高中数学人教A版 (2019)必修 第一册建立函数模型解决实际问题表格教学设计及反思

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册建立函数模型解决实际问题表格教学设计及反思，共6页。教案主要包含了了解与问题背景有关的知识，提出需要研究的具体问题，分析问题构建模型，确定参数，解决实际问题，课堂小结等内容，欢迎下载使用。
课程基本信息
学科
数学
年级
高一
学期
秋季
课题
建立统计模型进行预测(第一课时)
教科书
书 名：普通高中教科书数学选择性必修第三册A版
出版社：人民教育出版社 .3月
教学目标
1、学会将实际问题抽象成数学问题，对收集到的数据进行一元线性回归分析。
2、会用统计软件求解模型，并进行参数分析，解释参数的统计意义。
3、了解数学建模的一般步骤和方法，用模型进行预测。
教学内容
教学重点：运用一元线性回归分析的方法，建立回归模型，分析PM2.5浓度与汽车流量之间的关系，并进行预测。
教学难点：建实际问题抽象成数学问题，数学建模活动的一般步骤和方法，统计软件的运用。
教学过程
一、了解与问题背景有关的知识
通过前面的学习，我们深刻体会到，统计已经进入人类社会生活的方方面面。运用统计解决问题的基本步骤是，要在明确研究对象和问题的基础上，通过收集数据、整理数据、提取信息、构建数学模型，再利用模型进行推断，得出结论。本课我们一起来探索建立一个与PM2.5相关的统计模型，为控制空气污染的决策提供依据。我们先来观看一段视频。
通过视频，我们了解到。PM2.5是指一种悬浮于大气中的直径小于等于2.5 μm的细颗粒物。颗粒物的成分很复杂，主要取决于其来源，主要有自然源和人为源两种。其浓度的高低直接影响空气质量和气候环境，过高浓度甚至危害人类健康。近年来，由PM2.5引起的空气污染受到了各级政府、部门及社会各界的关注。
【问题】影响PM2.5浓度的因素有哪些？
通过查阅相关资料，我们了解到，主要有以下4个因素。
尾气排放，可以由汽车流量体现，属于人为因素。风速、气温、温度都是气候状况，属于自然因素。
二、提出需要研究的具体问题
为了定量研究PM2.5是否收到汽车流量、气候状况等因素的影响。我们选择了24个社会经济发展水平相近的城市，在每个城市选择一个交通点建立监测点，统计每个监测点24h内过往的汽车流量（单位：千辆），同时在低空相同的高度测定每个监测点该时间段的平均气温（单位：℃）、风速（单位：m/s）、空气湿度（绝对湿度，单位：g/m3）以及空气中PM2.5的平均浓度（单位：μg/m3），得到的数据如下表所示。
24h内过往的车流量最大的是编号为16的城市。该时间段的平均气温为26摄氏度。空气湿度为73g/m3。风速是1m/s。pm2.5平均浓度是140微克每立方米。我们希望通过这些数据，定量探究与pm2.5浓度相关的影响因素。
三、分析问题构建模型
影响PM2.5浓度的因素很多，原因也比较复杂。本课先考虑PM2.5浓度与汽车流量的关系。我们可以以汽车流量为自变量，PM2.5浓度为因变量，采用回归分析的方法进行研究。
（1）浓度与汽车流量之间是否存在线性相关关系?如何来推断？
（2）如果浓度与汽车流量之间存在线性相关关系，如何建立线性回归方程来刻画这种关系？
（3）所建立的线性回归方程是否有效？它的可靠性如何？用什么方法来判断？
（4）如何利用建立的数学模型帮助决策，以达成研究的目标？
绘制散点图是进行回归分析的第一步，可以直观地考察两个变量之间的关系，为我们分析两个变量之间的关系类型提供帮助。
一元线性回归模型
根据样本数据，利用最小二乘法对模型参数a,b进行估计，得到经验回归模型 。
四、确定参数、计算求解
在R软件的工作区域输入“a=lm(PM2.5浓度~汽车流量，w)”，建立PM2.5浓度与汽车流量之间的回归方程并进行相关的分析。我们可以用“abline(a)”画出回归直线，用“summary(a)”输出回归结果。这样，我们得到了PM2.5浓度关于汽车流量的回归方程。
1、回归系数估计
由，说明PM2.5浓度随着汽车流量的增加而增加，汽车流量每增加100辆，空气中的PM2.5浓度平均可能增加13.86μg/m3.
汽车流量对应的 t 值（t value）是检验回归系数 b 是否为0的指标.
由和可知， 汽车流量是影响PM2.5浓度的一个显著性因素.
2、线性关系显著性检验
F 统计量（F-statistic）是检验两变量相关关系显著性的指标.
p值，表明PM2.5浓度与汽车流量的线性关系是显著的. 可以认为PM2.5浓度与汽车流量之间的回归方程具有统计学意义.
决定系数和调整的决定系数
R2数值的大小反映了自变量对回归的贡献，也就是在因变量的总变异中回归关系所能解释的百分比. 决定系数也反映了回归模型的拟合效果.
调整的决定系数，说明PM2.5浓度总变异的65.76%与汽车流量有关.
五、解决实际问题
我国规定空气中PM2.5浓度的安全标准为24h平均浓度75μg/m3.
当汽车流量为1300辆，即x=1.3时，，说明PM2.5浓度在安全标准附近；
当汽车流量为2300辆，即x=2.3时，，说明PM2.5浓度严重超标，需要预警和采取措施进行干预.
要使PM2.5浓度的平均值控制在60~120，24h的汽车流量就要控制在1152~1585辆.
六、课堂小结