / 还需努力
5. 我能区分相关关系与因果关系。 完全掌握 / 基本掌握 / 还需努力